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Equações do 2° grau
 É toda equação do tipo:
ax² + bx + c =0
 Com a diferente de zero e a, b e c números
reais.
 Obs: O grau de uma equação é dado pelo
maior expoente de x.
 3x -1 = 14 é uma equação de 1° grau.
 x² -2x +1 =0 é uma equação do 2° grau
 x³ + x² + 2x -3 =0 é uma equação do 3° grau.
Existe 4 tipos de equação do 2°grau
 ax² + bx + c = 0
Equação completa do 2° grau;
• ax² + bx =0 Equação Incompleta do 2° grau,
com c =0
 ax² + c = 0
Equação incompleta do 2° grau com b=0
 Ax² = 0
Equação incompleta do 2° grau com b e c =0
Coeficientes da equação do 2° grau
 a, b e c são os coeficientes da equação do 2° grau.
O coeficiente a é sempre o coeficiente de x²;
ax² + bx + c=0 2x² + bx + c = 0 a = 2
O coeficiente b é sempre o coeficiente de x;
ax² + bx + c =0 ax² -13x + c = 0 b=(-13)
c é o termo independente. (não tem x com ele)
ax² + bx + c =0 ax² + bx + 15 = 0 c =15
Resumidamente:
 Na equação: 2x² -13x + 15 = 0
 A=2 b=(-13) c = 15
Exercícios
 1 – Identifique as equações do 2° grau.
 a) 3x² -5x +8 =0 i) (x – 2)² = 49
 b) 0x² -5x + 6 =0 j) kx² + k = 0 (k≠0)
 c) 2x + 10 =0 k) mx + 3 =0 (m≠0)
 d) -2x -5 + x² =0
 e) 3x² -1 =0
 f) x² + 5x =0
 g) (y + 3).(y-1) =4
 h) 3t² = 81
2 – Verifique quais das equações abaixo são do
2°grau e diga se são completas ou incompletas:
 a) (x + 3).(x -3)= 5x -9
 b) x²(x + 2) = 0
 c) 3t² - 3t = -1
 d) (y – 2).(y – 4) = (3y -1)²
 e) x² + x(1 – x) + 5 =0
 f) kx² = -2x -1 (k≠0)
 g) (x + 3)² = x – 2
 h) ( x – 4)² =0
 i) (x +3).(x – 2)=0
5 – Qual deve ser o valor de m para que a
equação: mx² -3x + 4 =0 seja do 2° grau?
 6 – Escreva as equações de cada item na forma
geral ax² + bx + c =0, sabendo que:
a) a =1, b = 5 e c = -4
b) a= 3, b = 0 e c = 0
c) a= 2, b = 3 e c = -2
d) a = 4, b = 8 e c = 4
e) A = 1, b = -6 e c = 5
f) A = 6, b = -5 e c = -6
Resolução da equação do 2° grau
 Resolver uma equação do 2° grau é encontrar suas
raízes ou soluções.
 Raiz de uma equação é o número que torna a
sentença verdadeira.
 Assim, qual é o número que substituído pela
incógnita x na equação: x² - 5x + 6 dá resultado 0?
 1, 2 ou 3?
Verificação:
 x² -5x + 6 = 0 verificando para x = 2
 2² -5.2 + 6 = 0
 4 -10 + 6 = 0
 10 – 10 = 0
 0 = 0
(O número 2 torna a sentença verdadeira, logo 2 é
raiz da equação).
Verificando para x = 3
 x² -5x + 6 = 0 (substituímos a incógnita x por 3)
 3² -5.3 + 6 = 0
 9 – 15 + 6 = 0
 -6 + 6 = 0
 0 = 0
O número 3 também torna a sentença verdadeira,
logo 3 é raiz da equação.
Verificando para x = 1
 x² -5x + 6 = 0 (substituímos x por 3)
 1² - 5.1 + 6 = 0
 1 -5 + 6 = 0
 7 – 5 = 0
 2 ≠ 0 Sentença falsa, logo 1 não é raiz da
equação.
Quantas raízes tem uma equação?
 Equação do 1° grau = uma raiz
 Exemplo:
 3x - 2 = 10
 3x = 10 + 2
 3x = 12
 x = 12/3
 x = 4
E a equação do 2° grau?
 Como vimos, as raízes da equação: x² -5x + 6 = 0
 São 2 e 3, portanto a equação do 2° grau tem duas
raízes, chamadas de: x1 e x2.
 Já a equação do 3° grau tem 3 raízes; a
equação do 4° grau 4 raízes e assim por diante.
Existe equação do 2° grau sem solução?
 Sim. Existe equações do 2° grau que não tem
solução no conjunto dos números reais.
 Exemplo:
 x² = -4
 x = √-4
 Não existe raiz quadrada de número negativo em R.
 √-4 faz parte do conjunto dos números complexos
que será estudado no ensino médio.
Exercícios
 7 - Verifique e responda:
 a) 2 é raiz da equação t² - 2t + 1 = 0 ?
 b) Existe raiz da equação y² + 9 = 0 ?
 c) 4/5 é raiz da equação 5x² = 8x – 16/5 ?
 d) -4 e 4 são raízes da equação p² = 16 ?
 E) -3 e 2 são raízes da equação x² + x – 6 = 0?
8 – Associe cada equação do 2° grau com suas raízes:
a) x² -3x + 2 = 0 I) Raízes 3 e 4
B) y² -7y + 12 = 0
c) x² -5x – 6 = 0
d) t² +6t + 8 = 0
II) raízes -1 e 6
III) Raízes -2 e -4
IV) Raízes 1 e 2.

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Equações do 2° grau

  • 1. Equações do 2° grau  É toda equação do tipo: ax² + bx + c =0  Com a diferente de zero e a, b e c números reais.  Obs: O grau de uma equação é dado pelo maior expoente de x.  3x -1 = 14 é uma equação de 1° grau.  x² -2x +1 =0 é uma equação do 2° grau  x³ + x² + 2x -3 =0 é uma equação do 3° grau.
  • 2. Existe 4 tipos de equação do 2°grau  ax² + bx + c = 0 Equação completa do 2° grau; • ax² + bx =0 Equação Incompleta do 2° grau, com c =0  ax² + c = 0 Equação incompleta do 2° grau com b=0  Ax² = 0 Equação incompleta do 2° grau com b e c =0
  • 3. Coeficientes da equação do 2° grau  a, b e c são os coeficientes da equação do 2° grau. O coeficiente a é sempre o coeficiente de x²; ax² + bx + c=0 2x² + bx + c = 0 a = 2 O coeficiente b é sempre o coeficiente de x; ax² + bx + c =0 ax² -13x + c = 0 b=(-13) c é o termo independente. (não tem x com ele) ax² + bx + c =0 ax² + bx + 15 = 0 c =15
  • 4. Resumidamente:  Na equação: 2x² -13x + 15 = 0  A=2 b=(-13) c = 15
  • 5. Exercícios  1 – Identifique as equações do 2° grau.  a) 3x² -5x +8 =0 i) (x – 2)² = 49  b) 0x² -5x + 6 =0 j) kx² + k = 0 (k≠0)  c) 2x + 10 =0 k) mx + 3 =0 (m≠0)  d) -2x -5 + x² =0  e) 3x² -1 =0  f) x² + 5x =0  g) (y + 3).(y-1) =4  h) 3t² = 81
  • 6. 2 – Verifique quais das equações abaixo são do 2°grau e diga se são completas ou incompletas:  a) (x + 3).(x -3)= 5x -9  b) x²(x + 2) = 0  c) 3t² - 3t = -1  d) (y – 2).(y – 4) = (3y -1)²  e) x² + x(1 – x) + 5 =0  f) kx² = -2x -1 (k≠0)  g) (x + 3)² = x – 2  h) ( x – 4)² =0  i) (x +3).(x – 2)=0
  • 7. 5 – Qual deve ser o valor de m para que a equação: mx² -3x + 4 =0 seja do 2° grau?  6 – Escreva as equações de cada item na forma geral ax² + bx + c =0, sabendo que: a) a =1, b = 5 e c = -4 b) a= 3, b = 0 e c = 0 c) a= 2, b = 3 e c = -2 d) a = 4, b = 8 e c = 4 e) A = 1, b = -6 e c = 5 f) A = 6, b = -5 e c = -6
  • 8. Resolução da equação do 2° grau  Resolver uma equação do 2° grau é encontrar suas raízes ou soluções.  Raiz de uma equação é o número que torna a sentença verdadeira.  Assim, qual é o número que substituído pela incógnita x na equação: x² - 5x + 6 dá resultado 0?  1, 2 ou 3?
  • 9. Verificação:  x² -5x + 6 = 0 verificando para x = 2  2² -5.2 + 6 = 0  4 -10 + 6 = 0  10 – 10 = 0  0 = 0 (O número 2 torna a sentença verdadeira, logo 2 é raiz da equação).
  • 10. Verificando para x = 3  x² -5x + 6 = 0 (substituímos a incógnita x por 3)  3² -5.3 + 6 = 0  9 – 15 + 6 = 0  -6 + 6 = 0  0 = 0 O número 3 também torna a sentença verdadeira, logo 3 é raiz da equação.
  • 11. Verificando para x = 1  x² -5x + 6 = 0 (substituímos x por 3)  1² - 5.1 + 6 = 0  1 -5 + 6 = 0  7 – 5 = 0  2 ≠ 0 Sentença falsa, logo 1 não é raiz da equação.
  • 12. Quantas raízes tem uma equação?  Equação do 1° grau = uma raiz  Exemplo:  3x - 2 = 10  3x = 10 + 2  3x = 12  x = 12/3  x = 4
  • 13. E a equação do 2° grau?  Como vimos, as raízes da equação: x² -5x + 6 = 0  São 2 e 3, portanto a equação do 2° grau tem duas raízes, chamadas de: x1 e x2.  Já a equação do 3° grau tem 3 raízes; a equação do 4° grau 4 raízes e assim por diante.
  • 14. Existe equação do 2° grau sem solução?  Sim. Existe equações do 2° grau que não tem solução no conjunto dos números reais.  Exemplo:  x² = -4  x = √-4  Não existe raiz quadrada de número negativo em R.  √-4 faz parte do conjunto dos números complexos que será estudado no ensino médio.
  • 15. Exercícios  7 - Verifique e responda:  a) 2 é raiz da equação t² - 2t + 1 = 0 ?  b) Existe raiz da equação y² + 9 = 0 ?  c) 4/5 é raiz da equação 5x² = 8x – 16/5 ?  d) -4 e 4 são raízes da equação p² = 16 ?  E) -3 e 2 são raízes da equação x² + x – 6 = 0?
  • 16. 8 – Associe cada equação do 2° grau com suas raízes: a) x² -3x + 2 = 0 I) Raízes 3 e 4 B) y² -7y + 12 = 0 c) x² -5x – 6 = 0 d) t² +6t + 8 = 0 II) raízes -1 e 6 III) Raízes -2 e -4 IV) Raízes 1 e 2.