1) O documento discute sistemas de numeração e o jogo de Nim. Apresenta os sistemas sexagesimal, decimal e binário e explica como representar números inteiros nesses sistemas. 2) Descreve as regras básicas do jogo de Nim, onde os jogadores tiram palitos de grupos até sobrar o último, e como codificar os estados do jogo. 3) Explica que em Nim, uma posição segura (todos os dígitos pares) garante vitória ao próximo jogador.

1. Sum´ario
REPRESENTAC¸ ˜AO DOS N ´UMEROS
INTEIROS
Luciana Santos da Silva Martino
lulismartino.blogspot.com.br
lulismartino@gmail.com
PROFMAT - Col´egio Pedro II
30 de setembro de 2016

2. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sum´ario
1 Sistemas de Numerac¸ ˜ao
2 Jogo de Nim

3. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Outline
1 Sistemas de Numerac¸ ˜ao
2 Jogo de Nim

4. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
sistema sexagesimal: babilˆonios, 1700 a.C.
sistema decimal: desenvolvido na China e na ´India. Maior
difus˜ao na Europa a partir de 1202, quando da publicac¸ ˜ao
do Liber Abacci, de Fibonacci
sistema bin´ario: bases como potˆencias de 2 foram as
escolhidas na arquitetura de computadores
Todos s˜ao sistemas posicionais com base constante

5. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
No sistema decimal todo n´umero inteiro ´e representado por
uma sequˆencia formada pelos algarismos
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
acrescidos do s´ımbolo 0(zero), que representa a ausˆencia de
algarismo. Por serem dez os algarismos , o sistema ´e
chamado decimal
. Sistema posicional: cada algarismo, al´em do seu valor
intr´ınseco, possui um peso que lhe ´e atribu´ıdo, em func¸ ˜ao da
posic¸ ˜ao que ele ocupa no n´umero. No sistema decimal esse
peso ´e sempre uma potˆencia de dez

6. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
Cada algarismo de um n´umero possui uma ordem contada da direita
para a esquerda. Cada terna de ordens tamb´em contada da direita
para a esquerda, forma uma classe
classe das unidades



unidades 1a
ordem
dezenas 2a
ordem
centenas 3a
ordem
classe do milhar



unidades de milhar 4a
ordem
dezenas de milhar 5a
ordem
centenas de milhar 6a
ordem
classe do milh˜ao



unidades de milh˜ao 7a
ordem
dezenas de milh˜ao 8a
ordem
centenas de milh˜ao 9a
ordem

7. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
Os sistemas de numerac¸ ˜ao posicionais baseiam-se no
teorema a seguir, que ´e uma aplicac¸ ˜ao da divis˜ao euclidiana
Teorema 4.1: Sejam dados a, b ∈ Z, com a > 0 e b > 1.
Existem n´umeros inteiros n ≥ 0 e 0 ≤ r0, r1, ..., rn < b, com
rn = 0, univocamente determinados, tais que
a = r0 + r1b + r2b2
+ ... + rnbn
A representac¸ ˜ao dada no teorema acima ´e chamada de
expans˜ao relativa `a base b.

8. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
. Algoritmo para determinar a expans˜ao de um n´umero qualquer
relativamente `a base b
Aplicac¸ ˜oes sucessivas da divis˜ao euclidiana
a = bq0 + r0, r0 < b
q0 = bq1 + r1, r1 < b
q1 = bq2 + r2, r2 < b
e assim por diante.
Como a > q0 > q1 > ..., devemos, em certo ponto, ter qn−1 < b e, portanto,
de
qn−1 = bqn + rn,
decorre que qn = 0, o que implica que 0 = qn = qn+1 = qn+2 = ..., e,
portanto, 0 = rn+1 = rn+2 = ...
Temos ent˜ao que
a = r0 + r1b + ... + rnbn

9. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
Proposic¸ ˜ao 4.2: Sejam dados os n´umeros inteiros b > 1,
m, n ≥ 0, 0 < r0, ..., rn < b e 0 ≤ r0, ..., rn < b. Tem-se que
i) r0 + r1b + ... + rnbn < bn+1
ii) n > n e rn = 0 ⇒ r0 + r1b + ... + rnbn > r0 + r1b + ... + rn bn
iii) n = n e rn > rn ⇒ r0 + r1b + ... + rnbn > r0 + r1b + ... + rnbn

10. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
A expans˜ao numa dada base b fornece-nos um m´etodo para representar os
n´umeros naturais. Para tanto, escolha um conjunto S de b s´ımbolos
S = {s0, s1, ..., sb−1}
com s0 = 0, para representar os n´umeros de 0 a b − 1
Um n´umero natural c na base b escreve-se na forma
xnxn−1...x1x0
com x0, ..., xn ∈ S, e n variando, dependendo de a, representando o n´umero
x0 + x1b + ... + xnbn
Notac¸ ˜ao: [xn...x1x0]b: n´umero representado por xn...x1x0 na base b
[xn...x1x0]b = x0 + x1b + ... + xnbn

11. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
Proposic¸ ˜ao 4.6: Seja a = rn...r1r0 um n´umero representado no sistema decimal. Uma
condic¸ ˜ao necess´aria e suficiente para que a seja divis´ıvel por 5 (respectivamente por
10) ´e que r0 seja 0 ou 5 (respectivamente 0)
Proposic¸ ˜ao 4.7: Seja a = rn...r1r0 um n´umero representado no sistema decimal. Uma
condic¸ ˜ao necess´aria e suficiente para que a seja divis´ıvel por 3 (respectivamente por
9) ´e que rn + ... + r1 + r0 seja divis´ıvel por 3 (respectivamente por 9)
Exemplo 4.8: O nove misterioso
Pec¸a para algu´em escolher, em segredo, um n´umero natural com, pelo menos, trˆes
algarismos (no sistema decimal). Pec¸a, ainda, para que efetue uma permutac¸ ˜ao
qualquer dos seus algarismos, obtendo um novo n´umero, e que subtraia o menor do
maior dos dois n´umeros. Finalmente, pec¸a ao seu parceiro de jogo para reter um dos
algarismos diferentes de zero desse novo n´umero e divulgar os restantes. ´E poss´ıvel
adivinhar o algarismo retido!

12. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Sistemas de Numerac¸ ˜ao
Corol´ario 4.9: Todo n´umero natural escreve-se de modo ´unico
como soma de potˆencias distintas de 2.
Exemplo 4.10: O m´etodo acima, para determinar expans˜oes
bin´arias permite desenvolver um algoritmo antigo para calcular
o produto de dois n´umeros usando apenas multiplicac¸ ˜oes e
divis˜oes por 2, al´em de adic¸ ˜oes. Esse m´etodo tem a vantagem
de apenas necessitar da tabuada do 2.
Exemplo 4.11: O Problema da Moeda Falsa
Vamos generalizar a soluc¸ ˜ao do problema da moeda falsa, que
discutimos no Exemplo 2.13 (p´ag 37), para um n´umero
arbitr´ario de moedas

13. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Outline
1 Sistemas de Numerac¸ ˜ao
2 Jogo de Nim

14. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Jogo 1
Disp˜oe-se sobre uma mesa um n´umero N de palitos separados
em trˆes grupos, de n1, n2 e n3 palitos (N1 + n2 + n3 = N), de
modo que ni = nj se i = j. O jogo ´e realizado por dois
jogadores. Cada jogador, na sua vez, deve retirar um n´umero
qualquer (= 0) de palitos de um, e de apenas um, dos grupos.
Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s) ´ultimo(s) palito(s)
ganha o jogo.
O objetivo da estrat´egia ´e mostrar que, se um dos jogadores a
um certo momento encontrar-se numa situac¸ ˜ao favor´avel (a ser
definida) e se n˜ao cometer nenhum deslize nas jogadas
seguintes, ele ganhar´a o jogo.

15. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Jogo 1
Cada estado do jogo pode ser codificado por um terno de
n´umeros, representando o n´umero de palitos em cada grupo,
ordenados previamente como Grupo 1, Grupo 2 e Grupo 3,
comec¸ando com uma configurac¸ ˜ao inicial (n1, n2, n3) onde
n1 + n2 + n3 = N
Exemplo: Jo˜ao (J) e Maria (M) com configurac¸ ˜ao inicial (3,5,7)
Uma situac¸ ˜ao em que todos os algarismos da chave s˜ao
pares ser´a chamada de posic¸ ˜ao segura, enquanto que,
quando pelo menos um dos algarismos da chave ´e ´ımpar,
ser´a uma posic¸ ˜ao insegura

16. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Jogo 1
Resultado (Bouton): Qualquer que seja a configurac¸ ˜ao inicial
do jogo, se um jogador encontra na sua vez uma posic¸ ˜ao
segura qualquer que seja a jogada que fac¸a, s´o poder´a chegar
a uma posic¸ ˜ao insegura
Resultado (Bouton): De uma posic¸ ˜ao insegura, pode-se, com
uma jogada conveniente, sempre retornar a uma posic¸ ˜ao
segura
Outro Exemplo: Configurac¸ ˜ao inicial (3,5,6)

17. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Outras variantes do Jogo do Nim
Jogo 2: Disp˜oe-se sobre uma mesa um certo n´umero N de
palitos. Estipula-se que cada jogador, na sua vez, possa retirar,
no m´ınimo, 1 palito e, no m´aximo, um n´umero preestabelecido
de n palitos, com n > 1. Sup˜oe-se ainda, que N e N − 1 n˜ao
sejam m´ultiplos de n + 1. Perde o jogador que retirar o ´ultimo
palito
Jogo 3: Da mesma forma que a variante anterior, disp˜oe-se
sobre uma mesa um certo n´umero N de palitos e estipula-se
que cada jogador, na sua vez, possa retirar, no m´ınimo, 1 palito
e, no m´aximo, um n´umero n prefixado de palitos, com n > 1.
Sup˜oe-se ainda que N n˜ao seja m´ultiplo de n + 1. Ganha o
jogador que retirar o ´ultimo palito

18. Sistemas de Numerac¸ ˜ao Jogo de Nim
Outro Jogo
Um jogo, jogado por duas pessoas, consiste de um tablete de
chocolate dividido em 6x10 quadradinhos separados por
sulcos.
Cada jogador, na sua vez, quebra a barra de chocolate numa
horizontal ou numa vertical ao longo de todo um sulco e come
uma das partes. O jogo prossegue com a parte restante at´e
que um dos jogadores ´e obrigado a comer o ´ultimo
quadradinho que restar, perdendo o jogo