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PROF. NILO
As matrizes foram utilizadas
pela   primeira  vez    pelo
matemático     e  advogado
inglês James Sylvester que
definiu Matriz como “arranjo
oblongo de termos”.

Seu colega também inglês
Arthur    Cayley    instituiu
algumas operações básicas
entre   as   matrizes,    em
“Memoir on the Theory of
Matrices”, em 1858.

A    multiplicação    matricial
deveu-se     ao    matemático
alemão Gotthold     Eisenstein,
considerado por Gauss, um
matemático do mesmo nível
que Newton e Arquimedes.
São tabelas retangulares
                              de valores dispostos
                         ordenadamente em linhas
                         e colunas.

Dentre       suas
aplicações podemos
                citar:
armazenamento e
manipulação      de
informações
tabuladas    e   as
ferramentas    para
transmissão     de
imagens e sons
digitalizados pela
internet.
As matrizes são indicadas por letras maiúsculas do alfabeto
latino e representadas por parênteses ou colchetes ou duplas
barras laterais.

                        
                                                        ( )

                        m – número de linhas da matriz
São tabelas retangulares de valores dispostos ordenadamente em
m linhas e n colunas.


                  n – número de colunas da matriz



                                                                   *
A = (aij )mxn                                            i, j,m,n ∈N
               onde 10≤≤j i≤≤n.
                 onde         m.
               j i––número da colunada matriz,
                     número da linha da matriz,
j – número da coluna da




                                                  m – número de linhas
  matriz, onde 0 < j < n.
                                           n – número de colunas da matriz
i – número da linha da
matriz, onde 0 < i < m.

                   A = (aij )m x n
                   a11 a12     a13      ... a1m                                   linha 1
                                                 
                  a                     ... a 2m 
                      21 a 22   a 23                                                linha 2
                                                 
                                                 
A = (aij )m x n =  a 31 a 32   a 33     ... a 3m                                  linha 3
                                                 
                   ...   ...    ...     ... ... 
                                                 
                  an1 an2
                               an3      ... anm                                  linha n


                                       coluna 3                          coluna m
          coluna 1        coluna 2
EXEMPLO 01
Dada a matriz A = (aij)3x2 através de sua lei de
formação, escreva essa matriz.
         i + j , se i ≤ j
        
  aij = 
         i − j , se i > j
        

                         SOLUÇÃO

                   a11 a12   2 3 
                                    
A = (aij )3 x 2 = a 21 a 22  =  1 4 
                                    
                                    
                  a 31 a 32   2 1 
EXEMPLO 02
Uma indústria automobilística produz três modelos
 de veículos empregando diferentes peças para a
 montagem do motor. Na matriz abaixo, cada
 elemento aij representa a quantidade de peças
 do tipo j utilizada na fabricação de um veículo
 modelo i.           15 10 12 
                              
                 A = 10 11 13 
                              
                              
                     14 12 11

a) Quantas peças do tipo 1 serão utilizadas para
   fabricar um veículo do modelo 2?
b) Quantas peças de cada tipo são necessárias para
   fabricar oito veículos modelo 1, três veículos
  modelo 2 e dois veículos modelo 3?
Matriz Linha – É toda matriz com apenas 1 linha,
ou seja, é toda matriz do tipo 1 x n.
 −1 4
               3 −2 0 
                              0 3          2     π
                                                    
 matriz 1 x 2    matriz 1 x 3       matriz 1 x 4

Matriz Coluna – É toda matriz com apenas            1
coluna, ou seja, é toda matriz do tipo n x 1.
                   4             6 
  3                            
                 0             −2 
                                 
   −5 
                                 
                                 1 
                    −7           
matriz 2 x 1     matriz 3 x 1      3
                                         matriz 4 x 1
Matriz Nula – É toda matriz em que   todos os
elementos são iguais a zero.
 0 0
             0 0 0 
                             0 0 0 0 
                                       
matriz 1 x 2   matriz 1 x 3      matriz 1 x 4


                0     0
                       
                0     0       0 0 0
                                   
0 0 0                       0 0 0
              0     0            
0 0 0                            
              0
                      0
                               0 0 0
matriz 2 x 3   matriz 4 x 2      matriz 3 x 3
Matriz Quadrada de ordem n – É toda matriz do
tipo n x n, isto é, que possui igual número de
linhas e colunas.

                    a11 a12       a13    ... a1n 
                                                  
                   a                     ... a 2n 
                       21 a 22     a 23
                                                  
                                                  
 A = (aij )m x n =  a 31 a 32     a 33   ... a 3n 
                                                  
                    ...   ...      ...   ... ... 
                                                  
                   an1 an2
                                  an3    ... ann 

              Diagonal Principal            Diagonal Principal

             ( i+j = n+1)                       ( i = j)
 2 −1    3 − 2 0   6 − 2 −1 5 
                              
4 3      5 1 −3   0   3 2 −3 
                              
                    5 1 2 4
           −6 0  2              
                                  
                       −2 3 4 0 
                                  
Matriz Triangular – É toda matriz quadrada
composta apenas de zeros nos elementos acima
ou abaixo da diagonal principal.


 3 −2 5                        3 0 0
                                      
 0 1 −3                        4 1 0
                                      
                                      
0 0   2                        −2 5 6 
Triangular Superior            Triangular Inferior
Matriz Diagonal – É toda matriz quadrada em que
os elementos que não pertencem à diagonal
principal são iguais a zero.

 2 0          4 0 0            5   0    0
                                         
 0 3           0 −2 0          0   2    0
                                         
                                           
                0 0 5            0   0    0

 0 0
    
 0 0
    
Matriz Identidade ( ou Unitária ) – É toda matriz
diagonal, com ordem igual ou superior a 2, em
que os elementos da diagonal principal são iguais
a 1.


     1 0
I2 =    
     0 1         1 0 0
                               1    0 0 0
             I 3 = 0 1 0                   
                                 0    1 0 0
                            I4 =           
                   0 0 1                   
                                   0    0 1 0
                                             
                                   0
                                        0 0 1
                                              
Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)pxq ,
essas matrizes serão iguais quando as matrizes
forem da mesma ordem e todos os elementos
correspondentes de uma e outra forem iguais.
 4 2  4 2
      =              ambas são 2 x 2
 −1 3   −1 3 
                        são iguais

 5 − 1 3   5 −1 3 
                  
 0 4 2 ≠ 0 4 1       ambas são 3 x 3
                  
                      não são iguais
 2 − 3 1   2 −3 1 
EXEMPLO 03
 Determine x, y, z e t, para que se tenha:
  x 2 y   25 −4 
                
        
  10 3z  = 10 9 
                  
                
  4x t   20 − t 
        
                         SOLUÇÃO
 As duas matrizes são de ordem 3 x 2. Falta agora
 fazer a igualdade entre os termos correspondentes.
                        x=5
                                        ; 4x = 20 ⇒ x = 5
 2
x = 25 ⇒ x = ± 25 = ±5 
                        x = −5
                                ; t = − t ⇒ 2t = 0 ⇒ t = 0
y = −4     ; 10 = 10   ; 3z = 9 ⇒ z = 3
EXEMPLO 04
                                Calcule a soma de
                                matrizes abaixo.
Soma de Matrizes – É uma
operação de soma dos             6 3   2 −4 
elementos correspondentes                     
de   duas   matrizes  de        10 4  +  −1 0 
                                              
mesma ordem, gerando                          
uma nova matriz de mesma         5 1   10 −1
 ordem.
         SOLUÇÃO                 8 − 1
As duas matrizes são de ordem
                                      
3 x 2. Então a soma é           9 4
                                      
                                      
                                15 0 
I ) A+(B+C)=(A+B)+C
                            Enfermeira, estou
                               com febre !
II ) A + B = B + A

III) A + 0 = 0 + A

IV) A + (−A) = −A + A = 0
Multiplicação de     Escalar por Matriz – É uma
operação similar a uma soma de matrizes, onde
todas essas matrizes são iguais. Portanto, basta
multiplicar o escalar por cada elemento da matriz.
     EXEMPLO 05
Calcule o resultado             SOLUÇÃO
da multiplicação de
escalar   por matriz       2 −1 3   10 −5 15 
indicada abaixo.       5.         =           
                           6 4 −2   30 20 −10 
                                              
     2 −1 3 
 5.         
     6 4 −2 
            
I ) ( λ. µ ).A = λ.(µ.A)
II ) ( λ + µ ).A = λ.A + µ.A

III) ( λ − µ ).A = λ.A − µ.A

IV) λ.( A + B ) = λ.A + λ.B
V) 1 A = A
Oposta de Matriz – É obtida multiplicando o escalar
−1 pela matriz dada.
     EXEMPLO 06
Calcule o resultado              SOLUÇÃO
da multiplicação de
escalar   por matriz            3 − 1   −3 1 
indicada abaixo.                             
                                −4 2   4 −2 
              3 −1    ( −1).        =      
                                           
                                5  0   −5 0 
              −4 2 
      ( −1).                               
                              2 −3   −2 3 
                                             
              5  0
                   
              2 −3 
                   
Subtração de Matrizes – É uma operação de soma
de uma matriz com a oposta da segunda.
     EXEMPLO 07
Calcule o resultado              SOLUÇÃO
da    diferença    de
matrizes     indicada
                         6 3   2 −4   4 7 
abaixo.                                        
                        10 4  −  −1 0  =  11 4 
 6 3   2 −4                                
                                           
10 4  −  −1 0        5 1   10 −1  −5 2 
              
              
 5 1   10 −1
Produto de Matrizes – Dadas duas matrizes           A
= (aij)m x n e B = (bij)p x q , chama-se produto das
matrizes A e B, a matriz C = (cij)m x q , onde só é
possível efetuar essa operação se n = p.




A ordem da matriz produto é obtida pelo número
de linhas da primeira matriz e o número de
colunas da segunda matriz.

Só é possível efetuar o produto de duas matrizes,
se o número de colunas da primeira for igual ao
número de linhas da segunda.
I ) ( A.B ).C = A.( B.C )
II ) ( A + B ).C = A.C + B.C

III) C.( A + B ) = C.A + C.B

IV) ( α.A ).B = A .(α.B ) = α (A.B) onde α ∈ IR

V) A.B ≠ B.A , em geral. Se A.B = B.A, então A e B
comutam.
VI) Se A.B = 0, não é necessário que A = 0 ou
B = 0, porém se A.B = 0, qualquer que seja B, então
 A = 0. Da mesma forma se A.B = 0, qualquer que
seja A, então B = 0.
EXEMPLO 08                       SOLUÇÃO
Calcule o resultado da     1 − 1                  Matriz
 diferença de matrizes           1 2 3          Produto
indicada abaixo.          2 2  .                 é 3x
     1 − 1                      4 −5 1           3
                                                    Produto
           1 2 3                     
    2 2  .             3 4 
                                                   possível
            4 −5 1     3x2            2x3
                   
                                  =
    3 4 
                                      1    1    1   2   1      3
                                      −1   4    −1 −5   −1     1
Matriz    −3   7    2
Produto                               2    1    2   2   2      3
 é da     10   −6   8                 2    4    2 −5    2      1
 forma:
                                      3    1    3   2   3      3
          19 −14    13
                                      4    4    4 −5    4      1
0
A = In
 1
A =A
 2
A = A.A
 3
A = A.A.A

 n
A = A.A.A....A
EXEMPLO 09
Dada a matriz A abaixo, calcule A0 , A2 e A3.

   4 2                      SOLUÇÃO
A=      
   −1 3                            1 0
                        A0 = I 2 =    
                                     0 1
                                        
             4 2   4 2   14 13 
A 2 = A.A =        .       =      
             − 1 3   − 1 3   −7 7 
                                  

                14 13   4 2   43 −11
A 3 = A 2 .A =        .     =       
                −7 7   −1 3   −35 7 
                                    
EXEMPLO 10
 Dada a matriz A abaixo, calcule A1 + A2 + A3 + ... + A200.
    1 0                         SOLUÇÃO
  A=    
                                        1 0  1 0  1     0
    1 0 
                         A 2 = A.A =      .    =       
            A matriz A é IDEMPOTENTE. 
                                        1 0  1 0  1
                                                         0
                                                              
               1 0  1 0  1 0 
A 3 = A 2 .A =       .      =      
               1 0  1 0  1 0 
                                   
        1 0  1 0  1 0 
A 200 =       .      =       
        1 0  1 0  1 0 
                             
                                              1 0   200   0
                A1 + A 2 + ... + A 200 = 200.     =        
                                              1 0   200
                                                          0
                                                              
EXEMPLO 11
Uma indústria fabrica certa máquina em dois
modelos diferentes, A e B. O modelo A utiliza
4 condensadores, 3 interruptores e 7 válvulas; o
modelo B utiliza 3 condensadores, 2 interruptores e
9 válvulas. Em novembro, foram encomendadas 3
máquinas do modelo A e 2 do modelo B; e em
dezembro, 2 máquinas do modelo A e 1 do modelo
B.
Qual o número de condensadores, interruptores e
válvulas em cada um dos meses para fabricar essas
encomendas?
          SOLUÇÃO
Sugestão: monte primeiramente uma tabela peças x   modelos   e
posteriormente monte uma tabela modelo x meses.
Transposição de Matrizes – Dada uma matriz
A = (aij)m x n sua transposta é a matriz At = (aji)n x m.
Na prática é a operação de troca de posição dos
elementos da linha i para a coluna i.
     EXEMPLO 12
Obtenha a transposta                 SOLUÇÃO
da matriz abaixo.
                                 6 −2 
    6 −3 2 1 
 A=                                 
    −2 4 0 −4                  −3 4 
              
                           At =       
                                      
                                2 0
                                      
                                 1 −4 
                                      
Matrizes Simétrica – É uma matriz
  em que A = At, isto é, uma                      a     b    c
matriz em que os elementos             a    b               
                                              ; b     d    e
dispostos simetricamente em            b
                                            d 
                                               
                                                               
relação à diagonal principal são                               
                                                  c     e    f
iguais.



Matrizes Anti-Simétrica – É uma
matriz em que       A = −At, isto é,
  uma    matriz   em     que    os                0     a     b
elementos                 dispostos    0    a                
                                              ;  −a   0     c
simetricamente em relação à            −a
                                            0 
                                               
                                                                
diagonal principal são simétricos.                              
                                                  −b    −c    0
 Os elementos da diagonal
principal são iguais a zero.
I ) ( A + B )t = At + Bt
II ) ( λ.A )t = λ.At       Cuidado com a
                           Propriedade V,
III) (At)t = A              que ela induz
                              ao erro !
IV) (−A)t = −At

V) (A.B)t = Bt.At
Determinante de uma Matriz – Considerando apenas
as matrizes quadradas M de elementos reais, o
determinante dessa matriz quadrada, representada
por det M, será o número obtido pela operação de
seus elementos da seguinte forma:
Se a matriz quadrada é de ordem n = 1, temos:

M = a11  ⇒ det M=det a11  = a11 = a11
                      
Se a matriz quadrada é de ordem n = 2, temos:
   a11 a12                 a11 a12 
M=           ⇒ det M=det              =
  a    a 22               a      a 22 
   21                      21         
                  a11 a12
                =           = a11 .a 22 − a12 .a 21
                  a 21 a 22
                 −             +
Se a matriz quadrada é de ordem n = 3, temos:

     a11 a12      a13                a11 a12    a13 
                                                     
M = a 21 a 22     a 23  ⇒ det M=det a 21 a 22   a 23  =
                                                     
                                                     
    a 31 a 32     a 33              a 31 a 32   a 33 

      a11   a12   a13 a11   a12

    = a 21 a 22   a 23 a 21 a 22   =

      a 31 a 32   a 33 a 31 a 32

−      −     −          +     +    +
= a11 .a 22 .a 33 + a12 .a 23 .a 31 + a13 .a 21 .a 32

− a13 .a 22 .a 31 − a11 .a 23 .a 32 − a12 .a 21 .a 33

                                                        Pierre Frédéric
                                                         Sarrus
                                                         (1789-1861)
Se a matriz quadrada é de ordem n natural, onde
n ≥ 4, aplicaremos o Teorema de Laplace, que
também é válido para determinantes de ordens 1,
2 e 3.
                Para tanto, basta escolhermos uma
                linha ou coluna do determinante e
                calcular os somatórios dos produtos
                  dos elementos da fila escolhida
                pelos respectivos co-fatores.

                      a11 a12    ...   a1j   ... a1n 
 Pierre Simon                                         
                     a                       ... a 2n 
 Laplace                21 a 22   ... a 2j
 (1749-1827)       M=                                 
                                                      
    Físico,
                      ...  ...   ...   ...   ... ... 
 Astrônomo e                                          
  Matemático         an1 an2     ... an3     ... ann 
                                                      
Vamos escolher uma coluna genérica j, teremos:
   a11 a12    ... a1j     ... a1n 
                                   
  a                       ... a 2n 
     21 a 22   ... a 2j
M=
  
                                    
                                                  j
   ...
  
         ...

  an1 an2
               ...   ...

               ... anj
                           ... ... 

                           ... ann 
                                    
                                        det M =   ∑ anj .Anj
                                                n =1
onde :

Anj = ( −1)n + j .Dnj
 Determinante de ordem uma unidade
 abaixo, obtido eliminando-se a linha e a
 coluna onde se encontra anj.
Se escolhermos uma linha genérica i, teremos:
   a11 a12     ... a1n 
                        
  a            ... a 2n 
     21 a 22
                        
                                          i
   ...
                                        ∑ ain .Ain
         ...    ... ... 
M=                         det M =
   ai1 ai1     ... ain 
                                      n =1
   ...  ...    ... ... 
                        
  a            ... ann 
   n1 an2               
 onde :
                i+n
 A in = ( −1)         .Din
 Determinante de ordem uma unidade
 abaixo, obtido eliminando-se a linha e a
 coluna onde se encontra anj.
EXEMPLO 13
Calcule o valor dos determinantes    das matrizes
abaixo.
                               2    1 3
        3 2                          
 a)A =                 b)B =  1   4 2
       1 4                           
                                     
                               5    3 1
                                1 2     3 −4 2 
                                               
      2   4 2 4               0 1     0 0 0
                                             
      0   1 1 0                              
                          d)D =  0 4    0 2 1
c)C =          
                                             
      1   0 2 3                0 −5   5 1 4
                                             
      3
          0 1 0
                               0 1
                                        0 −1 2 
                                                
Inversão de Matrizes – Se A é uma matriz quadrada
 de ordem n, dizemos que A é matriz inversível se
 existir uma matriz B tal que A.B = B.A = In.




Dada      uma       matriz
inversível M,    chama-se
inversa de A, a matriz M−1
, que é única, tal que
        M. M−1 = M−1 .M = In.


Quando uma matriz M
não é inversível, ela é
dita matriz singular.
I ) (A−1)−1 = A
II ) A matriz unidade é a sua própria inversa.

III) (α.A)−1 = (1/α). A−1

Se A e B são matrizes quadradas de mesma
ordem, temos:

IV) ( α.A ).B = A .(α.B ) = α (A.B) onde α ∈ IR

V) A.B ≠ B.A , em geral. Se A.B = B.A, então A e B
comutam.
Lembrando que M. M−1 = In.



Por meio de determinantes, temos:
                                M−1 é a matriz M invertida.
               1
                   . ( M ')
      −1                    t   det M é o determinante da
  M        =
             det M              matriz M a inverter.
                                (M’)t é a matriz de
                                cofatores transposta de M.




Por meio de operações elementares.
EXEMPLO 12
Obtenha a matriz inversa das matrizes abaixo,
pelos 3 processos.
                                    1 0 2
      1 2                                
a)A =                       c)C =  2 1 3 
      3 4                                
                                         
                                    3 1 0


                                      1 4 7
                                             
       3 6
b)B =                         d)D =  2 5 8 
                                             
       2 4
                                           
                                       3 6 9
SOLUÇÃO I

      −1          1 2                          x z 
A.A        = I2 ⇒     .A −1 = I 2       A −1 =     
                  3 4                          y w 
                                                     
                     
                    2x2   2x2     2x2


 1 2  x z   1 0            x + 2y z + 2w   1 0 
     .    =    ⇒                           =     
 3 4  y w   0 1
                           3x + 4y 3z + 4w   0 1 
                                                       

                          AGORA É
                             SÓ
                          RESOLVER
                             OS
                          SISTEMAS
 1 2  x z   1 0     x + 2y z + 2w   1 0 
       .      = ⇒                   =     
 3 4  y w   0 1
                    3x + 4y 3z + 4w   0 1 
                                                
    x + 2y = 1
                       z + 2w = 0
                       
                      
    3x + 4y = 0
                       3z + 4w = 1
                       
   1   2      1                    1    2     0

   3   4      0                    3    4     1

       −2     −3                       −2         1

       y = 3/2                         w = −1/2

       x = −2                               z=1
                    x z   −2     1 
            A −1 =      =             
                    y w   3 / 2 −1/ 2 
                                      
SOLUÇÃO II
              1                                    1
                  . ( M ')                             . ( A')
     −1                    t              −1                   t
 M        =                           A        =
            det M                                det A

  1 2                                   1 2
A=                           ;det A =            = 1.4 − 2.3 = −2
  3 4
                                        3 4
A11 = ( −1)1+1 . 4 = 4                A12 = ( −1)1+ 2 . 3 = −3
A 21 = ( −1)2+1 . 2 = −2              A 22 = ( −1)2+ 2 . 1 = 1
                 4 −3             4 −2 
           A' =        ⇒ (A')t =       
                 −2 1 
                                  −3 1 
                                         
             1  4 −2   − 2     1 
      A −1 =   .      =             
             −2  −3 1   3 / 2 −1/ 2 
                                    
SOLUÇÃO III

   1 2 1 2 1 0                 L1 = 2.L1 − L2    − 1 0 2 − 1
 A=    ⇒                                                    
    3 4  3 4 0 1
                                                 3 4 0 1
                                                               

L2 = L2 + 3.L1
                  − 1 0 2 −1    L1 = − L1      1 0 −2      1 
                                                                
                  0 4 6 −2 
                             
                                  L4 = L4 : 4    0 1 3 / 2 − 1/ 2 
                                                                  
                         PERCEBERAM QUE
                          OS RESULTADOS
                            BATERAM ?
Está caindo
uma chuva de
  Matrizes e
Determinantes!

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  • 2. As matrizes foram utilizadas pela primeira vez pelo matemático e advogado inglês James Sylvester que definiu Matriz como “arranjo oblongo de termos”. Seu colega também inglês Arthur Cayley instituiu algumas operações básicas entre as matrizes, em “Memoir on the Theory of Matrices”, em 1858. A multiplicação matricial deveu-se ao matemático alemão Gotthold Eisenstein, considerado por Gauss, um matemático do mesmo nível que Newton e Arquimedes.
  • 3. São tabelas retangulares de valores dispostos ordenadamente em linhas e colunas. Dentre suas aplicações podemos citar: armazenamento e manipulação de informações tabuladas e as ferramentas para transmissão de imagens e sons digitalizados pela internet.
  • 4. As matrizes são indicadas por letras maiúsculas do alfabeto latino e representadas por parênteses ou colchetes ou duplas barras laterais.     ( ) m – número de linhas da matriz São tabelas retangulares de valores dispostos ordenadamente em m linhas e n colunas. n – número de colunas da matriz * A = (aij )mxn i, j,m,n ∈N onde 10≤≤j i≤≤n. onde m. j i––número da colunada matriz, número da linha da matriz,
  • 5. j – número da coluna da m – número de linhas matriz, onde 0 < j < n. n – número de colunas da matriz i – número da linha da matriz, onde 0 < i < m. A = (aij )m x n  a11 a12 a13 ... a1m  linha 1   a ... a 2m  21 a 22 a 23 linha 2     A = (aij )m x n =  a 31 a 32 a 33 ... a 3m  linha 3    ... ... ... ... ...    an1 an2  an3 ... anm  linha n coluna 3 coluna m coluna 1 coluna 2
  • 6. EXEMPLO 01 Dada a matriz A = (aij)3x2 através de sua lei de formação, escreva essa matriz.  i + j , se i ≤ j  aij =   i − j , se i > j  SOLUÇÃO  a11 a12   2 3      A = (aij )3 x 2 = a 21 a 22  =  1 4          a 31 a 32   2 1 
  • 7. EXEMPLO 02 Uma indústria automobilística produz três modelos de veículos empregando diferentes peças para a montagem do motor. Na matriz abaixo, cada elemento aij representa a quantidade de peças do tipo j utilizada na fabricação de um veículo modelo i. 15 10 12    A = 10 11 13      14 12 11 a) Quantas peças do tipo 1 serão utilizadas para fabricar um veículo do modelo 2? b) Quantas peças de cada tipo são necessárias para fabricar oito veículos modelo 1, três veículos modelo 2 e dois veículos modelo 3?
  • 8. Matriz Linha – É toda matriz com apenas 1 linha, ou seja, é toda matriz do tipo 1 x n.  −1 4    3 −2 0    0 3 2 π   matriz 1 x 2 matriz 1 x 3 matriz 1 x 4 Matriz Coluna – É toda matriz com apenas 1 coluna, ou seja, é toda matriz do tipo n x 1. 4  6  3       0  −2       −5         1   −7    matriz 2 x 1 matriz 3 x 1  3   matriz 4 x 1
  • 9. Matriz Nula – É toda matriz em que todos os elementos são iguais a zero. 0 0   0 0 0    0 0 0 0    matriz 1 x 2 matriz 1 x 3 matriz 1 x 4 0 0   0 0 0 0 0     0 0 0   0 0 0   0 0   0 0 0       0  0  0 0 0 matriz 2 x 3 matriz 4 x 2 matriz 3 x 3
  • 10. Matriz Quadrada de ordem n – É toda matriz do tipo n x n, isto é, que possui igual número de linhas e colunas.  a11 a12 a13 ... a1n    a ... a 2n  21 a 22 a 23     A = (aij )m x n =  a 31 a 32 a 33 ... a 3n     ... ... ... ... ...    an1 an2  an3 ... ann  Diagonal Principal Diagonal Principal ( i+j = n+1) ( i = j)
  • 11.  2 −1  3 − 2 0   6 − 2 −1 5        4 3   5 1 −3   0 3 2 −3          5 1 2 4  −6 0 2      −2 3 4 0   
  • 12. Matriz Triangular – É toda matriz quadrada composta apenas de zeros nos elementos acima ou abaixo da diagonal principal.  3 −2 5   3 0 0      0 1 −3   4 1 0         0 0 2  −2 5 6  Triangular Superior Triangular Inferior
  • 13. Matriz Diagonal – É toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.  2 0 4 0 0 5 0 0        0 3  0 −2 0  0 2 0           0 0 5 0 0 0  0 0    0 0  
  • 14. Matriz Identidade ( ou Unitária ) – É toda matriz diagonal, com ordem igual ou superior a 2, em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1. 1 0 I2 =   0 1 1 0 0     1 0 0 0 I 3 = 0 1 0     0 1 0 0   I4 =   0 0 1   0 0 1 0   0  0 0 1 
  • 15. Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)pxq , essas matrizes serão iguais quando as matrizes forem da mesma ordem e todos os elementos correspondentes de uma e outra forem iguais.  4 2  4 2  =  ambas são 2 x 2  −1 3   −1 3      são iguais  5 − 1 3   5 −1 3       0 4 2 ≠ 0 4 1 ambas são 3 x 3         não são iguais  2 − 3 1   2 −3 1 
  • 16. EXEMPLO 03 Determine x, y, z e t, para que se tenha:  x 2 y   25 −4         10 3z  = 10 9         4x t   20 − t    SOLUÇÃO As duas matrizes são de ordem 3 x 2. Falta agora fazer a igualdade entre os termos correspondentes.  x=5  ; 4x = 20 ⇒ x = 5 2 x = 25 ⇒ x = ± 25 = ±5   x = −5  ; t = − t ⇒ 2t = 0 ⇒ t = 0 y = −4 ; 10 = 10 ; 3z = 9 ⇒ z = 3
  • 17. EXEMPLO 04 Calcule a soma de matrizes abaixo. Soma de Matrizes – É uma operação de soma dos  6 3   2 −4  elementos correspondentes     de duas matrizes de 10 4  +  −1 0      mesma ordem, gerando     uma nova matriz de mesma  5 1   10 −1 ordem. SOLUÇÃO  8 − 1 As duas matrizes são de ordem   3 x 2. Então a soma é 9 4     15 0 
  • 18. I ) A+(B+C)=(A+B)+C Enfermeira, estou com febre ! II ) A + B = B + A III) A + 0 = 0 + A IV) A + (−A) = −A + A = 0
  • 19. Multiplicação de Escalar por Matriz – É uma operação similar a uma soma de matrizes, onde todas essas matrizes são iguais. Portanto, basta multiplicar o escalar por cada elemento da matriz. EXEMPLO 05 Calcule o resultado SOLUÇÃO da multiplicação de escalar por matriz  2 −1 3   10 −5 15  indicada abaixo. 5.  =   6 4 −2   30 20 −10       2 −1 3  5.    6 4 −2   
  • 20. I ) ( λ. µ ).A = λ.(µ.A) II ) ( λ + µ ).A = λ.A + µ.A III) ( λ − µ ).A = λ.A − µ.A IV) λ.( A + B ) = λ.A + λ.B V) 1 A = A
  • 21. Oposta de Matriz – É obtida multiplicando o escalar −1 pela matriz dada. EXEMPLO 06 Calcule o resultado SOLUÇÃO da multiplicação de escalar por matriz  3 − 1   −3 1  indicada abaixo.      −4 2   4 −2   3 −1 ( −1).  =         5 0   −5 0   −4 2  ( −1).          2 −3   −2 3       5 0    2 −3   
  • 22. Subtração de Matrizes – É uma operação de soma de uma matriz com a oposta da segunda. EXEMPLO 07 Calcule o resultado SOLUÇÃO da diferença de matrizes indicada  6 3   2 −4   4 7  abaixo.       10 4  −  −1 0  =  11 4   6 3   2 −4                  10 4  −  −1 0   5 1   10 −1  −5 2           5 1   10 −1
  • 23. Produto de Matrizes – Dadas duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)p x q , chama-se produto das matrizes A e B, a matriz C = (cij)m x q , onde só é possível efetuar essa operação se n = p. A ordem da matriz produto é obtida pelo número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz. Só é possível efetuar o produto de duas matrizes, se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.
  • 24. I ) ( A.B ).C = A.( B.C ) II ) ( A + B ).C = A.C + B.C III) C.( A + B ) = C.A + C.B IV) ( α.A ).B = A .(α.B ) = α (A.B) onde α ∈ IR V) A.B ≠ B.A , em geral. Se A.B = B.A, então A e B comutam. VI) Se A.B = 0, não é necessário que A = 0 ou B = 0, porém se A.B = 0, qualquer que seja B, então A = 0. Da mesma forma se A.B = 0, qualquer que seja A, então B = 0.
  • 25. EXEMPLO 08 SOLUÇÃO Calcule o resultado da  1 − 1 Matriz diferença de matrizes   1 2 3 Produto indicada abaixo. 2 2  .   é 3x  1 − 1    4 −5 1  3 Produto   1 2 3     2 2  .  3 4   possível    4 −5 1  3x2 2x3     = 3 4  1 1 1 2 1 3 −1 4 −1 −5 −1 1 Matriz −3 7 2 Produto 2 1 2 2 2 3 é da 10 −6 8 2 4 2 −5 2 1 forma: 3 1 3 2 3 3 19 −14 13 4 4 4 −5 4 1
  • 26. 0 A = In 1 A =A 2 A = A.A 3 A = A.A.A n A = A.A.A....A
  • 27. EXEMPLO 09 Dada a matriz A abaixo, calcule A0 , A2 e A3.  4 2 SOLUÇÃO A=   −1 3  1 0   A0 = I 2 =   0 1    4 2   4 2   14 13  A 2 = A.A =  . =   − 1 3   − 1 3   −7 7         14 13   4 2   43 −11 A 3 = A 2 .A =  . =   −7 7   −1 3   −35 7       
  • 28. EXEMPLO 10 Dada a matriz A abaixo, calcule A1 + A2 + A3 + ... + A200. 1 0  SOLUÇÃO A=  1 0  1 0  1 0 1 0    A 2 = A.A =  . =  A matriz A é IDEMPOTENTE.  1 0  1 0  1     0  1 0  1 0  1 0  A 3 = A 2 .A =  . =  1 0  1 0  1 0        1 0  1 0  1 0  A 200 =  . =  1 0  1 0  1 0        1 0   200 0 A1 + A 2 + ... + A 200 = 200.  =  1 0   200    0 
  • 29. EXEMPLO 11 Uma indústria fabrica certa máquina em dois modelos diferentes, A e B. O modelo A utiliza 4 condensadores, 3 interruptores e 7 válvulas; o modelo B utiliza 3 condensadores, 2 interruptores e 9 válvulas. Em novembro, foram encomendadas 3 máquinas do modelo A e 2 do modelo B; e em dezembro, 2 máquinas do modelo A e 1 do modelo B. Qual o número de condensadores, interruptores e válvulas em cada um dos meses para fabricar essas encomendas? SOLUÇÃO Sugestão: monte primeiramente uma tabela peças x modelos e posteriormente monte uma tabela modelo x meses.
  • 30. Transposição de Matrizes – Dada uma matriz A = (aij)m x n sua transposta é a matriz At = (aji)n x m. Na prática é a operação de troca de posição dos elementos da linha i para a coluna i. EXEMPLO 12 Obtenha a transposta SOLUÇÃO da matriz abaixo.  6 −2   6 −3 2 1  A=     −2 4 0 −4   −3 4    At =     2 0    1 −4   
  • 31. Matrizes Simétrica – É uma matriz em que A = At, isto é, uma a b c matriz em que os elementos a b     ; b d e dispostos simetricamente em b  d     relação à diagonal principal são  c e f iguais. Matrizes Anti-Simétrica – É uma matriz em que A = −At, isto é, uma matriz em que os 0 a b elementos dispostos 0 a     ;  −a 0 c simetricamente em relação à −a  0     diagonal principal são simétricos.  −b −c 0 Os elementos da diagonal principal são iguais a zero.
  • 32. I ) ( A + B )t = At + Bt II ) ( λ.A )t = λ.At Cuidado com a Propriedade V, III) (At)t = A que ela induz ao erro ! IV) (−A)t = −At V) (A.B)t = Bt.At
  • 33. Determinante de uma Matriz – Considerando apenas as matrizes quadradas M de elementos reais, o determinante dessa matriz quadrada, representada por det M, será o número obtido pela operação de seus elementos da seguinte forma: Se a matriz quadrada é de ordem n = 1, temos: M = a11  ⇒ det M=det a11  = a11 = a11     Se a matriz quadrada é de ordem n = 2, temos:  a11 a12   a11 a12  M=  ⇒ det M=det  = a a 22  a a 22   21   21  a11 a12 = = a11 .a 22 − a12 .a 21 a 21 a 22 − +
  • 34. Se a matriz quadrada é de ordem n = 3, temos:  a11 a12 a13   a11 a12 a13      M = a 21 a 22 a 23  ⇒ det M=det a 21 a 22 a 23  =         a 31 a 32 a 33  a 31 a 32 a 33  a11 a12 a13 a11 a12 = a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 = a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 − − − + + +
  • 35. = a11 .a 22 .a 33 + a12 .a 23 .a 31 + a13 .a 21 .a 32 − a13 .a 22 .a 31 − a11 .a 23 .a 32 − a12 .a 21 .a 33 Pierre Frédéric Sarrus (1789-1861)
  • 36. Se a matriz quadrada é de ordem n natural, onde n ≥ 4, aplicaremos o Teorema de Laplace, que também é válido para determinantes de ordens 1, 2 e 3. Para tanto, basta escolhermos uma linha ou coluna do determinante e calcular os somatórios dos produtos dos elementos da fila escolhida pelos respectivos co-fatores.  a11 a12 ... a1j ... a1n  Pierre Simon   a ... a 2n  Laplace 21 a 22 ... a 2j (1749-1827) M=    Físico,  ... ... ... ... ... ...  Astrônomo e   Matemático an1 an2 ... an3 ... ann   
  • 37. Vamos escolher uma coluna genérica j, teremos:  a11 a12 ... a1j ... a1n    a ... a 2n  21 a 22 ... a 2j M=    j  ...  ... an1 an2 ... ... ... anj ... ...  ... ann   det M = ∑ anj .Anj   n =1 onde : Anj = ( −1)n + j .Dnj Determinante de ordem uma unidade abaixo, obtido eliminando-se a linha e a coluna onde se encontra anj.
  • 38. Se escolhermos uma linha genérica i, teremos:  a11 a12 ... a1n    a ... a 2n  21 a 22     i  ... ∑ ain .Ain ... ... ...  M=  det M =  ai1 ai1 ... ain    n =1  ... ... ... ...    a ... ann   n1 an2  onde : i+n A in = ( −1) .Din Determinante de ordem uma unidade abaixo, obtido eliminando-se a linha e a coluna onde se encontra anj.
  • 39. EXEMPLO 13 Calcule o valor dos determinantes das matrizes abaixo. 2 1 3  3 2   a)A =   b)B =  1 4 2 1 4       5 3 1 1 2 3 −4 2    2 4 2 4 0 1 0 0 0     0 1 1 0   d)D =  0 4 0 2 1 c)C =       1 0 2 3  0 −5 5 1 4     3  0 1 0  0 1  0 −1 2  
  • 40. Inversão de Matrizes – Se A é uma matriz quadrada de ordem n, dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = In. Dada uma matriz inversível M, chama-se inversa de A, a matriz M−1 , que é única, tal que M. M−1 = M−1 .M = In. Quando uma matriz M não é inversível, ela é dita matriz singular.
  • 41. I ) (A−1)−1 = A II ) A matriz unidade é a sua própria inversa. III) (α.A)−1 = (1/α). A−1 Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, temos: IV) ( α.A ).B = A .(α.B ) = α (A.B) onde α ∈ IR V) A.B ≠ B.A , em geral. Se A.B = B.A, então A e B comutam.
  • 42. Lembrando que M. M−1 = In. Por meio de determinantes, temos: M−1 é a matriz M invertida. 1 . ( M ') −1 t det M é o determinante da M = det M matriz M a inverter. (M’)t é a matriz de cofatores transposta de M. Por meio de operações elementares.
  • 43. EXEMPLO 12 Obtenha a matriz inversa das matrizes abaixo, pelos 3 processos. 1 0 2 1 2   a)A =   c)C =  2 1 3  3 4       3 1 0 1 4 7    3 6 b)B =   d)D =  2 5 8     2 4      3 6 9
  • 44. SOLUÇÃO I −1 1 2 x z  A.A = I2 ⇒   .A −1 = I 2 A −1 =   3 4 y w      2x2 2x2 2x2  1 2  x z   1 0  x + 2y z + 2w   1 0    . = ⇒  =   3 4  y w   0 1        3x + 4y 3z + 4w   0 1      AGORA É SÓ RESOLVER OS SISTEMAS
  • 45.  1 2  x z   1 0  x + 2y z + 2w   1 0    . = ⇒  =   3 4  y w   0 1        3x + 4y 3z + 4w   0 1       x + 2y = 1   z + 2w = 0     3x + 4y = 0   3z + 4w = 1  1 2 1 1 2 0 3 4 0 3 4 1 −2 −3 −2 1 y = 3/2 w = −1/2 x = −2 z=1  x z   −2 1  A −1 =  =   y w   3 / 2 −1/ 2     
  • 46. SOLUÇÃO II 1 1 . ( M ') . ( A') −1 t −1 t M = A = det M det A 1 2 1 2 A=  ;det A = = 1.4 − 2.3 = −2 3 4   3 4 A11 = ( −1)1+1 . 4 = 4 A12 = ( −1)1+ 2 . 3 = −3 A 21 = ( −1)2+1 . 2 = −2 A 22 = ( −1)2+ 2 . 1 = 1  4 −3   4 −2  A' =   ⇒ (A')t =    −2 1     −3 1    1  4 −2   − 2 1  A −1 = . =  −2  −3 1   3 / 2 −1/ 2     
  • 47. SOLUÇÃO III 1 2 1 2 1 0 L1 = 2.L1 − L2  − 1 0 2 − 1 A= ⇒      3 4  3 4 0 1    3 4 0 1    L2 = L2 + 3.L1  − 1 0 2 −1  L1 = − L1  1 0 −2 1       0 4 6 −2    L4 = L4 : 4  0 1 3 / 2 − 1/ 2    PERCEBERAM QUE OS RESULTADOS BATERAM ?
  • 48. Está caindo uma chuva de Matrizes e Determinantes!