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Trigonometria
Antecedentes :
O ramo da matemática , cuja raiz significa "a medição de triângulos " , e encarregada de estudar os
ângulos, os lados de qualquer triângulo ea relação que existe entre eles. Objetivo:

 O propósito da trigonometria é estabelecer relações matemáticas entre as medidas dos comprimentos dos
segmentos que formam os lados de um triângulo com as medidas das amplitudes dos ângulos, de modo
que é possível calcular um pelos outros.

VERTEX, ANGLE (positivos e negativos)
Um ângulo é a região do plano entre dois raios ( os lados ) com uma origem comum ( vértice ) . O ângulo
é positivo se ele se move na direção oposta se movendo no sentido horário e negativo se contrário.




trigo3-2.jpg

Ângulo parte plana entre duas linhas que se cruzam




Ver Vídeo (classificação dos ângulos)

Sistemas de unidades de medir ângulos e Conversão
L uma unidade de
medida de ângulos
é chamado de grau
, eo resultado da
divisão de um
ângulo reto em 90
partes iguais,
portanto, um
ângulo reto mede
90 °. O sistema de
medição dos
ângulos é chamado
sexagesimal , e
consiste das
seguintes medidas
sob a grade.




A notação utilizada para expressar graus, minutos e segundos é convencional. Por exemplo, a medida do
ângulo que você vire um navio pode ser escrito: 3 ° 32 '20 "NE e ler" 3 graus, 32 minutos, 20 segundos
para direção nordeste ".

Enquanto a escola não usar estas subunidades, astrônomos e agrimensores usá-los em seu trabalho e
caber-lhe saber o que é.
Outro exemplo interessante da utilização do sistema sexagesimal de ângulos de medição é a localização
geográfica de um lugar na superfície da Terra. A cidade de Montevidéu, por exemplo, está localizado a 34
° 54 '29 "de latitude Sul e 56 º 12 '29" de longitude oeste. No caso de latitude, o vértice de cada ângulo a
ser considerado é localizado no centro da Terra, em alterar o comprimento corresponde ao ângulo
formado por dois meridianos.




Sistema sexagesimal
O sistema de medição de ângulos é o que você usou durante os seus estudos anteriores, nele, a
circunferência é dividido em 360 partes iguais chamadas graus , o grau em 60 partes iguais chamadas
minutos e no minuto em 60 partes iguais, denominados segundos.
grau sexagesimal é a medida do ângulo central de um círculo de amplitude igual à parte ava 360 dele.
grads Sistema Este sistema é considerado a circunferência dividida em 400 graus, cada grau em 100
minutos e cada minuto em 100 segundo . Estes graus são chamados grads . Abreviaturas são: grad (gc);
minuto centesimal (mc), e segundo centesimal (sc). Assim, uma pós-graduação é a medida do ângulo
central de um círculo de amplitude igual a 400 ava parte dela. Cyclic Sistema Este sistema é formado e
definido da seguinte forma: em um círculo indica um arco de comprimento igual ao raio do círculo e os
raios são traçados para cada extremidade do arco, o ângulo central formado por estes dois raios é
chamado radianos , o radiano é dividido decimalmente, ou seja, em décimos, centésimos, milésimos, etc.
Assim, o radiano central é o ângulo subtendido por um arco igual
ao comprimento do raio do círculo

CONVERSÃO
1) Para converter de graus para radianos, multiplique por

pi,!
e dividido em 180 °




                          texto {rad} = {texto} graus cdotfrac {pi} {180} ^ circ

2) Para converter de radianos para graus, multiplique por 180 ° e dividir

pi,!




                          {Texto} {texto graus = rad} {180 ^ circ cdotfrac} {pi}


Classificação de Angles
Angles Los podem ser classificados de acordo com a sua medida em três tipos:
Treble: Quais são esses ângulos medir mais de 0 °, mas menos de 90 º.
Características filho de triângulo agudo.




Reta : Quais são os ângulos de medida 90 graus. S nas características dos triângulos retângulos.
Obtuso : O que mais os medir ângulos de 90 °, mas menos de 180 º. Características Filho de triângulos
obtusos.




Complementares: Dois ângulos são complementares se adicionar até 90 graus (ângulo recto).
Suplementar: Dois ângulos são suplementares se somam 180 graus


Funções trigonométricas

As funções trigonométricas surgem de uma forma natural para estudar o triângulo retângulo e observar
que os motivos (razões) entre os comprimentos de quaisquer dois lados depende apenas do valor dos
ângulos do triângulo são: mama : relação entre a perna oposta a hipotenusa.



Sen = a / c

Co-seno : relação entre o lado adjacente e hipotenuza.
Cos = b / c

Tangente: relação entre a perna perna oposta adjacente
As = a / b

Cossecante : Razão recíproca de mama
CSC 1/Sen = = c / a

Secagem : Linha que corta um círculo em dois pontos
S = 1/Cos = c / b

Cotangente : Razão recíproca da tangente
Cradle 1/tan = = b / a




Identidades trigonométricas
O Identidades Trigonométricas I desigualdades envolvendo funções trigonométricas. Essas identidades
são sempre úteis quando precisamos simplificar
                                                   expressões envolvendo funções trigonométricas
                                                   incluído, o que quer que os valores são atribuídos um
                                                   Angles são definidos para que Esras identidades
                                                   trigonométricas razones.Las nos permitem
                                                   representar a mesma expressão de diferentes
                                                   maneiras. Para simplificar expressões algébricas,
                                                   usamos a fatoração, denominadores comuns, etc Para
                                                   simplificar expressões trigonométricas usar estas
                                                   técnicas em conjunto com identidades
                                                   trigonométricas.


                                                   Identidades básicas:
Cosseno : ângulo em um triângulo retângulo é definido como a razão entre o lado adjacente hipotenusa:



De mama : A relação da perna oposta ea hipotenusa.



Tangente : É a relação entre as pernas do retângulo triângulo.
O valor numérico obtido pela divisão do comprimento entre o lado oposto do lado adjacente ao ângulo.


Identidades recíprocas :
Essas identidades recíprocas segure por qualquer ângulo para o qual o denominador não é zero.




 Pitágoras Relações
Por meio dessas relações, se sabemos a ação das pernas, podemos calcular a medida da hipotenusa (lado
oposto ao ângulo direito) e se soubermos a medida da hipotenusa ea perna de medição podemos calcular a
outra perna. 'Então' vai dizer que o teorema de Pitágoras é um teorema que é propagado Apenas um
triângulo retângulo, temos usado para obter um lado ou a hipotenusa do triângulo, se você sabe os outros
dois. Identidades relações de Pitágoras das seguintes opções:
Identidades dos ângulos complementares e suplementares s




Identidades para a Soma e Diferença de Ângulos




Identidades para a metade do ângulo-




Duplo ângulo trigonométricas
Ângulo duplo
Ângulo duplo



Ângulo duplo
Ângulo duplo




Ângulo duplo
Ângulo duplo



Teorema tangentes




teorema tangentes
teorema tangentes

Fórmula de Heron:


área
área


Outra identidades trigonométricas seria dividido:




EXEMPLO:


Obter a solução usando a identidade recíproca:



Note-se também o exemplo a seguir, que irá verificar outra identidade:
Sua solução:




                                                          ==


                                                          Sinais e os valores das funções . ==

                                                          seno e cossecante:
                                                          1 º quadrante: +
                                                          o quadrante 2: + 3 quadrante: -
                                                          o quadrante 4: -
cosseno e secante:
1 º quadrante: + o quadrante 2: -
3 quadrante: -
o quadrante 4: +
tangente e cotangente :
1 º quadrante: +
o quadrante 2: -
3 quadrante: +
o quadrante 4: -

Você vai notar que o sinal das razões trigonométricas depender do quadrante onde o ponto




== ==


Triângulo retângulo
= **
cobertclinom.gif
Para definir as relações trigonométricas de ângulos: α, o vértice A , é parte de um triângulo retângulo que
contém este ângulo arbitrário. O nome dos lados deste triângulo para ser usado no futuro serão:


A hipotenusa ( h ) é o lado oposto ao ângulo direito, ou lado maior do triângulo.
O lado oposto ( um ) é o lado oposto ao ângulo queremos determinar.
O lado adjacente ( b ) é o lado adjacente ao ângulo a partir do qual determinamos.

**=



Teorema de Pitágoras:
Trigonométricas identidades
c (hipotenusa)
b (oposto)
q
para (adjacentes)




As funções trigonométricas são funções periódicas, repita o valor da imagem a cada 360 º. Assim, temos:
cos 60 º = cos 420 º = 0,5 enredo Vamos, com mesas, as seguintes funções angular tomar valores de 0 ° a
360 °. Para facilitar o trabalho tomar cantos em intervalos de 45:




Para calcular o valor das tabelas trigonométricas funções trigonométricas foram preparadas que nos
permitem, conhecido ângulo, calcular os valores das funções trigonométricas:




 Ângulo de quadrante
Um ângulo em um sistema de coordenadas retangulares é a posição normal ou padrão se o seu vértice está
na origem e seu lado positivo inicial ao longo do eixo x. Se o lado do terminal de um ângulo que está na
posição normal, encontra-se em um eixo de coordenadas está a ser dito ângulo de quadrante
imagem externa image003.gif

Círculo unitário
é um círculo de raio 1No centro de unsistema elorigen coordenada retangular (cartesiana).




                     Circulo_Unitario.png
Algumas das funções trigonométricas não estão definidos para alguns números reais. Então, nós
precisamos determinar seus domínios:
 Domínio Funções trigonométricas
 Função Domínio
 Sen, Cos Todos os números reais
 Tan, Sec Todos os números reais diferentes de n / 2 + n π para qualquer inteiro n
 Cot, Csc Todos os números reais diferentes de n π para qualquer inteiro n
FUNÇÕES PERIÓDICAS
A função é periódica se satisfaz a condição de periodicidade, ou seja, se depois de certos intervalos de
tempo ou espaço constante, chamado de período, a função tem o mesmo valor de partida.
Em aplicações relacionadas com circuitos elétricos, a
    presença de uma força externa periódica. Tensões é
    usual ter uma onda dente de serra, as ondas na etapa, e
    assim por diante. Por isso, é necessário calcular a sua
    transforma.
    A função periódica é aquela que se repete na vida
    diária, podemos encontrar exemplos deles são as fases
    da lua em relação ao tempo.




                                                              imagem externa periodicfunction.gif
    ==

    == Funções periódicas APLICAÇÕES Geralmente as funções trigonométricas são funções periódicas, o
    caçula de tais valores positivos de t (se houver) é chamado o período de f. Cada um dos seno, cosseno,
    secante e cossecante têm período de 2 π e as outras duas funções trigonométricas (tangente e cotangente)
    tem período π




    Na vida cotidiana há muitos casos de funções periódicas quando a variável é o tempo , situações como o
    movimento dos ponteiros de um relógio ou as fases da lua mostram comportamento periódico. Um
    movimento por iodic é aquele em que a posição (s) do sistema pode ser expresso com base em funções
    periódicas, todos com o mesmo período.
    É muito comum, especialmente em aplicações relacionadas com circuitos eletivos, a presença de uma
    força externa periódica. Tensões é usual ter uma onda dente de serra, as ondas na etapa, e assim por
    diante. Por isso, é necessário calcular a sua transforma.
    As funções trigonométricas servir de modelo expressa as características matematicamente pêra de ondas
    sonoras.




.

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Trigonometria converter de graus para radianos

  • 1. Trigonometria Antecedentes : O ramo da matemática , cuja raiz significa "a medição de triângulos " , e encarregada de estudar os ângulos, os lados de qualquer triângulo ea relação que existe entre eles. Objetivo: O propósito da trigonometria é estabelecer relações matemáticas entre as medidas dos comprimentos dos segmentos que formam os lados de um triângulo com as medidas das amplitudes dos ângulos, de modo que é possível calcular um pelos outros. VERTEX, ANGLE (positivos e negativos) Um ângulo é a região do plano entre dois raios ( os lados ) com uma origem comum ( vértice ) . O ângulo é positivo se ele se move na direção oposta se movendo no sentido horário e negativo se contrário. trigo3-2.jpg Ângulo parte plana entre duas linhas que se cruzam Ver Vídeo (classificação dos ângulos) Sistemas de unidades de medir ângulos e Conversão
  • 2. L uma unidade de medida de ângulos é chamado de grau , eo resultado da divisão de um ângulo reto em 90 partes iguais, portanto, um ângulo reto mede 90 °. O sistema de medição dos ângulos é chamado sexagesimal , e consiste das seguintes medidas sob a grade. A notação utilizada para expressar graus, minutos e segundos é convencional. Por exemplo, a medida do ângulo que você vire um navio pode ser escrito: 3 ° 32 '20 "NE e ler" 3 graus, 32 minutos, 20 segundos para direção nordeste ". Enquanto a escola não usar estas subunidades, astrônomos e agrimensores usá-los em seu trabalho e caber-lhe saber o que é. Outro exemplo interessante da utilização do sistema sexagesimal de ângulos de medição é a localização geográfica de um lugar na superfície da Terra. A cidade de Montevidéu, por exemplo, está localizado a 34 ° 54 '29 "de latitude Sul e 56 º 12 '29" de longitude oeste. No caso de latitude, o vértice de cada ângulo a ser considerado é localizado no centro da Terra, em alterar o comprimento corresponde ao ângulo formado por dois meridianos. Sistema sexagesimal O sistema de medição de ângulos é o que você usou durante os seus estudos anteriores, nele, a circunferência é dividido em 360 partes iguais chamadas graus , o grau em 60 partes iguais chamadas minutos e no minuto em 60 partes iguais, denominados segundos. grau sexagesimal é a medida do ângulo central de um círculo de amplitude igual à parte ava 360 dele. grads Sistema Este sistema é considerado a circunferência dividida em 400 graus, cada grau em 100 minutos e cada minuto em 100 segundo . Estes graus são chamados grads . Abreviaturas são: grad (gc);
  • 3. minuto centesimal (mc), e segundo centesimal (sc). Assim, uma pós-graduação é a medida do ângulo central de um círculo de amplitude igual a 400 ava parte dela. Cyclic Sistema Este sistema é formado e definido da seguinte forma: em um círculo indica um arco de comprimento igual ao raio do círculo e os raios são traçados para cada extremidade do arco, o ângulo central formado por estes dois raios é chamado radianos , o radiano é dividido decimalmente, ou seja, em décimos, centésimos, milésimos, etc. Assim, o radiano central é o ângulo subtendido por um arco igual ao comprimento do raio do círculo CONVERSÃO 1) Para converter de graus para radianos, multiplique por pi,! e dividido em 180 ° texto {rad} = {texto} graus cdotfrac {pi} {180} ^ circ 2) Para converter de radianos para graus, multiplique por 180 ° e dividir pi,! {Texto} {texto graus = rad} {180 ^ circ cdotfrac} {pi} Classificação de Angles Angles Los podem ser classificados de acordo com a sua medida em três tipos: Treble: Quais são esses ângulos medir mais de 0 °, mas menos de 90 º. Características filho de triângulo agudo. Reta : Quais são os ângulos de medida 90 graus. S nas características dos triângulos retângulos.
  • 4. Obtuso : O que mais os medir ângulos de 90 °, mas menos de 180 º. Características Filho de triângulos obtusos. Complementares: Dois ângulos são complementares se adicionar até 90 graus (ângulo recto). Suplementar: Dois ângulos são suplementares se somam 180 graus Funções trigonométricas As funções trigonométricas surgem de uma forma natural para estudar o triângulo retângulo e observar que os motivos (razões) entre os comprimentos de quaisquer dois lados depende apenas do valor dos ângulos do triângulo são: mama : relação entre a perna oposta a hipotenusa. Sen = a / c Co-seno : relação entre o lado adjacente e hipotenuza. Cos = b / c Tangente: relação entre a perna perna oposta adjacente As = a / b Cossecante : Razão recíproca de mama CSC 1/Sen = = c / a Secagem : Linha que corta um círculo em dois pontos S = 1/Cos = c / b Cotangente : Razão recíproca da tangente Cradle 1/tan = = b / a Identidades trigonométricas O Identidades Trigonométricas I desigualdades envolvendo funções trigonométricas. Essas identidades
  • 5. são sempre úteis quando precisamos simplificar expressões envolvendo funções trigonométricas incluído, o que quer que os valores são atribuídos um Angles são definidos para que Esras identidades trigonométricas razones.Las nos permitem representar a mesma expressão de diferentes maneiras. Para simplificar expressões algébricas, usamos a fatoração, denominadores comuns, etc Para simplificar expressões trigonométricas usar estas técnicas em conjunto com identidades trigonométricas. Identidades básicas: Cosseno : ângulo em um triângulo retângulo é definido como a razão entre o lado adjacente hipotenusa: De mama : A relação da perna oposta ea hipotenusa. Tangente : É a relação entre as pernas do retângulo triângulo. O valor numérico obtido pela divisão do comprimento entre o lado oposto do lado adjacente ao ângulo. Identidades recíprocas : Essas identidades recíprocas segure por qualquer ângulo para o qual o denominador não é zero. Pitágoras Relações Por meio dessas relações, se sabemos a ação das pernas, podemos calcular a medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo direito) e se soubermos a medida da hipotenusa ea perna de medição podemos calcular a outra perna. 'Então' vai dizer que o teorema de Pitágoras é um teorema que é propagado Apenas um triângulo retângulo, temos usado para obter um lado ou a hipotenusa do triângulo, se você sabe os outros dois. Identidades relações de Pitágoras das seguintes opções:
  • 6. Identidades dos ângulos complementares e suplementares s Identidades para a Soma e Diferença de Ângulos Identidades para a metade do ângulo- Duplo ângulo trigonométricas
  • 7. Ângulo duplo Ângulo duplo Ângulo duplo Ângulo duplo Ângulo duplo Ângulo duplo Teorema tangentes teorema tangentes teorema tangentes Fórmula de Heron: área área Outra identidades trigonométricas seria dividido: EXEMPLO: Obter a solução usando a identidade recíproca: Note-se também o exemplo a seguir, que irá verificar outra identidade:
  • 8. Sua solução: == Sinais e os valores das funções . == seno e cossecante: 1 º quadrante: + o quadrante 2: + 3 quadrante: - o quadrante 4: - cosseno e secante: 1 º quadrante: + o quadrante 2: - 3 quadrante: - o quadrante 4: + tangente e cotangente : 1 º quadrante: + o quadrante 2: - 3 quadrante: + o quadrante 4: - Você vai notar que o sinal das razões trigonométricas depender do quadrante onde o ponto == == Triângulo retângulo = **
  • 9. cobertclinom.gif Para definir as relações trigonométricas de ângulos: α, o vértice A , é parte de um triângulo retângulo que contém este ângulo arbitrário. O nome dos lados deste triângulo para ser usado no futuro serão: A hipotenusa ( h ) é o lado oposto ao ângulo direito, ou lado maior do triângulo. O lado oposto ( um ) é o lado oposto ao ângulo queremos determinar. O lado adjacente ( b ) é o lado adjacente ao ângulo a partir do qual determinamos. **= Teorema de Pitágoras:
  • 10. Trigonométricas identidades c (hipotenusa) b (oposto) q para (adjacentes) As funções trigonométricas são funções periódicas, repita o valor da imagem a cada 360 º. Assim, temos:
  • 11. cos 60 º = cos 420 º = 0,5 enredo Vamos, com mesas, as seguintes funções angular tomar valores de 0 ° a 360 °. Para facilitar o trabalho tomar cantos em intervalos de 45: Para calcular o valor das tabelas trigonométricas funções trigonométricas foram preparadas que nos permitem, conhecido ângulo, calcular os valores das funções trigonométricas: Ângulo de quadrante Um ângulo em um sistema de coordenadas retangulares é a posição normal ou padrão se o seu vértice está na origem e seu lado positivo inicial ao longo do eixo x. Se o lado do terminal de um ângulo que está na posição normal, encontra-se em um eixo de coordenadas está a ser dito ângulo de quadrante
  • 12. imagem externa image003.gif Círculo unitário é um círculo de raio 1No centro de unsistema elorigen coordenada retangular (cartesiana). Circulo_Unitario.png Algumas das funções trigonométricas não estão definidos para alguns números reais. Então, nós precisamos determinar seus domínios: Domínio Funções trigonométricas Função Domínio Sen, Cos Todos os números reais Tan, Sec Todos os números reais diferentes de n / 2 + n π para qualquer inteiro n Cot, Csc Todos os números reais diferentes de n π para qualquer inteiro n FUNÇÕES PERIÓDICAS A função é periódica se satisfaz a condição de periodicidade, ou seja, se depois de certos intervalos de tempo ou espaço constante, chamado de período, a função tem o mesmo valor de partida.
  • 13. Em aplicações relacionadas com circuitos elétricos, a presença de uma força externa periódica. Tensões é usual ter uma onda dente de serra, as ondas na etapa, e assim por diante. Por isso, é necessário calcular a sua transforma. A função periódica é aquela que se repete na vida diária, podemos encontrar exemplos deles são as fases da lua em relação ao tempo. imagem externa periodicfunction.gif == == Funções periódicas APLICAÇÕES Geralmente as funções trigonométricas são funções periódicas, o caçula de tais valores positivos de t (se houver) é chamado o período de f. Cada um dos seno, cosseno, secante e cossecante têm período de 2 π e as outras duas funções trigonométricas (tangente e cotangente) tem período π Na vida cotidiana há muitos casos de funções periódicas quando a variável é o tempo , situações como o movimento dos ponteiros de um relógio ou as fases da lua mostram comportamento periódico. Um movimento por iodic é aquele em que a posição (s) do sistema pode ser expresso com base em funções periódicas, todos com o mesmo período. É muito comum, especialmente em aplicações relacionadas com circuitos eletivos, a presença de uma força externa periódica. Tensões é usual ter uma onda dente de serra, as ondas na etapa, e assim por diante. Por isso, é necessário calcular a sua transforma. As funções trigonométricas servir de modelo expressa as características matematicamente pêra de ondas sonoras. .