Matrizes Definição
Mat Fis Qui
João 7 5 6
Maria 9 4 5
Denomina-se matriz m x n a uma tabela formada por m . n elemen-
tos dispostos em m LINHAS e n COLUNAS.
7 5 6
A= 
9 4 5
 
PROF.: LIMA

Matrizes Notação
Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por
aij onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse
elemento.
A=
Observação: As linhas são numeradas de cima para baixo e as
colunas da esquerda para a direita. PROF.: LIMA

Matrizes Representação de Matrizes
A representação de matrizes é feita de três formas diferentes:
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Matrizes Tipos de Matrizes
Matriz Linha
Toda matriz que possui só uma linha.
A = (1 3 7)
Matriz Coluna
É formada por uma única coluna.
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Matrizes Tipos de Matrizes
Matriz Nula
Possui todos os elementos iguais a zero.
0 0 0 
0= 
0 0 0 
Matriz Quadrada Possui todos os elementos iguais a zero.
 2 − 1

4 0  
  PROF.: LIMA

Matrizes Tipos de Matrizes
Diagonal Principal
Diagonal de uma matriz quadrada formada pelos elementos aij, sendo
i = j.
Diagonal Secundária
Diagonal de uma matriz quadrada formada pelos elementos aij,
sendo i + j = n + 1.
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Matrizes Tipos de Matrizes
Matriz Diagonal
É a matriz quadrada na qual todos os elementos que não pertencem a
diagonal principal são iguais a zero.
Toda matriz quadrada nula é matriz diagonal
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Matrizes Tipos de Matrizes
Matriz Identidade ou Matriz Unidade
É a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal
são todos iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero.
Obs: A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação
ou seja: A . I = I . A = A PROF.: LIMA

Matrizes Tipos de Matrizes
Matriz Oposta ( - A)
É matriz obtida invertendo-se o sinal de cada elemento de uma
matriz dada.
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Matrizes Tipos de Matrizes
Matriz Transposta
Dada uma matriz A do tipo m x n chama-se transposta de A,
a matriz At obtida a partir de A, onde as linhas de A serão as
colunas de At e vice-versa
5 1 
5 3 4 3 0
A=  A =
t
1 0 2 
 4 2
 
Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que At é
do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento aij de A
será o elemento aji de At .
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Matrizes Operações com Matrizes
Igualdade de Matrizes
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B
se e somente se os seus elementos são respectivamente iguais.
A = B <=> aij = bij
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Matrizes Operações com Matrizes
Adição
Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam
do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de
linhas e o mesmo número de colunas.
Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos
elementos aij + bij = cij
PROF.: LIMA

Matrizes Operações com Matrizes
Subtração
Para subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam
do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de
linhas e o mesmo número de colunas.
Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos
elementos aij - bij = cij
PROF.: LIMA

Matrizes Operações com Matrizes
Multiplicação
Dada duas matrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p, chama-se
produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A . B a matriz m
x p definida por Cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + ain .
bnj
Observações:
1. O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de
colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.
2. Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p respectivamente,
então o produto C = A . B existe e é umaPROF.: do tipo m x p.
matriz LIMA

Matrizes Operações com Matrizes
Multiplicação
PROF.: LIMA

Matrizes Operações com Matrizes
Multiplicação (continuação)
PROF.: LIMA

Matrizes Operações com Matrizes
Multiplicação (outra explicação)
PROF.: LIMA

Matrizes Lei de formação de uma matriz
PROF.: LIMA

Matrizes Lei de formação de uma matriz
PROF.: LIMA

Matrizes Lei de formação de uma matriz
PROF.: LIMA

Matrizes Lei de formação de uma matriz
Após efetuar a multiplicação sua matriz terá o número de linhas da
primeira matriz e o número de colunas da segunda. No caso de duas
matrizes quadradas, o resultado também será uma matriz quadrada.
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Matrizes Lei de formação de uma matriz
Dada a matriz A = (aij) 3x2 e B = (bij) 2x2 efetue o produto A x B.
2 3
1
A =  e B = 3
0
1
2 4
4 
5  

2.3 +3.2 2.1 +3.4 12 14 
C = A.B = 1.3 +0.2
 1.1 +0.4  =  3
  1
4.3 +5.2
 4.1 +5.4 22
  24
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Matrizes Observações
 O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em
que A . B = B . A e quando isso acontece dizemos que A e B se
comutam.
 Quando A . B for diferente de B . A temos que
(A + B)2 = A2 + A . B + B . A + B2
 Quando A e B se comutam temos (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
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Matrizes Lei de formação de uma matriz
Dada a matriz A = (aij) 3x2 tal que: aij = i − 2 j se i = j


bij = 3i + j se i ≠ j

 a11 a12 a13 
A= 
a21 a22 a23 
1 − 2.1 3.1 + 2 3.1 + 3 − 1 5 6
A=  =  7 − 2 9
3.2 + 1 2 − 2.2 3.2 + 3  
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Matrizes Exercício Resolvido
Quantas matrizes existem de ordem 2
6 5
com elementos de números naturais X +X =
t

tais que:
5 8
Solução:
a b  a c 
Chamaremos de X =   e X = b d 
t
c d   
 a b   a c   6 5
Substituíndo temos   +  b d  = 5 8
c d     
 2 a b + c   6 5
b + c 2d  = 5 8
    PROF.: LIMA

Matrizes Operações com matrizes
Produto de número por uma Matriz
O produto de um número por uma matriz m x n resulta uma matriz
m x n formada pelos produtos do número dado por cada um dos
elementos da matriz dada.
=
=
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Matrizes
Matriz Inversa (A-1)
Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se
existir uma matriz B tal que A . B = B . A = I.
−1
A. A = I n
Dada a matriz A = e matriz B = , verifique se
elas são inversas.
.
Multiplicar as duas matrizes se o produto encontrado for uma matriz
identidade de ordem dois, elas serão inversas entre si.
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