Sistemas lineares

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Sistemas lineares

  1. 1. Prof.: Rodrigo Carvalho SISTEMAS LINEARES
  2. 2. Prof.: Rodrigo Carvalho Consideramos como equação linear toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... +anxn = b, onde: I. a1, a2 ,a3 , ..., an são os coeficientes das incógnitas; II. x1, x2, x3 , ..., xn são as incógnitas; III. b é o termo independente. EQUAÇÃO LINEAR DEFINIÇÃO:
  3. 3. Prof.: Rodrigo Carvalho I. Os expoentes das incógnitas são todos iguais a 1; II. As incógnitas são separadas em termos, pelos sinais de adição e subtração; III. Quando o termo independente é nulo (b = 0), a equação linear é homogênea. Exemplos: a) 3x + 2y = 11 b) 8x – y + 3z = 0 (homogênea) OBSERVAÇÕES Contra-exemplos: a) 3x² + y = 5 b) 1/x + y = 3
  4. 4. Prof.: Rodrigo Carvalho A solução de uma equação linear é uma seqüência (conjunto ordenado) de números que possuem tantos elementos quanto for o número de incógnitas da equação e que tornam a sentença verdadeira. Exemplos: a) Uma solução da equação linear 3x + 2y = 11 é o par ordenado (1, 4), pois a sentença 3.1 + 2.4 = 11 é verdadeira. SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
  5. 5. Prof.: Rodrigo Carvalho d) A equação linear 0x + 0y = 3 não admite solução. b) Uma solução da equação linear 8x – y + 3z = - 1 é o terno ordenado (0, 4, 1), pois a sentença 8.0 – 4 + 3.1 = -1 é verdadeira. *Equações lineares especiais c) A equação linear 0x + 0y = 0 admite como solução qualquer par ordenado.
  6. 6. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplo: O sistema seguinte é um sistema linear 2 x 2.    −=− =+ 73y2x 8y5x SISTEMA LINEAR Chama-se sistema linear m x n um conjunto de m equações lineares a n incógnitas. O objetivo de resolver um sistema é determinar todas as sua soluções.
  7. 7. Prof.: Rodrigo Carvalho CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Podemos classificar um sistema linear quanto ao número de soluções em: a) SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO (SPD) Admite uma única solução. b) SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO (SPI) Admite infinitas soluções. c) SISTEMA IMPOSSÍVEL (SI) Não admite solução.
  8. 8. Prof.: Rodrigo Carvalho Utiliza-se a Regra de Cramer para a solução de sistemas lineares. Essa regra consiste em: 1. Calcular o determinante da matriz dos coeficientes, que será simbolizado por e denominado determinante principal. 2. Colocam-se os termos independentes no lugar da coluna de cada incógnita e calculam-se os determinantes que serão simbolizados por , denominados determinantes secundários(determinante das incógnitas). 3. Cada variável será determinada pela razão: ,...z,y,x zyx ∆ ∆ = ∆ ∆ = ∆ ∆ = ∆ ,...,, zyx ∆∆∆ REGRA DE CRAMER
  9. 9. Prof.: Rodrigo Carvalho Discutir um sistema linear é determinar quando ele é um SPD, SPI ou SI, a depender de um ou mais parâmetros presentes no sistema. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Sistema Possível Impossível Determinado Indeterminado 0≠∆ 0ΔΔΔe0Δ zyx ==== 0Δou0Δou0Δe0Δ zyx ≠≠≠= ( ) ( ) ( )
  10. 10. Prof.: Rodrigo Carvalho 01. Discutir o sistema .    =+ =+ bay6x 72y3x 02. O sistema é possível e determinado se, e somente se:    =+ =− 2ym4x 1yx Exercícios: 14) 1) 4) 4) 2) = ≠ −≠ = = me md mc mb ma
  11. 11. Prof.: Rodrigo Carvalho SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS Sistemas lineares homogêneos são sistemas nos quais todos os termos independentes são nulos. Exemplo:      =−+ =+− =+ 0zy3x 0zy2x 0z-yx Esse tipo de sistema sempre admite a solução (0,0,0,0,...,0), chamada de SOLUÇÃO TRIVIALSOLUÇÃO TRIVIAL. Sendo assim, os sistemas homogêneos são sempre possíveis. Caso seja determinado, admite apenas a solução trivial. Se for indeterminado, admite outras infinitas soluções, além da trivial.
  12. 12. Prof.: Rodrigo Carvalho SISTEMA LINEAR ESCALONADO Dizemos que um sistema linear é um sistema escalonado quando: a) em cada equação há pelo menos um coeficiente não nulo; b) o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, cresce da esquerda para a direita, de equação para equação.
  13. 13. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplos:
  14. 14. Prof.: Rodrigo Carvalho RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ESCALONADO Ex.1: Resolvendo o sistema escalonado a seguir temos: Como z = 1, substituindo esse valor na 2ª equação, temos que y = 1. Substituindo os valores de z e y na 1ª equação, chegamos à conclusão de que x = 5. Portanto, S = {(5,1,1)}. SPD
  15. 15. Prof.: Rodrigo Carvalho Ex.2: Resolvendo o sistema escalonado a seguir temos: A 3ª equação indica uma impossibilidade. Logo não existe terno ordenado que possa ser solução do sistema. SI Portanto, S = O.
  16. 16. Prof.: Rodrigo Carvalho Ex.3: Resolvendo o sistema escalonado a seguir temos: A 3ª equação pode ser resolvida para qualquer valor de z, logo pode ser suprimida do sistema. O sistema, então, passa a ser escrito da seguinte forma: A incógnita z passa a ser chamada de variável livre, podendo ser a ela atribuído qualquer valor .Rk ∈ Logo, x = 2 - 2k e y = k + 1. Portanto, S = {(2 - 2k, k + 1, k), }.Rk ∈ SPI
  17. 17. Prof.: Rodrigo Carvalho ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA LINEAR PROPRIEDADE Todo sistema linear pode ser transformado num sistema escalonado por meio das seguintes operações elementares sobre suas equações: I. Permutar duas equações; II. Multiplicar uma equação por um número não nulo; III. Somar à uma equação, uma outra previamente multiplicada por uma constante.
  18. 18. Prof.: Rodrigo Carvalho      =+ =+ =++ 104zy-3x 5z2y-2x 43zyx b)      =++ =+ =+ 8z3y2x -52zy-3x 7z-2yx ) :abaixosistemasosresolvererclassificaEscalonar,1) a Exemplos:    =− =− 153y6x 5y2x c)
  19. 19. Prof.: Rodrigo Carvalho Com base nos conhecimentos sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, é correto afirmar: racional.númerouméxentão,inversívelé x1 2x matrizaSe(02)         (01) Se duas matrizes quadradas de mesma ordem, A e B, são simétricas, então a matriz (A + B) também é simétrica. .3a x1x1 310 12x2x entãoa, 11x xx enulonãorealnúmerouméxSe(04) = −− − =− U F B A 2007
  20. 20. Prof.: Rodrigo Carvalho . 2 7 a-bentão,impossívelé 3ay2x by-x sistemaoSe(08) ≠    =+ = c.eba,dereaisvaloresossejamquequaisquer o,determinadepossívelé c1)y(a1)x-(a b1)y-(a-1)x(a linearsistemaO(16)    =++ =+

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