1. O documento discute resolução de congruências lineares, o teorema chinês dos restos e classes residuais. 2. É apresentado um método para resolver congruências do tipo aX ≡ b mod m, assim como o conceito de sistema completo de soluções. 3. O teorema chinês dos restos fornece uma única solução para sistemas de congruências quando os módulos são relativamente primos.

1. Sum´ario
CONGRU ˆENCIAS LINEARES E CLASSES
RESIDUAIS
Luciana Santos da Silva Martino
lulismartino.blogspot.com.br
lulismartino@gmail.com
PROFMAT - Col´egio Pedro II
03 de dezembro de 2016

2. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Sum´ario
1 Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares
2 Teorema Chinˆes dos Restos
3 Classes Residuais

3. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Outline
1 Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares
2 Teorema Chinˆes dos Restos
3 Classes Residuais

4. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares
Esta sec¸ ˜ao ser´a devotada `a resoluc¸ ˜ao de congruˆencias do tipo
aX ≡ n mod m, onde a, b, m ∈ Z, m > 1, ou seja, ao problema de
determinar, se existirem, os n´umeros inteiros x tais que ax ≡ b
mod m
Proposic¸ ˜ao 11.1: Dados a, b, m ∈ Z, com m > 1, a congruˆencia
aX ≡ b mod m possui soluc¸ ˜ao se, e somente se, (a, m) | b
Note que, se x0 ´e soluc¸ ˜ao da congruˆencia aX ≡ b mod m, ent˜ao
todo x tal que x ≡ x0 mod m ´e tamb´em soluc¸ ˜ao da congruˆencia
pois, ax ≡ ax0 ≡ c mod m
Portanto, toda soluc¸ ˜ao particular determina, automaticamente, uma
infinidade de soluc¸ ˜oes da congruˆencia. Essas soluc¸ ˜oes ser˜ao
consideradas uma s´o (m´odulo m), j´a que s˜ao congruentes entre si e
consequentemente, se determinam mutuamente

5. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares
. Objetivo: determinar uma colec¸ ˜ao completa de soluc¸ ˜oes duas
a duas incongruentes m´odulo m, as quais ser˜ao chamadas de
sistema completo de soluc¸ ˜oes incongruentes da congruˆencia
Teorema 11.2: Seja a, b, m ∈ Z, com m > 1 e (a, m) | b. Se x0
´e uma soluc¸ ˜ao da congruˆencia aX ≡ b mod m, ent˜ao
x0, x0 +
m
d
, x0 +
2
m
d, ..., x0 + (d − 1)
m
d
onde d = (a, m), formam um sistema completo de soluc¸ ˜oes da
congruˆencia, duas a duas incongruentes m´odulo m
Exemplo 11.3: Resolvamos a seguinte congruˆencia
8X ≡ 4 mod 12

6. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares
Corol´ario 11.4: Se (a, m) = 1 ent˜ao a congruˆencia aX ≡ b
mod m possui uma ´unica soluc¸ ˜ao m´odulo m
A congruˆencia aX ≡ 1 mod m, com (a, m) = 1, admite uma
´unica soluc¸ ˜ao m´odulo m. esta soluc¸ ˜ao ser´a chamada de
inverso multiplicativo m´odulo m
Corol´ario 11.5: Sejam m > 1 e R um conjunto reduzido de
res´ıduos m´odulo m. Se b ∈ Z, ent˜ao, para todo r ∈ R , a
congruˆencia rX ≡ b mod m possui uma ´unica soluc¸ ˜ao em R
Observac¸ ˜ao 11.6: Toda congruˆencia aX ≡ b mod m que
possui soluc¸ ˜ao ´e equivalente a uma congruˆencia da forma
X ≡ c mod m

7. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares
Via de regra as congruˆencias aX ≡ b mod m s˜ao mais f´aceis
de resolver por inspec¸ ˜ao quando o m´odulo m ´e pequeno
Exemplo 11.7: Resolvamos a congruˆencia 13X ≡ 4 mod 42

8. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares
Seja m > 1 um n´umero natural e a ∈ Z. Consideremos a
seguinte congruˆencia linear
aX ≡ Y mod m
As soluc¸ ˜oes dessa congruˆencia envolvendo as indeterminadas
X e Y est˜ao relacionadas com as soluc¸ ˜oes da equac¸ ˜ao
diofantina linear
aX − Y − mZ = 0
Thue
Teorema 11.8: Sejam m > 1 um n´umero natural n˜ao quadrado
e a ∈ Z, com (a, m) = 1. A congruˆencia aX ≡ Y mod m
possui uma soluc¸ ˜ao (x, y) ∈ Z2 tal que 0 < |x| <
√
m e
0 < |y| <
√
m

9. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Outline
1 Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares
2 Teorema Chinˆes dos Restos
3 Classes Residuais

10. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Teorema Chinˆes dos Restos
. Sun-Tsu: Qual o n´umero que deixa restos 2,3 e 2 quando
dividido, respectivamente, por 3,5 e 7?
. Quer-se determinar as soluc¸ ˜oes do seguinte sistema de
congruˆencias
X ≡ 2 mod 3
X ≡ 3 mod 5
X ≡ 2 mod 7
De modo geral, estudaremos sistemas de congruˆencias da
forma
aiX ≡ bi mod ni, i = 1, ..., r

11. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Teorema Chinˆes dos Restos
Teorema Chinˆes dos Restos
Teorema 11.9: Se (mi, mj) = 1, para todo par mi, mj, com
i = j, ent˜ao o sistema de congruˆencias acima possui uma
´unica soluc¸ ˜ao m´odulo M = m1m2...mr . As soluc¸ ˜oes s˜ao
x = M1y1c1 + ... + Mr yr cr + tM
onde t ∈ Z, Mi = M
mi
e yi ´e soluc¸ ˜ao de MiY ≡ 1 mod mi,
i = 1, ..., r
Exemplo 11.10: Vamos determinar a soluc¸ ˜ao do problema de
Sun-Tsu

12. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Teorema Chinˆes dos Restos
Exemplo 11.11: Seja N um n´umero natural e sejam r7, r11 e r13
os seus restos pela divis˜ao por 7, 11 e 13, respectivamente.
Tem-se ent˜ao que N ≡ 715r7 + 364r11 + 924r13 mod 1001
Em sala: O professor pede a um aluno que escolha um n´umero
natural menor que 1001 e que diga os restos r7, r11 e r13 desse
n´umero quando dividido por 7, 11 e 13, respectivamente. Sem
nenhuma outra informac¸ ˜ao, o professor ´e capaz de adivinhar o
n´umero escolhido pelo aluno
De fato, o n´umero que o aluno escolheu ´e o resto de divis˜ao
por 1001 de 715r7 + 364r11 + 924r13
Exemplo 11.12: Dado um n´umero natural N arbitr´ario, vamos
mostrar que ∃a ∈ N tal que os n´umeros a, a + 1, ..., a + N n˜ao
sejam livres de quadrados

13. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Teorema Chinˆes dos Restos
Proposic¸ ˜ao 11.13: O sistema de congruˆencias
X ≡ c1 mod m1 , X ≡ c2 mod m2
admite soluc¸ ˜ao se, e somente se, c2 ≡ c1 mod (m1, m2). Al´em
disso, dada uma soluc¸ ˜ao a do sistema, um n´umero a ´e
tamb´em uma soluc¸ ˜ao se, e somente se, a ≡ a mod [m1, m2]
Exemplo 11.14: Ache os termos comuns das progress˜oes
aritm´eticas (an) de primeiro termo 5 e raz˜ao 14 e (bn) de
primeiro termo 12 e raz˜ao 21

14. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Teorema Chinˆes dos Restos
. Algoritmo para determinar as soluc¸ ˜oes do sistema
X ≡ c1 mod m1 , X ≡ c2 mod m2, como na Proposic¸ ˜ao
11.13
Determinamos inicialmente pelo Algoritmo de Euclides
estendido dois inteiros x1 e x2 tais que
x1
m2
(m1, m2)
+ x2
m1
(m1, m2)
= 1
e com esses monta-se a soluc¸ ˜ao
x = c1x1
m2
(m1, m2)
+ c2x2
m1
(m1, m2)
Exemplo 11.15: Vamos encontrar o menor n´umero natural que
deixa resto 380 quando dividido por 1512 e deixa resto 68
quando dividido por 1650

15. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Teorema Chinˆes dos Restos
Teorema Chinˆes dos Restos Generalizado
Teorema 11.16: O sistema de congruˆencias
X ≡ ci mod ri, i = 1, ..., r
admite soluc¸ ˜ao se, e somente se,
ci ≡ cj mod (mi, mj), ∀i, j = 1, ..., r
Nesse caso, a soluc¸ ˜ao ´e ´unica m´odulo [m1, ..., mr ]

16. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Teorema Chinˆes dos Restos
Sejam m1, ..., mr n´umeros inteiros
Estabelecemos as seguintes notac¸ ˜oes M = [m1, ..., mr ] e Mi = M
mi
,
i = 1, ..., r
Lema 11.17: Com as notac¸ ˜oes acima, existem inteiros x1, ..., xr tais
que x1M1 + ... + xr Mr = 1
Lema 11.18: Para todos i, j = 1, ..., r, tem-se que mj | Mi (mi , mj )
Teorema 11.19: Se o sistema X ≡ ci mod ri , i = 1, ..., r admite
soluc¸ ˜ao, as soluc¸ ˜oes s˜ao dadas por
x = c1x1M1 + ... + cr xr Mr + tM
onde t ∈ Z e x1, ..., xr s˜ao tais que
x1M1 + ... + xr Mr = 1

17. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
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1 Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares
2 Teorema Chinˆes dos Restos
3 Classes Residuais

18. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Classes Residuais
Seja dado um inteiro m > 1. Vamos repartir o conjunto Z em
subconjuntos, onde cada um deles ´e formado por todos os
n´umeros inteiros que possuem o mesmo resto quando
divididos por m. Isso nos d´a a seguinte partic¸ ˜ao de Z
[0] = {x ∈ Z; x ≡ 0 mod m}
[1] = {x ∈ Z; x ≡ 0 mod m}
...
[m − 1] = {x ∈ Z; x ≡ m − 1 mod m}
Paramos em [m − 1], pois se tem que [m] = [0], [m + 1] = [1], ...

19. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Classes Residuais
O conjunto
[a] = {x ∈ Z; x ≡ a mod m}
´e chamado de classe residual m´odulo m do elemento a de Z. O conjunto de
todas as classes residuais m´odulo m ser´a representado por Zm
Zm = {[0], [1], ..., [m − 1]}
Exemplo 11.20: Seja m = 2. Ent˜ao,
[0] = {x ∈ Z; x ≡ 0 mod 2} = {x ∈ Z; x ´e par }
[1] = {x ∈ Z; x ≡ 1 mod 2} = {x ∈ Z; x ´e ´ımpar }
Temos portanto que [a] = [0] se, e somente se, a ´e par e [a] = [1] se, e
somente se, a ´e ´ımpar
Exemplo 11.21: Seja m = 3. Ent˜ao,
[0] = {3t; t ∈ Z}
[1] = {3t + 1; t ∈ Z}
[2] = {3t + 2; t ∈ Z}

20. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Classes Residuais
Proposic¸ ˜ao 11.22: As classes residuais possuem as seguintes
propriedades:
(i) [a] = [b] se, e somente se, a ≡ b mod m
(ii) Se [a] = [b] = ∅, ent˜ao [a] = [b]
(iii) ∪a∈N = Z
Definic¸ ˜ao: Dado [x] ∈ Zm, um n´umero inteiro a tal que
[x] = [a] ser´a denominado de representante de [x]
Observe que [x] ´e determinado por a, mas h´a infinitos n´umeros
inteiros b tais que [x] = [b]
(qualquer inteiro b ∈ [a] = {a + km; k ∈ Z} ´e tal que [b] = [a])

21. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Classes Residuais
Exemplo 11.23: Se m = 2, ent˜ao qualquer inteiro par ´e
representante da classe residual [0] e qualquer inteiro ´ımpar ´e
representante da classe residual [1]
Exemplo 11.24: Se m = 3, ent˜ao qualquer m´ultiplo de 3 ´e
representante da classe residual [0]. Temos que 1, 4, 7, 10, etc
s˜ao representantes da classe residual [1], enquanto 2, 5, 8, 11,
etc s˜ao representantes da classe residual [2]

22. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Classes Residuais
Proposic¸ ˜ao 11.25: Para cada a ∈ Z existe um e somente um,
r ∈ Z, com 0 ≤ r ≤ m, tal que [a] = [r]
Corol´ario 11.26: Existem exatamente m classes residuais
distintas m´odulo m, a saber, [0], [1], ..., [m − 1]
Resultado: {a1, ..., am} ´e um sistema completo de res´ıduos
m´odulo m se, e somente se, {[a1], ..., [am]} = Zm

23. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Classes Residuais
Uma caracter´ıstica importante das classes residuais ´e que
transformam a congruˆencia a ≡ b mod m na igualdade
[a] = [b]
Outra caracter´ıstica ´e que em Zm podemos definir as seguintes
operac¸ ˜oes:
adic¸ ˜ao: [a] + [b] = [a + b]
multiplicac¸ ˜ao: [a].[b] = [a.b]
. Ao mudarmos os representantes das classes [a] e [b] n˜ao
mudam os valores de [a + b] e [a.b]

24. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Classes Residuais
Propriedades da Adic¸ ˜ao
Para todos [a], [b], [c] em Zm, temos:
A1) Associatividade: ([a] + [b]) + [c] = [a] + ([b] + [c])
A2) Comutatividade: [a] + [b] = [b] + [a]
A3) Existˆencia do zero: [a] + [0] = [a]
A4) Existˆencia do sim´etrico: [a] + [−a] = [0]
Propriedades da Multiplicac¸ ˜ao
Para todos [a], [b], [c] em Zm, temos:
M1) Associatividade: ([a].[b]).[c] = [a].([b].[c])
M2) Comutatividade: [a].[b] = [b].[a]
M3) Existˆencia da unidade: [a].[1] = [a]
M4) Distributividade: [a].([b] + [c]) = [a].[b] + [a].[c]

25. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Classes Residuais
Zm, com as operac¸ ˜oes acima, ´e um anel, chamado anel das classes
residuais m´odulo m, ou anel dos inteiros m´odulo m
Definic¸ ˜ao: Um elemento [a] ∈ Zm ser´a dito invert´ıvel quando existir
[b] ∈ Zm tal que [a][b] = 1. Nesse caso, diremos que [b] ´e o inverso
de [a]
Exemplo 11.27: As tabelas da adic¸ ˜ao e da multiplicac¸ ˜ao em
Z2 = {[0], [1]} s˜ao
+ [0] [1]
[0] [0] [1]
[1] [1] [0]
. [0] [1]
[0] [0] [0]
[1] [0] [1]
Observe que todo elemento n˜ao nulo de Z1 ´e invert´ıvel (trata-se
apenas do elemento [1])

26. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Classes Residuais
Exemplo 11.28: As tabelas da adic¸ ˜ao e da multiplicac¸ ˜ao em Z3 = {[0], [1], [2]} s˜ao
+ [0] [1] [2]
[0] [0] [1] [2]
[1] [1] [2] [0]
[2] [2] [0] [1]
. [0] [1] [2]
[0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2]
[2] [0] [2] [1]
Observe que todo elemento n˜ao nulo de Z3 ´e invert´ıvel
Exemplo 11.29: Em Z4 = {[0], [1], [2], [3]} temos
+ [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [1] [2] [3]
[1] [1] [2] [3] [0]
[2] [2] [3] [0] [1]
[3] [3] [0] [1] [2]
. [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3]
[2] [0] [2] [0] [2]
[3] [0] [3] [2] [1]
Em Z4 os ´unicos elementos invert´ıveis s˜ao [1] e [3].
Em Z4 existem dois elementos n˜ao nulos cujo produto ´e nulo: [2] = [0] e, no entanto, [2].[2] = [0]

27. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Classes Residuais
Definic¸ ˜ao: Um elemento a = 0 de um anel A ´e chamado de divisor
de zero se existir b = 0 em A tal que ab = 0
. Um divisor de zero nunca ´e invert´ıvel
Exemplo 11.30: Em Z5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} temos
+ [0] [1] [2] [3] [4]
[0] [0] [1] [2] [3] [4]
[1] [1] [2] [3] [4] [0]
[2] [2] [3] [4] [0] [1]
[3] [3] [4] [0] [1] [2]
[4] [4] [0] [1] [2] [3]
. [0] [1] [2] [3] [4]
[0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3] [4]
[2] [0] [2] [4] [1] [3]
[3] [0] [3] [1] [4] [2]
[4] [0] [4] [3] [2] [1]
Em Z5 todo elemento distinto de [0] ´e invert´ıvel

28. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Classes Residuais
Definic¸ ˜ao: Um anel onde todo elemento n˜ao nulo possui um
inverso multiplicativo ´e chamado de corpo
Z2, Z3 e Z5, com as operac¸ ˜oes acime definidas s˜ao corpos,
mas Z4 n˜ao ´e um corpo
Resolver uma congruˆencia aX ≡ b mod m reduz-se a resolver
em Zm a equac¸ ˜ao [a]Z = [b]
Exemplo 11.31: Resolver a congruˆencia 4X ≡ 3 mod 5
equivale a resolver em Z5 a equac¸ ˜ao [4]Z = [3]

29. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Classes Residuais
Proposic¸ ˜ao 11.32: Um elemento [a] de Zm ´e invert´ıvel se, e
somente se, (a, m) = 1
Observac¸ ˜ao 1: A demonstrac¸ ˜ao da Proposic¸ ˜ao acima nos
fornece um m´etodo para achar o inverso de um elemento
invert´ıvel [a] de Zm
Observac¸ ˜ao 2: Essa Proposic¸ ˜ao nos diz que o n´umero de
elementos invert´ıveis de Zm ´e precisamente ϕ(m), onde ϕ ´e a
func¸ ˜ao de Euler
Corol´ario 11.33: Zm ´e um corpo se, e somente se, m ´e primo

30. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Classes Residuais
. Um conjunto {a1, ..., aϕ(m)} ⊂ Z ´e um sistema reduzido de res´ıduos
m´odulo m se [a1], ..., aϕ(m) s˜ao os elementos invert´ıveis de Zm
. Sendo Z∗
m o conjunto dos elementos invert´ıveis de Zm, temos ent˜ao
que Z∗
m = {[a1], ..., [aϕ(m)]}, onde {a1, ..., aϕ(m)} ´e um sistema
reduzido de res´ıduos m´odulo m
. O conjunto Z∗
m ´e multiplicativamente fechado e o inverso de todo
elemento de Z∗
m ´e um elemento de Z∗
m
. Se p ´e primo ent˜ao Z∗
m = Z {[0]} = {[1], ..., [p − 1]}
. Os elementos [1] e [−1] s˜ao os ´unicos elementos de Z∗
p que s˜ao
auto-uinversos, isto ´e, s˜ao as ´unicas soluc¸ ˜oes da equac¸ ˜ao x2
= [1]
Wilson
Teorema 10.22: Se p ´e um n´umero primo, ent˜ao (p − 1)! ≡ −1
mod p

31. Resoluc¸ ˜ao de Congruˆencias Lineares Teorema Chinˆes dos Restos Classes Residuais
Classes Residuais
Utilizac¸ ˜ao da aritm´etica de Z2 para demonstrar as afirmac¸ ˜oes
feitas durante a exposic¸ ˜ao da estrat´egia vencedora para o Jogo
de Nim
Exemplo 11.34: Voltemos ao jogo de Nim que abordamos no
Cap´ıtulo 4. Suponhamos que em um determinado ponto da
partida tenhamos, respectivamente, m1, m2 e m3 palitos em
cada um dos trˆes grupos G1, G2 e G3