O documento contém 5 questões sobre conceitos fundamentais de aritmética como números primos, congruências e resíduos quadráticos. A primeira questão pede para mostrar propriedades de números primos e encontrar o resto da divisão de 12p-1 por p. A segunda questão define números perfeitos e enuncia o Teorema de Euclides-Euler sobre sua caracterização. A terceira questão pede para provar que F5 não é primo usando congruências. A quarta questão define sistemas de resíduos reduzidos e a função φ de Euler e generaliza o Pe

1. MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA
COLÉGIO PEDRO II - CPII
Pró-Reitoria de Pós-Graduação, Pesquisa, Extensão e Cultura
Avaliação 2 - Aritmética - MA14 - 2016
Prof.
a
Luciana S. da Silva Martino
Questão 1 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 1,00 pt]
Sobre o que estudamos à respeito dos Números Primos, leia com atenção os seguintes itens e faça o que é pedido:
a) Seja p > 1 um número natural com a seguinte propriedade:
Se p divide o produto de dois números naturais quaisquer, então p divide um dos fatores
Mostre que p é necessariamente primo
b) Enuncie o Lema de Euclides, a recíproca do resultado exposto no item a
c) Ache o resto da divisão de 12p−1
por p quando p é primo
Questão 2 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 1,00 pt]
Após os pitagóricos, o próximo matemático a fazer parte da história dos números perfeitos foi Euclides
(aproximadamente 300 a. C.). Seu IX livro dos Elementos contém, além da denição de números perfeitos, uma
proposição muito particular a respeito desses números:
Se tantos números quantos se queira começando a partir da unidade forem dispostos continuamente numa proporção
duplicada até que a soma de todos resulte em um número primo, e se a soma multiplicada pelo último origina algum
número, então o produto será um número perfeito
a) Traduza essa proposição para a linguagem matemática atual, incluindo sua recíproca, enunciando o Teorema de
Euclides-Euler, visto em sala de aula quando estudamos os Números Especiais
b) Dena número perfeito
c) Mostre que os únicos dois números primos cujo produto é perfeito são 2 e 3
Questão 3 [2,00 pts]
Prove, utilizando o conceito de congruências, que o quinto número de Fermat F5 = 225
+ 1 não é primo
Questão 4 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 0,50 pt; (d) = 0,50]
a) Dena um sistema reduzido de resíduos módulo m
b) Dena a função ϕ : N → N, que em sala chamamos de função de Euler
c) O Pequeno Teorema de Fermat pode ser generalizado como segue:
Se p é um número primo, então para todo a ∈ Z e todo k ∈ N, tem-se que ak(p−1)+1
≡ a mod p
Demonstre esse resultado
d) No entanto, não é verdade em geral que para todo a ∈ Z e todo k ∈ N se tenha akϕ(m)+1
≡ a mod m. Justique essa
armação.
Questão 5 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]
a) Dena resíduo quadrático módulo p, para a um número inteiro
b) Determine os valores de a para os quais a é resíduo quadrático módulo 125