SlideShare uma empresa Scribd logo
ETEC “Cel. Fernando Febeliano da Costa”
          Centro Paula Souza




 Relações
Métricas do
Triângulo
Retângulo

                                Integrantes:
                                Ana Maria Pedrita, n° 03
                                Elita Maria Venâncio, n°09
                                Jonathan Semmler, n° 16
                                Marcos Rafael Berto, n° 22
                                Murilo Baptista de Lima, n° 27
                                2ª série B
                                Professora Márcia Capretz
                                Disciplina: Matemática
Sumário

1. Introdução ............................................................................................................ 03
2. Definição de Triângulo Retângulo ....................................................................... 04
3. Relações Métricas do Triângulo Retângulo ......................................................... 05
4. Quem foi Pitágoras? ............................................................................................ 06
5. Teorema de Pitágoras .......................................................................................... 07
     5.1. Exemplos ................................................................................................... 08
     5.2. Curiosidades .............................................................................................. 09
     5.3. Ternas Pitagóricas ...................................................................................... 09
6. Aplicações do Teorema de Pitágoras ................................................................... 10
     6.1. Diagonal do Quadrado ............................................................................... 10
     6.2. Altura de um Triângulo Equilátero ............................................................ 11
     6.3. Diagonal do Bloco de Retangular (Paralelepípedo) .................................. 12
     6.4. Diagonal do Cubo (caso particular do paralelepípedo) ............................. 13
7. Bibliografia .......................................................................................................... 14




                                                                                                                           2
1. Introdução

        O trabalho foi realizado a pedido da professora Márcia que ensina-nos Matemática.
O tema foi pré-definido e depois escolhido pelos grupos.
        A efetuação deste deve-se para que possamos aperfeiçoar mais o nosso
conhecimento sobre determinada área da Matemática, no caso sobre Relações Métricas do
triângulo Retângulo. Além disso, também buscamos a menção pela consumação do mesmo.
        O trabalho visa o aprendizado por meio de pesquisas, que também é um modo
válido e pode ajudar muitas pessoas no seu desenvolvimento escolar. Nosso principal
objetivo é explicar de forma sintetizada, todas as áreas que abrangem o tema do trabalho.




                                                                                       3
2. Definição de Triângulo Retângulo

       Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é
retângulo em A e seus elementos são:


       a: hipotenusa
       b e c: catetos
       h: altura relativa à hipotenusa
       m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.


       Os três triângulos formados são retângulos e semelhantes.




                                                                                   4
3. Relações Métricas do Triângulo Retângulo


       Para um triângulo retângulo ABC podemos estabelecer algumas relações entre as
medidas de seus elementos:


       1- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse
cateto sobre a hipotenusa.


                             b² = a.n
                             c² = a.m


       2- O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à
hipotenusa.


                             b.c = a.h


       3- O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a
hipotenusa.


                             h² = m.n


       4- O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.


                             a² = b² + c²




       Essa relação é conhecida pelo nome de Teorema de Pitágoras.




                                                                                     5
4. Quem foi Pitágoras?


       Pitágoras, um dos maiores filósofos da Europa antiga, era filho de um gravador,
Mnesarco. Nasceu cerca de 580 anos a.c., em Samos, uma ilha do mar Egeu, ou, segundo
alguns, em Sidon, na Fenícia. Muito pouco se sabe sobre a sua juventude, a não ser que
conquistou prémios nos Jogos Olímpicos.
       Chegando à idade adulta e não se sentindo satisfeito com os conhecimentos
adquiridos em sua terra, deixou a ilha onde vivia e passou muitos anos a viajar, visitando a
maioria dos grandes centros da sabedoria. A história conta a sua peregrinação em busca de
conhecimentos, que se estenderam ao Egito, Indostão, Pérsia, Creta e Palestina, e como
adquiriu em cada país novas informações, conseguiu familiarizar-se com a Sabedoria
Esotérica, assim como os conhecimentos exotéricos neles disponíveis.
       Voltou, com a mente repleta de conhecimentos e a capacidade de julgamento
amadurecida, à sua terra, onde tencionava abrir uma escola para divulgar os seus
conhecimentos, o que, porém, se mostrou impraticável, devido à oposição do turbulento
tirano Policrates, que governava a ilha. Em vista do fracasso de uma tentativa migrou para
Crotona, importante cidade da Magna Grécia, que era uma colônia fundada pelos dórios na
costa meridional da Itália.
       Foi ali que o famoso filósofo fundou a Escola ou Sociedade de Estudiosos, que se
tornou conhecida em todo o mundo civilizado como o centro de erudição na Europa; foi ali
que, secretamente, Pitágoras ensinou a sabedoria oculta que havia coligido dos ginosofistas
e brâmanes da Índia, dos hierofantes do Egito, do Oráculo de Delfos, da Caverna de Ida e
da Cabala dos rabinos hebreus e magos caldeus.
       Durante cerca de quarenta anos ele lecionou para os seus discípulos e exibiu os seus
maravilhosos poderes; mas foi posto um fim à sua instituição, e ele próprio foi forçado a
fugir da cidade, devido a uma conspiração e rebelião surgidas em decorrência de uma
disputa entre o povo de Crotona e os habitantes de Síbaris; ele conseguiu chegar em
Metaponto, onde, segundo a tradição morreu mais ou menos em 500 a.c..




                                                                                          6
5. Teorema de Pitágoras




       “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa!”


       O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da
Matemática. Ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o
triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é,
que mede 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que
constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto.
       Se um retângulo qualquer for dividido em dois por uma de suas diagonais, dois
triângulos retângulos serão obtidos. Logo um triângulo retângulo é aquele que possui um
ângulo reto (90°). O nome vem daí.
       Sendo  ângulo reto, o lado oposto tem o nome de hipotenusa e os dois outros lados
são chamados de catetos.
       A medida do cateto será c (medida do lado oposto ao ângulo), a do cateto será b
(oposto ao ângulo) e finalmente a hipotenusa (oposto ao ângulo Â, que é reto) será a.




                                                                                        7
5.1. Exemplos


       Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.




                                    x² = 9² + 12²
                                    x² = 81 + 144
                                    x² = 225
                                    √x² = √225
                                    x = 15


       Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números
irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi
√2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos
medindo 1.Observe:




                                    x² = 1² + 1²
                                    x² = 1 + 1
                                    x² = 2
                                    √x² = √2
                                    x = √2
                                    √2 = 1,414213562373...



                                                                                        8
5.2. Curiosidades


       Existem inúmeras demonstrações deste teorema (lógico, senão não seria um
teorema). Entre elas, a de um ex-presidente dos Estados Unidos da América, James A.
Garfield, e de Leonardo da Vinci, sem falar em alguns manuscritos, um francês (1564), um
inglês (1570) e um chinês (1607), etc.


       O teorema de Pitágoras é a soma das seguintes relações:




           5.3. Ternas Pitagóricas


           Algumas combinações de três números são chamadas de ternas pitagóricas. É que
elas se encaixam perfeitamente ao teorema de Pitágoras (um número ao quadrado, mais
outro também ao quadrado, é igual a outro ao quadrado). Exemplo:


3, 4 e 5         ►      32 + 42 = 52        (9 + 16 = 25)
                          2    2       2
5, 12 e 13       ►      5 + 12 = 13         (25 + 144 = 169)
                          2    2       2
7, 24 e 25       ►      7 + 24 = 25         (49 + 576 = 625)
8, 15 e 17       ►      82 + 152 = 172      (64 + 225 = 289)


                                                                                      9
6. Aplicações do Teorema de Pitágoras


        6.1. Diagonal do Quadrado


        Dado o quadrado de lado l, a diagonal D do quadrado será a hipotenusa de um
triângulo retângulo com catetos l, com base nessa definição usaremos o teorema de
Pitágoras para uma expressão que calcula a diagonal do quadrado em função da medida do
lado.




                                                                                   10
6.2. Altura de um Triângulo Equilátero


      O triângulo PQR é equilátero, vamos calcular sua altura com base na medida l dos
lados. Ao determinarmos a altura (h) do triângulo PQR, podemos observar um triângulo
retângulo PHQ catetos: h e l/2 e hipotenusa h. Aplicando o teorema de Pitágoras temos:




                                                                                   11
6.3. Diagonal do Bloco Retangular (Paralelepípedo)


       Observe o bloco de arestas a, b e c, iremos calcular a diagonal (d), mas usaremos a
diagonal x da base em nossos cálculos. Veja:




                                    x² = a² + b²
                                    d² = x² + c²


       Substituindo, temos:




                                                                                       12
6.4. Diagonal do Cubo (caso particular do paralelepípedo)


Consideremos o cubo um caso particular de um bloco retangular, então:




                            a=b=c=l




                                                                        13
7. Bibliografia


Sites Acessados                                      Data de Acesso
www.brasilescola.com                                 19/03/2010
www.suapesquisa.com                                  19/03/2010
www.uol.com.br                                       19/03/2010
www.portalimpacto.com.br                             19/03/2010
http://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTnxo2-3YI/
AAAAAAAAANs/teEPmduXuug/s1600-h/tri1.jpg             20/03/2010




                                                                  14

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA INTRODUÇÃO DA TRIGONOMETRIA NO ENSINO MÉDIO
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA INTRODUÇÃO DA TRIGONOMETRIA NO ENSINO MÉDIOUMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA INTRODUÇÃO DA TRIGONOMETRIA NO ENSINO MÉDIO
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA INTRODUÇÃO DA TRIGONOMETRIA NO ENSINO MÉDIO
Vladimir Sejas
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
profzwipp
 
Trabalho de teorema de pitágora
Trabalho de teorema de pitágoraTrabalho de teorema de pitágora
Trabalho de teorema de pitágora
WALLACEMARQUES
 
Ap mat em questoes gabarito 001 resolvidos
Ap mat em questoes gabarito  001 resolvidosAp mat em questoes gabarito  001 resolvidos
Ap mat em questoes gabarito 001 resolvidos
trigono_metrico
 
O nº pi quadratura do círculo
O nº pi quadratura do círculoO nº pi quadratura do círculo
O nº pi quadratura do círculo
ProfLuizAmaro
 
Resolução da prova do colégio naval de 2008
Resolução da prova do colégio naval de 2008Resolução da prova do colégio naval de 2008
Resolução da prova do colégio naval de 2008
2marrow
 
Lista de exercicio de funcao exponencial
Lista de exercicio de funcao exponencialLista de exercicio de funcao exponencial
Lista de exercicio de funcao exponencial
Cleidison Melo
 

Mais procurados (20)

UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA INTRODUÇÃO DA TRIGONOMETRIA NO ENSINO MÉDIO
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA INTRODUÇÃO DA TRIGONOMETRIA NO ENSINO MÉDIOUMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA INTRODUÇÃO DA TRIGONOMETRIA NO ENSINO MÉDIO
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA INTRODUÇÃO DA TRIGONOMETRIA NO ENSINO MÉDIO
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
 
Teorema de pitágoras
Teorema de pitágorasTeorema de pitágoras
Teorema de pitágoras
 
Elementos do Triângulo Retângulo por (Re)Descoberta
Elementos do Triângulo Retângulo por (Re)DescobertaElementos do Triângulo Retângulo por (Re)Descoberta
Elementos do Triângulo Retângulo por (Re)Descoberta
 
1 caderno do aluno 2014_2017_vol1_baixa_mat_matematica_em_1s
1 caderno do aluno 2014_2017_vol1_baixa_mat_matematica_em_1s1 caderno do aluno 2014_2017_vol1_baixa_mat_matematica_em_1s
1 caderno do aluno 2014_2017_vol1_baixa_mat_matematica_em_1s
 
Matemática - Exercício de Semelhança de Triângulo
Matemática -  Exercício de Semelhança de Triângulo Matemática -  Exercício de Semelhança de Triângulo
Matemática - Exercício de Semelhança de Triângulo
 
Projeto Geometria Oficial
Projeto Geometria OficialProjeto Geometria Oficial
Projeto Geometria Oficial
 
Trabalho de teorema de pitágora
Trabalho de teorema de pitágoraTrabalho de teorema de pitágora
Trabalho de teorema de pitágora
 
Plano de aula
Plano de aulaPlano de aula
Plano de aula
 
Projeto Trigonometria Atualizado
Projeto Trigonometria AtualizadoProjeto Trigonometria Atualizado
Projeto Trigonometria Atualizado
 
Relações métricas no triângulo retângulo plano ativ. com respostas
Relações métricas no triângulo retângulo plano ativ. com respostasRelações métricas no triângulo retângulo plano ativ. com respostas
Relações métricas no triângulo retângulo plano ativ. com respostas
 
Ap mat em questoes gabarito 001 resolvidos
Ap mat em questoes gabarito  001 resolvidosAp mat em questoes gabarito  001 resolvidos
Ap mat em questoes gabarito 001 resolvidos
 
Resumão anpad
Resumão anpadResumão anpad
Resumão anpad
 
Raciocínio algébrico2mat3 b
Raciocínio algébrico2mat3 bRaciocínio algébrico2mat3 b
Raciocínio algébrico2mat3 b
 
Aula 3 mat em
Aula 3   mat emAula 3   mat em
Aula 3 mat em
 
O nº pi quadratura do círculo
O nº pi quadratura do círculoO nº pi quadratura do círculo
O nº pi quadratura do círculo
 
Lista de Exercícios – Função Exponencial
Lista de Exercícios – Função ExponencialLista de Exercícios – Função Exponencial
Lista de Exercícios – Função Exponencial
 
Resolução da prova do colégio naval de 2008
Resolução da prova do colégio naval de 2008Resolução da prova do colégio naval de 2008
Resolução da prova do colégio naval de 2008
 
Lista de exercicio de funcao exponencial
Lista de exercicio de funcao exponencialLista de exercicio de funcao exponencial
Lista de exercicio de funcao exponencial
 
Ap matemática m1
Ap matemática m1Ap matemática m1
Ap matemática m1
 

Destaque

Análise das demonstrações contábeis
Análise das demonstrações contábeisAnálise das demonstrações contábeis
Análise das demonstrações contábeis
apostilacontabil
 
Contas de balanco integrais
Contas de balanco integraisContas de balanco integrais
Contas de balanco integrais
apostilacontabil
 
Apostila ead contabilidade
Apostila ead contabilidadeApostila ead contabilidade
Apostila ead contabilidade
apostilacontabil
 
Apostila contabilidade eletrica
Apostila contabilidade eletricaApostila contabilidade eletrica
Apostila contabilidade eletrica
apostilacontabil
 
Apostila contabilidade concursos
Apostila    contabilidade   concursosApostila    contabilidade   concursos
Apostila contabilidade concursos
apostilacontabil
 
Apostila contabilidade geral _ concursos
Apostila    contabilidade   geral _ concursosApostila    contabilidade   geral _ concursos
Apostila contabilidade geral _ concursos
apostilacontabil
 
Apostila contabilidade-concursos
Apostila contabilidade-concursosApostila contabilidade-concursos
Apostila contabilidade-concursos
apostilacontabil
 
Analise das demonstr finance
Analise das demonstr financeAnalise das demonstr finance
Analise das demonstr finance
apostilacontabil
 
Apostila afrf contabilidade geral
Apostila afrf contabilidade geralApostila afrf contabilidade geral
Apostila afrf contabilidade geral
apostilacontabil
 
Apostila contabilidade demonstrações financeiras
Apostila contabilidade   demonstrações financeirasApostila contabilidade   demonstrações financeiras
Apostila contabilidade demonstrações financeiras
apostilacontabil
 
Contabilidade decifrada 09
Contabilidade decifrada 09Contabilidade decifrada 09
Contabilidade decifrada 09
simuladocontabil
 
Apostila contabilidade-concursos
Apostila contabilidade-concursosApostila contabilidade-concursos
Apostila contabilidade-concursos
apostilacontabil
 
Apostila contabilidade i duplicatas
Apostila contabilidade i   duplicatasApostila contabilidade i   duplicatas
Apostila contabilidade i duplicatas
apostilacontabil
 

Destaque (20)

Análise das demonstrações contábeis
Análise das demonstrações contábeisAnálise das demonstrações contábeis
Análise das demonstrações contábeis
 
Contas de balanco integrais
Contas de balanco integraisContas de balanco integrais
Contas de balanco integrais
 
Teoria contab
Teoria contabTeoria contab
Teoria contab
 
Apostila ead contabilidade
Apostila ead contabilidadeApostila ead contabilidade
Apostila ead contabilidade
 
Apostila contabilidade eletrica
Apostila contabilidade eletricaApostila contabilidade eletrica
Apostila contabilidade eletrica
 
Aula04
Aula04Aula04
Aula04
 
Gp impactos
Gp impactosGp impactos
Gp impactos
 
Apostila contabilidade concursos
Apostila    contabilidade   concursosApostila    contabilidade   concursos
Apostila contabilidade concursos
 
Resumo ativo
Resumo ativoResumo ativo
Resumo ativo
 
Apostila contabilidade geral _ concursos
Apostila    contabilidade   geral _ concursosApostila    contabilidade   geral _ concursos
Apostila contabilidade geral _ concursos
 
Apostila contabilidade-concursos
Apostila contabilidade-concursosApostila contabilidade-concursos
Apostila contabilidade-concursos
 
Analise das demonstr finance
Analise das demonstr financeAnalise das demonstr finance
Analise das demonstr finance
 
El Barroco Del Nuevo Mundo
El Barroco Del Nuevo MundoEl Barroco Del Nuevo Mundo
El Barroco Del Nuevo Mundo
 
Apostila afrf contabilidade geral
Apostila afrf contabilidade geralApostila afrf contabilidade geral
Apostila afrf contabilidade geral
 
Apostila contabilidade demonstrações financeiras
Apostila contabilidade   demonstrações financeirasApostila contabilidade   demonstrações financeiras
Apostila contabilidade demonstrações financeiras
 
Contabilidade decifrada 09
Contabilidade decifrada 09Contabilidade decifrada 09
Contabilidade decifrada 09
 
Apostila contabilidade-concursos
Apostila contabilidade-concursosApostila contabilidade-concursos
Apostila contabilidade-concursos
 
Apostila adm tga
Apostila adm   tgaApostila adm   tga
Apostila adm tga
 
Cetec ensino médio
Cetec ensino médioCetec ensino médio
Cetec ensino médio
 
Apostila contabilidade i duplicatas
Apostila contabilidade i   duplicatasApostila contabilidade i   duplicatas
Apostila contabilidade i duplicatas
 

Semelhante a Matematica rm triangulo retangulo

Algumas maneiras de demonstrar o teorema de pitágoras
Algumas maneiras de demonstrar o teorema de pitágorasAlgumas maneiras de demonstrar o teorema de pitágoras
Algumas maneiras de demonstrar o teorema de pitágoras
Adriano Capilupe
 
Teorema de pitágoras plano de aula
Teorema de pitágoras    plano de aulaTeorema de pitágoras    plano de aula
Teorema de pitágoras plano de aula
meparj
 
066 apostila de_trigonometria_filipe
066 apostila de_trigonometria_filipe066 apostila de_trigonometria_filipe
066 apostila de_trigonometria_filipe
Ezsilvasilva Silva
 
Teorema De PitáGoras
Teorema De PitáGorasTeorema De PitáGoras
Teorema De PitáGoras
TalitaMendes
 
066 apostila de_trigonometria_filipe
066 apostila de_trigonometria_filipe066 apostila de_trigonometria_filipe
066 apostila de_trigonometria_filipe
Iverson moya
 
Trabalho Pitágoras1
Trabalho Pitágoras1Trabalho Pitágoras1
Trabalho Pitágoras1
earana
 
Objeto De Aprendizagem Construindo Conhecimentos(Quebra Cabeça)
Objeto De  Aprendizagem    Construindo Conhecimentos(Quebra Cabeça)Objeto De  Aprendizagem    Construindo Conhecimentos(Quebra Cabeça)
Objeto De Aprendizagem Construindo Conhecimentos(Quebra Cabeça)
heliopinho
 
Mat semelhança de triangulos tales
Mat semelhança de triangulos   talesMat semelhança de triangulos   tales
Mat semelhança de triangulos tales
trigono_metria
 
Trigonometria exercícios resolvidos e teoria
Trigonometria   exercícios resolvidos e teoriaTrigonometria   exercícios resolvidos e teoria
Trigonometria exercícios resolvidos e teoria
trigono_metria
 

Semelhante a Matematica rm triangulo retangulo (20)

Teorema de pitágoras trabalho final
Teorema de pitágoras trabalho finalTeorema de pitágoras trabalho final
Teorema de pitágoras trabalho final
 
Teorema de pitágoras trabalho final
Teorema de pitágoras trabalho finalTeorema de pitágoras trabalho final
Teorema de pitágoras trabalho final
 
Algumas maneiras de demonstrar o teorema de pitágoras
Algumas maneiras de demonstrar o teorema de pitágorasAlgumas maneiras de demonstrar o teorema de pitágoras
Algumas maneiras de demonstrar o teorema de pitágoras
 
Teorema de pitágoras plano de aula
Teorema de pitágoras    plano de aulaTeorema de pitágoras    plano de aula
Teorema de pitágoras plano de aula
 
066 apostila de_trigonometria_filipe
066 apostila de_trigonometria_filipe066 apostila de_trigonometria_filipe
066 apostila de_trigonometria_filipe
 
Teorema De PitáGoras
Teorema De PitáGorasTeorema De PitáGoras
Teorema De PitáGoras
 
Teorema de Pitágoras - Matemática 8º ano - Resumo da matéria
Teorema de Pitágoras - Matemática 8º ano - Resumo da matériaTeorema de Pitágoras - Matemática 8º ano - Resumo da matéria
Teorema de Pitágoras - Matemática 8º ano - Resumo da matéria
 
apostila_de_trigonometria.pdf
apostila_de_trigonometria.pdfapostila_de_trigonometria.pdf
apostila_de_trigonometria.pdf
 
D30 atividade7
D30 atividade7D30 atividade7
D30 atividade7
 
066 apostila de_trigonometria_filipe
066 apostila de_trigonometria_filipe066 apostila de_trigonometria_filipe
066 apostila de_trigonometria_filipe
 
Interagindo Com PitáGoras
Interagindo Com PitáGorasInteragindo Com PitáGoras
Interagindo Com PitáGoras
 
Teorema de Pitágoras.pptx
Teorema de Pitágoras.pptxTeorema de Pitágoras.pptx
Teorema de Pitágoras.pptx
 
Trabalho Pitágoras1
Trabalho Pitágoras1Trabalho Pitágoras1
Trabalho Pitágoras1
 
Objeto De Aprendizagem Construindo Conhecimentos(Quebra Cabeça)
Objeto De  Aprendizagem    Construindo Conhecimentos(Quebra Cabeça)Objeto De  Aprendizagem    Construindo Conhecimentos(Quebra Cabeça)
Objeto De Aprendizagem Construindo Conhecimentos(Quebra Cabeça)
 
PitáGoras
PitáGorasPitáGoras
PitáGoras
 
Mat semelhança de triangulos tales
Mat semelhança de triangulos   talesMat semelhança de triangulos   tales
Mat semelhança de triangulos tales
 
Trigonometria exercícios resolvidos e teoria
Trigonometria   exercícios resolvidos e teoriaTrigonometria   exercícios resolvidos e teoria
Trigonometria exercícios resolvidos e teoria
 
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...
 
Matematica af planas
Matematica af planasMatematica af planas
Matematica af planas
 
Apostila mecânica t
Apostila mecânica tApostila mecânica t
Apostila mecânica t
 

Mais de simuladocontabil (20)

Contabilidade decifrada 10
Contabilidade decifrada 10Contabilidade decifrada 10
Contabilidade decifrada 10
 
Cb atividade1
Cb atividade1Cb atividade1
Cb atividade1
 
Dos produtos vendidos (cpv)
Dos produtos vendidos (cpv)Dos produtos vendidos (cpv)
Dos produtos vendidos (cpv)
 
Contabilidade decifrada 05
Contabilidade decifrada 05Contabilidade decifrada 05
Contabilidade decifrada 05
 
Contabilidade basica peps ueps
Contabilidade basica peps uepsContabilidade basica peps ueps
Contabilidade basica peps ueps
 
Pfc tabela comparativa
Pfc tabela comparativaPfc tabela comparativa
Pfc tabela comparativa
 
Avaliação do ativo e passivo estoques
Avaliação do ativo e passivo estoquesAvaliação do ativo e passivo estoques
Avaliação do ativo e passivo estoques
 
Indices
IndicesIndices
Indices
 
Principios de contabilidade
Principios de contabilidadePrincipios de contabilidade
Principios de contabilidade
 
Patrimonio
PatrimonioPatrimonio
Patrimonio
 
Contabilidade decifrada 15
Contabilidade decifrada 15Contabilidade decifrada 15
Contabilidade decifrada 15
 
Ganhos e perdas
Ganhos e perdasGanhos e perdas
Ganhos e perdas
 
Apostila etec pfo
Apostila etec   pfoApostila etec   pfo
Apostila etec pfo
 
Custo das mercadoria vendidas
Custo das mercadoria vendidasCusto das mercadoria vendidas
Custo das mercadoria vendidas
 
Encerramento do exercicio
Encerramento do exercicioEncerramento do exercicio
Encerramento do exercicio
 
Questoes respondidas custos
Questoes respondidas custosQuestoes respondidas custos
Questoes respondidas custos
 
Patrimonio slides
Patrimonio slidesPatrimonio slides
Patrimonio slides
 
Estoques metodos
Estoques metodosEstoques metodos
Estoques metodos
 
Resolucao cia rumo certo
Resolucao cia rumo certoResolucao cia rumo certo
Resolucao cia rumo certo
 
Elementos do ativo
Elementos do ativoElementos do ativo
Elementos do ativo
 

Matematica rm triangulo retangulo

  • 1. ETEC “Cel. Fernando Febeliano da Costa” Centro Paula Souza Relações Métricas do Triângulo Retângulo Integrantes: Ana Maria Pedrita, n° 03 Elita Maria Venâncio, n°09 Jonathan Semmler, n° 16 Marcos Rafael Berto, n° 22 Murilo Baptista de Lima, n° 27 2ª série B Professora Márcia Capretz Disciplina: Matemática
  • 2. Sumário 1. Introdução ............................................................................................................ 03 2. Definição de Triângulo Retângulo ....................................................................... 04 3. Relações Métricas do Triângulo Retângulo ......................................................... 05 4. Quem foi Pitágoras? ............................................................................................ 06 5. Teorema de Pitágoras .......................................................................................... 07 5.1. Exemplos ................................................................................................... 08 5.2. Curiosidades .............................................................................................. 09 5.3. Ternas Pitagóricas ...................................................................................... 09 6. Aplicações do Teorema de Pitágoras ................................................................... 10 6.1. Diagonal do Quadrado ............................................................................... 10 6.2. Altura de um Triângulo Equilátero ............................................................ 11 6.3. Diagonal do Bloco de Retangular (Paralelepípedo) .................................. 12 6.4. Diagonal do Cubo (caso particular do paralelepípedo) ............................. 13 7. Bibliografia .......................................................................................................... 14 2
  • 3. 1. Introdução O trabalho foi realizado a pedido da professora Márcia que ensina-nos Matemática. O tema foi pré-definido e depois escolhido pelos grupos. A efetuação deste deve-se para que possamos aperfeiçoar mais o nosso conhecimento sobre determinada área da Matemática, no caso sobre Relações Métricas do triângulo Retângulo. Além disso, também buscamos a menção pela consumação do mesmo. O trabalho visa o aprendizado por meio de pesquisas, que também é um modo válido e pode ajudar muitas pessoas no seu desenvolvimento escolar. Nosso principal objetivo é explicar de forma sintetizada, todas as áreas que abrangem o tema do trabalho. 3
  • 4. 2. Definição de Triângulo Retângulo Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são: a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa à hipotenusa m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. Os três triângulos formados são retângulos e semelhantes. 4
  • 5. 3. Relações Métricas do Triângulo Retângulo Para um triângulo retângulo ABC podemos estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos: 1- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa. b² = a.n c² = a.m 2- O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa. b.c = a.h 3- O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. h² = m.n 4- O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. a² = b² + c² Essa relação é conhecida pelo nome de Teorema de Pitágoras. 5
  • 6. 4. Quem foi Pitágoras? Pitágoras, um dos maiores filósofos da Europa antiga, era filho de um gravador, Mnesarco. Nasceu cerca de 580 anos a.c., em Samos, uma ilha do mar Egeu, ou, segundo alguns, em Sidon, na Fenícia. Muito pouco se sabe sobre a sua juventude, a não ser que conquistou prémios nos Jogos Olímpicos. Chegando à idade adulta e não se sentindo satisfeito com os conhecimentos adquiridos em sua terra, deixou a ilha onde vivia e passou muitos anos a viajar, visitando a maioria dos grandes centros da sabedoria. A história conta a sua peregrinação em busca de conhecimentos, que se estenderam ao Egito, Indostão, Pérsia, Creta e Palestina, e como adquiriu em cada país novas informações, conseguiu familiarizar-se com a Sabedoria Esotérica, assim como os conhecimentos exotéricos neles disponíveis. Voltou, com a mente repleta de conhecimentos e a capacidade de julgamento amadurecida, à sua terra, onde tencionava abrir uma escola para divulgar os seus conhecimentos, o que, porém, se mostrou impraticável, devido à oposição do turbulento tirano Policrates, que governava a ilha. Em vista do fracasso de uma tentativa migrou para Crotona, importante cidade da Magna Grécia, que era uma colônia fundada pelos dórios na costa meridional da Itália. Foi ali que o famoso filósofo fundou a Escola ou Sociedade de Estudiosos, que se tornou conhecida em todo o mundo civilizado como o centro de erudição na Europa; foi ali que, secretamente, Pitágoras ensinou a sabedoria oculta que havia coligido dos ginosofistas e brâmanes da Índia, dos hierofantes do Egito, do Oráculo de Delfos, da Caverna de Ida e da Cabala dos rabinos hebreus e magos caldeus. Durante cerca de quarenta anos ele lecionou para os seus discípulos e exibiu os seus maravilhosos poderes; mas foi posto um fim à sua instituição, e ele próprio foi forçado a fugir da cidade, devido a uma conspiração e rebelião surgidas em decorrência de uma disputa entre o povo de Crotona e os habitantes de Síbaris; ele conseguiu chegar em Metaponto, onde, segundo a tradição morreu mais ou menos em 500 a.c.. 6
  • 7. 5. Teorema de Pitágoras “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa!” O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática. Ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, que mede 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Se um retângulo qualquer for dividido em dois por uma de suas diagonais, dois triângulos retângulos serão obtidos. Logo um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto (90°). O nome vem daí. Sendo  ângulo reto, o lado oposto tem o nome de hipotenusa e os dois outros lados são chamados de catetos. A medida do cateto será c (medida do lado oposto ao ângulo), a do cateto será b (oposto ao ângulo) e finalmente a hipotenusa (oposto ao ângulo Â, que é reto) será a. 7
  • 8. 5.1. Exemplos Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir. x² = 9² + 12² x² = 81 + 144 x² = 225 √x² = √225 x = 15 Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1.Observe: x² = 1² + 1² x² = 1 + 1 x² = 2 √x² = √2 x = √2 √2 = 1,414213562373... 8
  • 9. 5.2. Curiosidades Existem inúmeras demonstrações deste teorema (lógico, senão não seria um teorema). Entre elas, a de um ex-presidente dos Estados Unidos da América, James A. Garfield, e de Leonardo da Vinci, sem falar em alguns manuscritos, um francês (1564), um inglês (1570) e um chinês (1607), etc. O teorema de Pitágoras é a soma das seguintes relações: 5.3. Ternas Pitagóricas Algumas combinações de três números são chamadas de ternas pitagóricas. É que elas se encaixam perfeitamente ao teorema de Pitágoras (um número ao quadrado, mais outro também ao quadrado, é igual a outro ao quadrado). Exemplo: 3, 4 e 5 ► 32 + 42 = 52 (9 + 16 = 25) 2 2 2 5, 12 e 13 ► 5 + 12 = 13 (25 + 144 = 169) 2 2 2 7, 24 e 25 ► 7 + 24 = 25 (49 + 576 = 625) 8, 15 e 17 ► 82 + 152 = 172 (64 + 225 = 289) 9
  • 10. 6. Aplicações do Teorema de Pitágoras 6.1. Diagonal do Quadrado Dado o quadrado de lado l, a diagonal D do quadrado será a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos l, com base nessa definição usaremos o teorema de Pitágoras para uma expressão que calcula a diagonal do quadrado em função da medida do lado. 10
  • 11. 6.2. Altura de um Triângulo Equilátero O triângulo PQR é equilátero, vamos calcular sua altura com base na medida l dos lados. Ao determinarmos a altura (h) do triângulo PQR, podemos observar um triângulo retângulo PHQ catetos: h e l/2 e hipotenusa h. Aplicando o teorema de Pitágoras temos: 11
  • 12. 6.3. Diagonal do Bloco Retangular (Paralelepípedo) Observe o bloco de arestas a, b e c, iremos calcular a diagonal (d), mas usaremos a diagonal x da base em nossos cálculos. Veja: x² = a² + b² d² = x² + c² Substituindo, temos: 12
  • 13. 6.4. Diagonal do Cubo (caso particular do paralelepípedo) Consideremos o cubo um caso particular de um bloco retangular, então: a=b=c=l 13
  • 14. 7. Bibliografia Sites Acessados Data de Acesso www.brasilescola.com 19/03/2010 www.suapesquisa.com 19/03/2010 www.uol.com.br 19/03/2010 www.portalimpacto.com.br 19/03/2010 http://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTnxo2-3YI/ AAAAAAAAANs/teEPmduXuug/s1600-h/tri1.jpg 20/03/2010 14