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Matrizes                                                Definição


                        Mat Fis     Qui

                João    7    5      6

                Maria 9      4      5


 Denomina-se matriz m x n a uma tabela formada por m . n elemen-
 tos dispostos em m LINHAS e n COLUNAS.

                         7 5 6
                       A=     
                         9 4 5
                              
                                          PROF.: LIMA
Matrizes                                                 Notação

Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por
aij onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse
elemento.




           A=



Observação: As linhas são numeradas de cima para baixo e as
colunas da esquerda para a direita.     PROF.: LIMA
Matrizes                               Representação de Matrizes

A representação de matrizes é feita de três formas diferentes:




                                            PROF.: LIMA
Matrizes                                       Tipos de Matrizes
    Matriz Linha

    Toda matriz que possui só uma linha.


           A = (1       3     7)

    Matriz Coluna
    É formada por uma única coluna.




                                           PROF.: LIMA
Matrizes                                          Tipos de Matrizes
   Matriz Nula

   Possui todos os elementos iguais a zero.

                 0 0 0 
               0=      
                 0 0 0 
   Matriz Quadrada Possui todos os elementos iguais a zero.



                     2 − 1
                    
                    4 0  
                                            PROF.: LIMA
Matrizes                                        Tipos de Matrizes
 Diagonal Principal

 Diagonal de uma matriz quadrada formada pelos elementos aij, sendo
 i = j.




  Diagonal Secundária

  Diagonal de uma matriz quadrada formada pelos elementos aij,
  sendo i + j = n + 1.
                                         PROF.: LIMA
Matrizes                                        Tipos de Matrizes

 Matriz Diagonal
 É a matriz quadrada na qual todos os elementos que não pertencem a
 diagonal principal são iguais a zero.




 Toda matriz quadrada nula é matriz diagonal
                                          PROF.: LIMA
Matrizes                                         Tipos de Matrizes

    Matriz Identidade ou Matriz Unidade

   É a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal
   são todos iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero.




 Obs: A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação
 ou seja: A . I = I . A = A                PROF.: LIMA
Matrizes                                         Tipos de Matrizes

  Matriz Oposta ( - A)

  É matriz obtida invertendo-se o sinal de cada elemento de uma
  matriz dada.




                                           PROF.: LIMA
Matrizes                                           Tipos de Matrizes

   Matriz Transposta

   Dada uma matriz A do tipo m x n chama-se transposta de A,
   a matriz At obtida a partir de A, onde as linhas de A serão as
   colunas de At e vice-versa

                                        5 1 
    5 3 4                             3 0
  A=                               A =
                                      t

    1 0 2                                  
                                         4 2
                                            
    Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que At é
    do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento aij de A
    será o elemento aji de At .
                                          PROF.: LIMA
Matrizes                                Operações com Matrizes

   Igualdade de Matrizes

   Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B
   se e somente se os seus elementos são respectivamente iguais.


                A = B <=> aij = bij




                                          PROF.: LIMA
Matrizes                                Operações com Matrizes

   Adição

   Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam
   do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de
   linhas e o mesmo número de colunas.
   Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos
   elementos aij + bij = cij




                                          PROF.: LIMA
Matrizes                                Operações com Matrizes
   Subtração
   Para subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam
   do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de
   linhas e o mesmo número de colunas.
   Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos
   elementos aij - bij = cij




                                          PROF.: LIMA
Matrizes                                   Operações com Matrizes
 Multiplicação
 Dada duas matrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p, chama-se
 produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A . B a matriz m
 x p definida por Cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + ain .
 bnj
 Observações:
1. O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de
   colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.




2. Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p respectivamente,
    então o produto C = A . B existe e é umaPROF.: do tipo m x p.
                                              matriz LIMA
Matrizes          Operações com Matrizes
  Multiplicação




                   PROF.: LIMA
Matrizes                        Operações com Matrizes
  Multiplicação (continuação)




                                 PROF.: LIMA
Matrizes                             Operações com Matrizes
  Multiplicação (outra explicação)




                                      PROF.: LIMA
Matrizes   Lei de formação de uma matriz




                  PROF.: LIMA
Matrizes   Lei de formação de uma matriz




                  PROF.: LIMA
Matrizes   Lei de formação de uma matriz




                  PROF.: LIMA
Matrizes                          Lei de formação de uma matriz

 Após efetuar a multiplicação sua matriz terá o número de linhas da
 primeira matriz e o número de colunas da segunda. No caso de duas
 matrizes quadradas, o resultado também será uma matriz quadrada.




                                          PROF.: LIMA
Matrizes                          Lei de formação de uma matriz


   Dada a matriz A = (aij) 3x2 e B = (bij) 2x2 efetue o produto A x B.



    2       3
    1
 A =          e B = 3
             0
                                  1
                      2          4
    4        
             5                   
    
           2.3 +3.2              2.1 +3.4 12               14 
 C = A.B = 1.3 +0.2
                                 1.1 +0.4  =  3
                                                             1
           4.3 +5.2
                                 4.1 +5.4 22
                                                            24

                                            PROF.: LIMA
Matrizes                                              Observações


   O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em
  que A . B = B . A e quando isso acontece dizemos que A e B se
  comutam.



   Quando A . B for diferente de B . A temos que
               (A + B)2 = A2 + A . B + B . A + B2




   Quando A e B se comutam temos (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
                                      PROF.: LIMA
Matrizes                          Lei de formação de uma matriz

   Dada a matriz A = (aij) 3x2 tal que:   aij = i − 2 j se i = j
                                          
                                          
                                          bij = 3i + j se i ≠ j
                                          

      a11      a12    a13 
   A=                     
     a21       a22    a23 


     1 − 2.1 3.1 + 2 3.1 + 3 − 1 5 6
   A=                        =  7 − 2 9
     3.2 + 1 2 − 2.2 3.2 + 3           

                                           PROF.: LIMA
Matrizes                                Exercício Resolvido

Quantas matrizes existem de ordem 2
                                            6 5
com elementos de números naturais     X +X =
                                           t
                                                
tais que:
                                            5 8
Solução:

                       a b         a c 
 Chamaremos de X =          e X = b d 
                                  t

                       c d              
                     a b   a c   6 5
 Substituíndo temos       +  b d  = 5 8
                    c d                 
  2 a b + c   6 5
 b + c 2d  = 5 8
                                  PROF.: LIMA
Matrizes                               Operações com matrizes

 Produto de número por uma Matriz

 O produto de um número por uma matriz m x n resulta uma matriz
 m x n formada pelos produtos do número dado por cada um dos
 elementos da matriz dada.


                          =



                          =

                                         PROF.: LIMA
Matrizes
 Matriz Inversa (A-1)

 Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se
 existir uma matriz B tal que A . B = B . A = I.
                          −1
                 A. A = I n
 Dada a matriz A =          e matriz B =            , verifique se
 elas são inversas.


           .


 Multiplicar as duas matrizes se o produto encontrado for uma matriz
 identidade de ordem dois, elas serão inversas entre si.
                                             PROF.: LIMA

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  • 1. Matrizes Definição Mat Fis Qui João 7 5 6 Maria 9 4 5 Denomina-se matriz m x n a uma tabela formada por m . n elemen- tos dispostos em m LINHAS e n COLUNAS. 7 5 6 A=  9 4 5   PROF.: LIMA
  • 2. Matrizes Notação Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por aij onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse elemento. A= Observação: As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita. PROF.: LIMA
  • 3. Matrizes Representação de Matrizes A representação de matrizes é feita de três formas diferentes: PROF.: LIMA
  • 4. Matrizes Tipos de Matrizes Matriz Linha Toda matriz que possui só uma linha. A = (1 3 7) Matriz Coluna É formada por uma única coluna. PROF.: LIMA
  • 5. Matrizes Tipos de Matrizes Matriz Nula Possui todos os elementos iguais a zero. 0 0 0  0=  0 0 0  Matriz Quadrada Possui todos os elementos iguais a zero.  2 − 1  4 0     PROF.: LIMA
  • 6. Matrizes Tipos de Matrizes Diagonal Principal Diagonal de uma matriz quadrada formada pelos elementos aij, sendo i = j. Diagonal Secundária Diagonal de uma matriz quadrada formada pelos elementos aij, sendo i + j = n + 1. PROF.: LIMA
  • 7. Matrizes Tipos de Matrizes Matriz Diagonal É a matriz quadrada na qual todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zero. Toda matriz quadrada nula é matriz diagonal PROF.: LIMA
  • 8. Matrizes Tipos de Matrizes Matriz Identidade ou Matriz Unidade É a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero. Obs: A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação ou seja: A . I = I . A = A PROF.: LIMA
  • 9. Matrizes Tipos de Matrizes Matriz Oposta ( - A) É matriz obtida invertendo-se o sinal de cada elemento de uma matriz dada. PROF.: LIMA
  • 10. Matrizes Tipos de Matrizes Matriz Transposta Dada uma matriz A do tipo m x n chama-se transposta de A, a matriz At obtida a partir de A, onde as linhas de A serão as colunas de At e vice-versa 5 1  5 3 4 3 0 A=  A = t 1 0 2   4 2   Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que At é do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento aij de A será o elemento aji de At . PROF.: LIMA
  • 11. Matrizes Operações com Matrizes Igualdade de Matrizes Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se e somente se os seus elementos são respectivamente iguais. A = B <=> aij = bij PROF.: LIMA
  • 12. Matrizes Operações com Matrizes Adição Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos aij + bij = cij PROF.: LIMA
  • 13. Matrizes Operações com Matrizes Subtração Para subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos aij - bij = cij PROF.: LIMA
  • 14. Matrizes Operações com Matrizes Multiplicação Dada duas matrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p, chama-se produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A . B a matriz m x p definida por Cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + ain . bnj Observações: 1. O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. 2. Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p respectivamente, então o produto C = A . B existe e é umaPROF.: do tipo m x p. matriz LIMA
  • 15. Matrizes Operações com Matrizes Multiplicação PROF.: LIMA
  • 16. Matrizes Operações com Matrizes Multiplicação (continuação) PROF.: LIMA
  • 17. Matrizes Operações com Matrizes Multiplicação (outra explicação) PROF.: LIMA
  • 18. Matrizes Lei de formação de uma matriz PROF.: LIMA
  • 19. Matrizes Lei de formação de uma matriz PROF.: LIMA
  • 20. Matrizes Lei de formação de uma matriz PROF.: LIMA
  • 21. Matrizes Lei de formação de uma matriz Após efetuar a multiplicação sua matriz terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda. No caso de duas matrizes quadradas, o resultado também será uma matriz quadrada. PROF.: LIMA
  • 22. Matrizes Lei de formação de uma matriz Dada a matriz A = (aij) 3x2 e B = (bij) 2x2 efetue o produto A x B. 2 3 1 A =  e B = 3 0 1 2 4 4  5    2.3 +3.2 2.1 +3.4 12 14  C = A.B = 1.3 +0.2  1.1 +0.4  =  3   1 4.3 +5.2  4.1 +5.4 22   24 PROF.: LIMA
  • 23. Matrizes Observações  O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em que A . B = B . A e quando isso acontece dizemos que A e B se comutam.  Quando A . B for diferente de B . A temos que (A + B)2 = A2 + A . B + B . A + B2  Quando A e B se comutam temos (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 PROF.: LIMA
  • 24. Matrizes Lei de formação de uma matriz Dada a matriz A = (aij) 3x2 tal que: aij = i − 2 j se i = j   bij = 3i + j se i ≠ j   a11 a12 a13  A=  a21 a22 a23  1 − 2.1 3.1 + 2 3.1 + 3 − 1 5 6 A=  =  7 − 2 9 3.2 + 1 2 − 2.2 3.2 + 3   PROF.: LIMA
  • 25. Matrizes Exercício Resolvido Quantas matrizes existem de ordem 2 6 5 com elementos de números naturais X +X = t  tais que: 5 8 Solução: a b  a c  Chamaremos de X =   e X = b d  t c d     a b   a c   6 5 Substituíndo temos   +  b d  = 5 8 c d       2 a b + c   6 5 b + c 2d  = 5 8     PROF.: LIMA
  • 26. Matrizes Operações com matrizes Produto de número por uma Matriz O produto de um número por uma matriz m x n resulta uma matriz m x n formada pelos produtos do número dado por cada um dos elementos da matriz dada. = = PROF.: LIMA
  • 27. Matrizes Matriz Inversa (A-1) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A . B = B . A = I. −1 A. A = I n Dada a matriz A = e matriz B = , verifique se elas são inversas. . Multiplicar as duas matrizes se o produto encontrado for uma matriz identidade de ordem dois, elas serão inversas entre si. PROF.: LIMA