Congruências Lineares e Classes Residuais

Sumário
CONGRU ÊNCIAS LINEARES E CLASSES
RESIDUAIS
Luciana Santos da Silva Martino
lulismartino.blogspot.com.br
lulismartino@gmail.com
PROFMAT - Colégio Pedro II
03 de dezembro de 2016

Resoluç ão de Congruências Lineares Teorema Chinês dos Restos Classes Residuais
Sumário
1 Resoluç ão de Congruências Lineares
2 Teorema Chinês dos Restos
3 Classes Residuais

Outline
1 Resoluç ão de Congruências Lineares
2 Teorema Chinês dos Restos
3 Classes Residuais

Resoluç ão de Congruências Lineares
Esta seç ão será devotada à resoluç ão de congruências do tipo
aX ≡ n mod m, onde a, b, m ∈ Z, m > 1, ou seja, ao problema de
determinar, se existirem, os números inteiros x tais que ax ≡ b
mod m
Proposiç ão 11.1: Dados a, b, m ∈ Z, com m > 1, a congruência
aX ≡ b mod m possui soluç ão se, e somente se, (a, m) | b
Note que, se x0 é soluç ão da congruência aX ≡ b mod m, então
todo x tal que x ≡ x0 mod m é também soluç ão da congruência
pois, ax ≡ ax0 ≡ c mod m
Portanto, toda soluç ão particular determina, automaticamente, uma
infinidade de soluç ões da congruência. Essas soluç ões serão
consideradas uma só (módulo m), já que são congruentes entre si e
consequentemente, se determinam mutuamente

. Objetivo: determinar uma coleç ão completa de soluç ões duas
a duas incongruentes módulo m, as quais serão chamadas de
sistema completo de soluç ões incongruentes da congruência
Teorema 11.2: Seja a, b, m ∈ Z, com m > 1 e (a, m) | b. Se x0
é uma soluç ão da congruência aX ≡ b mod m, então
x0, x0 +
m
d
, x0 +
2
m
d, ..., x0 + (d − 1)
m
d
onde d = (a, m), formam um sistema completo de soluç ões da
congruência, duas a duas incongruentes módulo m
Exemplo 11.3: Resolvamos a seguinte congruência
8X ≡ 4 mod 12

Corolário 11.4: Se (a, m) = 1 então a congruência aX ≡ b
mod m possui uma única soluç ão módulo m
A congruência aX ≡ 1 mod m, com (a, m) = 1, admite uma
única soluç ão módulo m. esta soluç ão será chamada de
inverso multiplicativo módulo m
Corolário 11.5: Sejam m > 1 e R um conjunto reduzido de
res´ıduos módulo m. Se b ∈ Z, então, para todo r ∈ R , a
congruência rX ≡ b mod m possui uma única soluç ão em R
Observaç ão 11.6: Toda congruência aX ≡ b mod m que
possui soluç ão é equivalente a uma congruência da forma
X ≡ c mod m

Via de regra as congruências aX ≡ b mod m são mais fáceis
de resolver por inspeç ão quando o módulo m é pequeno
Exemplo 11.7: Resolvamos a congruência 13X ≡ 4 mod 42

Seja m > 1 um número natural e a ∈ Z. Consideremos a
seguinte congruência linear
aX ≡ Y mod m
As soluç ões dessa congruência envolvendo as indeterminadas
X e Y estão relacionadas com as soluç ões da equaç ão
diofantina linear
aX − Y − mZ = 0
Thue
Teorema 11.8: Sejam m > 1 um número natural não quadrado
e a ∈ Z, com (a, m) = 1. A congruência aX ≡ Y mod m
possui uma soluç ão (x, y) ∈ Z2 tal que 0 < |x| <
√
m e
0 < |y| <
√
m

Teorema Chinês dos Restos
. Sun-Tsu: Qual o número que deixa restos 2,3 e 2 quando
dividido, respectivamente, por 3,5 e 7?
. Quer-se determinar as soluç ões do seguinte sistema de
congruências
X ≡ 2 mod 3
X ≡ 3 mod 5
X ≡ 2 mod 7
De modo geral, estudaremos sistemas de congruências da
forma
aiX ≡ bi mod ni, i = 1, ..., r

Teorema 11.9: Se (mi, mj) = 1, para todo par mi, mj, com
i = j, então o sistema de congruências acima possui uma
única soluç ão módulo M = m1m2...mr . As soluç ões são
x = M1y1c1 + ... + Mr yr cr + tM
onde t ∈ Z, Mi = M
mi
e yi é soluç ão de MiY ≡ 1 mod mi,
i = 1, ..., r
Exemplo 11.10: Vamos determinar a soluç ão do problema de
Sun-Tsu

Exemplo 11.11: Seja N um número natural e sejam r7, r11 e r13
os seus restos pela divisão por 7, 11 e 13, respectivamente.
Tem-se então que N ≡ 715r7 + 364r11 + 924r13 mod 1001
Em sala: O professor pede a um aluno que escolha um número
natural menor que 1001 e que diga os restos r7, r11 e r13 desse
número quando dividido por 7, 11 e 13, respectivamente. Sem
nenhuma outra informaç ão, o professor é capaz de adivinhar o
número escolhido pelo aluno
De fato, o número que o aluno escolheu é o resto de divisão
por 1001 de 715r7 + 364r11 + 924r13
Exemplo 11.12: Dado um número natural N arbitrário, vamos
mostrar que ∃a ∈ N tal que os números a, a + 1, ..., a + N não
sejam livres de quadrados

Proposiç ão 11.13: O sistema de congruências
X ≡ c1 mod m1 , X ≡ c2 mod m2
admite soluç ão se, e somente se, c2 ≡ c1 mod (m1, m2). Além
disso, dada uma soluç ão a do sistema, um número a é
também uma soluç ão se, e somente se, a ≡ a mod [m1, m2]
Exemplo 11.14: Ache os termos comuns das progressões
aritméticas (an) de primeiro termo 5 e razão 14 e (bn) de
primeiro termo 12 e razão 21

. Algoritmo para determinar as soluç ões do sistema
X ≡ c1 mod m1 , X ≡ c2 mod m2, como na Proposiç ão
11.13
Determinamos inicialmente pelo Algoritmo de Euclides
estendido dois inteiros x1 e x2 tais que
x1
m2
(m1, m2)
+ x2
m1
(m1, m2)
= 1
e com esses monta-se a soluç ão
x = c1x1
m2
(m1, m2)
+ c2x2
m1
(m1, m2)
Exemplo 11.15: Vamos encontrar o menor número natural que
deixa resto 380 quando dividido por 1512 e deixa resto 68
quando dividido por 1650

Teorema Chinês dos Restos Generalizado
Teorema 11.16: O sistema de congruências
X ≡ ci mod ri, i = 1, ..., r
admite soluç ão se, e somente se,
ci ≡ cj mod (mi, mj), ∀i, j = 1, ..., r
Nesse caso, a soluç ão é única módulo [m1, ..., mr ]

Sejam m1, ..., mr números inteiros
Estabelecemos as seguintes notaç ões M = [m1, ..., mr ] e Mi = M
mi
,
i = 1, ..., r
Lema 11.17: Com as notaç ões acima, existem inteiros x1, ..., xr tais
que x1M1 + ... + xr Mr = 1
Lema 11.18: Para todos i, j = 1, ..., r, tem-se que mj | Mi (mi , mj )
Teorema 11.19: Se o sistema X ≡ ci mod ri , i = 1, ..., r admite
soluç ão, as soluç ões são dadas por
x = c1x1M1 + ... + cr xr Mr + tM
onde t ∈ Z e x1, ..., xr são tais que
x1M1 + ... + xr Mr = 1

Classes Residuais
Seja dado um inteiro m > 1. Vamos repartir o conjunto Z em
subconjuntos, onde cada um deles é formado por todos os
números inteiros que possuem o mesmo resto quando
divididos por m. Isso nos dá a seguinte partiç ão de Z
[0] = {x ∈ Z; x ≡ 0 mod m}
[1] = {x ∈ Z; x ≡ 0 mod m}
...
[m − 1] = {x ∈ Z; x ≡ m − 1 mod m}
Paramos em [m − 1], pois se tem que [m] = [0], [m + 1] = [1], ...

Classes Residuais
O conjunto
[a] = {x ∈ Z; x ≡ a mod m}
é chamado de classe residual módulo m do elemento a de Z. O conjunto de
todas as classes residuais módulo m será representado por Zm
Zm = {[0], [1], ..., [m − 1]}
Exemplo 11.20: Seja m = 2. Então,
[0] = {x ∈ Z; x ≡ 0 mod 2} = {x ∈ Z; x é par }
[1] = {x ∈ Z; x ≡ 1 mod 2} = {x ∈ Z; x é ´ımpar }
Temos portanto que [a] = [0] se, e somente se, a é par e [a] = [1] se, e
somente se, a é ´ımpar
Exemplo 11.21: Seja m = 3. Então,
[0] = {3t; t ∈ Z}
[1] = {3t + 1; t ∈ Z}
[2] = {3t + 2; t ∈ Z}

Classes Residuais
Proposiç ão 11.22: As classes residuais possuem as seguintes
propriedades:
(i) [a] = [b] se, e somente se, a ≡ b mod m
(ii) Se [a] = [b] = ∅, então [a] = [b]
(iii) ∪a∈N = Z
Definiç ão: Dado [x] ∈ Zm, um número inteiro a tal que
[x] = [a] será denominado de representante de [x]
Observe que [x] é determinado por a, mas há infinitos números
inteiros b tais que [x] = [b]
(qualquer inteiro b ∈ [a] = {a + km; k ∈ Z} é tal que [b] = [a])

Classes Residuais
Exemplo 11.23: Se m = 2, então qualquer inteiro par é
representante da classe residual [0] e qualquer inteiro ´ımpar é
representante da classe residual [1]
Exemplo 11.24: Se m = 3, então qualquer múltiplo de 3 é
representante da classe residual [0]. Temos que 1, 4, 7, 10, etc
são representantes da classe residual [1], enquanto 2, 5, 8, 11,
etc são representantes da classe residual [2]

Classes Residuais
Proposiç ão 11.25: Para cada a ∈ Z existe um e somente um,
r ∈ Z, com 0 ≤ r ≤ m, tal que [a] = [r]
Corolário 11.26: Existem exatamente m classes residuais
distintas módulo m, a saber, [0], [1], ..., [m − 1]
Resultado: {a1, ..., am} é um sistema completo de res´ıduos
módulo m se, e somente se, {[a1], ..., [am]} = Zm

Classes Residuais
Uma caracter´ıstica importante das classes residuais é que
transformam a congruência a ≡ b mod m na igualdade
[a] = [b]
Outra caracter´ıstica é que em Zm podemos definir as seguintes
operaç ões:
adiç ão: [a] + [b] = [a + b]
multiplicaç ão: [a].[b] = [a.b]
. Ao mudarmos os representantes das classes [a] e [b] não
mudam os valores de [a + b] e [a.b]

Classes Residuais
Propriedades da Adiç ão
Para todos [a], [b], [c] em Zm, temos:
A1) Associatividade: ([a] + [b]) + [c] = [a] + ([b] + [c])
A2) Comutatividade: [a] + [b] = [b] + [a]
A3) Existência do zero: [a] + [0] = [a]
A4) Existência do simétrico: [a] + [−a] = [0]
Propriedades da Multiplicaç ão
Para todos [a], [b], [c] em Zm, temos:
M1) Associatividade: ([a].[b]).[c] = [a].([b].[c])
M2) Comutatividade: [a].[b] = [b].[a]
M3) Existência da unidade: [a].[1] = [a]
M4) Distributividade: [a].([b] + [c]) = [a].[b] + [a].[c]

Classes Residuais
Zm, com as operaç ões acima, é um anel, chamado anel das classes
residuais módulo m, ou anel dos inteiros módulo m
Definiç ão: Um elemento [a] ∈ Zm será dito invert´ıvel quando existir
[b] ∈ Zm tal que [a][b] = 1. Nesse caso, diremos que [b] é o inverso
de [a]
Exemplo 11.27: As tabelas da adiç ão e da multiplicaç ão em
Z2 = {[0], [1]} são
+ [0] [1]
[0] [0] [1]
[1] [1] [0]
. [0] [1]
[0] [0] [0]
[1] [0] [1]
Observe que todo elemento não nulo de Z1 é invert´ıvel (trata-se
apenas do elemento [1])

Classes Residuais
Exemplo 11.28: As tabelas da adiç ão e da multiplicaç ão em Z3 = {[0], [1], [2]} são
+ [0] [1] [2]
[0] [0] [1] [2]
[1] [1] [2] [0]
[2] [2] [0] [1]
. [0] [1] [2]
[0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2]
[2] [0] [2] [1]
Observe que todo elemento não nulo de Z3 é invert´ıvel
Exemplo 11.29: Em Z4 = {[0], [1], [2], [3]} temos
+ [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [1] [2] [3]
[1] [1] [2] [3] [0]
[2] [2] [3] [0] [1]
[3] [3] [0] [1] [2]
. [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3]
[2] [0] [2] [0] [2]
[3] [0] [3] [2] [1]
Em Z4 os únicos elementos invert´ıveis são [1] e [3].
Em Z4 existem dois elementos não nulos cujo produto é nulo: [2] = [0] e, no entanto, [2].[2] = [0]

Classes Residuais
Definiç ão: Um elemento a = 0 de um anel A é chamado de divisor
de zero se existir b = 0 em A tal que ab = 0
. Um divisor de zero nunca é invert´ıvel
Exemplo 11.30: Em Z5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} temos
+ [0] [1] [2] [3] [4]
[0] [0] [1] [2] [3] [4]
[1] [1] [2] [3] [4] [0]
[2] [2] [3] [4] [0] [1]
[3] [3] [4] [0] [1] [2]
[4] [4] [0] [1] [2] [3]
. [0] [1] [2] [3] [4]
[0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2] [3] [4]
[2] [0] [2] [4] [1] [3]
[3] [0] [3] [1] [4] [2]
[4] [0] [4] [3] [2] [1]
Em Z5 todo elemento distinto de [0] é invert´ıvel

Classes Residuais
Definiç ão: Um anel onde todo elemento não nulo possui um
inverso multiplicativo é chamado de corpo
Z2, Z3 e Z5, com as operaç ões acime definidas são corpos,
mas Z4 não é um corpo
Resolver uma congruência aX ≡ b mod m reduz-se a resolver
em Zm a equaç ão [a]Z = [b]
Exemplo 11.31: Resolver a congruência 4X ≡ 3 mod 5
equivale a resolver em Z5 a equaç ão [4]Z = [3]

Classes Residuais
Proposiç ão 11.32: Um elemento [a] de Zm é invert´ıvel se, e
somente se, (a, m) = 1
Observaç ão 1: A demonstraç ão da Proposiç ão acima nos
fornece um método para achar o inverso de um elemento
invert´ıvel [a] de Zm
Observaç ão 2: Essa Proposiç ão nos diz que o número de
elementos invert´ıveis de Zm é precisamente ϕ(m), onde ϕ é a
funç ão de Euler
Corolário 11.33: Zm é um corpo se, e somente se, m é primo

Classes Residuais
. Um conjunto {a1, ..., aϕ(m)} ⊂ Z é um sistema reduzido de res´ıduos
módulo m se [a1], ..., aϕ(m) são os elementos invert´ıveis de Zm
. Sendo Z∗
m o conjunto dos elementos invert´ıveis de Zm, temos então
que Z∗
m = {[a1], ..., [aϕ(m)]}, onde {a1, ..., aϕ(m)} é um sistema
reduzido de res´ıduos módulo m
. O conjunto Z∗
m é multiplicativamente fechado e o inverso de todo
elemento de Z∗
m é um elemento de Z∗
m
. Se p é primo então Z∗
m = Z {[0]} = {[1], ..., [p − 1]}
. Os elementos [1] e [−1] são os únicos elementos de Z∗
p que são
auto-uinversos, isto é, são as únicas soluç ões da equaç ão x2
= [1]
Wilson
Teorema 10.22: Se p é um número primo, então (p − 1)! ≡ −1
mod p

Classes Residuais
Utilizaç ão da aritmética de Z2 para demonstrar as afirmaç ões
feitas durante a exposiç ão da estratégia vencedora para o Jogo
de Nim
Exemplo 11.34: Voltemos ao jogo de Nim que abordamos no
Cap´ıtulo 4. Suponhamos que em um determinado ponto da
partida tenhamos, respectivamente, m1, m2 e m3 palitos em
cada um dos três grupos G1, G2 e G3

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