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Princípios de Contagem
Sumário
• Princípio da Multiplicação
• Princípio da Adição
• Princípio da Inclusão e Exclusão
• Princípio das Casas de Pombo
Motivação
• Um problema de contagem envolve
determinar o número de elementos em
um conjunto finito ou o número de
combinações possíveis em um dado
contexto.
‣ dimensionar capacidades/limites (em
problemas de alocação de recursos)
Princípio da Multiplicação
• Se existem n1 resultados possíveis para um
evento e n2 resultados possíveis para um
segundo evento, então existem n1 ⋅ n2
resultados possíveis para a seqüência dos
dois eventos.
‣ o princípio pode ser estendido a uma seqüência
com qualquer número finito de eventos
‣ verificar a ocorrência de eventos sucessivos
Exemplo 1
• Se um homem tem 4 ternos, 8 camisas e 5
gravatas, de quantas maneiras diferentes ele
pode se vestir?
Exemplo 2
• A última parte de um número de telefone
contém 4 dígitos. Quantos códigos
numéricos de 4 dígitos existem?
Exemplo 3
• Quantos códigos numéricos de 4 dígitos
existem, se um mesmo dígito não puder ser
repetido?
Seja |C| a cardinalidade de um conjunto C.
Pelo princípio da multiplicação podemos
determinar que:
Se A e B são conjuntos finitos,
então | A x B | = |A| ⋅ |B|
Exemplo 4
Princípio da Adição
• Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2
resultados possíveis, respectivamente, então
o número total de possibilidades para o
evento “A ou B” é n1 + n2.
‣ pode ser estendido a qualquer número finito de
eventos disjuntos
Exemplo 1
• Um consumidor deseja comprar um
veículo em uma concessionária.A
concessionária tem 7 automóveis sedã e 8
automóveis “hatch” em estoque. Quantas
escolhas possíveis o consumidor tem?
Pelo princípio da adição podemos determinar que:
Se A e B são conjuntos finitos disjuntos,
então | A ∪ B | = |A| + |B|.
Se A e B são conjuntos finitos,
então | A - B | = |A| - |A ∩ B|.
Exemplo 2
Exercício 1
• Quantos números de 4 dígitos começam
com 4 ou 5?
Exercício 2
• Se uma mulher tem 7 blusas, 5 saias e 9
vestidos, de quantas maneiras ela pode se
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Exercício 3
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Exercício 4
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existem com pelo menos 1 dígito repetido?
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• Árvores de decisão são representações
gráficas das possibilidades de um evento
baseado em uma série de escolhas.
Exemplo 1
• Considere o evento de lançar 3 vezes uma
moeda. Quais as possíveis seqüências de
cara ou coroa podem ser obtidas?
Exemplo 2
• Desenhe uma árvore de decisão para
encontrar o número de cadeias binárias de
comprimento 3 que não têm zeros
consecutivos.
• Por que o princípio da multiplicação não se
aplica no exemplo anterior?
‣ Embora o problema consista em eventos
sucessivos, o número de resultados possíveis de
cada evento não é constante (o número de
resultados em um evento depende do resultado
do evento anterior).
Resumo
• O princípio da multiplicação é usado para
contar o número de resultados possíveis
para uma seqüência de eventos, cada um
com um número finito de possibilidades.
• O princípio da adição é usado para contar
o número de resultados possíveis para
eventos disjuntos.
Resumo
• Os princípios da adição e multiplicação
podem ser usados juntos.
• As árvores de decisão podem ser usadas
para contar o número de resultados
possíveis para uma seqüência de eventos
onde o número de resultados possíveis não
é constante (mas depende do resultado do
evento precedente)
Princípio de Inclusão e
Exclusão
Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo S.
| A ∪ B | = | A | + | B | - | A ∩ B |
• O princípio pode ser estendido para n
conjuntos.
• Para 3 conjuntos:
‣ |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| -| B∩C| + |A∩B∩C|
Exemplo 1
• Em uma pesquisa de opinião pública, foram
entrevistados 35 eleitores, todos apoiando
o referendo 1, o referendo 2, ou ambos.
Sabe-se que 14 eleitores apoiaram o
referendo 1 e 26 apoiaram o referendo 2.
Quantos apoiaram ambos os referendos?
Exemplo 2
• Um grupo de estudantes está planejando
encomendar pizzas. Sabe-se que 13
estudantes gostam de pizza calabresa, 10
gostam de marguerita, 12 gostam de
portuguesa, 4 gostam tanto de calabresa
quanto marguerita, 5 gostam tanto de
marguerita quanto de portuguesa, 7 de
calabresa e portuguesa e 3 gostam de
todas. Quantos estudantes há no grupo?
Exemplo 3
• Em um grupo de 42 turistas, todos falam
inglês ou francês. Sabe-se que 35 falam
inglês e 18 falam francês. Quantos falam
inglês e francês?
Princípio das Casas de
Pombo
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recipientes, então pelo menos um
recipiente contém mais de um item.
Exemplos
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duas fazem aniversário no mesmo mês.
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• Em um grupo de 13 pessoas, pelo menos
duas fazem aniversário no mesmo mês.
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• Em um grupo de 25 pessoas, é verdade que
existem pelo menos 3 pessoas que
nasceram no mesmo mês?
‣ Sim
Exemplo 4
• Prove que, se quatro números forem
escolhidos do conjunto C = {1,2,3,4,5,6},
pelo menos um par (entre os números
escolhidos) tem que somar 7.
Resumo
• Uso do Princípio de Inclusão e Exclusão
para encontrar o número de elementos em
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Princípios de Contagem

  • 2. Sumário • Princípio da Multiplicação • Princípio da Adição • Princípio da Inclusão e Exclusão • Princípio das Casas de Pombo
  • 3. Motivação • Um problema de contagem envolve determinar o número de elementos em um conjunto finito ou o número de combinações possíveis em um dado contexto. ‣ dimensionar capacidades/limites (em problemas de alocação de recursos)
  • 4. Princípio da Multiplicação • Se existem n1 resultados possíveis para um evento e n2 resultados possíveis para um segundo evento, então existem n1 ⋅ n2 resultados possíveis para a seqüência dos dois eventos. ‣ o princípio pode ser estendido a uma seqüência com qualquer número finito de eventos ‣ verificar a ocorrência de eventos sucessivos
  • 5. Exemplo 1 • Se um homem tem 4 ternos, 8 camisas e 5 gravatas, de quantas maneiras diferentes ele pode se vestir?
  • 6. Exemplo 2 • A última parte de um número de telefone contém 4 dígitos. Quantos códigos numéricos de 4 dígitos existem?
  • 7. Exemplo 3 • Quantos códigos numéricos de 4 dígitos existem, se um mesmo dígito não puder ser repetido?
  • 8. Seja |C| a cardinalidade de um conjunto C. Pelo princípio da multiplicação podemos determinar que: Se A e B são conjuntos finitos, então | A x B | = |A| ⋅ |B| Exemplo 4
  • 9. Princípio da Adição • Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2 resultados possíveis, respectivamente, então o número total de possibilidades para o evento “A ou B” é n1 + n2. ‣ pode ser estendido a qualquer número finito de eventos disjuntos
  • 10. Exemplo 1 • Um consumidor deseja comprar um veículo em uma concessionária.A concessionária tem 7 automóveis sedã e 8 automóveis “hatch” em estoque. Quantas escolhas possíveis o consumidor tem?
  • 11. Pelo princípio da adição podemos determinar que: Se A e B são conjuntos finitos disjuntos, então | A ∪ B | = |A| + |B|. Se A e B são conjuntos finitos, então | A - B | = |A| - |A ∩ B|. Exemplo 2
  • 12. Exercício 1 • Quantos números de 4 dígitos começam com 4 ou 5?
  • 13. Exercício 2 • Se uma mulher tem 7 blusas, 5 saias e 9 vestidos, de quantas maneiras ela pode se vestir?
  • 14. Exercício 3 • Quantos inteiros de 3 dígitos são pares?
  • 15. Exercício 4 • Quantos sufixos de telefone (4 dígitos) existem com pelo menos 1 dígito repetido?
  • 16. Árvores de Decisão • Árvores de decisão são representações gráficas das possibilidades de um evento baseado em uma série de escolhas.
  • 17. Exemplo 1 • Considere o evento de lançar 3 vezes uma moeda. Quais as possíveis seqüências de cara ou coroa podem ser obtidas?
  • 18. Exemplo 2 • Desenhe uma árvore de decisão para encontrar o número de cadeias binárias de comprimento 3 que não têm zeros consecutivos.
  • 19. • Por que o princípio da multiplicação não se aplica no exemplo anterior? ‣ Embora o problema consista em eventos sucessivos, o número de resultados possíveis de cada evento não é constante (o número de resultados em um evento depende do resultado do evento anterior).
  • 20. Resumo • O princípio da multiplicação é usado para contar o número de resultados possíveis para uma seqüência de eventos, cada um com um número finito de possibilidades. • O princípio da adição é usado para contar o número de resultados possíveis para eventos disjuntos.
  • 21. Resumo • Os princípios da adição e multiplicação podem ser usados juntos. • As árvores de decisão podem ser usadas para contar o número de resultados possíveis para uma seqüência de eventos onde o número de resultados possíveis não é constante (mas depende do resultado do evento precedente)
  • 22. Princípio de Inclusão e Exclusão Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo S. | A ∪ B | = | A | + | B | - | A ∩ B |
  • 23. • O princípio pode ser estendido para n conjuntos. • Para 3 conjuntos: ‣ |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| -| B∩C| + |A∩B∩C|
  • 24. Exemplo 1 • Em uma pesquisa de opinião pública, foram entrevistados 35 eleitores, todos apoiando o referendo 1, o referendo 2, ou ambos. Sabe-se que 14 eleitores apoiaram o referendo 1 e 26 apoiaram o referendo 2. Quantos apoiaram ambos os referendos?
  • 25. Exemplo 2 • Um grupo de estudantes está planejando encomendar pizzas. Sabe-se que 13 estudantes gostam de pizza calabresa, 10 gostam de marguerita, 12 gostam de portuguesa, 4 gostam tanto de calabresa quanto marguerita, 5 gostam tanto de marguerita quanto de portuguesa, 7 de calabresa e portuguesa e 3 gostam de todas. Quantos estudantes há no grupo?
  • 26. Exemplo 3 • Em um grupo de 42 turistas, todos falam inglês ou francês. Sabe-se que 35 falam inglês e 18 falam francês. Quantos falam inglês e francês?
  • 27. Princípio das Casas de Pombo • Se mais de k itens são colocados em k recipientes, então pelo menos um recipiente contém mais de um item.
  • 29. Exemplos • Em um grupo de 13 pessoas, pelo menos duas fazem aniversário no mesmo mês.
  • 30. Exemplos • Em um grupo de 13 pessoas, pelo menos duas fazem aniversário no mesmo mês. • Quantas vezes é preciso jogar um dado de modo a garantir que um mesmo número apareça duas vezes?
  • 31. Exemplos • Em um grupo de 13 pessoas, pelo menos duas fazem aniversário no mesmo mês. • Quantas vezes é preciso jogar um dado de modo a garantir que um mesmo número apareça duas vezes? ‣ É preciso jogar o dado 7 vezes.
  • 33. Mais exemplos • Quantas pessoas precisam estar presentes em uma sala para garantir que duas delas tenham o último nome começando com a mesma letra?
  • 34. Mais exemplos • Quantas pessoas precisam estar presentes em uma sala para garantir que duas delas tenham o último nome começando com a mesma letra? ‣ 27 pessoas (considerando alfabeto de 26 letras)
  • 35. Mais exemplos • Quantas pessoas precisam estar presentes em uma sala para garantir que duas delas tenham o último nome começando com a mesma letra? ‣ 27 pessoas (considerando alfabeto de 26 letras) • Em um grupo de 25 pessoas, é verdade que existem pelo menos 3 pessoas que nasceram no mesmo mês?
  • 36. Mais exemplos • Quantas pessoas precisam estar presentes em uma sala para garantir que duas delas tenham o último nome começando com a mesma letra? ‣ 27 pessoas (considerando alfabeto de 26 letras) • Em um grupo de 25 pessoas, é verdade que existem pelo menos 3 pessoas que nasceram no mesmo mês? ‣ Sim
  • 37. Exemplo 4 • Prove que, se quatro números forem escolhidos do conjunto C = {1,2,3,4,5,6}, pelo menos um par (entre os números escolhidos) tem que somar 7.
  • 38. Resumo • Uso do Princípio de Inclusão e Exclusão para encontrar o número de elementos em uma união de conjuntos. • Uso do Princípio das Casas de Pombo para encontrar o número mínimo de elementos que garantem que dois deles têm uma propriedade em comum.