1) O documento contém 5 questões sobre matemática envolvendo princípios de boa ordenação, divisão em inteiros, máximo divisor comum e equações diofantinas lineares. 2) Nas questões 1-4, devem ser provados vários resultados matemáticos usando esses conceitos. 3) Na questão 5, deve ser obtida uma equação diofantina linear para modelar uma situação de arrecadação em um cinema e encontradas suas soluções.

1. Mestrado Profissional em Matemática – Colégio Pedro II
Avaliação 1 – MA 14 – 2016
Profª. Luciana Martino
Questão 1 [ 2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt ]
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Use o Princípio da Boa Ordenação para provar os seguintes resultados:
a) Se é não vazio e limitado superiormente então tem um maior elemento;
b) Para todo vale a igualdade .
Sugestão: Considere o conjunto e prove que
.
Questão 2 [ 2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt ]
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Sobre o que vimos no capítulo Divisão nos Inteiros prove os seguintes resultados:
a) Se então é da forma ou , com ;
b) Se e são inteiros ímpares então é divisível por 2 mas não é divisível por
4;
Questão 3 [ 2,00 pts ]
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Agora um resultado sobre o Máximo Divisor Comum.
Prove que se , com então .
Questão 4 [ 2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt ]
Ainda sobre o Máximo Divisor Comum, prove que:
a) Se , então ;
b) Dado um subconjunto infinito de , existe um número natural tal que
.

2. Questão 5 [ 2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 1,50 pt ]
Uma equação diofantina linear nas incógnitas e é uma equação da forma ,
em que , e são inteiros, e as únicas soluções que interessam são aquelas
em que .
Nesse contexto , considere que os ingressos de um cinema custam R$ 9,00 para
estudantes e R$ 15,00 para o público geral, e que, em certo dia, durante determinado
período, a arrecadação nas bilheterias desse cinema foi de R$ 246,00.
A partir das informações acima, faça o que se pede nos itens a seguir:
a) Obtenha uma equação diofantina linear que modele a situação acima, indicando o
significado das incógnitas;
b) Quantas e quais são as soluções do problema descrito no item (a) ?