Este documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo: (1) definição de matriz e representação; (2) igualdade de matrizes; (3) tipos de matrizes como nula, linha, coluna, quadrada, diagonal, triangular, oposta e identidade; (4) operações como soma, subtração e multiplicação de matrizes.
2. Ao final dessa aula você
saberá:
O que é matriz e suas representações.
Igualdade de matrizes.
A definição de: matriz nula, matriz linha, matriz
coluna, matriz quadrada, matriz diagonal, matriz
triangular, matriz oposta, matriz identidade e
matriz inversa.
O que é diagonal principal e diagonal secundária.
Soma, subtração e multiplicação de matrizes.
3. O que éO que é matrizmatriz??
É umaÉ uma tabelatabela de números que pode serde números que pode ser
representadarepresentada entreentre chaveschaves ou entreou entre
colchetescolchetes..
Exemplos:Exemplos:
=
=
104
321
104
321
AouA
São matrizes com 2
linhas e 3 colunas.
Então dizemos que é
uma matriz 2 x 3.
5. O que éO que é índiceíndice de umde um
elemento?elemento?
É a representação daÉ a representação da posiçãoposição que oque o
elemento ocupa dentro da matriz.elemento ocupa dentro da matriz.
Exemplo:Exemplo:
O 3 é o elementoO 3 é o elemento aa1212, ou seja, está, ou seja, está
nana 1ª linha1ª linha e nae na 2ª coluna2ª coluna..
=
=
01
32
2221
1211
aa
aa
A
6. Quando duasQuando duas matrizesmatrizes AA
e B sãoe B são iguaisiguais??
Quando os elementosQuando os elementos de mesmo índicede mesmo índice sãosão
correspondentescorrespondentes..
Exemplo:Exemplo:
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
,
,,,
baaa
babaLogo
ba
bb
B
aa
aa
A
==
==
==
=
9. O que éO que é matriz linhamatriz linha??
É uma matriz formada porÉ uma matriz formada por apenas uma linhaapenas uma linha..
Exemplo:Exemplo:
É uma matriz formada porÉ uma matriz formada por apenas uma colunaapenas uma coluna..
Exemplo:Exemplo:
( )70342=A
O que éO que é matriz colunamatriz coluna??
=
9
0
2
B
10. O que éO que é matriz nulamatriz nula??
É uma matriz que apresentaÉ uma matriz que apresenta todostodos osos
elementoselementos iguais aiguais a zerozero..
Exemplos:Exemplos:
=
=
000
000
0000
0000
0000
DC
11. O que éO que é matrizmatriz
quadradaquadrada??
É a matriz que apresenta oÉ a matriz que apresenta o mesmo númeromesmo número
dede linhas e colunaslinhas e colunas..
Exemplos:Exemplos:
=
703
140
342
A
Matriz 3 x 3
=
49
10
B
Matriz 2 x 2
Dizemos que a
matriz A é de ordem
3 e que a matriz B é
de ordem 2.
12. O que éO que é diagonaldiagonal
principalprincipal??
É aÉ a diagonaldiagonal formada pelosformada pelos elementos aelementos aijij,,
sendosendo i=ji=j de uma matriz quadrada.de uma matriz quadrada.
diagonal principaldiagonal secundária
13. Tente fazer sozinho!
(Ufop-MG) Observe a matriz:
Chama-se traço de uma matriz a soma dos
elementos de sua diagonal principal. Determine
x e y na matriz acima de tal forma que seu
traço valha 9 e x seja o triplo de y.
y
x
00
40
321
14. Solução
x = 3y
1 + 3y + y = 9 4y = 8 y = 2
x = 3.2 x = 6
y
x
00
40
321
15. O que éO que é matrizmatriz
diagonaldiagonal??
É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada na qual todos osna qual todos os
elementos que não pertencem a diagonalelementos que não pertencem a diagonal
principal são iguais a zeroprincipal são iguais a zero. A. A diagonaldiagonal
principalprincipal deve apresentardeve apresentar pelo menos umpelo menos um
elemento diferente de zeroelemento diferente de zero..
Exemplos:Exemplos:
=
700
010
002
A
16. O que éO que é matrizmatriz
triangulartriangular??
É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada na qual osna qual os elementoselementos
abaixo ou acima da diagonal principal sãoabaixo ou acima da diagonal principal são
iguais a zeroiguais a zero..
Exemplos:Exemplos:
=
=
=
10
72
6739
0710
0015
0002
700
310
422
DCB
17. O que éO que é matrizmatriz opostaoposta??
É aÉ a matrizmatriz cujoscujos elementos são oselementos são os
opostos de uma matriz dada.opostos de uma matriz dada.
Exemplos:Exemplos:
−−
−
=−
−
−
=
732
410
732
410
AA
−
−
=−
−
−
=
52
81
52
81
BB
18. O que éO que é matrizmatriz
transpostatransposta??
É aÉ a matrizmatriz cujascujas colunascolunas sãosão iguais àsiguais às
linhas de uma matriz dada.linhas de uma matriz dada.
Exemplo:Exemplo:
−
−
=
−
−
=
74
31
20
732
410 t
AA
Note que o número de linhas
de A é o número de colunas
de At
. O mesmo acontece
com o número de colunas
A é 3x2 e At
=2x3
19. Tente fazer sozinho!
(UF-AM) Uma matriz quadrada é simétrica se, e
somente se, At
= A. Se a matriz
É simétrica, então o valor de é:
a) – 1 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0
−−
−=
131
501
2 2
y
y
xx
A
3
yx +
21. O que éO que é matrizmatriz
identidadeidentidade??
É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada que apresentaque apresenta
todos os elementos datodos os elementos da diagonal principaldiagonal principal
iguais aiguais a 11 e ose os outrosoutros elementos iguais aelementos iguais a
zerozero..
Exemplo:Exemplo:
=
=
10
01
100
010
001
23 II
22. Como somamos ou
subtraímos matrizes?
Basta somar ou subtrair os elementos
correspondentes. As matrizes devem ser
do mesmo tipo (m x n).
Exemplos:
=
−
−
−
−
=
−
−−
+
−
4
3
10
3
5
1
7
8
9
)
535
353
632
104
103
451
)
b
a
23. Como multiplicamos uma
matriz por um número real?
Basta multiplicar todos os elementos
da
matriz por esse número real.
Exemplo:
−
−−
=
−
−−
06
33
156
02
11
52
3
24. Como o tipo da matriz
influencia na multiplicação
de duas matrizes?
Matriz A
4 x 3
Matriz B
3 x 2
Devem ser iguais
O resultado é do tipo 4 x 2
25. Como efetuamos o
produto de duas
matrizes?
Dada uma matriz A = (aij)mxn e uma matriz
B = (bij)nxp , o produto é uma matriz C = (cij)mxp,
onde o elemento cij é calculado multiplicando
ordenadamente os elementos da linha i, da
matriz A, pelos elementos da coluna j, da
matriz B, e somando os produtos obtidos.
28. Tente fazer sozinho!
1) (Mackenzie-SP) Se o produto de matrizes
é a matriz nula, x + y é igual a:
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
−
−
1
201
110
11
01
y
x
31. 2) (Fatec-SP) Seja a matriz , tal que
. É verdade que a+b é igual a:
a) 0
b) 1
c) 9
d) -1
e) -9
=
1
1
a
b
A
−
−−
=
1910
8192
A
33. O que é matriz inversa?
É matriz X de ordem n, cujo produto com
a matriz A é igual a matriz identidade de
ordem n.
Ou seja,
A.X = X.A = In,
onde X = A-1
A matriz inversa
de A É indicada
por A-1
.
35. Tente fazer sozinho!
(Unifor-CE) Se a matriz b(ij) de ordem 2, é a
matriz inversa de , então:
a) b11 = - ½
b) b12 = -1
c) b21 = 1
d) b22 = -1
e) b22 = - ½
−
=
11
20
A