O documento explica os conceitos básicos de triângulo retângulo, incluindo a definição, os nomes dos lados, as relações trigonométricas e o Teorema de Pitágoras. É apresentado um exemplo numérico para ilustrar cada conceito-chave.

1. 1
Triângulo retângulo
Chamamos de triângulo retângulo àquele que possui ângulo reto, isto é, medindo 90°. Como
a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, no triângulo retângulo os ângulos agudos são
complementares, pois somam 90°.
No triângulo retângulo, os lados recebem nomes específicos: catetos e hipotenusa. A
hipotenusa é o maior seguimento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto, e os catetos são
os lados opostos aos ângulos agudos.
B
Temos o triângulo retângulo ABC, onde:
a Hipotenusa: a
c
Catetos: b e c
A b C
Os vértices são identificados com letras maiúsculas e os lados por letras minúsculas.
Considerando o ângulo no vértice B. Dizemos que AC é o cateto oposto a B e AB é cateto
adjacente a B
B
Considerando o ângulo no vértice B.
Dizemos que AC é o cateto oposto a B e
Cateto adjacente a B AB é cateto adjacente a B
A C
Cateto oposto a B
B
Fixando o ângulo no vértice C. Dizemos
que AB é o cateto oposto a B e AC é
Cateto oposto a C cateto adjacente a C
A C
Cateto adjacente a C
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2. 2
Relações trigonométricas
Dado um triângulo retângulo qualquer, definem-se três razões trigonométricas para os dois
ângulos agudos do triângulo. Sabendo identificar os catetos as razões são seno (sen), cosseno (cos)
e tangente (tg).
• Razão seno: O seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão
existente entre as medidas do cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.
seno de um ângulo = cateto oposto ao ângulo
hipotenusa
• Razão cosseno: O cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a
razão existente entre as medidas do cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
cosseno de um ângulo = cateto adjacente ao ângulo
hipotenusa
• Razão tangente: A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a
razão existente entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo.
tangente de um ângulo = cateto oposto ao ângulo .
cateto adjacente ao ângulo
Por exemplo, no triângulo retângulo da figura, temos:
B
sen B = AC sen C = AB
BC BC
cos B = AB cos C = AC
BC BC
tg B = AC tg C = AB
A C AB AC
A primeira constatação importante relaciona-se ao ângulo complementares:
sen B = cos C
cos B = sem C .: B + C = 90°
tg B = 1 .
tg C
Se dois ângulos são complementares então o seno de um deles é igual ao cosseno do
complementar. As tangentes de ângulos complementares são iversas.
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3. 3
Observação:
As razões trigonométricas mais empregadas nos problemas práticos de Física ou
Matemática são para os ângulos 30°, 45° e 60°, conforme a tabela a seguir:
30° 45° 60°
1 √2 √3
sen
2 2 2
√3 √2 1
cos
2 2 2
√3
tg 1 √3
3
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele
descreve uma relação existente no triângulo retângulo.
Representação gráfica do Teorema de Pitágoras.
O quadrado da medida da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Exercícios de fixação
1. Determine as razões trigonométricas nos triângulos.
a) b) c)
C
C
C
15
5 √5
4 10
B
12
A B A
3 9 B
5
A
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4. 4
2. Calcule x nas figuras:
a) c)
5 cm 18 cm
x
30° 45°
x
b) 10 cm d)
√3 cm
45°
60° x
x
3. Um observador de 1,70 m vê um pássaro no alto de um prédio sob um ângulo de 60°. Sabendo
que o observador está a 30 m do prédio, determine a altura do prédio.(Use √3 = 1,73)
4. Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma
pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:
a) 6√3 m b) 12 m c) 13,6 m d) 9√3 m e) 18 m
5. Determine a medida x em da triângulo.
a) f)
x 7 cm 9 cm x
3 cm 8 cm
b) g)
10 cm 18 cm 16 cm 20 cm
x x
c) 12 cm h)
5 cm
x
16 cm
20 cm
x
25 cm
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5. 5
d) x
i)
3 cm
x
12 cm
13 cm
3√2 cm
4 cm
e) j)
11 cm 8 cm
19 cm 5 cm
x
x 8 cm
6. Um triângulo retângulo isósceles é tal que a hipotenusa mede 5 cm. Calcule a medida de um de
seus catetos.
7. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 25 cm e a soma dos catetos é 35 cm. Determine a
medida de cada cateto.
8. Os catetos de um triângulo retângulo têm a mesma medida. Se a hipotenusa mede 5√2 cm,
determine a medida dos catetos.
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6. 6
Gabarito
1.
a) sen A = 4 sen C = 3 b) sen B = 12 sen C = 9 c) sen B = 10 sen C = 5
5 5 15 15 √5 √5
cos A = 3 cos C = 4 cos B = 9 cos C = 12 cos B = 5 cos C = 10
5 5 15 15 √5 √5
tg A = 4 tg C = 3 tg B = 12 tg C = 9 tg B = 10 tg C = 5
3 4 9 12 5 10
2.
a) c) cos 45° = x → √2 = x .
sen 30° = x → 1=x
18 2 18
5 2 5
2x = 18√2 → x = 18√2 = 9√2 cm
2x = 5 → x = 5/2 = 2,5 cm
2
b) sen 60° = x → √3 = x . d) cos 45° = x → √2 = x .
10 2 10 √3 2 √3
2x = 10√3 → x = 10√3 = 5√3 cm 2x = √2 . √3 → x = √6 cm
2 2
3. De acordo com os dados do problema podemos verificar que a altura do prédio (h) é a soma da
altura do observador com o cateto oposto ao ângulo de 60°, que chamaremos de x.
Assim h = x + 1,7.
Aplicamos a definição de tangente para encontrarmos o valor de x:
tg 60° = x → √3 = x . → x = 30√3 m
30 30
Então: h = 30√3 + 1,7 = 30 . 1,73 + 1,7 = 51,9 + 1,7 ≅ 53,6 m
4. OPÇÃO E.
sen 30° = x → 1= x .
36 2 36
2x = 36 → x = 36/2 = 18 m
5.
a) a2 = b2 + c2 f) a2 = b2 + c2
x2 = 32 + 72 92 = 82 + x2
x2 = 9 + 49 81 = 64 + x2
x2 = 58 x2 = 81 - 64
x = √58 cm x = √17 cm
b) g) a2 = b2 + c2
a2 = b2 + c2
202 = 162 + x2
182 = 102 + x2
400 = 256 + x2
324 = 100 + x2
x2 = 400 - 256
x2 = 324 - 100
x = √144
x = √224 cm
x = 12 cm
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7. 7
c) h) a2 = b2 + c2
a2 = b2 + c2 a2 = b2 + c2
x2 = 162 + (25 + y)2
x2 = 52 + 122 202 = 162 + y2
x2 = 256 + (25 + 12)2
x2 = 25 + 144 400 = 256 + y2
x2 = 256 + 372
x2 = 169 y2 = 400 – 256
x2 = 256 + 1369
x = √169 y = √144
x2 = 1625
x = 13 cm y = 12 cm
x = √1625 cm
d) i) a2 = b2 + c2
a2 = b2 + c2 a2 = b2 + c2 x2 = 122 + (4 + y)2
(3√2)2 = 32 + x2 132 = 122 + y2 x2 = 122 + (4 + 5)2
18 = 9 + x2 169 = 144 + y2 x2 = 122 + 92
x2 = 18 - 9 y2 = 169 – 144 x2 = 144 + 81
x = √9 y = √25 x2 = 225
x = 3 cm y = 5 cm x = √225
x =15 cm
e) a2 = b2 + c2 j) a2 = b2 + c2 a2 = b2 + c2
192 = 52 + x2 y2 = 82 + 82 (8√2)2 = 112 + x2
361 = 25 + x2 y2 = 2 . 82 128 = 121 + x2
x2 = 361 - 25 y = √(2. 82) x2 = 128 - 121
x = √336 cm y = 8√2 cm x = √8 cm
6. Devemos lembrar que um triângulo isósceles possui dois lados iguais, assim teremos:
Hipotenusa = 5 cm
Catetos = x
Aplicando o Teorema de Pitágoras
a2 = b2 + c2
52 = x2 + x2
25 = 2x2
x2 = 25/2
x = √(25/2)
x = 5 . √2
√2 √2
x = 5√2 cm
2
7. x e y catetos Substituindo (1) em (2). y = - b ± √∆
2a
x + y = 35 (35 – y)2 + y2 = 625 y = - (- 35) ± √25
x = 35 – y (1) 352 – 2 . 35 . y + y2 + y2 = 625 2.1
1225 – 70y + 2y2 – 625 = 0 y = 35 ± 5
a2 = b2 + c2 2y2 + 70y + 600 = 0 2
252 = x2 + y2 y2 – 35y + 300 = 0 y’ = 35 – 5 → y’ = 15
625 = x2 + y2 2
x2 + y2 = 625 (2) ∆ = b2 – 4 . a . c y’’ = 35 + 5 → y’’ = 20
∆ = (- 35)2 – 4 . 1 . 300 2
∆ = 1225 – 1220
∆ = 25
Para y’ = 15 temos: x’ = 35 - 15 → x’ = 20
Para y’’ = 20 temos: x’’ = 35 - 20 → x’’= 15
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8. 8
A medida dos catetos são 20 cm e 15 cm.
8.
a2 = b2 + c2
(5√2)2 = x2 + x2
50 = 2x2
x2 = 50/2
x = √25
x = 5 cm
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9. 8
A medida dos catetos são 20 cm e 15 cm.
8.
a2 = b2 + c2
(5√2)2 = x2 + x2
50 = 2x2
x2 = 50/2
x = √25
x = 5 cm
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10. 8
A medida dos catetos são 20 cm e 15 cm.
8.
a2 = b2 + c2
(5√2)2 = x2 + x2
50 = 2x2
x2 = 50/2
x = √25
x = 5 cm
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11. 8
A medida dos catetos são 20 cm e 15 cm.
8.
a2 = b2 + c2
(5√2)2 = x2 + x2
50 = 2x2
x2 = 50/2
x = √25
x = 5 cm
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