I. O documento discute conceitos fundamentais sobre polinômios, incluindo monômios, grau de polinômios, operações com polinômios como adição, subtração e multiplicação. II. São apresentados métodos para divisão de polinômios como o método das chaves e o dispositivo de Briot-Ruffini. O teorema do resto e o teorema de D'Alembert sobre divisibilidade também são explicados. III. Exercícios ilustram a aplicação dos conceitos apresentados.

1. POLINÔMIOS

2. MONÔMIO
Dados um número complexo a e um número
natural n, chama-se de monômio à expressão
formada por um número e uma parte literal.
a . x
n
a: coeficiente numérico
x: incógnita(variável)
n: expoente da incógnita(grau do monômio)

3. POLINÔMIOS
São estruturas algébricas resultantes da adição
e/ou subtração de monômios.
n n-1 n-2 1
P(x) = an . x + an-1 . x + an-2 . x + ... + a1 . x + a0
Observações:
I. Os polinômios são representados, geralmente, com
seus termos em ordem decrescente de grau;
II. an, an-1, ... , a1 e a0 são os coeficientes do polinômio,
com a0 sendo o termo independente de P(x).

4. GRAU DE UM POLINÔMIO
O grau de um polinômio é dado pelo maior grau
de um monômio com coeficiente não nulo.
Exemplos:
3 2
a) P(x) = x + 3x - 7x + 6
4
Grau 3 (completo)
b) Q(x) = x + 2x - 1 Grau 4 (incompleto)
c) D(x) = x + 4 Grau 1 (completo)
d) R(x) = -7 Grau 0 (completo)

5. VALOR NUMÉRICO
É o resultado obtido quando substituímos a
incógnita por uma constante qualquer e efetuamos os
devidos cálculos.
Observação: Indicamos o valor numérico do
polinômio P(x) para x = a por P(a).
Exemplo:
3
Sendo P(x) = x + 2x – 1, o seu valor numérico para x = 2 é:
3
P(2) = (2) + 2.(2) – 1
... P(2) = 11
Denominaremos a como a raiz do polinômio, se o
número complexo a for tal que P(a) = 0.

6. 3 2
02. O gráfico da função p(x) = x + (a + 3).x - 5x + b
contém os pontos (-1;0) e (2;0). Sendo assim, o valor de
p(0) é:
a) 1
b) - 6
c) - 1
d) 6
e) 0

7. POLINÔMIO
IDENTICAMENTE NULO
É o polinômio que possui todos os coeficientes
iguais a zero.
n n-1 n-2
P(x) = 0 . x + 0 . x + 0 . x + ... + 0 . x + 0
Exercício: Para que valor(es) de a o polinômio
P(x) = (a – 1). x + (a + 1). x é identicamente nulo? 2 2

8. POLINÔMIOS IDÊNTICOS
Dois polinômios de mesmo grau P(x) e Q(x) são
idênticos quando possuem todos os coeficientes de
mesmo grau iguais.
n
n-1
n-2
P(x) = an . x + an-1 . x + an-2 . x + ... + a1 . x + a0
n
n-1
n-2
Q(x) = bn . x + bn-1 . x + bn-2 . x + ... + b1 . x + b0
P(x) = Q(x)
an = bn
an-1 = bn-1
..
.
a1 = b1
a0 = b0

9. OPERAÇÕES COM
POLINÔMIOS
1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Consiste em efetuar os termos semelhantes, ou
seja, adicionar e subtrair os termos de mesmo grau.
Observação:
Se P(x), Q(x) e (P+Q)(x) são polinômios não
nulos, então o grau de (P+Q)(x) é menor ou igual ao
maior dos graus entre P(X) e Q(x).

10. 2. MULTIPLICAÇÃO
Consiste em aplicar normalmente a propriedade
distributiva entre os termos dos polinômios em
questão.
Ex: Sendo P(x) = 3x + 1 e Q(x) = x 2
- 2x + 3,
determine P(x) . Q(x).
Observação:
Se dois polinômios P(x) e Q(x) são não nulos,
então o grau de (P.Q)(x) é igual à soma dos graus de
P(X) e Q(x).

11. Exercício:
01. Sejam os polinômios f e g de graus 4 e 2,
respectivamente. Se o polinômio f + g é não nulo, então
seu grau sempre será:
a) 8
b) 6
c) 4
d) um número par
e) menor ou igual a 4

12. 3. DIVISÃO
Sejam dois polinômios, P(x) como dividendo e
D(x) como divisor, com D(x) = 0. Dividir P(x) por D(x)
significa obter dois outros polinômios: Q(x) que é o
quociente e R(x) que é o resto, tais que:
P(x)
R(x)
D(x)
Q(x)
P(x) = D(x) . Q(x) + R(x)
Observação:
Se dois polinômios P(x) e D(x) são não nulos,
então o grau de (P/D)(x) é igual à diferença entre os
graus de P(X) e D(x).

13. I. Método das chaves (algoritmo de Euclides)
Esse método pode ser aplicado com divisores de
qualquer grau. Trata-se do mesmo processo de
divisão estudado no ensino infantil.
4 2
Exemplo:
Dividir o polinômio P(x) = x + 3x - 3x – 1 por
D(x) = x – 1.
Observações:
a) No método das chaves, é aconselhável que
se complete os polinômios incompletos;
b) A divisão termina quando o grau do resto for
menor do que o grau do divisor.

14. II. Dispositivo prático de Briot-Ruffini
Esse dispositivo só pode ser aplicado com
divisores de 1º grau do tipo (x - a).
Nesse dispositivo, é obrigatório completar os
polinômios incompletos.
Exemplo:
4 2
Dividir o polinômio P(x) = 2x - x + 2 por
D(x) = x – 2.

15. TEOREMA DO RESTO
O resto da divisão de um polinômio P(x) por (x - a)
é igual a P(a).
P(x)
r
x - a
Q(x)
P(x) = (x – a) . Q(x) + r
P(a) = (a – a) . Q(a) + r
P(a) = 0 . Q(a) + r
P(a) = r

16. Exercício:
3
01. Obter o resto da divisão de P(x) = 2x + x – 9 por x – 2.
02. Se os polinômios P(x) = 2x + 9x + 3bx – (b - 9) e
Q(x) = x 3
– bx + 7x - 3b, quando divididos por x – 1,
fornecem restos iguais, então determine o valor de b.
3 2
2

17. TEOREMA DE D’ALEMBERT
Um polinômio P(x) é divisível por (x - a) se, e
somente se, P(a) = 0, ou seja, se a é raiz de P(x).
P(x)
0
x - a
Q(x)
P(a) = 0
*Obs.: Se a é raiz de P(x), então P(a) = 0.
Exercício:
Determine o valor de m para que o polinômio
3 2
P(x) = x + 2x + mx – 6 seja divisível por x – 2.