A análise combinatória estuda como escolher e agrupar elementos de um conjunto para resolver problemas. O documento introduz o princípio multiplicativo da contagem, que é fundamental para analisar probabilidades, e apresenta três exemplos para ilustrar como aplicá-lo.
2. Conceito A análise combinatória é o ramo da Matemática que tem por objetivo resolver problemas que consistem, basicamente, em escolher e agrupar os elementos de um conjunto. Possui aplicação direta no cálculo das probabilidades, sendo instrumento de vital importância para as ciências aplicadas, como a Medicina, a Engenharia e a Estatística, entre outras.
3. Objetivo Esta aula tem o objetivo de introduzir o conceito básico de contagem através do princípio multiplicativo. Este conceito é pré-requisito para as aulas de Análise Combinatória e Estudo das Probabilidades.
6. Exemplo 1: Em quantas ordens diferentes 4 pessoas podem se sentar num sofá de 4 lugares?
7. Exemplo 1: Em quantas ordens diferentes 4 pessoas podem se sentar num sofá de 4 lugares? Solução: Consideremos as 4 pessoas como: A – Andréa B – Beatriz C – Carolina D – Daniela
82. 3 2 4 1ª posição 2ª posição 3ª posição 4ª posição
83. 3 2 4 1ª posição 2ª posição 3ª posição 4ª posição
84. 3 2 4 1 1ª posição 2ª posição 3ª posição 4ª posição
85. 3 × 2 × 4 × 1 1ª posição 2ª posição 3ª posição 4ª posição
86. 3 × 2 × 4 × 1 = 24 1ª posição 2ª posição 3ª posição 4ª posição
87. Exemplo 2: Juliana possui apenas 4 blusas e 3 saias, de quantas maneiras diferentes ela pode se arrumar com estas 7 peças de roupa?
88. Exemplo 2: Juliana possui apenas 4 blusas e 3 saias, de quantas maneiras diferentes ela pode se arrumar com estas 7 peças de roupa? Solução: Consideremos as blusas e as saias como: B1 – blusa 1 S1 – saia 1 B2 – blusa 2 S2 – saia 2 B3 – blusa 3 S3 – saia 3 B4 – blusa 4
105. Exemplo 3: Um casal pretende ter 3 filhos, de quantas maneiras diferentes isto pode ocorrer levando em consideração o sexo das crianças?
106. Exemplo 3: Um casal pretende ter 3 filhos, de quantas maneiras diferentes isto pode ocorrer levando em consideração o sexo das crianças? Solução: Consideremos: M – sexo masculino F – sexo feminino
111. M M M M M M M M F F F F - - - - - - - - 1º 2º 3º
112. M F M M M M M M M F F F F M M - - - - - - - - - - 1º 2º 3º
113. M F M M M M M F M M F F F F M M M F - - - - - - - - - - - - 1º 2º 3º
114. M F M M M M M F F M M F F F F M M M M F F - - - - - - - - - - - - - - 1º 2º 3º
115. M F M M M M M F F F F F M M F F F F M M M M F F - - - - - - - - - - - - - - - - 1º 2º 3º
116. M F M M M M M F F F F F M M F F F F M M M M F F - - - - - - - - - - - - - - - - 8 1º 2º 3º
117. M F M M M M M F F F F F M M F F F F M M M M F F - - - - - - - - - - - - - - - - 8 1º 2º 3º Princípio Multiplicativo
118. M F M M M M M F F F F F M M F F F F M M M M F F - - - - - - - - - - - - - - - - 8 1º 2º 3º Princípio Multiplicativo 1º
119. M F M M M M M F F F F F M M F F F F M M M M F F - - - - - - - - - - - - - - - - 8 1º 2º 3º Princípio Multiplicativo 1º F M
120. M F M M M M M F F F F F M M F F F F M M M M F F - - - - - - - - - - - - - - - - 8 1º 2º 3º Princípio Multiplicativo 1º F M 2
121. M F M M M M M F F F F F M M F F F F M M M M F F - - - - - - - - - - - - - - - - 8 1º 2º 3º Princípio Multiplicativo 1º 2º F M 2
122. M F M M M M M F F F F F M M F F F F M M M M F F - - - - - - - - - - - - - - - - 8 1º 2º 3º Princípio Multiplicativo 1º 2º F M F M 2
123. M F M M M M M F F F F F M M F F F F M M M M F F - - - - - - - - - - - - - - - - 8 1º 2º 3º Princípio Multiplicativo 1º 2º F M F M 2 2
124. M F M M M M M F F F F F M M F F F F M M M M F F - - - - - - - - - - - - - - - - 8 1º 2º 3º Princípio Multiplicativo 1º 2º 3º F M F M 2 2
125. M F M M M M M F F F F F M M F F F F M M M M F F - - - - - - - - - - - - - - - - 8 1º 2º 3º Princípio Multiplicativo 1º 2º 3º F M F M F M 2 2
126. M F M M M M M F F F F F M M F F F F M M M M F F - - - - - - - - - - - - - - - - 8 1º 2º 3º Princípio Multiplicativo 1º 2º 3º F M F M F M 2 2 2
127. M F M M M M M F F F F F M M F F F F M M M M F F - - - - - - - - - - - - - - - - 8 1º 2º 3º Princípio Multiplicativo 1º 2º 3º F M F M F M 2 2 2 × ×
128. M F M M M M M F F F F F M M F F F F M M M M F F - - - - - - - - - - - - - - - - 8 1º 2º 3º Princípio Multiplicativo 1º 2º 3º F M F M F M 2 2 2 × × 8 =
131. AQUECENDO QUESTÃO 1 Maria tem 5 blusas e 2 saias. De quantas modos diferentes ela pode se vestir com essas roupas?
132. AQUECENDO QUESTÃO 1 Maria tem 5 blusas e 2 saias. De quantas modos diferentes ela pode se vestir com essas roupas? QUESTÃO 2 Em um baile há 12 moças e 8 rapazes. Quantos casais diferentes podem ser formados?
133. QUESTÃO 3 Renato vai a um clube no qual existem 4 portas de entrada que dão acesso a 2 elevadores. Ele pretende ir ao 6º andar. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo?
134. QUESTÃO 3 Renato vai a um clube no qual existem 4 portas de entrada que dão acesso a 2 elevadores. Ele pretende ir ao 6º andar. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo? QUESTÃO 4 Quantos números pares de 2 algarismos podem ser formados no sistema decimal?
135. QUESTÃO 3 Renato vai a um clube no qual existem 4 portas de entrada que dão acesso a 2 elevadores. Ele pretende ir ao 6º andar. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo? QUESTÃO 4 Quantos números pares de 2 algarismos podem ser formados no sistema decimal? QUESTÃO 5 Uma pessoa possui 10 envelopes diferentes e 8 selos diferentes. De quantos modos essa pessoa pode enviar uma carta utilizando 1 envelope e 1 selo?
136. QUESTÃO 6 De quantos modos 3 pessoas podem se sentar num sofá de 5 lugares?
137. QUESTÃO 6 De quantos modos 3 pessoas podem se sentar num sofá de 5 lugares? QUESTÃO 7 Júlio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma cor diferente para cada letra. De quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe de 8 cores de tinta?
138. QUESTÃO 6 De quantos modos 3 pessoas podem se sentar num sofá de 5 lugares? QUESTÃO 7 Júlio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma cor diferente para cada letra. De quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe de 8 cores de tinta? QUESTÃO 8 (UNICAMP) Sabendo que número de telefone não começam com 0 nem com 1, calcule quantos diferentes números de telefone podem ser formados com 7 algarismos.
139. QUESTÃO 9 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Entre eles, quantos são divisíveis por 5?
140. QUESTÃO 9 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Entre eles, quantos são divisíveis por 5? QUESTÃO 10 Duas pessoas entram num ônibus que tem 7 lugares vagos. De quantas maneiras diferentes as 2 pessoas podem ocupar esses lugares?
142. EXERCITANDO QUESTÃO 11 (ENEM) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela a seguir. Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos - uma do grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a:
143. QUESTÃO 12 (UFES) Num aparelho telefônico, as dez teclas numeradas estão dispostas em fileiras horizontais, conforme indica a figura a seguir. Seja N a quantidade de números de telefone com 8 dígitos, que começam pelo dígito 3 e terminam pelo dígito zero, e, além disso, o 2º. e o 3º. dígitos são da primeira fileira do teclado, o 4º. e o 5º. dígitos são da segunda fileira, e o 6º. e o 7º. são da terceira fileira. O valor de N é:
144. QUESTÃO 13 (UFU) Para gerar sua senha de acesso, o usuário de uma biblioteca deve selecionar cinco algarismos de 0 a 9, permitindo-se repetições e importando a ordem, em que eles foram escolhidos. Por questões de segurança, senhas que não tenham nenhum algarismo repetido são consideradas inválidas. Por exemplo, as senhas 09391 e 90391 são válidas e diferentes, enquanto que a senha 90381 é inválida. O número total de senhas válidas que podem ser geradas é igual a:
145. QUESTÃO 14 (ENEM) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é:
146. QUESTÃO 15 (UFPE) O mapa abaixo representa a divisão do Brasil em suas regiões. O mapa deve ser colorido de maneira que regiões com uma fronteira em comum sejam coloridas com cores distintas. Determine o número (n) de maneiras de se colorir o mapa, usando-se 5 cores. Indique n/10.
147. QUESTÃO 16 (UFPE) De quantas maneiras podemos classificar os 4 empregados de uma micro-empresa nas categorias A ou B, se um mesmo empregado pode pertencer às duas categorias?
148. QUESTÃO 16 (UFPE) De quantas maneiras podemos classificar os 4 empregados de uma micro-empresa nas categorias A ou B, se um mesmo empregado pode pertencer às duas categorias? QUESTÃO 17 (UEL) Um número capicua é um número que se pode ler indistintamente em ambos os sentidos, da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda (exemplo: 5335). Em um hotel de uma cidade, onde os jogadores de um time se hospedaram, o número de quartos era igual ao número de capicuas pares de 3 algarismos. Quantos eram os quartos do hotel?
149. QUESTÃO 18 (UFRN 2003) Um fenômeno raro em termos de data ocorreu às 20h02min de 20 de fevereiro de 2002. No caso, 20:02 20/02 2002 forma uma seqüência de algarismos que permanece inalterada se reescrita de trás para a frente. A isso denominamos capicua. Desconsiderando as capicuas começadas por zero, a quantidade de capicuas formadas com cinco algarismos não necessariamente diferentes é:
150. QUESTÃO 18 (UFRN 2003) Um fenômeno raro em termos de data ocorreu às 20h02min de 20 de fevereiro de 2002. No caso, 20:02 20/02 2002 forma uma seqüência de algarismos que permanece inalterada se reescrita de trás para a frente. A isso denominamos capicua. Desconsiderando as capicuas começadas por zero, a quantidade de capicuas formadas com cinco algarismos não necessariamente diferentes é: QUESTÃO 19 (UFMG) Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos em três grupos: o vermelho, com 5 sabores; o amarelo, com 3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pedir uma casquinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas cada casquinha não pode conter 2 bolas de um mesmo grupo. O número de maneiras distintas de se pedir uma casquinha é:
151. QUESTÃO 20 (UFES) Em um grupo de 60 mulheres e 40 homens existem exatamente 25 mulheres e 12 homens que tocam algum instrumento musical. De quantas maneiras podemos formar uma dupla de um homem e uma mulher de modo que pelo menos uma das pessoas da dupla toque algum instrumento?
152. DESAFIOS QUESTÃO 21 (FGV) Em uma gaveta de armário de um quarto escuro há 6 camisetas vermelhas, 10 camisetas brancas e 7 camisetas pretas. Qual é o número mínimo de camisetas que se deve retirar da gaveta, sem que se vejam suas cores, para que: a) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de cores diferentes. b) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de mesma cor. c) Se tenha certeza de ter retirado pelo menos uma camiseta de cada cor.
153. QUESTÃO 22 (UFU) A prova de um concurso é composta somente de 10 questões de múltipla escolha, com as alternativas A, B, C e D por questão. Sabendo-se que, no gabarito da prova, não aparece a letra A e que a letra D aparece apenas uma vez, quantos são os gabaritos possíveis de ocorrer?
154. QUESTÃO 23 (UFRJ) A seqüência 1, 3, 5, 9, 13, 18, 22 é uma das possibilidades de formar uma seqüência de sete números, começando em 1 e terminando em 22, de forma que cada número da seqüência seja maior do que o anterior e que as representações de dois números consecutivos na seqüência estejam conectadas no diagrama a seguir por um segmento. a) Quantas seqüências diferentes, com essas características, podemos formar? b) Quantas dessas seqüências incluem o número 13?
155. QUESTÃO 24 (UERJ) Uma bicicleta de marchas tem três engrenagens na coroa, que giram com o pedal, e seis engrenagens no pinhão, que giram com a roda traseira. Observe a bicicleta a seguir e as tabelas que apresentam os números de dentes de cada engrenagem, todos de igual tamanho.
156. QUESTÃO 24 (UERJ) Uma bicicleta de marchas tem três engrenagens na coroa, que giram com o pedal, e seis engrenagens no pinhão, que giram com a roda traseira. Observe a bicicleta a seguir e as tabelas que apresentam os números de dentes de cada engrenagem, todos de igual tamanho. Cada marcha é uma ligação, feita pela corrente, entre uma engrenagem da coroa e uma do pinhão. Um dente da 1º engrenagem da coroa quebrou. Para que a corrente não se desprenda com a bicicleta em movimento, admita que a engrenagem danificada só deva ser ligada à 1º ou à 2º engrenagem do pinhão. Nesse caso, o número máximo de marchas distintas, que podem ser utilizadas para movimentar a bicicleta, é de:
157. QUESTÃO 25 (FGV) Colocando em ordem os números resultantes das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posição ocupará o número 35241?
158. QUESTÃO 25 (FGV) Colocando em ordem os números resultantes das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posição ocupará o número 35241? QUESTÃO 26 (UNESP) Considere todos os números formados por 6 algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. a) Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1. b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 512346 e que número ocupa a 242ª posição.
159. QUESTÃO 27 (UFRJ) Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher: - um dentre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo; - um dentre os tamanhos: pequeno e grande; - de um até cinco dentre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame, sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche. Calcule: a) quantos sanduíches distintos podem ser montados; b) o número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.
160. QUESTÃO 28 (UFRS) Para colocar preço em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de código de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três larguras possíveis e espaços de duas larguras possíveis. O número total de preços que podem ser representados por esse código é:
161. QUESTÃO 29 (UNESP) Dois rapazes e duas moças irão viajar de ônibus, ocupando as poltronas de números 1 a 4, com 1 e 2 juntas e 3 e 4 juntas, conforme o esquema. O número de maneiras de ocupação dessas quatro poltronas, garantindo que, em duas poltronas juntas, ao lado de uma moça sempre viaje um rapaz, é:
162. QUESTÃO 30 (ITA) Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez.
164. Gabarito 21) a) 11 b) 4 c)18 22) 5.120 23) a) 32 b) 12 24) 14 25) 70ª 26) a) 720; 120 b) 481; 312.465 27) a) 186 b) 20 28) 3.888 29) 16 30) 212
165. Créditos Professor: Teófilo Oliveira de Paula CEDERJ/UFF Polo VRE Curso de Pós Graduação a distância. Novas Tecnologias no Ensino da Matemática. Informática Educativa II.
