Determinantes de ordem n e suas propriedades

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 2º Ano
Determinantes de Ordem n e suas
propriedades

MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Mapa Conceitual construído com o Software Cmap Tools, evidenciando
Determinantes.

Determinantes
1. Introdução:
A teoria dos determinantes teve origem em meados do século
XVII, quando eram estudados processos para resolução de
sistemas lineares de equações. Hoje em dia, embora não sejam
um sistema prático para a resolução de sistemas, os
determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar
certas expressões matemáticas complicadas.
2. Definição:
A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado
determinante da matriz, que é obtido por meio de operações
entre os elementos da matriz.

3.1. Determinantes da matriz de 1ª ordem
O determinante da matriz quadrada de 1ª ordem é igual ao próprio elemento da
matriz .
Ex.:
3. Cálculo dos Determinantes:
3
2
3
2



O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual diferença entre os
produtos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária .
3.2. Determinantes da matriz de 2ª ordem
Ex.: 5
3
8
1)]
(
.
3)
[(
4)
.
(2
4
1
3
2










A =
a11 a12
a21 a22
O determinante associado à matriz A é o
número real obtido pela diferença entre o
produto dos elementos da diagonal
principal e o produto dos elementos da
diagonal secundária.
a11 a12
a21 a22
= a11 · a22 – a12 · a21
a11 · a22
- (a12 ·a21)

Ex: 1)







5
3
2
7
A
+
-
7 2
3 5
= 7.5 - 2.3 = 29

3.3. Determinantes da matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus)
1. Ao lado direito da matriz copiam-se as duas primeiras colunas.
2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção da
diagonal principal, multiplicam-se os elementos das outras duas filas à sua direita.
3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção, os
elementos das outras duas filas à sua direita.
4. O determinante da matriz é a subtração dos produtos obtidos em 2 e 3.
Ex.:

 5
3
1
4
2
0
3
2
1

 3
1
-
2
0
2
1
5
3
1
4
2
0
3
2
1
- -
- + +
+
10 – 8 + 0 + 6 – 12 + 0 = - 4

Ex: 1)
4
1
3
1
2
5
3
1
2 
1
3
2
5
1
2 
16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28
Ex: 2)
10 0 1
6 2 0
2 1 1


10 0
6 2
0 1

20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30

4. Cofator de uma matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem n  2. Chama-se cofator de um elemento aij
de A ao número real Aij = (-1)i + j . Dij, em que Dij é o determinante obtido da matriz
A quando se eliminam a linha e a coluna em que se encontram o elemento aij
.
Ex.: 12
A
calcule
,
5
2
-
4
2
1
-
3
0
2
1
A
Seja 
5
4
2
3
.
)
1
(
A 2
1
12


 )
8
15
(
.
1 

  A12 = -7
5. Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz A, de ordem n  2, é a soma dos produtos dos
elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
Ex.:

 5
2
3
4
2
0
0
3
3
4
1
2
1
1
2
1
3 . A31 + 0 . A32 + 0 . A33+ 2 . A34 =
2
3
4
4
1
2
1
2
1
.
2
5
2
3
3
4
1
1
1
2
.
3 




 3
4
1
2
2
1
2
3
4
4
1
2
1
2
1
.
2
2
3
4
1
1
2
5
2
3
3
4
1
1
1
2
.
3
- -
- + +
+
3 . (-40 + 9 + 2 – 12 – 12 + 5) - 2 . (2 + 32 + 6 – 4 – 12 – 8)
3 . (-48) - 2 . (16) = -144 - 32 = - 176
- -
- + +
+

Propriedades dos Determinantes
P1. Fila Nula
Se todos os elementos de uma fila de uma matriz A forem nulos, então det A = 0 .
Ex.:




6
2
0
1
0
0
0
0
4
4
1
3
5
4
2
1
0
• Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Ex: 0
0
0
0
8
9
2
5
3
1


0
16
0
5
8
0
2
5
0
1

Ex:

P2. Filas Paralelas Iguais ou Proporcionais
Se duas filas paralelas de uma matriz A forem iguais ou proporcionais, então
det A = 0 .
Ex.: 0
8
0
8
5
4
5
2
3
2


0
5
0
4
4
2
6
2
1
3




e
2ª linha = 2 x 1ª linha
Se liguem, sempre que
nos referimos a filas,
estamos falando de
linhas e também de
colunas!
1ª coluna = 3ª coluna
     
4
2
6
2
1
3
2
2
1
3 





Ex:
0
9
1
8
0
9
2
1
2
3
1
8
0
9
2
1




Ex: 0
8
8
4
2
0
1
6
9
3



3
1 L
L 
3
1 C
.C
2 
• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais

1)
Ex:
• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca
de sinal
3
15
18
9
3
5
2


 3
18
15
3
9
2
5




2) ,
5
Se 
t
s
r
z
y
x
c
b
a
5
então 

c
b
a
z
y
x
t
s
r
Outras propriedades:

P3. Matriz Transposta
O determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta.
Ex.:
8
4
3
0
1
5
1
0
2 
4
3
1
5
0
2
= 16 + 0 – 20 + 3 + 0 + 0 = -1
8
0
1
4
1
0
3
5
2
 0
1
1
0
5
2

= 16 – 20 + 0 + 3 + 0 + 0 = -1
• det(A)=det(At)
Ex:
1)
2)
,
6
12
18
9
4
3
2


 6
12
18
9
3
4
2
, 


então
,
10
Se 
t
s
r
z
y
x
c
b
a
10
então 
t
z
c
s
y
b
r
x
a

P4. Teorema de Binet
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então:
det(A . B) = det A . det B
Ex.: 

















2
1
0
3
B
e
3
2
1
4
A
det A = 10, det B = 6 e det A . det B = 6 . 10 = 60

























6
9
2
13
2
1
0
3
.
3
2
1
4
det A . det B = 13 . 6 – 2 . 9 = 78 – 18 = 60
• det(A.B)=detA.detB
Ex: .
3
2
1
4
B
e
7
5
2
3
A
Sejam 

















det(A.B)?
vale
Quanto 110
11.10
det(A.B) 

11
detA 10
detB

P5. Matriz Triangular
O determinante de uma matriz triangular é igual ao
produto dos elementos da diagonal principal.
Ex.:
8
7
2
0
1
9
0
0
5

= 5 .1 .8 = 40

1)
2)
Ex:
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal

7
9
7
0
3
5
0
0
2
42
7
.
3
.
2 


2
0
0
0
5
3
0
0
6
8
5
0
0
8
7
2
60
2
.
3
.
5
.
2 



P6. Troca de Filas Paralelas
Se trocarmos de posição duas filas paralelas de uma matriz M, obteremos uma
outra matriz M´, tal que:
det M´ = - det M
Ex.: 22
28
6
2
7
4
3



 22
6
28
4
3
2
7



Ex:
0
9
1
8
0
9
2
1
2
3
1
8
0
9
2
1




0
8
8
4
2
0
1
6
9
3



3
1 L
L  3
1 C
.C
2 
• Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas
paralelas.
Ex:

P7. Produto de uma Fila por uma Constante
Se todos os elementos de uma fila, de uma matriz, forem multiplicados por um
mesmo número real k, o determinante da matriz assim obtida fica multiplicado
por k.
Ex.:
5
1
1
4
3
0
2
9
1

 1
1
3
0
9
1


= 15 – 36 + 0 + 6 + 4 - 0 = -11
Multiplicando a 2ª coluna de A por (-3), temos:
5
3
1
4
9
0
2
27
1



3
1
9
0
27
1



= -45 + 108 + 0 – 18 – 12 + 0 = 33

Ex: 1)
2)
6
9
4
3
2
 30
6
.
5
9
4
.
5
3
2
.
5


,
10
Se 
t
s
r
z
y
x
c
b
a
• Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também
fica multiplicado por esse no
70
10
.
7
.
7
.
7
.
7
então 

t
s
r
z
y
x
c
b
a

Consequência: Seja uma matriz A, de ordem n, e k um número real, temos:
det (k . A) = kn . det A
• det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A
1) 6
9
4
3
2
 150
6
.
5
9
.
5
3
.
5
4
.
5
2
.
5 2


Ex:

P8. Determinante da Matriz Inversa
Seja A uma matriz e A-1 sua inversa, então:
A
det
1
A
det 1
-

5
2
3
1
2
1
3
A
det 






Ex.:
5
1
25
5
25
2
25
3
5
3
5
2
5
1
5
1
A
det 1
-










• det(A-1)=1/detA
Ex:
:
ia
Consequênc I
A.A-1

det(I)
)
det(A.A-1


1
)
(A
det(A).det -1


/detA
1
)
det(A-1


:
é
9
3
5
2
A
de
inversa
da
te
determinan
O 








1/3
/detA
1
)
det(A-1



P9. Adição de Determinantes
Um determinante pode ser decomposto na soma de outros determinantes, iguais
aos primeiros, exceto numa coluna j qualquer, mas tal que, a soma das colunas j
destes determinantes, seja igual a coluna j do primeiro determinante.
Ex.: 







 6
2
3
1
3
0
0
2
2
6
0
3
1
3
0
0
1
2
6
4
3
1
1
0
0
5
2
6
2
3
1
1
0
0
4
2

+ + =

P10. Teorema de Jacobi
Adicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma outra fila paralela,
previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M´, tal
que:
det M´ = det M
Ex.:
6
1
4
7
2
4
5
3
1

-3
6
11
4
7
10
4
5
0
1





Regra de Chió
A regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo do determinantes de ordem
n  2. Dada uma matriz A de ordem n, ao aplicarmos essa regra obteremos uma
outra matriz A´ de ordem n – 1, cujo determinante é igual ao de A.
1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 (um), eliminamos a linha e a
coluna deste elemento.
2. Subtraímos de cada elemento restante o produto dos dois elementos
eliminados, que pertenciam à sua linha e à sua coluna.
3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1)i + j, em que i e j representam a
linha e a coluna retiradas.
Ex.:
5
1
2
3
0
2
1
3
1 

)
1
.(
2
5
3
.
2
1
)
1
.(
2
3
3
.
2
0







7
5
5
6


 25
42
 
-17

Matriz de Vandermonde
Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda matriz de ordem n  2,
em que suas colunas são potências de mesma base, com expoente inteiro, variando
de 0 à n – 1 (os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de
primeiro termo igual a 1).
Obs.: Os elementos da 2ª linha são chamados elementos característicos da matriz.
O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto de todas as
diferenças possíveis entre os elementos característicos e seus antecessores.
Ex.:
343
125
27
8
49
25
9
4
7
5
3
2
1
1
1
1

7
5
3
2
(3 – 2)(5 – 2)(5 – 3)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 5)
1 . 3 . 2 . 5 . 4 . 2
240

• Quando uma das filas é a combinação linear de outras
filas paralelas.
5)
6)
0
9
11
4
0
5
3
9
6
1

0
0
9
5
7
8
7
7
0
9
7
1
3
0
5
3
1



3
2
1 L
L
L 

3
2
1 C
C
.C
2 

Casos em que um determinante é igual a ZERO:

EXEMPLO 1
Calcule o determinante de
4
3
1
2
.
30

EXEMPLO 2
6
3
2
4
.
31

EXEMPLO 3
0
2
1
1
0
2
3
2
1
32

EXEMPLO 4
Calcule o determinante de:
2
0
1
7
7
0
0
0
3
33

EXEMPLO 5
(FUVEST) É dada a matriz
P = 





1
0
1
1
.
a)Calcule P2
e P3
b) Qual a expressão Pn
?
34

Agora vamos colocar a mão na massa.
1)Entrar no site abaixo e baixar o software
Cmaptools para cada um montar seu mapa
conceitual com os determinantes e suas
propriedades.
http://www.baixaki.com.br/download/cmaptool
s.htm

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