1. Geometria Plana
Princípios básicos de Geometria Plana.
Os estudos iniciais sobre Geometria Plana estão relacionados à Grécia Antiga, também
pode ser denominada Geometria Euclidiana em homenagem a Euclides de Alexandria
(360 a.C. - 295 a.C.), grande matemático educado na cidade de Atenas e frequentador
da escola fundamentada nos princípios de Platão.
Os princípios que levaram à elaboração da Geometria Euclidiana eram baseados nos
estudos do ponto, da reta e do plano. O ponto era considerado um elemento que não
tinha definição plausível, a reta era definida como uma sequência infinita de pontos e o
plano definido através da disposição de retas.
As definições teóricas da Geometria de Euclides estão baseadas em axiomas,
postulados, definições e teoremas que estruturam a construção de variadas formas
planas. Os polígonos são representações planas que possuem definições, propriedades e
elementos.
Podemos relacionar à Geometria plana os seguintes conteúdos programáticos:
Ponto, reta e plano
Posições relativas entre retas
Ângulos
Triângulos
Quadriláteros
Polígonos
Perímetro
Áreas de regiões planas
Ângulos
Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem.
As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do

2. ângulo.
A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de
medidas, é o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto ’ e o
segundo ”.
Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos).
O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor, podendo ele
ser de “meia volta” (180º) ou volta inteira (360º).
Classificação de ângulos
Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas:
Agudo: ângulo com medida menor que 90º.
Reto: ângulo com medida igual a 90º.
Obtuso: ângulo com medida maior que 90º.
Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º.
agudo
reto
obtuso
raso
Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do
ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais.

3. Retas paralelas cortadas por uma transversal
Ângulos correspondentes: a e e, d e h, b e f, c e g
Ângulos colaterais externos: a e h, b e g
Ângulos colaterais internos: eed, c e f
Ângulos alternos externos: a e g, b e h
Ângulos alternos internos: d e f, c e e
Congruentes
Suplementares
Suplementares
Congruentes
Congruentes
Tipos de triângulos
Classificação segundo a medida relativa dos lados
Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:
Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Pode-se verificar
que um triângulo eqüilátero é também eqüiângulo, ou seja, possui todos os seus
ângulos internos congruentes (e com medida 60°). Por este motivo, este tipo de
triângulo é também um polígono regular.
Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados congruentes. Num
triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado
ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e, como
se pode verificar, são congruentes. Note que os triângulos equiláteros também
são isósceles.
Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. É possível
mostrar que os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem
medidas diferentes.
Denomina-se base o lado sobre qual apóia-se o triângulo. No triângulo isósceles,
considera-se base o lado de medida diferente.
A seguir é mostrada a classificação de alguns triângulos de acordo com o critério
anterior:

4. Exemplo de triângulo equilátero
Este triângulo é equilátero, pois possui os três lados congruentes. Em particular, como
seus lados são dois a dois congruentes, ele é um triângulo isósceles. Pode-se observar
que seus todos os seus ângulos internos medem 60°, e por isso ele é equiângulo.
Exemplo de triângulo isósceles que não é equilátero
Neste triângulo há somente dois lados congruentes: os que têm medida . Por este
motivo, o triângulo é isósceles, mas não é equilátero. Além disso, cada um destes dois
lados forma um ângulo de medida com a base do triângulo.
Exemplo de triângulo escaleno
Aqui, cada um dos lados tem um comprimento diferente dos demais. Assim, este é um
triângulo escaleno. Observe ainda que nenhum par de ângulos internos tem a mesma
medida.
Classificação de acordo com seus ângulos internos
Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:
Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo,
denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamamse catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.

5. Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos.
Exemplo de triângulo retângulo
Um ângulo reto. Possui um ângulo de 90º.
Exemplo de triângulo obtusângulo
Um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
Exemplo de triângulo acutângulo
Todos os três ângulos são agudos. Ou seja, menor que 90º
Soma dos ângulos internos
Na geometria euclidiana, de acordo com o teorema angular de Tales, a soma dos
ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos).
Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas
as medidas dos outros dois ângulos.
Soma dos ângulos externos
Existe também um corolário, que afirma que a medida de um ângulo externo de um
triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.
Exemplo: Se os ângulos internos de um triângulo forem:
a resposta final
será assim: Resolução:
,
. Porque o ângulo externo é a
igual à soma dos ângulos internos duas vezes.

6. Relações de desigualdades entre lados e ângulos
1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos
internos não-adjacentes.
2ª relação: Se dois lados de um triângulo tem medidas diferentes, ao maior lado opõe-se
o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo.
3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das
medidas dos outros dois.
Área do triângulo
Existem várias formas de se expressar a área A de um triângulo:
Dadas a base b e a altura h:
Dados dois lados a e b e o ângulo γ entre eles compreendido:
Dados os três lados a, b e c:
, onde p é o
semiperímetro (metade do perímetro). Essa fórmula é conhecida como fórmula
de Heron.
Se o triângulo for equilátero de lado L, sua área pode ser obtida pela fórmula:
Congruência
Critério LLL
Lado-Lado-Lado.
Critério LAL
Lado-Ângulo-Lado.
Critério ALA
Ângulo-Lado-Ângulo.
Critério LLAr
Lado-Lado-Ângulo reto.

7. Semelhança
Critério LLL
Segundo o critério LLL (lado-lado-lado), existe semelhança entre dois triângulos se os
três lados de um são proporcionais aos três lados correspondentes do outro.
Critério LAL
Segundo o critério LAL (lado-ângulo-lado), existe semelhança entre dois triângulos se
têm entre si dois pares de lados correspondentes proporcionais e se os ângulos por eles
formados forem iguais.
Critério AA
Segundo o critério AA (ângulo-ângulo), existe semelhança entre dois triângulos se eles
têm dois ângulos iguais.
Quadriláteros
Definição:
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
Propriedades:
A soma de todos os seus ângulos internos é igual a 360º.

8. Os quadriláteros são classificados da seguinte forma :
Figuras
Figuras Geométricas
Definições
Propriedades
Não Trapézios
Paralelogramo
Quadrado
Rectângulo
Paralelogramo é um
quadrilátero em que os
lados opostos são
paralelos.
Quadrado é uma figura
plana limitada por quatro
segmentos, de forma que
os seus lados sejam todos
iguais entre si
(AB.=BD=DC=CA).
Rectângulo é uma figura
plana limitada por quatro
segmentos, de forma a
que os seus lados sejam
iguais dois a dois (AC=BD
e AB=CD).
A soma de dois
ângulos
consecutivos é
de 180º;
As diagonais
cortam-se no
ponto médio;
Os lados opostos
são congruentes;
Os ângulos
opostos são
congruentes;
A área
Os ângulos deste
quadrilátero são
todos de 90º;
As suas
diagonais formam
entre si ângulos
de 90º;
Cada diagonal
forma um
triângulo
isósceles;
A área é o
quadrado do
comprimento do
lado (L x L)
O perímetro é a
soma de todos os
seus lados ( L+
L+ L + L)
Os lados opostos
de um rectângulo
são paralelos e
iguais entre si;
As diagonais de
um rectângulo
interceptam-se
formando pares
de ângulos

9. opostos e iguais
entre si;
A área é o
produto do seu
comprimento pela
a sua altura (C x
H)
O perímetro é a
soma de todos os
seus lados
Losango
ou
Rombo
Losango é um quadrilátero
com os lados opostos
paralelos (paralelogramo),
com os lados todos iguais
entre si.
Trapézio
Isósceles
Trapézio isósceles é um
quadrilátero que tem
apenas dois lados
paralelos e de
comprimentos diferentes.
Trapézio
Rectângulo
Trapézio rectângulo é um
quadrilátero que tem
apenas dois lados
paralelos e que tem um
ângulo recto
Trapézio
Escaleno
Trapézio escaleno é um
quadrilátero que tem
apenas dois lados
paralelos, cujos lados são
todos diferentes
As suas
diagonais são
perpendiculares;
As suas
diagonais são
bissectrizes dos
ângulos;
A área é igual à
área do
paralelogramo
O perímetro é a
soma de todos os
seus lados
Tem dois lados
iguais
Tem um eixo de
simetria
Tem um ângulo
recto
Não tem eixo de
simetria
Tem os lados
todos diferentes
Não tem eixo de
simetria

10. Cálculo de Áreas
Conhecer sobre área é conhecer sobre o espaço que podemos preencher em regiões
poligonais convexas – qualquer segmento de reta com extremidades na região só terá
pontos pertencentes a esta.
O cálculo de áreas tem muita aplicabilidade em diferentes momentos, seja em atividades
puramente cognitivas, ou até mesmo trabalhistas. Um exemplo de profissional que faz
uso dessa ferramenta para tornar possível o desempenho do seu trabalho é o pedreiro. É
através do conhecimento de área que é possível estimar a quantidade de cerâmica
necessária para pavimentar um determinado cômodo de uma casa, por exemplo.
O quadrado
O quadrado é uma figura geométrica plana regular em que todos os seus lados e ângulos
são iguais. Veja um exemplo de quadrado na figura a seguir:

11. Para calcular a área de um quadrado basta que se multipliquem dois dos seus lados l
entre si.
Exemplo 1
Para pavimentar a sala de sua casa D. Carmem comprou 26 m2 de piso.
Sabendo que a sala tem o formato quadrangular e que um dos lados mede 5 m, diga se o
piso comprado por D. Carmem será suficiente para pavimentar a sua sala.
A sala tem o formato quadrangular;
O seu lado mede 5 m;
A área do quadrado é A = l 2.
Com base nos dados acima temos:
Conclui-se então que o piso comprado por D. Carmem será suficiente para pavimentar
sua sala e ainda sobrará 1 m2.
Lembrete: a unidade de medida de área mais utilizada é o metro quadrado (m2),
porém em alguns casos usa-se o km2, cm2, etc.
O retângulo
O retângulo é uma figura geométrica plana cujos lados opostos são paralelos e iguais e
todos os ângulos medem 90º. Confiram o retângulo abaixo:

12. Para calcular a área do retângulo, basta que se multipliquem seu comprimento c pela
largura l.
Exemplo 2
Num campeonato de futebol a equipe organizadora do evento está providenciando o
gramado que será plantado em toda área do campo. Para comprar as gramas, a equipe
precisa saber a área do campo, pois a grama é vendida por metro quadrado. Sabendo
que o campo tem 115 m de comprimento por 75 m de largura e ainda que o campo tem
o formato retangular, ajude a equipe a solucionar o problema, diga quantos metros
quadrados de área tem o campo de futebol?
O triângulo
O triângulo é uma figura geométrica plana formada por três lados e três ângulos. A
soma dos seus ângulos internos é igual 180º.

13. Para calcular a área do triângulo multiplica-se a base b pela altura h e divide o resultado
por 2 (metade da área do retângulo).
Exemplo 3
Encontre a área de um triângulo cuja base mede 8,2 cm e a altura 3,6 cm.
O trapézio
O trapézio é uma figura plana com um par de lados paralelos (bases) e um par de lados
concorrentes.
Para calcular a área do trapézio adiciona-se a base maior c à base menor a, ao resultado
da soma multiplica-se a altura, e por fim, divide-se o resultado final por 2.

14. Exemplo 4
Um fazendeiro quer saber a área de um lote de terra que acabara de comprar. O lote tem
o formato de um trapézio. Sabendo que a frente mede 1020 m, o fundo, 815 m e a
distância da frente ao fundo é de 510 m. Determine a área do lote.
Conclusão
A necessidade geométrica perpassou o tempo e está impregnada em nossas vidas nos
dias atuais. O conhecimento da Geometria Plana (Euclidiana) é tão importante que não é
possível o caminhar separado da sua prática e do seu entendimento.
“Caminhemos sobre as curvas das formas e encontraremos um universo ainda não
desbravado”. Robison Sá.