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NÚMEROSNÚMEROS
COMPLEXOSCOMPLEXOS
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A forma algébrica de um número complexo Z éA forma algébrica de um número c...
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ExemplosExemplos::
a) Z = - 3 + 5ia) Z = - 3 + 5i
Re(Z) = -3Re(Z) = -3
Im(Z...
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OBSERVAÇÃOOBSERVAÇÃO::
1) Quando Im(Z) = 0, o número complexo será1) Quando...
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Dizemos que os complexos Z = a + bi e W = c + diDizemos que os complexos Z ...
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1. SOMA E SUBTRAÇÃO1. SOMA E SUBTRAÇÃO
OPERAÇÕES ENTRE COMPLEXOS
Para somar...
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2. MULTIPLICAÇÃO2. MULTIPLICAÇÃO
O produto entre dois complexos é obtidoO p...
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Dado Z = a + bi, sendo i a unidade imaginária.Dado Z = a + bi, sendo i a un...
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Para efetuarmos a divisão entre dois complexosPara efe...
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Exemplo:Exemplo: Dividir Z = 5 + 3i por W = 4 – 2i.Dividir Z = 5 + 3i por W...
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PROPRIEDADEPROPRIEDADE
Quando o expoente de i for maior do que 3,Quando o e...
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**OBSOBS.: A soma de quaisquer 4 potências.: A soma de quaisquer 4 potência...
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(1+ i)(1+ i)22
== 1 + 2i + i1 + 2i + i22
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Todo número complexo na forma Z = a + biTodo número complexo na forma Z = a...
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MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXOMÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Chamamos deChamamo...
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COMPLEXOCOMPLEXO
ChamamosChama...
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FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UMFORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM
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Na figura, estão representados, no plano complexo, os
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OPERAÇÕES NA FORMAOPERAÇÕES NA FORMA
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  1. 1. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho NÚMEROSNÚMEROS COMPLEXOSCOMPLEXOS
  2. 2. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho A forma algébrica de um número complexo Z éA forma algébrica de um número complexo Z é uma expressão da forma Z = a + bi, ondeuma expressão da forma Z = a + bi, onde aa ee bb sãosão números reais enúmeros reais e ii é a unidade imaginária.é a unidade imaginária. No número complexo Z = a + bi,No número complexo Z = a + bi, aa éé chamada de parte real echamada de parte real e bb de parte imaginária.de parte imaginária. aa Re(Z)Re(Z) bb Im(Z)Im(Z) DEFINIÇÃO 1i −=
  3. 3. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho ExemplosExemplos:: a) Z = - 3 + 5ia) Z = - 3 + 5i Re(Z) = -3Re(Z) = -3 Im(Z) = 5Im(Z) = 5 b) Z = -i + 4b) Z = -i + 4 Re(Z) = 4Re(Z) = 4 Im(Z) = -1Im(Z) = -1 c) Z = 5c) Z = 5 Re(Z) = 5Re(Z) = 5 Im(Z) = 0Im(Z) = 0 d) Z = -6id) Z = -6i Re(Z) = 0Re(Z) = 0 Im(Z) = -6Im(Z) = -6
  4. 4. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho OBSERVAÇÃOOBSERVAÇÃO:: 1) Quando Im(Z) = 0, o número complexo será1) Quando Im(Z) = 0, o número complexo será chamado dechamado de REALREAL.. 2) Quando Re(Z) = 0 e Im(Z) = 0, o número2) Quando Re(Z) = 0 e Im(Z) = 0, o número complexo será chamado decomplexo será chamado de IMAGINÁRIO PUROIMAGINÁRIO PURO.. Exemplo:Exemplo: Determine as condições para que oDetermine as condições para que o complexo Z = (2m + 1) + (-n + 3)i seja:complexo Z = (2m + 1) + (-n + 3)i seja: a) Real;a) Real; b)Imaginário Puro.b)Imaginário Puro. Ex: Z = 3Ex: Z = 3 Ex: Z = -7iEx: Z = -7i
  5. 5. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho Dizemos que os complexos Z = a + bi e W = c + diDizemos que os complexos Z = a + bi e W = c + di são iguais se, e somente se, a = c e b = d, ou seja:são iguais se, e somente se, a = c e b = d, ou seja: Re(Z) =Re(W)Re(Z) =Re(W) Im(Z) = Im(W)Im(Z) = Im(W) Z = WZ = W **OBS.OBS.: Não podemos dizer que um número: Não podemos dizer que um número complexo é maior ou menor que outro númerocomplexo é maior ou menor que outro número complexo, ou seja, no conjunto C não existecomplexo, ou seja, no conjunto C não existe relação de ordem.relação de ordem. IGUALDADE ENTRE COMPLEXOS
  6. 6. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho 1. SOMA E SUBTRAÇÃO1. SOMA E SUBTRAÇÃO OPERAÇÕES ENTRE COMPLEXOS Para somar ou subtrair dois complexos,Para somar ou subtrair dois complexos, efetuaremos as partes reais entre si e as partesefetuaremos as partes reais entre si e as partes imaginárias entre si.imaginárias entre si. Exemplo:Exemplo: Sendo Z = 5 + 3i e W = 4 - i, temos:Sendo Z = 5 + 3i e W = 4 - i, temos: Z+WZ+W = 5 + 3i + 4 - i5 + 3i + 4 - i = 9 + 2i9 + 2i Z-WZ-W = 5 + 3i - (4 - i)5 + 3i - (4 - i) = 5 + 3i - 4 + i5 + 3i - 4 + i 1 + 4i1 + 4i=
  7. 7. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho 2. MULTIPLICAÇÃO2. MULTIPLICAÇÃO O produto entre dois complexos é obtidoO produto entre dois complexos é obtido aplicando-se a distributiva entre seus termos.aplicando-se a distributiva entre seus termos. **LEMBRE-SELEMBRE-SE:: ii22 == -1-1 Exemplo:Exemplo: Sendo Z = 3 + 2i e W = 1 + 4i, temos:Sendo Z = 3 + 2i e W = 1 + 4i, temos: Z .WZ .W == (3 + 2i).(1 + 4i)(3 + 2i).(1 + 4i) == ==3 + 12i + 2i + 83 + 12i + 2i + 8ii22 == 3 + 12i + 2i + 8(-1)3 + 12i + 2i + 8(-1) = -5 + 14i-5 + 14i
  8. 8. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho Dado Z = a + bi, sendo i a unidade imaginária.Dado Z = a + bi, sendo i a unidade imaginária. Chamamos o conjugado de Z, denotado por Z,Chamamos o conjugado de Z, denotado por Z, ao complexo obtido pela troca de sinal da parteao complexo obtido pela troca de sinal da parte imaginária de Z.imaginária de Z. Z = a - biZ = a - bi Exemplos:Exemplos: a) Z = 3 + 2ia) Z = 3 + 2i ZZ = 3 – 2i3 – 2i b) W = -5ib) W = -5i WW = 5i5i c) K = 2c) K = 2 KK = 22 CONJUGADO DE UM COMPLEXO **OBS.OBS.: Z = Z: Z = Z
  9. 9. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho 3. DIVISÃO3. DIVISÃO Para efetuarmos a divisão entre dois complexosPara efetuarmos a divisão entre dois complexos Z e W, procederemos da seguinte maneira:Z e W, procederemos da seguinte maneira: Z Z . WZ Z . W W W WW W W ConclusãoConclusão: Devemos multiplicar numerador e: Devemos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador.denominador pelo conjugado do denominador.
  10. 10. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho Exemplo:Exemplo: Dividir Z = 5 + 3i por W = 4 – 2i.Dividir Z = 5 + 3i por W = 4 – 2i. ZZ WW 5 + 3i5 + 3i 4 – 2i4 – 2i . 4 + 2i4 + 2i 4 + 2i4 + 2i 20 + 10i + 12i + 6i20 + 10i + 12i + 6i22 4422 – (2i)– (2i)22 14 + 22i14 + 22i 16 - 4i16 - 4i22 14 + 22i14 + 22i 16 + 416 + 4 14 + 22i14 + 22i 20 2020 20 7 + 11i7 + 11i 10 1010 10 **OBSOBS.: Sempre que houver a unidade imaginária.: Sempre que houver a unidade imaginária no denominador, realizaremos o processono denominador, realizaremos o processo acima.acima.
  11. 11. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho ii00 =1=1 ii11 = i= i ii22 = -1= -1 ii33 = i= i22 .i = (-1).i = -i.i = (-1).i = -i ii44 = i= i22 .i.i22 = (-1).(-1) = 1= (-1).(-1) = 1 ii55 = i= i44 .i = 1.i = i.i = 1.i = i ii66 = i= i44 .i.i22 = 1.(-1) = -1= 1.(-1) = -1 ii77 = i= i44 .i.i33 = 1.(-i) = -i= 1.(-i) = -i ………………………………. ii1818 = i= i44 .. ii44 .. ii44 .. ii44 .. ii22 = -1= -1 POTÊNCIAS DO i
  12. 12. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho PROPRIEDADEPROPRIEDADE Quando o expoente de i for maior do que 3,Quando o expoente de i for maior do que 3, iremos dividí-lo por 4, sendo o resto destairemos dividí-lo por 4, sendo o resto desta divisão o novo expoente de i.divisão o novo expoente de i. 663838 99 22 restoresto Logo, iLogo, i278278 = i= i22 = -1.= -1. Ex: iEx: i278278 = ?= ? 278 4278 4
  13. 13. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho **OBSOBS.: A soma de quaisquer 4 potências.: A soma de quaisquer 4 potências consecutivas de i é sempre igual a zero.consecutivas de i é sempre igual a zero. Ex: iEx: i55 ++ii66 ++ii77 ++ii88 ==00 ii3535 ++ii3636 ++ii3737 ++ii3838 ==00 GeneralizandoGeneralizando: i: inn ++iin+1n+1 ++iin+2n+2 ++iin+3n+3 = 0= 0
  14. 14. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho (1+ i)(1+ i)22 == 1 + 2i + i1 + 2i + i22 == 1 + 2i + (-1)1 + 2i + (-1) == 2i2i == 1 - 2i + i1 - 2i + i22 == 1 - 2i + (-1)1 - 2i + (-1) == -2i-2i(1– i)(1– i)22 (1+ i)(1+ i)1010 == [[(1+ i)(1+ i)22 ]]55 == (2i)(2i)55 == 32i32i55 == 32i32i11 == 32i32i (1- i)(1- i)77 == [[(1- i)(1- i)22 ]]33 ..(1- i)(1- i) == ((-2i)-2i)33 .(1- i).(1- i) ==-8i-8i33 .(1- i).(1- i) == == -8.(-i).(1- i)-8.(-i).(1- i)== ==8i - 8i8i - 8i22 8i + 88i + 8 ALGUMAS POTÊNCIAS DE COMPLEXOS Como o resultado é imaginário puro, podemosComo o resultado é imaginário puro, podemos calcular outras potências:calcular outras potências:
  15. 15. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho Todo número complexo na forma Z = a + biTodo número complexo na forma Z = a + bi pode ser representado no plano de Argand-Gausspode ser representado no plano de Argand-Gauss por um ponto de coordenadas Z(a;b). Esse ponto épor um ponto de coordenadas Z(a;b). Esse ponto é chamado dechamado de afixoafixo do complexo Z.do complexo Z. ReRe ImIm Z = a + biZ = a + bi Z (a;b)Z (a;b) aa bb Z(a;b)Z(a;b) afixoafixo PLANO DE ARGAND-GAUSS
  16. 16. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXOMÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO Chamamos deChamamos de módulomódulo de um númerode um número complexo a distância do afixocomplexo a distância do afixo do complexo àdo complexo à origem do plano de Argand-Gauss.origem do plano de Argand-Gauss. aa bb |z| . 222 || baz += (rô)ρouz
  17. 17. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho ARGUMENTO DE UM NÚMEROARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXOCOMPLEXO ChamamosChamamos argumentoargumento de um número complexo àde um número complexo à medida do arco com centro na origem do plano de Argand-medida do arco com centro na origem do plano de Argand- Gauss, tomado a partir do semi-eixo real positivo até o seuGauss, tomado a partir do semi-eixo real positivo até o seu módulo, no sentido anti-horário.módulo, no sentido anti-horário. aa bb ρ 0 . a b tg =θ
  18. 18. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UMFORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXONÚMERO COMPLEXO Podemos representar um complexo em função do seuPodemos representar um complexo em função do seu módulo e do seu argumento, chamada demódulo e do seu argumento, chamada de formaforma trigonométricatrigonométrica de um número complexo.de um número complexo. ).(cos θθρ seniZ += Ex: Sendo o complexo Z = 2 – 2i, determine aEx: Sendo o complexo Z = 2 – 2i, determine a sua forma trigonométrica .sua forma trigonométrica .
  19. 19. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho Na figura, estão representados, no plano complexo, os pontos M, N e P, afixos dos números complexos m, n e p. Sabendo-se que |m| = |n| = |p| = 1 e que θ = 45o , pode-se afirmar que m – n + 2p é igual a: θ θ 2i205) i204) i2103) i202) 201) − − − − −
  20. 20. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho OPERAÇÕES NA FORMAOPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICATRIGONOMÉTRICA 1. MULTIPLICAÇÃO1. MULTIPLICAÇÃO ).i.senθ(cosθρZe)i.senθ(cosθρZSejam 22221111 +=+= )](.)[cos(.. 21212121 θθθθρρ +++= seniZZ 2. DIVISÃO2. DIVISÃO )](.)[cos( 2121 2 1 2 1 θθθθ ρ ρ −+−= seni Z Z
  21. 21. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho 3. POTENCIAÇÃO (1ª fórmula de Moivre)3. POTENCIAÇÃO (1ª fórmula de Moivre) :temosnulo,não naturalnúmeroumne)i.senρ(cosθZSendo θ+= )].(.).[cos( θθρ nseninZ nn += .calcular Zi, 2 3 2 1 ZcomplexooSendo:Ex 6 +=
  22. 22. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho 4. RADICIAÇÃO (2ª fórmula de Moivre)4. RADICIAÇÃO (2ª fórmula de Moivre) :temosnulo,não naturalnúmeroumne)i.senρ(cosθZSendo θ+= Z)k( 2 . 2 cos ∈             + +      + = n k seni n k Z nn πθπθ ρ Ex: Calcular as raízes cúbicas de 8 .Ex: Calcular as raízes cúbicas de 8 .

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