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Prof.: Rodrigo Carvalho
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Dados três pontos A,B e C não colineares, chama-se
de triângulo ABC à reunião dos segmentos AB, BC e
AC.
A
C B
DEFINIÇÃO
Prof.: Rodrigo Carvalho
ELEMENTOS
x
z
y
C
B
A
- VÉRTICES: A, B e C.
- LADOS: AB, BC e AC.
- ÂNGULOS INTERNOS: A, B e C.
- ÂNGULOS EXTERNOS: x, y e z.
Prof.: Rodrigo Carvalho
CLASSIFICAÇÃO
a) Quanto aos lados:
ESCALENO
(3 lados não congruentes)
EQUILÁTERO
(3 lados congruentes)
ISÓSCELES
(2 lados congruentes)
Prof.: Rodrigo Carvalho
b) Quanto aos ângulos:
.
RETÂNGULO
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ACUTÂNGULO
(Possui 3 ângulos agudos)
OBTUSÂNGULO
(Possui um ângulo obtuso)
Prof.: Rodrigo Carvalho
SÍNTESE DE CLAIRUT
É possível classificar os triângulos quanto aos ângulos,
conhecendo apenas as medidas dos seus lados. Sendo
a o maior lado do triângulo, temos :
a < b + c
a = b + c
a > b + c
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Acutângulo
Retângulo
Obtusângulo
Prof.: Rodrigo Carvalho
TEOREMAS ANGULARES
DOS TRIÂNGULOS
a) Teorema dos ângulos internos
Em todo triângulo, a soma das medidas dos
três ângulos internos é sempre igual a 180º.
A
CB
A + B + C = 180º
Prof.: Rodrigo Carvalho
b) Teorema do ângulo externo
Em todo triângulo, a medida de um ângulo
externo é igual à soma das medidas dos
dois ângulos internos não adjacentes a ele.
A
B
x
x = A + B
OBSERVAÇÃO: Esse teorema é válido para
qualquer ângulo externo do triângulo.
Prof.: Rodrigo Carvalho
c) Teorema dos ângulos externos
Em todo triângulo, a soma das medidas dos
ângulos externos é sempre igual a 360º.
x
z
y
x + y + z = 360º
Prof.: Rodrigo Carvalho
PONTOS NOTÁVEIS DOS
TRIÂNGULOS
a) ORTOCENTRO
Altura de um triângulo: Segmento que parte
do vértice e é perpendicular à reta suporte
do lado oposto a esse vértice.
CB
A
.
.
.O
O ponto de encontro
das alturas de um
triângulo é chamado
de ORTOCENTRO.
H1
H2
Prof.: Rodrigo Carvalho
A depender do tipo de triângulo, podemos ter:
.
.
.O
Ortocentro interior ao triângulo
(TRIÂNGULO ACUTÂNGULO)
.
.
O
Ortocentro sobre o triângulo
(TRIÂNGULO RETÂNGULO)
.
.
.O
Ortocentro exterior ao triângulo
(TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO)
Prof.: Rodrigo Carvalho
b) BARICENTRO
Mediana de um triângulo: Segmento que
parte do vértice e intercepta o ponto médio
do lado oposto a esse vértice.
CB
A
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M2
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O ponto de encontro
das medianas de um
triângulo é chamado
de BARICENTRO.
OBSERVAÇÃO: O baricentro é o centro de
gravidade(pressão) do triângulo.
Prof.: Rodrigo Carvalho
PROPRIEDADE DO BARICENTRO
Em todo triângulo, o baricentro divide cada
mediana na razão de 2 para 1, ou seja, a
medida do baricentro ao vértice é o dobro
da medida do baricentro ao ponto médio.
M1
M2
M3
.
x
2x
y
2y
z
2z
Prof.: Rodrigo Carvalho
c) INCENTRO
Bissetriz de um triângulo: Segmento da
bissetriz interna que parte do vértice e
intercepta o lado oposto a esse vértice,
dividindo o ângulo do vértice em duas
partes congruentes.
A
CB
.I
O ponto de encontro
das bissetrizes de um
triângulo é chamado
de INCENTRO.
OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da
circunferência inscrita no triângulo.
Prof.: Rodrigo Carvalho
d) CIRCUNCENTRO
Mediatriz: Reta perpendicular a um segmento
pelo seu ponto médio.
A
CB
.
.
.P
O ponto de encontro
das mediatrizes de
um triângulo é
chamado de
CIRCUNCENTRO.
OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da
circunferência circunscrita ao triângulo.
Prof.: Rodrigo Carvalho
PROPRIEDADES DOS
TRIÂNGULOS ISÓSCELES
- A base de um triângulo isósceles é o
lado não congruente, caso exista;
BASE
- Os ângulos da base de um triângulo
isósceles são congruentes;
xx
- Os segmentos notáveis coincidem em
relação à base.
Prof.: Rodrigo Carvalho
PROPRIEDADES DOS
TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS
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equilátero são congruentes;
60º
60º
60º
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em relação a todos os lados.
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equilátero coincidem.
Prof.: Rodrigo Carvalho
Sugestão de exercícios:
CAPÍTULO 02
Questões: 41, 44, 46, 48, 54, 60, 61, 64, 69, 81, 86 e 94.

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Triângulos: definição, elementos e classificação

  • 2. Prof.: Rodrigo Carvalho Dados três pontos A,B e C não colineares, chama-se de triângulo ABC à reunião dos segmentos AB, BC e AC. A C B DEFINIÇÃO
  • 3. Prof.: Rodrigo Carvalho ELEMENTOS x z y C B A - VÉRTICES: A, B e C. - LADOS: AB, BC e AC. - ÂNGULOS INTERNOS: A, B e C. - ÂNGULOS EXTERNOS: x, y e z.
  • 4. Prof.: Rodrigo Carvalho CLASSIFICAÇÃO a) Quanto aos lados: ESCALENO (3 lados não congruentes) EQUILÁTERO (3 lados congruentes) ISÓSCELES (2 lados congruentes)
  • 5. Prof.: Rodrigo Carvalho b) Quanto aos ângulos: . RETÂNGULO (Possui um ângulo reto) ACUTÂNGULO (Possui 3 ângulos agudos) OBTUSÂNGULO (Possui um ângulo obtuso)
  • 6. Prof.: Rodrigo Carvalho SÍNTESE DE CLAIRUT É possível classificar os triângulos quanto aos ângulos, conhecendo apenas as medidas dos seus lados. Sendo a o maior lado do triângulo, temos : a < b + c a = b + c a > b + c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Acutângulo Retângulo Obtusângulo
  • 7. Prof.: Rodrigo Carvalho TEOREMAS ANGULARES DOS TRIÂNGULOS a) Teorema dos ângulos internos Em todo triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é sempre igual a 180º. A CB A + B + C = 180º
  • 8. Prof.: Rodrigo Carvalho b) Teorema do ângulo externo Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. A B x x = A + B OBSERVAÇÃO: Esse teorema é válido para qualquer ângulo externo do triângulo.
  • 9. Prof.: Rodrigo Carvalho c) Teorema dos ângulos externos Em todo triângulo, a soma das medidas dos ângulos externos é sempre igual a 360º. x z y x + y + z = 360º
  • 10. Prof.: Rodrigo Carvalho PONTOS NOTÁVEIS DOS TRIÂNGULOS a) ORTOCENTRO Altura de um triângulo: Segmento que parte do vértice e é perpendicular à reta suporte do lado oposto a esse vértice. CB A . . .O O ponto de encontro das alturas de um triângulo é chamado de ORTOCENTRO. H1 H2
  • 11. Prof.: Rodrigo Carvalho A depender do tipo de triângulo, podemos ter: . . .O Ortocentro interior ao triângulo (TRIÂNGULO ACUTÂNGULO) . . O Ortocentro sobre o triângulo (TRIÂNGULO RETÂNGULO) . . .O Ortocentro exterior ao triângulo (TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO)
  • 12. Prof.: Rodrigo Carvalho b) BARICENTRO Mediana de um triângulo: Segmento que parte do vértice e intercepta o ponto médio do lado oposto a esse vértice. CB A M1 M2 .G O ponto de encontro das medianas de um triângulo é chamado de BARICENTRO. OBSERVAÇÃO: O baricentro é o centro de gravidade(pressão) do triângulo.
  • 13. Prof.: Rodrigo Carvalho PROPRIEDADE DO BARICENTRO Em todo triângulo, o baricentro divide cada mediana na razão de 2 para 1, ou seja, a medida do baricentro ao vértice é o dobro da medida do baricentro ao ponto médio. M1 M2 M3 . x 2x y 2y z 2z
  • 14. Prof.: Rodrigo Carvalho c) INCENTRO Bissetriz de um triângulo: Segmento da bissetriz interna que parte do vértice e intercepta o lado oposto a esse vértice, dividindo o ângulo do vértice em duas partes congruentes. A CB .I O ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo é chamado de INCENTRO. OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
  • 15. Prof.: Rodrigo Carvalho d) CIRCUNCENTRO Mediatriz: Reta perpendicular a um segmento pelo seu ponto médio. A CB . . .P O ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo é chamado de CIRCUNCENTRO. OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
  • 16. Prof.: Rodrigo Carvalho PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS ISÓSCELES - A base de um triângulo isósceles é o lado não congruente, caso exista; BASE - Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes; xx - Os segmentos notáveis coincidem em relação à base.
  • 17. Prof.: Rodrigo Carvalho PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS - Os três ângulos de um triângulo equilátero são congruentes; 60º 60º 60º - Os segmentos notáveis coincidem em relação a todos os lados. CONSEQUÊNCIA: Os pontos notáveis do triângulo equilátero coincidem.
  • 18. Prof.: Rodrigo Carvalho Sugestão de exercícios: CAPÍTULO 02 Questões: 41, 44, 46, 48, 54, 60, 61, 64, 69, 81, 86 e 94.