Matrizes

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Matrizes, representações, definições. Soma, subtração e multiplicação de matrizes. 2º ano do ensino médio

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Matrizes

  1. 1. Matrizes
  2. 2. Ao final dessa aula você saberá:  O que é matriz e suas representações.  Igualdade de matrizes.  A definição de: matriz nula, matriz linha, matriz coluna, matriz quadrada, matriz diagonal, matriz triangular, matriz oposta, matriz identidade e matriz inversa.  O que é diagonal principal e diagonal secundária.  Soma, subtração e multiplicação de matrizes.
  3. 3. O que éO que é matrizmatriz?? É umaÉ uma tabelatabela de números que pode serde números que pode ser representadarepresentada entreentre chaveschaves ou entreou entre colchetescolchetes.. Exemplos:Exemplos:       =      = 104 321 104 321 AouA São matrizes com 2 linhas e 3 colunas. Então dizemos que é uma matriz 2 x 3.
  4. 4. Como é a representação genérica de uma matriz?
  5. 5. O que éO que é índiceíndice de umde um elemento?elemento? É a representação daÉ a representação da posiçãoposição que oque o elemento ocupa dentro da matriz.elemento ocupa dentro da matriz. Exemplo:Exemplo: O 3 é o elementoO 3 é o elemento aa1212, ou seja, está, ou seja, está nana 1ª linha1ª linha e nae na 2ª coluna2ª coluna..       =      = 01 32 2221 1211 aa aa A
  6. 6. Quando duasQuando duas matrizesmatrizes AA e B sãoe B são iguaisiguais?? Quando os elementosQuando os elementos de mesmo índicede mesmo índice sãosão correspondentescorrespondentes.. Exemplo:Exemplo: 22222121 12121111 2221 1211 2221 1211 , ,,, baaa babaLogo ba bb B aa aa A == ==       ==      =
  7. 7. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho! (PUC-MG)A matriz A = (a(PUC-MG)A matriz A = (aijij))2x32x3 é tal que:é tal que: É correto afirmar que:É correto afirmar que:    =− ≠+ = jiseji jiseji aij ,32 ,3       − −      −           − − −           −− = 927 651 ) 926 571 ) 96 25 71 ) 92 76 51 ) dc bAa
  8. 8. SoluçãoSolução aa1111 = 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1= 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1 aa1212 = 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5= 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5 aa1313 = 3.1 + 3 = 3 + 3 = 6= 3.1 + 3 = 3 + 3 = 6 aa2121 = 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7= 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7 aa2222 = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2= 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2 aa2323 = 3.2 + 3 = 6 + 3 = 9= 3.2 + 3 = 6 + 3 = 9 Resposta: D       232221 131211 aaa aaa    =− ≠+ = jiseji jiseji aij ,32 ,3
  9. 9. O que éO que é matriz linhamatriz linha?? É uma matriz formada porÉ uma matriz formada por apenas uma linhaapenas uma linha.. Exemplo:Exemplo: É uma matriz formada porÉ uma matriz formada por apenas uma colunaapenas uma coluna.. Exemplo:Exemplo: ( )70342=A O que éO que é matriz colunamatriz coluna??           = 9 0 2 B
  10. 10. O que éO que é matriz nulamatriz nula?? É uma matriz que apresentaÉ uma matriz que apresenta todostodos osos elementoselementos iguais aiguais a zerozero.. Exemplos:Exemplos:       =           = 000 000 0000 0000 0000 DC
  11. 11. O que éO que é matrizmatriz quadradaquadrada?? É a matriz que apresenta oÉ a matriz que apresenta o mesmo númeromesmo número dede linhas e colunaslinhas e colunas.. Exemplos:Exemplos:           = 703 140 342 A Matriz 3 x 3       = 49 10 B Matriz 2 x 2 Dizemos que a matriz A é de ordem 3 e que a matriz B é de ordem 2.
  12. 12. O que éO que é diagonaldiagonal principalprincipal?? É aÉ a diagonaldiagonal formada pelosformada pelos elementos aelementos aijij,, sendosendo i=ji=j de uma matriz quadrada.de uma matriz quadrada. diagonal principaldiagonal secundária
  13. 13. Tente fazer sozinho! (Ufop-MG) Observe a matriz: Chama-se traço de uma matriz a soma dos elementos de sua diagonal principal. Determine x e y na matriz acima de tal forma que seu traço valha 9 e x seja o triplo de y.           y x 00 40 321
  14. 14. Solução x = 3y 1 + 3y + y = 9  4y = 8  y = 2 x = 3.2  x = 6           y x 00 40 321
  15. 15. O que éO que é matrizmatriz diagonaldiagonal?? É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada na qual todos osna qual todos os elementos que não pertencem a diagonalelementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zeroprincipal são iguais a zero. A. A diagonaldiagonal principalprincipal deve apresentardeve apresentar pelo menos umpelo menos um elemento diferente de zeroelemento diferente de zero.. Exemplos:Exemplos:           = 700 010 002 A
  16. 16. O que éO que é matrizmatriz triangulartriangular?? É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada na qual osna qual os elementoselementos abaixo ou acima da diagonal principal sãoabaixo ou acima da diagonal principal são iguais a zeroiguais a zero.. Exemplos:Exemplos:       =               =           = 10 72 6739 0710 0015 0002 700 310 422 DCB
  17. 17. O que éO que é matrizmatriz opostaoposta?? É aÉ a matrizmatriz cujoscujos elementos são oselementos são os opostos de uma matriz dada.opostos de uma matriz dada. Exemplos:Exemplos:       −− − =−      − − = 732 410 732 410 AA       − − =−      − − = 52 81 52 81 BB
  18. 18. O que éO que é matrizmatriz transpostatransposta?? É aÉ a matrizmatriz cujascujas colunascolunas sãosão iguais àsiguais às linhas de uma matriz dada.linhas de uma matriz dada. Exemplo:Exemplo:           − − =      − − = 74 31 20 732 410 t AA Note que o número de linhas de A é o número de colunas de At . O mesmo acontece com o número de colunas A é 3x2 e At =2x3
  19. 19. Tente fazer sozinho! (UF-AM) Uma matriz quadrada é simétrica se, e somente se, At = A. Se a matriz É simétrica, então o valor de é: a) – 1 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0           −− −= 131 501 2 2 y y xx A 3 yx +
  20. 20. Solução           − − − =           −− − 15 30 112 131 501 2 2 2 yx yx y y xx 112 ±=⇒= xx 1−=x 48235 =⇒−=−⇒−=− yyyy 1 3 3 3 41 3 == +− = + yx Resposta: letra c
  21. 21. O que éO que é matrizmatriz identidadeidentidade?? É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada que apresentaque apresenta todos os elementos datodos os elementos da diagonal principaldiagonal principal iguais aiguais a 11 e ose os outrosoutros elementos iguais aelementos iguais a zerozero.. Exemplo:Exemplo:       =           = 10 01 100 010 001 23 II
  22. 22. Como somamos ou subtraímos matrizes? Basta somar ou subtrair os elementos correspondentes. As matrizes devem ser do mesmo tipo (m x n). Exemplos:           =          − −                 − − =      − −− +      − 4 3 10 3 5 1 7 8 9 ) 535 353 632 104 103 451 ) b a
  23. 23. Como multiplicamos uma matriz por um número real? Basta multiplicar todos os elementos da matriz por esse número real. Exemplo:           − −− =           − −− 06 33 156 02 11 52 3
  24. 24. Como o tipo da matriz influencia na multiplicação de duas matrizes? Matriz A 4 x 3 Matriz B 3 x 2 Devem ser iguais O resultado é do tipo 4 x 2
  25. 25. Como efetuamos o produto de duas matrizes? Dada uma matriz A = (aij)mxn e uma matriz B = (bij)nxp , o produto é uma matriz C = (cij)mxp, onde o elemento cij é calculado multiplicando ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando os produtos obtidos.
  26. 26. Exemplo 1:       =           = 26 13 41 05 23 BeA           =           ++ ++ ++ = 927 515 721 2.41.16.43.1 2.01.56.03.5 2.21.36.23.3 AB
  27. 27. Exemplo 2:       =      = 315 024 31 12 DeC       =       +++ +++ = 9519 3513 3.30.11.32.15.34.1 3.10.21.12.25.14.2 CD CD
  28. 28. Tente fazer sozinho! 1) (Mackenzie-SP) Se o produto de matrizes é a matriz nula, x + y é igual a: a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2                 −       − 1 201 110 11 01 y x
  29. 29. Solução       =                 −       − 0 0 1 201 110 11 01 y x       − − =      −       − 311 110 201 110 11 01
  30. 30. ( ) ( )       =      +− −+       =      +−+ −++ 0 0 3 10 0 0 1.3.1.1 1.1.1.0 yx y yx yx       =                 − − 0 0 1 311 110 y x . 112 203103 101 CLetra yx xxyx yy −=+−=+ −=⇒=+−⇒=+− =⇒=−
  31. 31. 2) (Fatec-SP) Seja a matriz , tal que . É verdade que a+b é igual a: a) 0 b) 1 c) 9 d) -1 e) -9       = 1 1 a b A       − −− = 1910 8192 A
  32. 32. Solução 154 5204191 482 1910 819 12 21 1910 819 1 1 1 1 =+−=+ =⇒−=−⇒−=+ −=⇒−=       − −− =      + +       − −− =            ba aaab bb aba bab a b a b Resposta: Letra B
  33. 33. O que é matriz inversa? É matriz X de ordem n, cujo produto com a matriz A é igual a matriz identidade de ordem n. Ou seja, A.X = X.A = In, onde X = A-1 A matriz inversa de A É indicada por A-1 .
  34. 34. Exemplo:       − − =      = 25 13 35 12 BeA ( ) ( ) ( ) ( )       =       +−−+ +−−+ =       − −       = 10 01 2.31.55.33.5 2.11.25.13.2 25 13 35 12 AB AB AB Logo, B = A-1
  35. 35. Tente fazer sozinho! (Unifor-CE) Se a matriz b(ij) de ordem 2, é a matriz inversa de , então: a) b11 = - ½ b) b12 = -1 c) b21 = 1 d) b22 = -1 e) b22 = - ½       − = 11 20 A
  36. 36. Solução 1101 2 1 0 2 1 0 002 2 1 12 10 0122 10 01 11 20 −=⇒=+−⇒=+− =⇒=+−⇒=+− =⇒= =⇒=       =      +−+−       =            − bbdb aaca dd cc dbca dc dc ba Resposta: Letra B
  37. 37. Bibliografia  Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 5ª edição – 2013. Editora Ática – SP. Páginas: 96 a 119.  Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 287 a 302.  Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 283 a 308.

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