ISOMETRIAS: reflexão, translação, rotação e reflexão deslizante

ISOMETRIAS
Prof. Sónia Almeida

ISOMETRIA
ISO
• igual
METRIA
• medida
ISOMETRIA
é uma palavra de origem grega …
São aplicações que transformam uma figura numa outra
geometricamente igual, ou seja, é uma aplicação que conserva:
 os comprimentos dos segmentos e
 as amplitudes dos ângulos.

ISOMETRIA
ISOMETRIA
REFLEXÃO
ROTAÇÃO
TRANSLAÇÃO
REFLEXÃO
DESLIZANTE

REFLEXÃO
Se por dobragem ao
longo de uma reta,
as duas figuras se
sobrepuserem, as
figuras dizem-se
simétricas relativa-
mente a essa reta.
Fig. 1 Fig. 2
Vamos fazer
reflexãos …

F1
C
A
B
Suponhamos que queremos construir uma bandeira F2 pela
reflexão de uma reta r.
D
r
REFLEXÃO

F1
C
A
B
Duas situações podem ocorrer:
D
r
 se um ponto M está na reta,
então o seu transformado é o
próprio M.
M’ M
REFLEXÃO

F1
C
A
B
D
r
 se um ponto M não está
sobre a reta, então o seu
transformado é tal que a reta
r seja a mediatriz do
segmento [MM’].
M
M’
próprio M.
REFLEXÃO

F1
C
A
B
D
r
M
M’
 se um ponto M não está
sobre a reta, então o seu
transformado é tal que a reta
r seja a mediatriz do
segmento [MM’].
próprio M.
REFLEXÃO

F1
C
A
B
Os pontos M e M’ dizem-se simétricos relativamente à reta r.
D
r
M
M’
REFLEXÃO

C
A
B
Vamos passar à determinação das imagens dos pontos A, B, C e D.
D
r
A’
B’
C’
D’
F1
REFLEXÃO

C
A
B
D
r
A’
B’
C’
D’
Unindo os novos pontos obtemos a bandeira F2 com a
mesma forma e dimensão da bandeira F1, só que invertida.
F1
REFLEXÃO

mesma forma e dimensão da bandeira F1, só que invertida.
C
A
B
D
r
A’
B’
C’
D’
F1
F2
REFLEXÃO

C
A
B
D
r
A’
B’
C’
D’
F1
F2
Dizemos que a bandeira F2 é a imagem ou o transformado da
bandeira F1 por REFLEXÃO.
REFLEXÃO
A reta r diz-se eixo de reflexão.

Uma reflexão de eixo r
transforma qualquer ponto A
do plano num ponto A’ de tal
modo que o eixo de reflexão
r é a mediatriz do segmento
de reta [AA’]
Síntese das reflexões
C
A
B
D
r
A’
B’
C’
D’
F1
F2

É rodaruma figura em
torno de um ponto chamado
centro de
rotação(O).
Fig. 1 Fig. 2
Fig. 3
O
A distância dos
pontos ao centro de
rotação é mantida
constante.
ROTAÇÃO
Vamos fazer
rotações …

A
O
Consideremos duas bandeiras sobrepostas.
Tendo como centro o ponto O vamos efetuar a rotação de uma das bandeiras,
com medida de amplitude 90º no sentido anti-horário (sentido contrário aos
ponteiros do relógio).
B C
F1
SENTIDO DA ROTAÇÃO

A
O
C
B
F1

A
A’ O
C
B
B’
C’
F1
+90º

A
A’ O
C
B
B’
C’
F1
Em Matemática, dizemos que a
bandeira rodou no sentido
positivo (também conhecido por
sentido direto ou sentido anti-
horário).
+90º
Neste caso, a amplitude da
rotação é de + 90º.
Sentido da ROTAÇÃO
Dizemos ainda que:
 O  [A’B’C’] é imagem do  [ABC] por meio da rotação de centro O e medida
de amplitude + 90º.
 Abreviadamente escreve-se R (O, + 90º).
• o segmento de reta [OA’] é imagem do segmento de reta [OA] por meio de
R (O, + 90º).

A
O
Agora, vamos rodar uma das bandeiras 90º no sentido horário, em torno do
ponto O.
C
B
F1

A
A’’
O
C
B
C’’
B’’
F1
-90º

Nesta situação, dizemos que a
bandeira rodou no sentido negativo.
Este também é conhecido pelo
sentido inverso, retrógado ou
sentido horário.
A
A’’
O
C
B
C’’
B’’
F1
-90º
• Abreviadamente escreve-se: R (O, 90º).
Dizemos que:
 o  [A’’B’’C’’] é imagem do  [ABC] por meio da
rotação de centro O e medida de amplitude -90º.
• o segmento de reta [OA’’] é imagem do segmento de reta [OA]
por meio de R (O, 90º).

Convenciona-se designar por:
 sentido negativo: o movimento dos ponteiros do relógio.
 sentido positivo: o movimento contrário dos ponteiros do relógio
Um ângulo ao qual se atribui um sentido chama-se ângulo orientado.
NOTAS
 Uma rotação fica definida se conhecermos:
 o centro da rotação;
 a medida de amplitude do ângulo orientado da rotação.
 Uma rotação transforma a figura F1 noutra figura F2;
 F2 diz-se imagem de F1 pela rotação.
 As figuras F1 e F2 são geometricamente iguais.

A
A’’
O
C
B
C’’
B’’
F1
-90º
Síntese das rotações
•R (O, 90º).
O  [A’’B’’C’’] é imagem do  [ABC] por meio da rotação
de centro O e medida de amplitude -90º.
Uma rotação de centro O e ângulo de
rotação 𝜶 transforma um ponto A do
plano num ponto A’ de tal modo que o
comprimento do segmento de reta
[OA] é igual ao comprimento do
segmento de reta [OA’] e 𝐀𝑶𝑨′ = 𝜶

Como determinar a imagem do ponto A na R (O, – 60º)?


O
A
ROTAÇÃO DE UM PONTO

 1. Unimos o ponto O com o ponto A.


O
A

 2. Com um transferidor e tomando [AO] para lado de origem
marcamos um ângulo cuja medida de amplitude é – 60º.


O
A
 60º

 3. Com um compasso, com centro em O e raio traçamos o
arco AA’.



O
A
A’
OA
 60º

A’ é a imagem de A na R (O,  60º).



O
A
A’


A
C
B O
ROTAÇÃO DE UM POLÍGONO
Como determinar a imagem do [ABC] na R (O, + 130º)?

 Como os três pontos A, B e C determinam o triângulo basta
determinar A’, B’ e C’ pelo processo usado anteriormente.

A
C
B O


A
C
B
A’
O


A
C
B
B’
A’
O


A
C
B
C’
B’
A’
O

 Unir os pontos A’, B’ e C’.

A
C
B
C’
B’
A’
O

 O triângulo [A’B’C’] é imagem do triângulo [ABC] na R (O, + 130º).

A
C
B
C’
B’
A’
O
[ABC]  [A’B’C’]

É o deslocamento
de uma figura segundo uma
direção, um sentido e
um comprimento.
Fig. 1
Fig. 2
Vector v
TRANSLAÇÃO
Vamos fazer
translações …

F1
A
D
B C
Consideremos duas bandeiras sobrepostas.
TRANSLAÇÃO

B
F1
A
D
Suponhamos que pretendemos deslocar a bandeira da
esquerda para a direita na horizontal.
C
TRANSLAÇÃO

F1
A
D
Vamos deslocar cada vértice da bandeira tendo em
conta o vetor u indicado.
B C
TRANSLAÇÃO
u


B C
F1
A
D
C’
A’
B’
D’
TRANSLAÇÃO
u


B C
F1
A
D
Obtemos então os pontos A’, B’, C’ e D’, que são imagens
dos pontos A, B, C e D, respectivamente.
C’
A’
B’
D’
TRANSLAÇÃO
u


B C
F1
A
D
C’
A’
B’
mesma forma e dimensão da bandeira F1.
D’
TRANSLAÇÃO
u


B C
F1
A
D
F2
C’
A’
B’
D’
mesma forma e dimensão da bandeira F1.
TRANSLAÇÃO
u


B C
F1
A
D
F2
C’
A’
B’
Dizemos que a bandeira F2 é a imagem ou o
transformado da bandeira F1 por uma translação
associada ao vetor u (𝑇𝑢)
D’
TRANSLAÇÃO
u


Uma translação do plano associado a
um vetor 𝐮 transforma qualquer
ponto A do plano num ponto A’ de
modo que o segmento orientado
[A,A’] tem a mesma direção,
comprimento e sentido que o vetor 𝐮.
As translações são as únicas
isometrias que mantêm a direção e o
sentido de qualquer segmento
orientado.
Síntese das Translações
C C’
B
A
D
A’
B’
D’
F1 F2
u

u

u

u


Usando o GeoGebra
TRANSLAÇÃO

A aplicação …
TRANSLAÇÃO

REFLEXÃO DESLIZANTE
F1
C
A
B
D
r
u


F1
C
A
B
D
F1’
C’
A’
B’
D’
r
u


F1
C
A
B
D
r
F2
C’
A’
B’
D’
u

 A bandeira F2 é imagem da bandeira F1 numa reflexão
deslizante associada ao vector .
u


Síntese das reflexões
deslizantes
F1
C
A
B
D
r
F2
C’
A’
B’
D’
u

Uma reflexão deslizante do plano de eixo r e vetor 𝐮, com a direção da reta r,
é a aplicação que consiste em aplicar a um ponto A a reflexão 𝑹𝒓 e, em
seguida, a translação 𝑻𝐮 ao ponto 𝑹𝒓 𝑨 assim obtido.

Usando o GeoGebra

Mantém comprimento dos segmentos e amplitude dos
ângulos
REFLEXÃO e
REFLEXÃO
DESLIZANTE
Inverte o sentido dos ângulos
A figura aparece invertida
Isometria Negativa
TRANSLAÇÃO ROTAÇÃ
O
Mantém o sentido dos ângulos
A figura resultante tem o mesmo sentido
Isometrias Positivas

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