O documento apresenta um material didático sobre matemática e suas tecnologias para o ensino médio. O material foi desenvolvido de acordo com o currículo estadual de Goiás e aborda conceitos como funções definidas por uma ou mais sentenças, análise de funções por meio de representações algébricas e gráficas, e identificação de domínios, imagens e comportamentos de funções. Sugere atividades para os alunos compreenderem e aplicarem esses conceitos matemáticos.
1) O documento discute um material didático para professores e estudantes de matemática do ensino médio, alinhado com os documentos curriculares de Goiás.
2) O material é organizado em módulos bimestrais e aborda competências, habilidades e objetos de conhecimento específicos da área de matemática.
3) O objetivo é promover as competências matemáticas necessárias para enfrentar os desafios do mundo contemporâneo.
1) O documento apresenta um material didático sobre sólidos geométricos para professores e estudantes do ensino médio, alinhado com o currículo de Matemática do estado de Goiás.
2) Os módulos abordam sólidos geométricos de forma bimestral, respeitando as competências, habilidades e objetivos de aprendizagem definidos no currículo.
3) As atividades sugeridas buscam promover as competências em Matemática necessárias para enfrentar os desafios do mundo contemporâneo.
1. O documento introduz o conceito de função matemática, apresentando exemplos de como variáveis podem ser relacionadas através de funções.
2. É explicado que uma função relaciona uma variável dependente e uma variável independente, onde o valor da variável dependente é determinado unicamente pelo valor da variável independente.
3. São apresentados conceitos-chave sobre funções como domínio, contradomínio e conjunto imagem.
Este documento apresenta uma apostila sobre o terceiro bimestre do componente curricular de Ciências da Natureza e suas Tecnologias para o ensino médio. A apostila contém nove módulos abordando objetos de conhecimento de Biologia, Física e Química, alinhados com o Documento Curricular de Goiás. O primeiro módulo trata das interações atômicas e moleculares, apresentando a teoria do octeto e os tipos de ligações químicas.
1) O documento é uma lista de exercícios de geometria sobre áreas e volumes para alunos do 9o ano.
2) Os exercícios incluem calcular áreas de figuras planas e volumes de sólidos geométricos como cubos, cilindros e pirâmides.
3) As questões também envolvem determinar medidas desconhecidas a partir de informações sobre áreas e volumes dados.
O documento apresenta 30 exercícios sobre funções afins e inequações do 1o grau. Os exercícios envolvem identificar equações de retas a partir de pontos, determinar valores de variáveis para satisfazer propriedades das funções, resolver inequações e sistemas de inequações.
1) O documento contém 15 questões sobre cálculo de áreas de figuras geométricas planas como retângulos, triângulos e círculos.
2) As questões envolvem determinar medidas desconhecidas, calcular áreas de figuras isoladas ou de regiões formadas por mais de uma figura.
3) Os resultados esperados variam entre alternativas como números inteiros, decimais ou expressões algébricas envolvendo π.
Este documento apresenta uma apostila sobre Ciências da Natureza e suas Tecnologias para o 3o bimestre do 2o ano do Ensino Médio. A apostila aborda 11 módulos relacionados a Biologia, Física e Química, incluindo Rapidez de Reações Químicas, Animais Invertebrados e Vertebrados, Estudos de Gases e outros.
1) O documento discute um material didático para professores e estudantes de matemática do ensino médio, alinhado com os documentos curriculares de Goiás.
2) O material é organizado em módulos bimestrais e aborda competências, habilidades e objetos de conhecimento específicos da área de matemática.
3) O objetivo é promover as competências matemáticas necessárias para enfrentar os desafios do mundo contemporâneo.
1) O documento apresenta um material didático sobre sólidos geométricos para professores e estudantes do ensino médio, alinhado com o currículo de Matemática do estado de Goiás.
2) Os módulos abordam sólidos geométricos de forma bimestral, respeitando as competências, habilidades e objetivos de aprendizagem definidos no currículo.
3) As atividades sugeridas buscam promover as competências em Matemática necessárias para enfrentar os desafios do mundo contemporâneo.
1. O documento introduz o conceito de função matemática, apresentando exemplos de como variáveis podem ser relacionadas através de funções.
2. É explicado que uma função relaciona uma variável dependente e uma variável independente, onde o valor da variável dependente é determinado unicamente pelo valor da variável independente.
3. São apresentados conceitos-chave sobre funções como domínio, contradomínio e conjunto imagem.
Este documento apresenta uma apostila sobre o terceiro bimestre do componente curricular de Ciências da Natureza e suas Tecnologias para o ensino médio. A apostila contém nove módulos abordando objetos de conhecimento de Biologia, Física e Química, alinhados com o Documento Curricular de Goiás. O primeiro módulo trata das interações atômicas e moleculares, apresentando a teoria do octeto e os tipos de ligações químicas.
1) O documento é uma lista de exercícios de geometria sobre áreas e volumes para alunos do 9o ano.
2) Os exercícios incluem calcular áreas de figuras planas e volumes de sólidos geométricos como cubos, cilindros e pirâmides.
3) As questões também envolvem determinar medidas desconhecidas a partir de informações sobre áreas e volumes dados.
O documento apresenta 30 exercícios sobre funções afins e inequações do 1o grau. Os exercícios envolvem identificar equações de retas a partir de pontos, determinar valores de variáveis para satisfazer propriedades das funções, resolver inequações e sistemas de inequações.
1) O documento contém 15 questões sobre cálculo de áreas de figuras geométricas planas como retângulos, triângulos e círculos.
2) As questões envolvem determinar medidas desconhecidas, calcular áreas de figuras isoladas ou de regiões formadas por mais de uma figura.
3) Os resultados esperados variam entre alternativas como números inteiros, decimais ou expressões algébricas envolvendo π.
Este documento apresenta uma apostila sobre Ciências da Natureza e suas Tecnologias para o 3o bimestre do 2o ano do Ensino Médio. A apostila aborda 11 módulos relacionados a Biologia, Física e Química, incluindo Rapidez de Reações Químicas, Animais Invertebrados e Vertebrados, Estudos de Gases e outros.
O documento discute sólidos geométricos e sua relação com objetos do cotidiano. Ele introduz os conceitos de sólidos geométricos e dá exemplos como esferas, cubos e cilindros. Em seguida, divide a turma em grupos para encontrar objetos na escola que representem diferentes sólidos e relacioná-los. Por fim, define poliedros e corpos redondos e suas características.
Este documento contém 20 questões sobre polígonos convexos regulares e suas propriedades, como número de lados, diagonais, medidas de ângulos internos e externos. As questões abordam cálculos e raciocínios para identificar características de diferentes polígonos a partir de informações fornecidas.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
The document discusses quadratic functions f(x) = ax^2 + bx + c. It defines quadratic functions and discusses their graphs, concavity, zeros (roots), vertex, axis of symmetry, and examples of sketching graphs of specific quadratic functions. It provides formulas for determining the vertex coordinates and zeros. Examples are worked out finding the domain, image, zeros, y-intercept, and sketching the graph for functions like f(x) = x^2 - 4x + 3.
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)Ilton Bruno
1) Uma lista de exercícios de equações do 2o grau incompletas com 5 questões. 2) Pede para classificar equações como completas ou incompletas, identificar coeficientes e resolver equações. 3) Inclui problemas como determinar quantos filhos Moisés tem baseado na equação do triplo do quadrado do número de filhos.
O documento apresenta um conjunto de exercícios de conversão de unidades de medidas com as respectivas respostas. As unidades de medidas a serem convertidas incluem dam, km, hm, m, cm e mm. Há 24 problemas de conversão no total, cobrindo várias combinações possíveis entre as unidades listadas.
1) O documento apresenta 7 exercícios sobre funções afins e lineares. Os exercícios 1-5 pedem para representar graficamente funções, determinar raízes/zeros de equações e valores de funções para entradas específicas. Os exercícios 6-7 pedem para analisar propriedades e o gráfico de uma função linear específica, como crescimento, zero, interseção com eixo y e valores de x.
D28 (mat. 9º ano) resolver problema que envolva porcentagem blog do prof. ...clenyo
O documento apresenta uma série de problemas envolvendo porcentagem, como descontos, aumentos de preços, distribuição de itens entre grupos. Os problemas devem ser resolvidos escolhendo a alternativa correta.
O documento apresenta 12 questões sobre polígonos regulares, incluindo questões sobre o número de lados, diagonais e medidas de ângulos internos e externos de polígonos como hexágono, heptágono, decágono e dodecágono. O gabarito no final fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
O documento apresenta uma lista de exercícios de álgebra que envolvem fatoração, determinação de números perfeitos, extração de raízes quadradas e cálculo de raízes. Os alunos devem fatorar valores numéricos, identificar quais são quadrados perfeitos, extrair raízes quadradas desses números e calcular raízes de outros valores.
9 º ano função de 1º grau e teorema de tales exercíciosAndréia Rodrigues
1) O documento contém uma lista de exercícios sobre funções de primeiro grau. Inclui determinar valores de funções afins dadas, calcular valores de x para f(x)=g(x) e f(x)=constante, e classificar funções como crescentes ou decrescentes.
2) Também contém exercícios sobre interpretar tabelas e gráficos para identificar leis de formação de funções e seus zeros.
3) Inclui ainda problemas geométricos sobre cálculo de medidas de terrenos e comprimentos com base em informações dadas
Lista de exercícios 8º ano - 3ª etapa - produto notávelAlessandra Dias
1) O documento fornece uma lista de sugestões de vídeos, atividades online e exercícios sobre produtos notáveis para estudantes do 8o ano revisarem.
2) A lista inclui 9 exercícios sobre produtos notáveis com suas respectivas respostas no gabarito.
3) Os estudantes são encorajados a assistir aos vídeos, resolver os exercícios e conferir as respostas para revisar o conteúdo.
Lista 01 exercícios de função do 1º grauManoel Silva
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções do 1o grau, incluindo identificar funções do 1o grau, especificar coeficientes angulares e lineares, classificar funções como crescentes, decrescentes ou constantes, calcular raízes e zeros de funções, determinar valores de funções, calcular preços que sofrem alterações lineares no tempo, e resolver problemas envolvendo funções do 1o grau aplicadas a situações reais.
2) A lista inclui 15 exercícios que abordam diferentes conceitos e cálculos rel
Atividade de matemática plano cartesianoDanyGoncalves
O documento apresenta uma série de exercícios sobre o plano cartesiano e coordenadas. Os exercícios incluem identificar intersecções de conjuntos de números, localizar pontos no plano, determinar pares ordenados, traçar segmentos e figuras geométricas, e identificar coordenadas de estados brasileiros.
O documento contém 7 exercícios de notação científica sobre tópicos como espessura de livros, número de estrelas na Via Láctea, distância percorrida pela luz em um ano-luz, massa de planetas, duração de aulas e reservas de petróleo no Brasil. As respostas estão no gabarito fornecido no final do documento.
1) O documento é uma lista de exercícios sobre progressões geométricas para a disciplina de Matemática do 1o ano do ensino médio.
2) A lista contém 16 exercícios sobre progressões geométricas e as possíveis respostas para cada um deles.
3) No final, há as respostas corretas para os exercícios listados.
El documento presenta una serie de ejercicios de álgebra que involucran operaciones con monómios como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Los estudiantes deben realizar operaciones como 3x3 - 4x3, 4x2 + 7y2 - 2x2 - 2y2, así como calcular potencias como (3ab)2 y productos como -3x·8y. También se piden divisiones como 36x6y9 : 6x2y3 y -x2 : x.
1) Um documento de avaliação diagnóstica de matemática contém problemas sobre compra de carro, soma de números, separação de selos em envelopes e venda de picolés.
2) Os alunos devem resolver os problemas e assinalar a alternativa correta para questões sobre compra de fogão e número de aulas dadas por um professor para cobrir despesas.
3) Há também expressões numéricas para cálculo e um problema sobre idade e quantia ganha por universitários trabalhando nas férias que deve ser resolvido aplicando re
1) O documento contém uma lista de exercícios de matemática sobre áreas e volumes de figuras geométricas como quadrados, retângulos, triângulos, paralelogramos e cubos. As medidas são fornecidas em centímetros.
2) Os alunos devem calcular áreas, lados e volumes utilizando fórmulas geométricas e raiz quadrada.
3) Há também exercícios sobre determinar o lado de um terreno quadrado e a largura de um retângulo dado seu comprimento e área.
1) O documento apresenta uma lista de 9 exercícios de matemática sobre razão e proporção. Os exercícios envolvem cálculos com dados sobre desempenho de times de futebol, população de uma cidade, divisão de uma ripa de madeira e medidas de retângulos.
Aula de Apresentação, Função e Função do 1º Grau.ppt · versão 1.pptxJuliana Menezes
O documento apresenta conceitos básicos sobre funções matemáticas. Resume:
1) Discute noções intuitivas de função e exemplos de dependência de variáveis; 2) Apresenta formas de representar funções através de diagramas, tabelas, equações e gráficos; 3) Define os conceitos de domínio, contradomínio e imagem.
1) O documento discute noções básicas de funções matemáticas, incluindo exemplos de situações onde uma grandeza depende de outra e definições formais de domínio, contradomínio e conjunto imagem.
2) Apresenta exemplos de gráficos que representam funções e não funções.
3) Explica como construir e ler gráficos de funções.
O documento discute sólidos geométricos e sua relação com objetos do cotidiano. Ele introduz os conceitos de sólidos geométricos e dá exemplos como esferas, cubos e cilindros. Em seguida, divide a turma em grupos para encontrar objetos na escola que representem diferentes sólidos e relacioná-los. Por fim, define poliedros e corpos redondos e suas características.
Este documento contém 20 questões sobre polígonos convexos regulares e suas propriedades, como número de lados, diagonais, medidas de ângulos internos e externos. As questões abordam cálculos e raciocínios para identificar características de diferentes polígonos a partir de informações fornecidas.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
The document discusses quadratic functions f(x) = ax^2 + bx + c. It defines quadratic functions and discusses their graphs, concavity, zeros (roots), vertex, axis of symmetry, and examples of sketching graphs of specific quadratic functions. It provides formulas for determining the vertex coordinates and zeros. Examples are worked out finding the domain, image, zeros, y-intercept, and sketching the graph for functions like f(x) = x^2 - 4x + 3.
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)Ilton Bruno
1) Uma lista de exercícios de equações do 2o grau incompletas com 5 questões. 2) Pede para classificar equações como completas ou incompletas, identificar coeficientes e resolver equações. 3) Inclui problemas como determinar quantos filhos Moisés tem baseado na equação do triplo do quadrado do número de filhos.
O documento apresenta um conjunto de exercícios de conversão de unidades de medidas com as respectivas respostas. As unidades de medidas a serem convertidas incluem dam, km, hm, m, cm e mm. Há 24 problemas de conversão no total, cobrindo várias combinações possíveis entre as unidades listadas.
1) O documento apresenta 7 exercícios sobre funções afins e lineares. Os exercícios 1-5 pedem para representar graficamente funções, determinar raízes/zeros de equações e valores de funções para entradas específicas. Os exercícios 6-7 pedem para analisar propriedades e o gráfico de uma função linear específica, como crescimento, zero, interseção com eixo y e valores de x.
D28 (mat. 9º ano) resolver problema que envolva porcentagem blog do prof. ...clenyo
O documento apresenta uma série de problemas envolvendo porcentagem, como descontos, aumentos de preços, distribuição de itens entre grupos. Os problemas devem ser resolvidos escolhendo a alternativa correta.
O documento apresenta 12 questões sobre polígonos regulares, incluindo questões sobre o número de lados, diagonais e medidas de ângulos internos e externos de polígonos como hexágono, heptágono, decágono e dodecágono. O gabarito no final fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
O documento apresenta uma lista de exercícios de álgebra que envolvem fatoração, determinação de números perfeitos, extração de raízes quadradas e cálculo de raízes. Os alunos devem fatorar valores numéricos, identificar quais são quadrados perfeitos, extrair raízes quadradas desses números e calcular raízes de outros valores.
9 º ano função de 1º grau e teorema de tales exercíciosAndréia Rodrigues
1) O documento contém uma lista de exercícios sobre funções de primeiro grau. Inclui determinar valores de funções afins dadas, calcular valores de x para f(x)=g(x) e f(x)=constante, e classificar funções como crescentes ou decrescentes.
2) Também contém exercícios sobre interpretar tabelas e gráficos para identificar leis de formação de funções e seus zeros.
3) Inclui ainda problemas geométricos sobre cálculo de medidas de terrenos e comprimentos com base em informações dadas
Lista de exercícios 8º ano - 3ª etapa - produto notávelAlessandra Dias
1) O documento fornece uma lista de sugestões de vídeos, atividades online e exercícios sobre produtos notáveis para estudantes do 8o ano revisarem.
2) A lista inclui 9 exercícios sobre produtos notáveis com suas respectivas respostas no gabarito.
3) Os estudantes são encorajados a assistir aos vídeos, resolver os exercícios e conferir as respostas para revisar o conteúdo.
Lista 01 exercícios de função do 1º grauManoel Silva
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções do 1o grau, incluindo identificar funções do 1o grau, especificar coeficientes angulares e lineares, classificar funções como crescentes, decrescentes ou constantes, calcular raízes e zeros de funções, determinar valores de funções, calcular preços que sofrem alterações lineares no tempo, e resolver problemas envolvendo funções do 1o grau aplicadas a situações reais.
2) A lista inclui 15 exercícios que abordam diferentes conceitos e cálculos rel
Atividade de matemática plano cartesianoDanyGoncalves
O documento apresenta uma série de exercícios sobre o plano cartesiano e coordenadas. Os exercícios incluem identificar intersecções de conjuntos de números, localizar pontos no plano, determinar pares ordenados, traçar segmentos e figuras geométricas, e identificar coordenadas de estados brasileiros.
O documento contém 7 exercícios de notação científica sobre tópicos como espessura de livros, número de estrelas na Via Láctea, distância percorrida pela luz em um ano-luz, massa de planetas, duração de aulas e reservas de petróleo no Brasil. As respostas estão no gabarito fornecido no final do documento.
1) O documento é uma lista de exercícios sobre progressões geométricas para a disciplina de Matemática do 1o ano do ensino médio.
2) A lista contém 16 exercícios sobre progressões geométricas e as possíveis respostas para cada um deles.
3) No final, há as respostas corretas para os exercícios listados.
El documento presenta una serie de ejercicios de álgebra que involucran operaciones con monómios como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Los estudiantes deben realizar operaciones como 3x3 - 4x3, 4x2 + 7y2 - 2x2 - 2y2, así como calcular potencias como (3ab)2 y productos como -3x·8y. También se piden divisiones como 36x6y9 : 6x2y3 y -x2 : x.
1) Um documento de avaliação diagnóstica de matemática contém problemas sobre compra de carro, soma de números, separação de selos em envelopes e venda de picolés.
2) Os alunos devem resolver os problemas e assinalar a alternativa correta para questões sobre compra de fogão e número de aulas dadas por um professor para cobrir despesas.
3) Há também expressões numéricas para cálculo e um problema sobre idade e quantia ganha por universitários trabalhando nas férias que deve ser resolvido aplicando re
1) O documento contém uma lista de exercícios de matemática sobre áreas e volumes de figuras geométricas como quadrados, retângulos, triângulos, paralelogramos e cubos. As medidas são fornecidas em centímetros.
2) Os alunos devem calcular áreas, lados e volumes utilizando fórmulas geométricas e raiz quadrada.
3) Há também exercícios sobre determinar o lado de um terreno quadrado e a largura de um retângulo dado seu comprimento e área.
1) O documento apresenta uma lista de 9 exercícios de matemática sobre razão e proporção. Os exercícios envolvem cálculos com dados sobre desempenho de times de futebol, população de uma cidade, divisão de uma ripa de madeira e medidas de retângulos.
Aula de Apresentação, Função e Função do 1º Grau.ppt · versão 1.pptxJuliana Menezes
O documento apresenta conceitos básicos sobre funções matemáticas. Resume:
1) Discute noções intuitivas de função e exemplos de dependência de variáveis; 2) Apresenta formas de representar funções através de diagramas, tabelas, equações e gráficos; 3) Define os conceitos de domínio, contradomínio e imagem.
1) O documento discute noções básicas de funções matemáticas, incluindo exemplos de situações onde uma grandeza depende de outra e definições formais de domínio, contradomínio e conjunto imagem.
2) Apresenta exemplos de gráficos que representam funções e não funções.
3) Explica como construir e ler gráficos de funções.
1) O documento discute o conceito de função matemática, como relações entre conjuntos de variáveis.
2) Apresenta exemplos de funções do mundo real e sua representação gráfica.
3) Explica os conceitos de domínio, contradomínio e conjunto imagem de uma função.
1) O documento discute o conceito de função matemática, como relações entre conjuntos de variáveis.
2) A primeira menção de função foi feita por Jean Bernonilli no século XVII para descrever relações entre conjuntos diferentes.
3) Exemplos comuns de funções incluem preço de gasolina em relação a litros comprados e distância percorrida em relação a tempo.
- O documento apresenta informações sobre uma disciplina de Lógica Aplicada ministrada pelo professor Hubert Chamone Gesser para cursos de graduação em Publicidade e Jornalismo. A disciplina aborda temas como gráficos, porcentagem, bibliografia, regra de três, lógica proposicional, funções e introdução à lógica.
O documento discute funções polinomiais do 1o grau, especificamente a função linear. Apresenta exemplos de como estas funções podem ser usadas para modelar situações como depreciação de máquinas e gastos com faculdade. Também mostra como construir gráficos de funções lineares e como analisar suas inclinações e pontos de interseção.
O documento apresenta o conceito de função matemática, abordando sua origem histórica e definição. Explica a noção intuitiva de função por meio de exemplos do cotidiano e apresenta as principais características de uma função como domínio, contradomínio e conjunto imagem.
Este documento apresenta uma apostila sobre introdução ao estudo de funções elaborada pelo professor Carlinhos. A apostila define o conceito de função de forma intuitiva e matemática, apresenta exemplos de funções, explica como identificar o domínio, imagem e contradomínio de uma função, e como construir e analisar gráficos de funções. A apostila também contém exercícios de fixação sobre o assunto.
Este documento apresenta uma apostila sobre introdução ao estudo de funções elaborada pelo professor Carlinhos. A apostila define o conceito de função de forma intuitiva e matemática, apresenta exemplos de funções, explica como identificar o domínio, imagem e contradomínio de uma função, e como construir e analisar gráficos de funções. A apostila também contém exercícios de fixação sobre o assunto.
Este documento apresenta os seguintes tópicos sobre funções do 1o grau:
1) Reconhecer situações que caracterizam funções do 1o grau;
2) Resolver problemas envolvendo funções polinomiais do 1o grau;
3) Entender conceitos como domínio, contradomínio e imagem.
O documento apresenta um resumo sobre funções matemáticas. Aborda conceitos como função, representações de funções, domínio, imagem, contradomínio, funções exponenciais e logarítmicas. Destaca matemáticos que contribuíram para o estudo de funções, como Euler e Leibniz.
1) O documento apresenta conceitos básicos sobre funções do 1o grau, incluindo definições, exemplos e gráficos.
2) Uma função do 1o grau relaciona duas variáveis onde uma depende da outra de acordo com uma fórmula polinomial.
3) Os gráficos de funções do 1o grau na forma y=ax+b resultam em uma reta, sendo crescente se a>0 e decrescente se a<0.
O documento descreve o conceito de função matemática, abordando sua origem histórica e definição. Apresenta exemplos para ilustrar a noção intuitiva de função, como planos de saúde, corridas de táxi e preços de combustível. Explica conceitos-chave como domínio, contradomínio e conjunto imagem. Por fim, discute a representação gráfica de funções.
O documento descreve o conceito de função matemática, abordando sua origem histórica e definição. Apresenta exemplos para ilustrar a noção intuitiva de função, como planos de saúde, corridas de táxi e preços de combustível. Explica os conceitos de domínio, contradomínio e conjunto imagem. Por fim, discute a representação gráfica de funções.
[1] O documento discute o conceito de função em matemática, apresentando sua origem histórica e definição formal. [2] É destacada a importância do conceito de função em diversas áreas do conhecimento e como expressar fenômenos físicos, biológicos e sociais por meio de funções. [3] Exemplos ilustram a noção intuitiva de função e como determinar o domínio, contradomínio e conjunto imagem a partir de situações do cotidiano ou de gráficos.
Informática educativa - história das funções com a web 2.0 - parte 2Rafael Araujo
1) O documento discute o ensino de funções do 1o e 2o grau utilizando ferramentas da Web 2.0 como blogs e softwares educativos.
2) Apresenta exemplos de como modelar matematicamente situações reais utilizando funções quadráticas, como o cálculo da área de um terreno.
3) Explica conceitos-chave como vértice, raízes, concavidade e discriminante para a análise de funções do 2o grau.
O documento apresenta uma aula sobre funções polinomiais do 1o grau. Nele, são discutidos conceitos como diagrama de flechas, produto cartesiano, domínio, contradomínio e imagem de uma função. Além disso, são fornecidos exercícios interativos para que o aluno teste seus conhecimentos sobre o assunto.
O documento apresenta uma aula sobre funções polinomiais do 1o grau. Nele, são discutidos conceitos como diagrama de flechas, produto cartesiano, domínio, contradomínio e imagem de uma função. Além disso, são fornecidos exercícios interativos para ajudar os alunos a fixarem os conceitos apresentados.
[1] O documento discute conceitos fundamentais de funções matemáticas, incluindo noção intuitiva de função, par ordenado, produto cartesiano, domínio, imagem e contradomínio. [2] Também apresenta exemplos de gráficos de funções no plano cartesiano e critérios para identificar se um gráfico representa uma função ou relação. [3] O documento fornece uma introdução abrangente aos principais conceitos teóricos relacionados a funções.
[1] O documento discute conceitos fundamentais de funções matemáticas, incluindo noção intuitiva de função, par ordenado, produto cartesiano, domínio, imagem e contradomínio. [2] Também apresenta exemplos de gráficos de funções no plano cartesiano e critérios para identificar se um gráfico representa uma função ou relação. [3] O documento fornece uma introdução abrangente aos principais conceitos teóricos relacionados a funções.
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O documento discute progressões aritméticas (P.A.), definindo-as como sequências numéricas onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma razão fixa. Ele apresenta fórmulas para calcular termos, razão e soma de P.A., ilustrando com exemplos como determinar esses valores para sequências específicas.
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O documento discute a transformação do trabalho ao longo da história, desde a Antiguidade até a atualidade, com foco nos efeitos sobre as gerações mais jovens. Aborda o trabalho no Mundo Antigo e Medieval, comparando escravidão, servidão e trabalho livre. Também analisa as possibilidades de trabalho para os jovens hoje em dia, considerando legislação, aspectos socioeconômicos e formas legalizadas, além de consequências do trabalho infantil e escravo.
CIÊNCIAS DA HUMANAS SOCIAIS E APLICADAS - HISTÓRIA – FERNANDA – 3ª SÉRIE GernciadeProduodeMat
Este documento discute a Declaração Universal dos Direitos Humanos, movimentos sociais e o contexto histórico do populismo no Brasil. A aula irá exibir um trailer sobre o contexto do populismo e debater os progressos e entraves à concretização dos direitos humanos.
CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS - BIOLOGIA – MURILO – 2ª SÉRIE – ZOOL...GernciadeProduodeMat
O documento discute animais invertebrados e vertebrados, comparando suas principais características. É dividido em seções sobre zoologia, animais invertebrados terrestres e aquáticos, e grupos de animais vertebrados como peixes, répteis, anfíbios, aves e mamíferos. O objetivo é conhecer as características que definem os animais e identificar as diferenças entre invertebrados e vertebrados.
CIÊNCIAS DA HUMANAS SOCIAIS E APLICADAS E SUAS TECNOLOGIAS - HISTÓRIA –1ª SÉR...GernciadeProduodeMat
Este documento apresenta o plano de aula de uma professora de história para o ensino médio. A aula abordará os fundamentos da cidadania e democracia utilizando conhecimentos históricos como a Declaração Universal dos Direitos Humanos e a Organização das Nações Unidas. O objetivo é compreender esses temas e valorizar uma atuação consciente na sociedade.
MATEMÁTICAS E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA – 1ª SÉRIE –POLÍGONOS REGULARES (...GernciadeProduodeMat
O documento discute polígonos regulares e fornece exemplos de cálculo de área e perímetro de diferentes formas geométricas como retângulos, trapézios e círculos. O professor Silvio explica os conceitos passo a passo e resolve exercícios como determinar a área gramada de uma praça e o perímetro a ser pintado.
CIÊNCIAS DA HUMANAS SOCIAIS E APLICADAS E SUAS TECNOLOGIAS - HISTÓRIA– 1ª SÉR...GernciadeProduodeMat
Este documento apresenta um plano de aula sobre globalização para o ensino médio. Aborda objetivos como identificar os efeitos da globalização da economia na sociedade brasileira e compreender o processo de globalização através de vídeos, textos e charges.
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Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Centro Jacques Delors
Estrutura de apresentação:
- Apresentação do Centro de Informação Europeia Jacques Delors (CIEJD);
- Documentação;
- Informação;
- Atividade editorial;
- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
Leis de Mendel - as ervilhas e a maneira simples de entender.ppt
MAT 1ª Série 3º Bimestre Professor.pdf
1. 1
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
COMPONENTES: MATEMÁTICA
IMERSÃO CURRICULAR
1ª SÉRIE
ORIENTAÇÃO AO/A PROFESSOR/A
O material didático desenvolvido nesta apostila propõe aos professores(as) e
estudantes um alinhamento com o Documento Curricular para Goiás-Etapa Ensino
Médio para a área de Matemática e suas Tecnologias. Os módulos foram organizados
seguindo a Bimestralização desta área do conhecimento, respeitando as competências
específicas, habilidades específicas, objetivos de aprendizagem e objetos de
conhecimento deste mesmo documento.
Por fim, as sugestões de trabalho, apresentadas neste material didático,
refletem a constante busca da promoção das competências de Matemática e suas
Tecnologias, indispensáveis ao enfrentamento dos desafios sociais, culturais e
profissionais do mundo contemporâneo.
Competência Específica 3: Utilizar estratégias, conceitos, definições e procedimentos
matemáticos para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos
contextos, analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções
propostas, de modo a construir argumentação consistente.
Competência Específica 4: Compreender e utilizar, com flexibilidade e precisão,
diferentes registros de representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico,
computacional etc.), na busca de solução e comunicação de resultados de problemas.
2. 2
Competência Específica 4
Compreender e utilizar, com flexibilidade e precisão, diferentes registros de
representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional etc.),
na busca de solução e comunicação de resultados de problemas.
Habilidade da BNCC
(EM13MAT404) Analisar funções definidas por uma ou mais sentenças (tabela do
Imposto de Renda, contas de luz, água, gás etc.), em suas representações algébrica e
gráfica, identificando domínios de validade, imagem, crescimento e decrescimento, e
convertendo essas representações de uma para outra, com ou sem apoio de
tecnologias digitais.
Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT404A) Compreender o conceito de função analisando situações que
especifiquem a dependência entre variáveis para modelar e resolver problemas que
envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas.
Objetos de conhecimento
Funções definidas por uma ou mais sentenças. Análise gráfica do comportamento
dessas funções dentro dos seus respectivos domínios.
Descritor Saeb
Identificar crescimento ou decrescimento de funções polinomiais de 1º grau
representadas algébrica ou graficamente.
Introdução
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar
de destaque em vários de seus ramos, bem como em outras áreas do conhecimento.
A ideia de função está presente quando relacionamos duas grandezas variáveis.
Vejamos alguns exemplos.
1) Considere a tabela que relaciona os números de litros de um combustível
comprado e o preço a ser pago por eles.
3. 3
Observe que o preço a pagar é dado em função do número de litros comprados, ou seja,
o preço a pagar depende do número de litros comprados.
preço a pagar = R$ 2,40 vezes número de litros comprados
A seguir apresentamos a lei da função ou fórmula matemática da função ou regra da
função.
𝑝 = 2,4 . 𝑥
Observe que esse valor a ser pago é único.
Como o valor a ser pago depende do número de litros comprados, ele é a variável
dependente, e o número de litros comprados é chamada de variável independente.
2) A tabela a seguir relaciona a medida do lado de um quadrado (L) e o seu
perímetro (P):
Observe que o perímetro do quadrado é dado em função da medida do seu lado, isto é,
o perímetro depende da medida do lado. Observe que esse valor é único.
perímetro = 4 vezes a medida do lado
P = 4.L (lei da função)
Como o perímetro depende da medida do lado, ele é a variável dependente, e a medida
do lado é chamada de variável independente.
Existem funções que são definidas por mais de uma sentença. Considere a tabela do
Imposto de Renda das Pessoas Físicas (IRPF).
4. 4
Com base na tabela de incidência mensal do IRPF, considerando os valores a lei que
escreve o valor a ser pago é dado por:
𝑓(𝑥) =
{
0, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1903,98
0,075𝑥 − 142,80, 𝑠𝑒 1903,99 ≤ 𝑥 ≤ 2826,65
0,15𝑥 − 354,80, 𝑠𝑒 2826,66 ≤ 𝑥 ≤ 3751,05
0,225𝑥 − 636,13, 𝑠𝑒 3751,05 ≤ 𝑥 ≤ 4664,68
0,275𝑥 − 869,36, 𝑠𝑒 𝑥 > 4664,68
3) Com base na tabela anterior, calcule o imposto de renda de um trabalhador que
como base de cálculo mensal o valor de R$ 2850,00.
𝑅$ 2850 . 15 % − 𝑅$ 354,80 = 𝑅$ 427,50 – 𝑅$ 354,80 = 𝑅$ 72,70
Logo o imposto de renda que incide sobre uma base de cálculo de R$ 2850,00 mensais
é de R$ 72,70.
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1) Na tabela a seguir apresentamos a medida do lado de uma região quadrada e
sua área.
a) O que é dado em função do quê?
b) Qual é a variável dependente?
5. 5
c) Qual é a variável independente?
Gabarito: a) A área é dada em função do lado. b) A área . c) O lado
2) Observe a tabela e responda.
a) Qual é a lei da função que associa a medida do lado com a área?
b) Qual é a área de uma região quadrada cujo lado mede 13 cm?
c) Qual é a medida do lado da região quadrada cuja área é de 225 𝑐𝑚2
?
Gabarito: a) 𝐴 = 𝑙2
2 b) 144 𝑐𝑚2
c ) 15 cm
3) Responda:
a) A diagonal (D) de um quadrado é dada em função do seu lado (L). Qual é a fórmula
matemática que indica essa função?
b) O comprimento (C) da circunferência é dado em função do seu raio (R). Qual é a
expressão que indica essa função?
c) O número de diagonais (D) de um polígono é dado em função do número de lados (N)
do polígono. Qual é a fórmula matemática que indica essa função?
Gabarito: 𝑎) 𝑑 = 𝑙√2 𝑏) 𝑐 = 2𝜋𝑟 𝑑 =
𝑛(𝑛−2)
2
4) Examine e complete.
X -2 -1 0 1 2 3 4 5
y -9 -4 1 6
Descubram o padrão e escrevam a lei da função.
Gabarito:
6. 6
Descritor Saeb
Identificar crescimento ou decrescimento de funções polinomiais de 1º grau
representadas algébrica ou graficamente.
A noção de função por meio de conjunto
1) Considere os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: cada elemento de
A a seu triplo em B.
Observe que:
• todos os elementos de A têm correspondente em B;
• a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.
Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula 𝑦 = 3𝑥.
2) Dados A = {0, 4} e B = {2, 3, 5}, considere a relação: cada elemento de A é menor
do que um elemento de B:
Inserção Curricular/Recomposição
7. 7
Nesse caso não temos uma função de A em B, pois ao elemento 0 de A correspondem
três elementos de B.
3) Seja A = {-4, -2, 0, 2, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8}, associamos os elementos de A aos
elementos de igual valor em B:
Há elementos em A que não têm correspondente em B. Nesse caso não temos
uma função de A em B.
Definição de Função
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que
indica como associar cada elemento x pertencente A a um único elemento y pertencente
a B.
Notação:
A função f transforma x de A em y de B, isto é: 𝑦 = 𝑓(𝑥).
8. 8
Domínio, contradomínio e conjunto imagem
Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função (D) e o conjunto
B, contradomínio (CD) da função.
Para cada x ∈ a A, o elemento y ∈ a B chama-se imagem de x pela função f ou o valor
assumido pela função f para x ∈ A, e o representamos por f(x) (lê-se f de x). Assim, y =
f(x).
O conjunto de todos os y assim obtidos é chamado conjunto imagem da função f e é
indicado por Im(f).
Exemplos:
1) Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Seja a função f: A
→ B que transforma x ∈ A em 2x ∈ B.
9. 9
Nesse exemplo o domínio é A = {0, 1, 2, 3}, o contradomínio é B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, a
regra é dada por y = 2x e o conjunto imagem é dado por Im(f) = {0, 2, 4, 6}.
2) Considere a função f(x)= x + 1.
Portanto, o domínio é N, o contradomínio é N, a regra é y = x + 1 e o conjunto imagem
é N* = N – {0}, isto é, Im(f) = N*.
3) Considere o diagrama.
Determine:
a) D(f)
D(f) = {2, 3, 5} ou D(f) = A
b) CD(f)
10. 10
CD(f) = {0, 2, 4, 6, 8, 10} ou CD(f) = B
c) Im(f)
Im(f) = {4, 6, 10}
d) f(3)
f(3) = 6
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1) Quais dos seguintes diagramas representam uma função de A em B?
Gabarito: a , c
2) Dados A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {=-1, 0, 1, 3, 4} e a correspondência entre A e B
dada por 𝑦 = 𝑥2
, com x ∈ A e y ∈ B, faça um diagrama e diga se f é uma função
de A em B.
11. 11
Gabarito:
3) Observe a tabela abaixo:
a) Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B.
b) Em caso afirmativo, escreva a fórmula matemática dessa função. Caso
contrário, justifique.
Gabarito:
b) 𝑦 = √𝑥
12. 12
4) Considere a função defina no diagrama.
a) D(f)
b) Im(f)
c) f(4)
d) y, quando x=5
e) x, quando y=3
Gabarito:
13. 13
Habilidade da BNCC
(EM13MAT404) Analisar funções definidas por uma ou mais sentenças (tabela do
Imposto de Renda, contas de luz, água, gás etc.), em suas representações algébrica e
gráfica, identificando domínios de validade, imagem, crescimento e decrescimento, e
convertendo essas representações de uma para outra, com ou sem apoio de
tecnologias digitais.
Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT404B) Compreender as relações estabelecidas entre grandezas que
definem uma função, analisando suas representações algébrica e/ou gráfica para
identificar o domínio, contradomínio, imagem, crescimento ou decrescimento.
Objetos de conhecimento
Funções definidas por uma ou mais sentenças. Análise gráfica do comportamento
dessas funções dentro dos seus respectivos domínios.
Descritor Saeb
Identificar crescimento ou decrescimento de funções polinomiais de 1º grau
representadas algébrica ou graficamente.
Gráfico de uma função
Frequentemente encontramos gráficos e tabelas que procuram retratar uma
determinada situação. Esses gráficos e tabelas, em geral, representam funções, e por
meio deles podemos obter informações sobre a situação que retratam, bem como sobre
as funções que representam.
O gráfico a seguir mostra a evolução do número de candidatos no vestibular da Fuvest
de 1995 a 2009, variando com o tempo.
Imersão Curricular
14. 14
Pela análise do gráfico vemos que:
• o número de candidatos oriundos do ensino público diminuiu de 1995 a 1997.
De 1997 a 1998 esse número aumentou. De 1998 a 1999 houve uma pequena
queda. De 1999 a 2003 houve aumento. De 2003 a 2004 houve redução. De 2004
a 2006 houve aumento. E de 2006 a 2009 esse número diminuiu.
• quanto ao número de candidatos oriundos do ensino particular houve queda de
1995 a 1996, de 2000 a 2002, de 2003 a 2005 e de 2006 a 2007. O aumento desse
número ocorreu entre 1996 e 2000, 2002 e 2003, 2005 e 2006 e entre 2007 e
2009.
• comparando os vestibulares de 2005 e 2006, a porcentagem dos candidatos
oriundos do ensino público subiu de 38% para 42% aproximadamente.
2) Consumo de água em uma residência (em porcentagem)
15. 15
De acordo com o gráfico:
• o lavatório e o tanque consomem a mesma quantidade de água.
• a bacia sanitária consome aproximadamente 5 vezes mais água do que o
tanque.
• a bacia sanitária e o chuveiro são os que mais consomem água.
• dessa lista, a máquina de lavar louças é o aparelho que menos consome água.
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1) Observe o gráfico e reponda:
a) Desses dez pilotos, até o fim do campeonato de 2008, qual teve o maior
número de vitórias na Fórmula 1 e qual teve o menor número?
b) Quais pilotos tiveram o mesmo número de vitórias?
Gabarito:
16. 16
2) Analise o gráfico e responda:
a) Em que ano as importações atingiram valor máximo? E mínimo?
b) Em que anos as exportações foram superiores a 50 bilhões de dólares?
c) Comparando o saldo de 2008 com o de 2009, houve aumento ou queda?
De quanto por cento?
Gabarito:
17. 17
Habilidade da BNCC
(EM13MAT404) Analisar funções definidas por uma ou mais sentenças (tabela do
Imposto de Renda, contas de luz, água, gás etc.), em suas representações algébrica e
gráfica, identificando domínios de validade, imagem, crescimento e decrescimento, e
convertendo essas representações de uma para outra, com ou sem apoio de
tecnologias digitais.
Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT404C) Analisar funções definidas por uma ou mais sentenças (tabela do
Imposto de Renda, contas de luz, água, gás etc.), utilizando estratégias, conceitos e
procedimentos matemáticos para interpretar situações em diversos contextos.
Objetos de conhecimento
Análise gráfica do comportamento dessas funções dentro dos seus respectivos
domínios.
Descritor Saeb
Identificar crescimento ou decrescimento de funções polinomiais de 1º grau
representadas algébrica ou graficamente.
Função Crescente e função decrescente
O gráfico abaixo mostra a população brasileira de 1940 a 2000.
No gráfico notamos o aumento da população em função do aumento do tempo, ou seja,
a curva é crescente.
18. 18
Este gráfico mostra um tanque de água sendo esvaziado:
O gráfico mostra a diminuição do volume de água em função do aumento do tempo, a
curva é decrescente.
Analisando Gráficos
1) Dizemos que essa função é crescente, pois, quanto maior o valor dado a x, maior
será o valor correspondente a y.
2) Observe o gráfico da função de R em R dada por 𝑓(𝑥) = − 𝑥2
: é uma parábola.
19. 19
• para x ≤ 0, essa função é crescente.
• para 𝑥 ≥ 0 , essa função é decrescente.
• para x = 0, f(x) = 0; para x≠0, temos f(x)<0. Por isso, dizemos que x = 0 é o ponto de
máximo da função.
• o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
3) Observe a função dada por: 𝑓(𝑥) = {
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 3
3, 𝑠𝑒 𝑥 > 3
.
Para x≤ 3, essa função é crescente.
Para x>3, essa função é constante.
Conclusões: Analisando o gráfico de uma função, podemos observar propriedades
importantes dela, como:
20. 20
a) Onde a função é positiva (f(x) > 0), onde ela é negativa (f(x)<0) e onde ela se
anula (f(x) = 0).
b) Os valores 𝑥0 nos quais ela se anula são chamados zeros da função f.
c) Onde ela é crescente, onde ela é decrescente e onde ela assume um valor
máximos ou um valor mínimo, se existirem.
• f é positiva em ]-5, -1[ e em ]5, 6[.
• f é negativa em ]-6, -5[ e em ]-1, 5[.
• f é nula em x = -5, x=-1 e x =5. Esses são os zeros ou raízes da função.
• f é crescente em ]-6, -3] e em [2, 6[.
• f é decrescente em [-3, 2].
• O ponto com x = -3 é um ponto de máximo e f(x) = 2 é o valor máximo de f.
• O ponto com x = 2 é um ponto de mínimo e f(x) =-3 é o valor mínimo de f.
MOMENTO ENEM
1) (Enem/2017) A água para o abastecimento de um prédio é armazenada em um
sistema formado por dois reservatórios idênticos, em formato de bloco retangular,
ligados entre si por um cano igual ao cano de entrada, conforme ilustra a figura.
21. 21
A água entra no sistema pelo cano de entrada no Reservatório 1 a uma vazão constante
e, ao atingir o nível do cano de ligação, passa a abastecer o Reservatório 2. Suponha que,
inicialmente, os dois reservatórios estejam vazios.
Qual dos gráficos melhores descreverá a altura h do nível da água no Reservatório 1, em
função do volume V de água no sistema?
a)
b)
c)
d)
22. 22
e)
Gabarito: letra d) Como o reservatório 1 é um prisma então seu crescimento até o nível
do cano de ligação é uma função linear. Durante a passagem pelo cano de ligação até o
preenchimento do reservatório 2 temos uma função constante. Após a passagem pelo
cano de ligação, o reservatório 1 e o reservatório 2 crescem de forma linear com
inclinação inferior a do primeiro instante.
2) O quadro apresenta a produção de algodão de uma cooperativa de
agricultores entre 1995 e 1999.
O gráfico que melhor representa a área plantada (AP) no período considerado é:
Gabarito: A
3) Indique se cada função indicada nos gráficos é crescente ou decrescente:
23. 23
Gabarito:
4) Responda para que valores reais de x a função é crescente e decrescente:
Gabarito:
5) Analise o gráfico e responda:
24. 24
a) Em que mês o dólar atingiu seu valor máximo? E seu valor mínimo?
b) De que mês para que mês houve valorização mais brusca do dólar? De
quanto por cento foi essa valorização?
c) De quanto por cento foi a desvalorização do dólar entre abril e agosto de
2008?
Gabarito:
25. 25
Habilidade da BNCC
(EM13MAT404) Analisar funções definidas por uma ou mais sentenças (tabela do
Imposto de Renda, contas de luz, água, gás etc.), em suas representações algébrica e
gráfica, identificando domínios de validade, imagem, crescimento e decrescimento, e
convertendo essas representações de uma para outra, com ou sem apoio de
tecnologias digitais.
Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT404D) Modelar problemas que envolvem tabela do Imposto de Renda,
contas de luz, água, gás dentre outras, investigando informações apresentadas em
textos que trazem informações decorrentes de situações socioeconômicas, técnico
científicas etc., para resolver problemas relativos à realidade principalmente próxima
ao/à estudante.
Objetos de conhecimento
Funções definidas por uma ou mais sentenças. Análise gráfica do comportamento
dessas funções dentro dos seus respectivos domínios.
Descritor Saeb
Identificar crescimento ou decrescimento de funções polinomiais de 1º grau
representadas algébrica ou graficamente.
Apresentamos a seguir algumas situações problemas.
1) Dois veículos movem-se numa mesma estrada reta, em sentidos contrários,
obedecendo as funções horárias da posição S’ = 100 + 60T e S” = 500 – 40T, com S
medido em quilômetros e T em horas. Em qual momento, é possível afirmar que eles
se encontrarão? Em qual posição dessa autovia ocorrerá o encontro? Caso um litro
de gasóleo permita que o automóvel percorra 10 km, quantos litros de combustível
cada um gastou? Caso o litro custe R$8,00, o gasto financeiro em cada um, foi de:
Gabarito:
No instante em que ocorrer o encontro, a posição de ambos será a mesma. Então:
S’ = S”
100 + 60T = 500 – 40T
60T + 40T = 500 – 100
100T = 400
T = 400:100
T = 4 horas
Logo, a posição do encontro foi:
S’ = 100 + 60T
S’ = 100 + 60.(4)
S’ = 100 + 240
S’ = 340 km
26. 26
Cada um andou:
S’ = 340 – 100 = 240 km
S” = 500 – 340 = 160 km
Cada um gastou:
S’ = 240:10 = 24 litros x 8 reais = R$192,00
S” = 160:10 = 16 litros x 8 reais = R$128,00
2) Uma turma de estudantes vai até a lanchonete no momento de recreação da escola.
Lá estava a seguinte informação: o seu pagamento sempre irá depender dessa
equação: P = 3,50q + 4,00.r, onde P representa em reais, o valor do gasto, C a
quantidade de quitutes consumidos e R a quantidade de refrescos em unidades.
Digamos que esse grupo consumiu 20 quitutes e 12 refrescos. Em quanto ficou essa
dívida no momento da quitação da comanda?
Gabarito:
P = 3,50x20 + 4,00x12
P = 70 + 48
P = 118 reais
3) Se o consumo de energia de um sítio é dado por kWh e que, cada kWh custe R$0,95,
construa uma função que represente essa situação e calcule o quanto se deve pagar
pelo consumo de 60 kWh dessa residência.
Gabarito:
P = 0,95.c
P representa o pagamento do consumo.
C representa a quantidade de consumo.
Logo,
P = 0,95x60
P = 57 reais.
27. 27
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1) (UEAAM) Uma pequena empresa que fabrica camisetas verificou que o lucro
obtido com a venda de seus produtos obedece à função L(x) = 75x – 3000, sendo
L(x) o lucro em reais e x o número de camisetas vendidas, para 40 < x ≤ 120. Para
que o lucro da empresa chegue a R$ 4.000,00, o menor número de camisetas a
serem vendidas é:
A) 97.
B) 96.
C) 95.
D) 94.
E) 93.
Gabarito: letra d
2) Uma fábrica de panelas opera com um custo fixo mensal de R$ 9 800,00 e um
custo variável por panela de R$ 45,00. Cada panela é vendida por R$ 65,00. Seja
x a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para que o lucro
mensal seja igual a 20% da receita.
A soma dos algarismos de x é:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Gabarito: letra d
5) (Cesgranrio) O valor de um carro novo é de R$ 9 000,00 e, com 4 anos de uso, é de
R$ 4 000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor
de um carro com 1 ano de uso é:
28. 28
A) R$ 8 250,00.
B) R$ 8 000,00.
C) R$ 7 750,00.
D) R$ 7 500,00.
E) R$ 7 000,00.
Gabarito: letra c
4) (Cefet - MG - 2015) Um motorista de táxi cobra, para cada corrida, uma taxa fixa de
R$ 5,00 e mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. O valor total arrecadado (R) num dia é
função da quantidade total (x) de quilômetros percorridos e calculado por meio da
função R(x) = ax + b, em que a é o preço cobrado por quilômetro e b, a soma de todas
as taxas fixas recebidas no dia. Se, em um dia, o taxista realizou 10 corridas e arrecadou
R$ 410,00, então a média de quilômetros rodados por corrida foi de:
A) 14
B) 16
C) 18
D) 20
Gabarito: letra d
5) (UCS 2014) O salário mensal de um vendedor é de R$ 750,00 fixos mais 2,5% sobre o
valor total em reais das vendas que ele efetuar durante o mês. Em um mês em que suas
vendas totalizarem x reais, o salário do vendedor será dado pela expressão:
A) y = 750 + 2,5x
B) y = 750 + 0,25x
C) y = 750,25x
D) y= 750 . (0,25x)
E) 750 + 0,025x
Gabarito: letra e
29. 29
6) (Vunesp 2018) Em uma caixa há parafusos e pregos, num total de 20 unidades.
Sabendo que há 4 parafusos a mais do que o número de pregos, então o número de
parafusos dessa caixa é:
A) 12.
B) 4.
C) 8.
D) 10.
E) 6.
Gabarito: letra a
7) (UFSM) Sabe-se que o preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela
fixa, que é denominada bandeirada, e uma parcela variável, que é função da distância
percorrida. Se o preço da bandeirada é de R$ 4,60 e o quilômetro rodado é R$ 0,96, a
distância percorrida pelo passageiro que pagou R$ 19 para ir de sua casa ao shopping é
de:
A) 5 km
B) 10 km
C) 15 km
D) 20 km
E) 25 km
Gabarito: letra c
Seja d a distância percorrida em quilômetros, sabemos que:
19 = 0,96d + 4,6
Isolando a incógnita, temos que:
19 – 4,6 = 0,96d
14,4 = 0,96d
d = 14,4 : 0,96
d = 15
30. 30
8) (FGV-SP) Um capital de R$ 12 000,00 foi aplicado em regime de juros compostos
a uma taxa de 2,5% ao mês durante 12 meses. Ao retirar o montante resultante
da aplicação a pessoa terá descontado do juro da aplicação 7% de imposto sobre
aplicações financeiras envolvendo lucros mais 0,5% de contribuição para obras
relacionadas à saúde pública, segurança e educação, totalizando 7,5% de
descontos. Calcule o valor líquido dessa aplicação, isto é, o valor debitado os
impostos.
Gabarito:
Pela função dos juros compostos temos:
M = C * (1 + i)t
M = 12000 * (1 + 0,025)12
M = 12000 * 1,02512
M = 12000 * 1,344889
M = 16 138,67
Os impostos serão cobrados somente sobre os juros da aplicação.
J = M – C
J = 16 138,67 – 12000
J = 4 138,67
Valor do Imposto = 7,5% * 4 138,67 → 0,075 * 4 138,67 → R$ 310,40
O lucro líquido da aplicação será dado por
Mlíquido = M – I
Mlíquido = 16 138,67 – 310,40
Mlíquido = 15 828,27
O valor do lucro líquido, isto é, debitado os devidos impostos será de R$ 15 828,27.
9) (UNICAMP – 2016) O gráfico abaixo exibe o lucro líquido (em milhares de reais)
de três pequenas empresas A, B e C, nos anos de 2013 e 2014.
31. 31
Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que
a) A teve um crescimento maior do que C.
b) C teve um crescimento maior do que B.
c) B teve um crescimento igual a A.
d) C teve um crescimento menor do que B.
gabarito: letra b
A variação do lucro será dada pela diferença entre o lucro líquido de 2014 e o de 2013.
Assim, tem-se, em milhares de reais:
Pode-se concluir que C teve crescimento maior do que B.
10) (Cesgranrio) O valor de um carro novo é de R$ 9 000,00 e, com 4 anos de uso, é de
R$ 4 000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor
de um carro com 1 ano de uso é
A) R$ 8 250,00.
B) R$ 8 000,00.
C) R$ 7 750,00.
D) R$ 7 500,00.
E) R$ 7 000,00.
Gabarito: letra c
11) (UERJ) Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo e
que, ao ser exalado, tem temperatura inferior à do corpo, já que é resfriado
32. 32
nas paredes do nariz. Através de medições realizadas em um laboratório foi
obtida a função:
TA=8,5+0,75⋅TB, 12° ≤ TB ≤ 30°,
em que TA e TB representam, respectivamente, a temperatura do ar exalado e a do
ambiente.
Calcule:
a) a temperatura do ambiente quando TA=25°C;
b) o maior valor que pode ser obtido para TA.
Gabarito:
a) 22º
b) 31º
12) (PUC – MG) Uma função do 1º grau é tal que f(–1) = 5 e f(3)= –3. Então, f(0) é igual
a
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) -1
Gabarito: letra c
13) (FGV-SP) Uma fábrica de paletós trabalha com um custo fixo mensal de R$ 10.000,00
e um custo variável de R$ 100,00 por paletó. O máximo que a empresa consegue
produzir, com a atual estrutura, é 500 paletós por mês. O custo médio na produção de
x paletós é igual ao quociente do custo total por x. O menor custo médio possível é igual
a
A) R$ 100,00.
B) R$ 105,00.
C) R$ 110,00.
D) R$ 115,00.
E) R$ 120,00.
Gabarito: letra c
14) (UNICAMP – 2016) Considere a função afim f(x)=ax+b definida para todo número
real x , onde a e b são números reais. Sabendo que f(4)= 2 , podemos afirmar que
f(f(3)+f(5)) é igual a
33. 33
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
Gabarito: letra d
Módulo 5
Habilidade da BNCC
(EM13MAT404) Analisar funções definidas por uma ou mais sentenças (tabela do
Imposto de Renda, contas de luz, água, gás etc.), em suas representações algébrica e
gráfica, identificando domínios de validade, imagem, crescimento e decrescimento, e
convertendo essas representações de uma para outra, com ou sem apoio de
tecnologias digitais.
Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT404E) Resolver problema cuja modelagem utiliza a noção de função,
sintetizando informações apresentados em mais de uma fonte de conhecimento (no
mínimo dois textos, texto e gráfico e/ou tabela etc.) para construir alternativas de
soluções que eliminem problemas cotidianos.
Objetos de conhecimento
Funções definidas por uma ou mais sentenças. Análise gráfica do comportamento
dessas funções dentro dos seus respectivos domínios.
Descritor Saeb
Identificar crescimento ou decrescimento de funções polinomiais de 1º grau
representadas algébrica ou graficamente.
1) Uma empresa de telefonia oferece dois tipos de planos:
• Plano Plus: 3,5 GB de internet, mais ligações ilimitadas para telefones fixos e celulares.
• Plano Econômico: 3,5 GB de internet, mais 50 min de ligações para telefones fixos e
celulares.
O plano Plus custa por mês R$ 65,90, já o plano Econômico custa R$ 10,80, sendo que é
cobrado R$ 1,90 por minuto quando o cliente exceder os 50 min incluídos no plano.
Considerando esses dois planos, usando quantos minutos de ligações por mês, o plano
Plus passa a ser mais econômico?
34. 34
Fonte: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-funcao-afim/
a) 30 min
b) 50 min
c) 60 min
d) 70 min
e) 80 min
gabarito: letra e
f(x) = 10,8 + 1,9x que representa o custo mensal do plano Econômico.
Então,
65,9 = 10,8 + 1,9x
55,1 = 1,9x
55,1:1,9 = x
Resultado: x = 29
Somando 29 + 50 = 79, o valor que mais se aproxima é 80 com o Plus sendo mais
econômico.
2) (ACAFE) Um táxi começa uma corrida com o taxímetro marcando R$ 4,00. Cada
quilômetro rodado custa R$1,50. Se ao final de uma corrida, o passageiro pagou
R$ 37,00, a quantidade de quilômetros percorridos foi:
Gabarito: 22 reais
f(x) = ax + b
f(x) = 1,5x + 4. Nesse caso, "x" representa os quilômetros rodados.
37 = 1,5x + 4
37 - 4 = 1,5x
x = 22 reais
35. 35
3) (Ucs – 2014) O salário mensal de um vendedor é de R$ 750,00 fixos mais 2,5% sobre
o valor total em reais, das vendas que ele efetuar durante o mês. Em um mês em que
suas vendas totalizarem x reais, o salário do vendedor será dado pela expressão:
a) 750 + 2,5x
b) 750 + 0,25x
c) 750,25x
d) 750 . (0,25x)
e) 750 + 0,025x
Gabarito: letra e
750 fixo + 2,5% sobre o valor total
750 0,025.x
4) (Enem 2011) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso
a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas
empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um
valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km
construído (n) acrescido de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas
apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma
delas poderá ser contratada.
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da
rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas
apresentadas?
a) 100n + 350 = 120n + 150
b) 100n + 150 = 120n + 350
c) 100(n + 350) = 120(n + 150)
d) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000)
e) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000)
Gabarito: letra a
36. 36
A equação que possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente
escolher uma das propostas é:
100 000 . n + 350 000 = 120 000 . n + 150 000
Dividindo todos os membros por 100, temos:
100 n + 350 = 120 n + 150
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1) (ENEM-2008) A figura a seguir representa o boleto de cobrança da mensalidade
de uma escola, referente ao mês de junho de 2008.
Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o numero de dias em
atraso, então:
a) M(x) = 500 + 0,4x
b) M(x) = 500 + 10x
c) M(x) = 510 + 0,4x
d) M(x) = 510 + 40x
e) M(x) = 500 + 10,4x
Gabarito: letra c
2) (FAAP – 1997) A taxa de inscrição num clube de natação é de R$ 150,00 para o curso
37. 37
de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve após o início do curso, a taxa é reduzida
linearmente. Calcule quanto uma pessoa pagou aos se inscrever 5 semanas após o início
do curso.
a) R$ 62,50
b) R$ 50,50
c) R$ 74,50
d) R$ 78,50
e) R$ 87,50
Gabarito: letra e
3) (UFMG) - Suponha-se que o número f(x) de funcionários para distribuir, em um dia,
contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado
pela função f(x) = 300 x/150 - x. Se o número de funcionários necessários para
distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de moradores que as
receberam é:
a) 25
b) 30
c) 40
d) 45
e) 50
Gabarito: letra b
4) (FUVEST) - Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora de uso, R$ 3,00 por
hora adicional e tem uma despesa diária de R$ 320,00. Considere-se um dia em que
sejam cobradas, no total, 80 horas de estacionamento. O número mínimo de usuários
necessário para que o estacionamento obtenha lucro nesse dia é:
a)25
b)26
c)27
d)28
e) 29
Gabarito: letra c
5) (CESGRANRIO) - O valor de uma moto nova é de R$ 9.000,00 e, com 4 anos de uso,
é de R$ 4.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o
valor de uma moto com 1 ano de uso é:
38. 38
a) R$8.250,00
b) R$8.000,00
c) R$7.750,00
d) R$7.500,00
e) R$7.000,00
Gabarito: letra c
MOMENTO ENEM
1) (Enem 2019) Uma empresa tem diversos funcionários. Um deles é o gerente, que
recebe R$ 1 000,00 por semana. Os outros funcionários são diaristas. Cada um deles
trabalha 2 dias por semana, recebendo R$ 80,00 por dia trabalhado.
Chamando de X a quantidade total de funcionários da empresa, a quantia Y, em reais,
que esta empresa gasta semanalmente para pagar seus funcionários é expressa por:
A) Y = 80X + 920.
B) Y = 80X + 1 000.
C) Y = 80X + 1 080.
D) Y = 160X + 840.
E) Y = 160X + 1 000.
Gabarito: letra d
2) (Enem 2017) Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter lucro já na
primeira semana. O gráfico representa o lucro (L) dessa loja desde o início do mês
até o dia 20. Mas esse comportamento se estende até o último dia, o dia 30.
39. 39
A representação algébrica do lucro (L) em função do tempo (t) é:
A) L(t) = 20t + 3 000
B) L(t) = 20t + 4 000
C) L(t) = 200t
D) L(t) = 200t – 1 000
E) L(t) = 200t + 3 000
Gabarito: letra d
3) (Enem 2018) Uma indústria automobilística está testando um novo modelo de carro.
Cinquenta litros de combustível são colocados no tanque desse carro, que é dirigido
em uma pista de testes até que todo o combustível tenha sido consumido. O
segmento de reta no gráfico mostra o resultado desse teste, no qual a quantidade
de combustível no tanque é indicada no eixo y (vertical), e a distância percorrida
pelo automóvel é indicada no eixo x (horizontal).
A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no taque e a distância
percorrida pelo automóvel é:
40. 40
Gabarito: letra b
4) (Enem 2017) Um sítio foi adquirido por R$ 200 000,00. O proprietário verificou que
a valorização do imóvel, após sua aquisição, cresceu em função do tempo conforme
o gráfico, e que essa tendência de valorização se manteve nos anos seguintes.
O valor desse sítio, no décimo ano após sua compra, em real, será de:
A) 190 000.
B) 232 000.
C) 272 000.
D) 400 000.
E) 500 000.
Gabarito: letra d
5) (Enem 2016) Um dos grandes desafios do Brasil é o gerenciamento dos seus recursos
naturais, sobretudo os recursos hídricos. Existe uma demanda crescente por água e
o risco de racionamento não pode ser descartado. O nível de água de um
reservatório foi monitorado por um período, sendo o resultado mostrado no gráfico.
Suponha que essa tendência linear observada no monitoramento se prolongue pelos
próximos meses.
41. 41
Nas condições dadas, qual o tempo mínimo, após o sexto mês, para que o reservatório
atinja o nível zero de sua capacidade?
a) 2 meses e meio.
b) 3 meses e meio.
c) 1 mês e meio.
d) 4 meses.
e) 1 mês.
Gabarito: letra a
6) (Enem 2009) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma
festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para
arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam
ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em
partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua
parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$
7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para
cada uma das 55 pessoas?
A) R$ 14,00.
B) R$ 17,00.
C) R$ 22,00.
D) R$ 32,00.
E) R$ 57,00.
Gabarito: letra d
42. 42
7) (Enem 2012) A tabela seguinte apresenta a média, em kg, de resíduos domiciliares
produzidos anualmente por habitante, no período de 1995 a 2005.
Se essa produção continuar aumentando, mantendo o mesmo padrão observado na
tabela, a previsão de produção de resíduos domiciliares, por habitante no ano de 2020,
em kg, será:
A) 610.
B) 640.
C) 660.
D) 700.
E) 710.
Gabarito: letra b
8) (Enem 2011) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso
a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas
empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um
valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km
construído (n) acrescido de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas
apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma
delas poderá ser contratada.
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da
rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas
apresentadas?
A) 100n + 350 = 120n + 150
B) 100n + 150 = 120n + 350
C) 100(n + 350) = 120(n + 150)
D) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000)
E) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000)
43. 43
Gabarito: letra a
9) (Enem 2016) Uma cisterna de 6 000 L foi esvaziada em um período de 3h. Na
primeira hora foi utilizada apenas uma bomba, mas nas duas horas seguintes, a fim
de reduzir o tempo de esvaziamento, outra bomba foi ligada junto com a primeira.
O gráfico, formado por dois segmentos de reta, mostra o volume de água presente
na cisterna, em função do tempo.
Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início da segunda hora?
A) 1 000
B) 1 250
C) 1 500
D) 2 000
E) 2 500
Gabarito: letra c
10) (Enem 2010) Em fevereiro, o governo da Cidade do México, metrópole com uma das
maiores frotas de automóveis do mundo, passou a oferecer à população bicicletas
como opção de transporte. Por uma anuidade de 24 dólares, os usuários têm direito
a 30 minutos de uso livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e devolver
em qualquer outra e, se quiser estender a pedalada, paga 3 dólares por hora extra.
Revista Exame. 21 abr. 2010.
A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, quando
se utilizam x horas extras nesse período é:
A) f(x) = 3x
B) f(x) = 24
44. 44
C) f(x) = 27
D) f(x) = 3x + 24
E) f(x) = 24x + 3
Gabarito: letra d
Nivelamento e Ampliação
Nivelamento
Objetos de conhecimento
Potenciação
Descritor Saeb
Resolver situações problema com o propósito de explorar os conceitos e definições
de funções exponenciais e matemática financeira.
Potenciação
Antes de começarmos a estudar funções exponenciais, importante seria fazer um
estudo sobre potenciação. O que é potência e suas propriedades.
Então, vamos lá!
Consideremos que exista um produto de 5x5x5x5, que nos dará um resultado de 625.
Ou que tenhamos um produto de 2x2x2x2x2x2x2 que também nos dará uma resposta
igual a 128.
Imagine, como seria esteticamente e matematicamente mais acessível, se
escrevêssemos assim:
45. 45
54 = 625
27 = 128
.
.
.
an = b
onde a, representa a base da potência (que será o número em condições multiplicar
consigo mesmo), n o expoente (representando o número de repetições do fator em
estudo) e b, a potência, considerada o resultado de toda a operação.
Fácil, não é mesmo.
Algumas curiosidades a respeito desse raciocínio:
1) Se n > 1, n є Z, então, an = a.a.a. .... .a
2³ = 2x2x2 = 8
3² = 3x3 = 9
2) Se n = 1, então a¹ = a.
5¹ = 5
3¹ = 3
1000¹ = 1000
3) Se n = 0, então a0 = 1, a ≠ 1.
40 = 1
60 = 1
4) Se n є Z e a = 1, então 1n = 1.
11000 = 1
10 = 1
5) Se a ≠ 0 e n = - 1, então 𝑎−1
=
1
𝑎
.
2−1
=
1
2
.
7−1
=
1
7
.
6) Se Se a ≠ 0 e n > 1, n є Z, então 𝑎−𝑛
=
1
𝑎𝑛
.
3−2
=
1
32
=
1
9
.
2−3
=
1
23
=
1
8
.
(
3
2
)−2
= (
2
3
)
2
=
2²
3²
=
4
9
47. 47
32
37
= 32−7
= 3−5
3ª propriedade: (𝑎𝑚
)𝑛
= 𝑎𝑚.𝑛
.
(52
)3
= 52.3
= 56
(3−2
)10
= 3−2.10
= 3−20
4ª propriedade: (𝑎. 𝑏)𝑛
= 𝑎𝑛
. 𝑎𝑚
.
(2.3)2
= 2². 3²
(4.5)3
= 4³. 5³
5ª propriedade: (
𝑎
𝑏
)𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
, 𝑏 ≠ 0.
(
2
3
)2
=
2𝑎2
32
(
5
6
)−3
=
5−3
6−3
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1) Resolva as situações abaixo, reduzindo a uma única potência:
a) 26
. 28
= 214
b) 7𝑥
. 75
= 7𝑥+5
c)
15−3
15−8
= 155
d)
4𝑥+3
4−4
= 4𝑥+7
e) (125
)6
= 1230
2) O valor da expressão (-2)³ + 4² - 10¹ é:
Gabarito: -2
3) Simplificando a expressão (3b)².(5a)³, temos:
Gabarito: 1125a³b²
Equações Exponenciais
Enfim, damos o nome de equação exponencial a toda e qualquer equação que tem uma
incógnita no expoente.
Assim, podemos escrever:
a) 3y = 9
48. 48
b) 2x = 32
c) 4x + 1 = 32
Como equações exponenciais.
Resolvendo algumas equações exponenciais:
a) 3y = 9
3y = 3²
y = 2
b) 2x = 32
2x = 25
x = 5
c) 4x + 1 = 32
(2²)x + 1 = 25
22x + 2 = 25
2x + 2 = 5
2x = 3
x =
3
2
Ou seja, para resolvermos uma equação exponencial, o primeiro passo é,
transformar a equação dada em igualdade da mesma base, de tal forma, que
estando as bases iguais, os expoentes também serão.
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1) Resolva a equação 2x = 512.
Gabarito: x = 9
2) Qual o valor de x na equação 3x =
1
81
?
Gabarito: x = - 4
3) Dê o valor de y na equação 4x = √2
5
.
Gabarito: x =
1
10
49. 49
4) Sabemos que a equação do montante aplicado em regime de capitalização composta
é M = C.(1 + i)T, determine o quanto um investidor aplicando 2 000 reais, à uma taxa de
10% ao mês, resgata ao fim de 2 meses.
Gabarito: R$2 420,00
5) Sabendo que a equação 5.2x + 2 = 320, o valor de x será:
Gabarito: x = 4
Habilidade da BNCC
(EM13MAT304) Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais
seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em
contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT304B) Modelar situações que envolvam variáveis socioeconômicas ou
técnico-científicas, usando representações algébricas exponenciais identificando e
relacionando as variáveis envolvidas para resolver problemas com ou sem apoio de
tecnologias digitais.
Objetos de conhecimento
Funções exponenciais.
Noções de Matemática Financeira.
Descritor Saeb
Resolver situações problema com o propósito de explorar os conceitos e definições
de funções exponenciais e matemática financeira.
Funções Exponenciais
Toda função f: R → R, dada por f(x) = ax, sendo a ≠ 1 e a > 0, é conhecida como
função exponencial de base a, para todo e qualquer x є R.
f(x) = 5x
f(x) = (
1
7
)𝑥
f(x) = (
5
3
)𝑥
Considera-se a base positiva para que possa ser definida a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
nos R.
50. 50
Vamos imaginar que:
A base a = - 3 e o expoente x =
1
2
, então:
A função f(x) = ax, tem f(
1
2
) = (−3)
1
2.
f(
1
2
) = (−3)
1
2
f(
1
2
) = √−3
2
, que não é número real.
Graficamente,
f(x) = 2x
Características:
D = R
Im = 𝑅+
∗
F é crescente
A curva passa pelo ponto (0, 1)
f(x) = (
1
2
)𝑥
Características:
51. 51
D = R
Im = 𝑅+
∗
F é decrescente
A curva passa pelo ponto (0, 1)
Em resumo:
1º f(x) = ax é crescente quando a > 1.
2º f(x) = ax é decrescente quando 0 < a < 1.
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1) Identifique como crescente ou decrescente as funções exponenciais abaixo:
a) f(x) = 4x
b) f(x) = (
1
5
)𝑥
c) f(x) = (√21)𝑥
d) f(x) = (0,2)x
e) f(x) = (
√3
2
)𝑥
Gabarito:
a) Crescente
b) Decrescente
c) Crescente
d) Decrescente
e) Decrescente
2) Esboce o gráfico das seguintes funções exponenciais:
a) f(x) = 4x
b) f(x) = 2x+1
c) f(x) = (
1
4
)𝑥
52. 52
Gabarito:
a)
b)
c)
3) (FGV-SP) Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que
constataram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de
treinamento ou experiência possuída por este indivíduo. Um exemplo de Curva de
Aprendizagem é dado pela expressão Q(t) = 700 – 400e-0,5T, em que:
53. 53
Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário;
T = meses de experiência;
e = 2,7183.
a) De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de
experiência deverá produzir mensalmente?
b) Quantas peças um funcionário sem qualquer experiência deverá produzir
mensalmente? Compare esse resultado com o resultado do item a. Há coerência
entre eles?
Gabarito:
a) 553
b) 300. Sim. Há coerência.
4) (Fuvest-SP) um certo tipo de aplicação duplica o capital em dois meses.
a) Qual a taxa mensal de juros?
b) Em quantos meses a aplicação renderá 700% de juros?
Gabarito:
a) 41,42%
b) 6 meses.
54. 54
Habilidade da BNCC
(EM13MAT304) Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais
seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em
contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT304C) Elaborar problemas oriundos de situações do cotidiano que
envolvam grandezas de natureza exponencial, utilizando contextos variados
(Matemática Financeira, crescimento de diferentes populações, entre outros) para
ampliar as percepções tanto dos conhecimentos envolvidos como das possibilidades
que direcionam à soluções.
Objetos de conhecimento
Funções exponenciais.
Noções de Matemática Financeira.
Descritor Saeb
Resolver situações problema com o propósito de explorar os conceitos e definições
de funções exponenciais e matemática financeira.
Enfim, podemos tratar desse último com situações problemas resolvidas e sugeridas,
com a intenção de estar sempre explorando os conhecimentos de equações
exponenciais, funções exponenciais.
Vamos lá.
1) (Mack – SP) Dadas as funções f(x) = 2 x² – 4 e g(x) = 4 x² – 2x, se x satisfaz f(x) = g(x),
então 2x é:
a) ¼
b) 1
c) 8
d) 4
e) ½
gabarito: letra d
f(x) = g(x)
2 x² – 4 = 4 x² – 2x
Logo,
2 x² – 4 = (22)x² – 2x
2 x² – 4 = 22(x² – 2x)
2 x² – 4 = 22x² – 4x
Daí, temos que:
x² – 4 = 2x² – 4x
x² – 4x + 4 = 0
Como se tornou uma equação do 2º grau:
∆ = b² – 4.a.c
∆ = (– 4)² – 4.1.4
∆ = 16 – 16
55. 55
∆ = 0
X’ = X” = 2
Portanto,
2x = 22 = 4.
2) (Uepg – PR - adaptada) Dadas as funções definidas por f(x) = (4/5)x e g(x) = (5/4)x,
determine:
a) g(– 2) . f(– 1)
b) f [g(0)]
Gabarito:
a) Substituindo cada valor nas funções, temos:
g(– 2) . f(– 1) = f(1)
b) Calculando g(0):
g(0) = (
5
4
)0
g(0) = 1
Aplicando na questão:
f[g(0)] = f[1] = 1
3) (Uneb-BA) A expressão P(t) = K · 20,05t fornece o número P de milhares de habitantes
de uma cidade, em função do tempo t, em anos. Se, em 1990, essa cidade tinha 300.000
habitantes, quantos habitantes, aproximadamente, espera-se que ela tenha no ano
2000?
A) 352.000
B) 401.000
C) 423.000
D) 439.000
E) 441 000
Gabarito: letra c
t = 10.
K = 300.000,
Aplicando os dados:
P(t) = K · 20,05t
P(10) = 300.000 · 20,05·10
P(10) = 300.000 · 20,5
56. 56
P(10) = 300.000 · 1,41
P(10) = 423.000
4) (Unesp – 2018) O ibuprofeno é uma medicação prescrita para dor e febre, com meia-
vida de aproximadamente 2 horas. Isso significa que, por exemplo, depois de 2 horas da
ingestão de 200 mg de ibuprofeno, permanecerão na corrente sanguínea do paciente
apenas 100 mg da medicação. Após mais 2 horas (4 horas no total), apenas 50 mg
permanecerão na corrente sanguínea e, assim, sucessivamente. Se um paciente recebe
800 mg de ibuprofeno a cada 6 horas, a quantidade dessa medicação que permanecerá
na corrente sanguínea na 14ª hora após a ingestão da primeira dose será
a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg
Gabarito: letra b
5) (UERJ – 2013) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um
acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível
inicial.
Leia as informações a seguir.
• A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez
dias.
• O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte
equação:
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água,
necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial.
Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a:
a) 30
b) 32
c) 34
d) 36
Gabarito: letra c
6) (Unicamp – 2014) O gráfico abaixo exibe a curva de potencial biótico q(t) para uma
população de microrganismos, ao longo do tempo t.
Sendo a e b constantes reais, a função que pode representar esse potencial é:
57. 57
a) q(t) = at + b
b) q(t) = abt
c) q(t) = at2 + bt
d) q(t) = a + log b t
Gabarito: letra b
7) (PUC MG) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas.
Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função. n(t) = 100 x 2t/3 Nessas
condições, pode-se afirmar que a população será de 51.200 bactérias depois de:
a) 1 dia e 3 horas
b) 1 dia e 9 horas
c) 1 dia e 14 horas
d) 1 dia e 19 horas
Gabarito: letra a
8) (UEMA) Seja . O valor de x para que se
tenha f(x) = 40 é:
a) 0
b) -2
c) 1
d) 4
e) 3
Gabarito: letra d
9) (FAU 2022) Uma maneira de modelar fenômenos que tem crescimento muito rápidos
é utilizando funções exponenciais. Qual é o valor da função f(x) = 100. 2x quando x
assume o valor 15?
a) 2 240 320
b) 2 480 640
c) 2 960 560
d) 3 080 240
e) 3 276 800
Gabarito: letra e
10) (Espm 2012) A figura abaixo mostra o gráfico da função f(x) = 2x. A área da região
sombreada, formada por retângulos, é igual a:
58. 58
a) 3,0
b) 3,5
c) 4,0
d) 4,5
e) 5,0
Gabarito: letra b
MOMENTO ENEM
Funções exponenciais
1) (Enem 2020) Enquanto um ser está vivo, a quantidade de carbono 14 nele
existente não se altera. Quando ele morre, essa quantidade vai diminuindo.
Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 é de 5 730 anos, ou seja, num fóssil de
um organismo que morreu há 5 730 anos haverá metade do carbono 14 que
existia quando ele estava vivo. Assim, cientistas e arqueólogos usam a seguinte
fórmula para saber a idade de um fóssil encontrado: em que
t é o tempo, medido em ano, Q(t) é a quantidade de carbono 14 medida no
instante t e Q0 é a quantidade de carbono 14 no ser vivo correspondente. Um
grupo de arqueólogos, numa de suas expedições, encontrou 5 fósseis de
espécies conhecidas e mediram a quantidade de carbono 14 neles existente. Na
tabela temos esses valores juntamente com a quantidade de carbono 14 nas
referidas espécies vivas.
Fóssil Q0 Q(t)
1 128 32
2 256 8
59. 59
3 512 64
4 1 024 512
5 2 048 128
O fóssil mais antigo encontrado nessa expedição foi
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Gabarito: letra b
2) (Enem 2021) Um laboratório realizou um teste para calcular a velocidade de
reprodução de um tipo de bactéria. Para tanto, realizou um experimento para observar
a reprodução de uma quantidade x dessas bactérias por um período de duas horas. Após
esse período, constava no habitáculo do experimento uma população de 189 440 da
citada bactéria. Constatou-se, assim, que a população de bactérias dobrava a cada 0,25
hora. A quantidade inicial de bactérias era de:
a) 370
b) 740
c) 1 480
d) 11 840
e) 23 680
Gabarito: letra b
3) (Enem 2013) Em um experimento, uma cultura de bactérias tem sua população
reduzida pela metade a cada hora, devido à ação de um agente bactericida. Neste
experimento, o número de bactérias em função do tempo pode ser modelado por uma
função do tipo:
a) afim.
b) seno.
c) cosseno.
d) logarítmica crescente.
e) exponencial.
Gabarito: letra e
4) (Enem 2011) A torre de Hanói é um jogo que tem o objetivo de mover todos os discos
de uma haste para outra, utilizando o menor número possível de movimento,
respeitando-se as regras.
60. 60
As regras são:
1- um disco maior não pode ser colocado sobre um disco menor;
2- pode-se mover um único disco por vez;
3- um disco deve estar sempre em uma das três hastes ou em movimento.
Usando a torre de Hanói e baseando-se nas regras do jogo, podemos montar
uma tabela entre o número de peças (X) e o número mínimo de movimentos (Y):
A relação entre (X) e (Y) é
a) Y = 2X – 1
b) Y = 2X-1
c) Y = 2X
d) Y = 2X – 1
e) Y = 2X – 4
Gabarito: letra a
5) (Enem 2014) Pesquisas indicam que o número de bactérias X é duplicado a cada
quarto de hora. Um aluno resolveu fazer uma observação para verificar a veracidade
dessa afirmação. Ele usou uma população inicial de 105 bactérias X e encerrou a
observação ao final de uma hora. Suponha que a observação do aluno tenha confirmado
que o número de bactérias X se duplica a cada quarto de hora.
Após uma hora do início do período de observação desse aluno, o número de bactérias
X foi de
a) 2-2 . 105
b) 2-1 . 105
c) 22 . 105
d) 23 . 105
e) 24 . 105
Gabarito: letra e
61. 61
6) (Enem 2013) Um trabalhador possui um cartão de crédito que, em determinado mês,
apresenta o saldo devedor a pagar no vencimento do cartão, mas não contém
parcelamentos a acrescentar em futuras faturas. Nesse mesmo mês, o trabalhador é
demitido. Durante o período de desemprego, o trabalhador deixa de utilizar o cartão de
crédito e também não tem como pagar as faturas, nem a atual nem as próximas, mesmo
sabendo que, a cada mês, incidirão taxas de juros e encargos por conta do não
pagamento da dívida. Ao conseguir um novo emprego, já completados 6 meses de não
pagamento das faturas, o trabalhador procura renegociar sua dívida. O gráfico mostra a
evolução do saldo devedor.
Com base no gráfico, podemos constatar que o saldo devedor inicial, a parcela mensal
de juros e a taxa de juros são
a) R$ 500,00; constante e inferior a 10% ao mês.
b) R$ 560,00; variável e inferior a 10% ao mês.
c) R$ 500,00; variável e superior a 10% ao mês.
d) R$ 560,00; constante e superior a 10% ao mês.
e) R$ 500,00; variável e inferior a 10% ao mês.
Gabarito: letra d
C = 500
i = 10% a.m. = 0,10
t = 6 meses
M = C.(1 + i)T
M = 500.(1 + 0,1)6
M = 500x(1,1)6
M = 885,78
7) (Enem 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por
objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento,
uma indústria fabricou 8000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte,
investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%.
62. 62
Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um
crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no
ano t de funcionamento da indústria. Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão
que determina o número de unidades produzidas P em função e t, para t ≥ 1?
A) P(t) = 0,5 . t-1 + 8000
B) P(t) = 50 . t-1 + 8000
C) P(t) = 4000 . t-1 + 8000
D) P(t) = 8000 . (0,5)t-1
E) P(t) = 8000 . (1,5)t-1
Gabarito: letra e
8) (Enem 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial
da classe seja de R$ 1800, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado
ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo
de serviço (t), em anos, é s(t) = 1800 (1,03)t. De acordo com a proposta do sindicato, o
salário de um profissional de empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais,
a) 7416,00.
b) 3819,24.
c) 3709,62.
d) 3708,00.
e) 1909,62.
Gabarito: letra e
9) (Enem (PPL) – 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso
salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada
ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em
função do tempo de serviço (t), em anos, é 𝑠(𝑡) = 1 800 . (1,03)𝑡
.
De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com
2 anos de tempo de serviço será, em reais,
a) 7 416,00
b) 3 819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1 909,62.
Gabarito: letra e
63. 63
Habilidade da BNCC
(GO-EMMAT403A) Identificar a relação estabelecida entre as grandezas, analisando
as informações apresentadas em quadros, tabelas e/ou no plano cartesiano para
determinar se a natureza de tais grandezas define gráficos de funções exponenciais
ou logarítmicas.
Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT403B) Analisar, com ou sem apoio de tecnologias digitais, informações
de funções exponencial e logarítmica apresentadas em quadros, tabelas e/ou no
plano cartesiano, reconhecendo suas características fundamentais (domínio, imagem,
crescimento) para estabelecer relações entre as representações dessas funções.
Objetos de conhecimento
Função exponencial e gráfico de funções a partir de transformações no plano.
Função Exponencial
Meia Vida
O tempo que uma determinada substância leva para que metade de seus átomos
se desintegre é denominado meia-vida. Esse termo, meia-vida, significa que a cada
período transcorrido ocorrerá a desintegração de metade da quantidade dos átomos e,
como esse processo continua, restará
1
2
,
1
4
,
1
8
, 𝑒𝑡𝑐.
da substância original, conforme transcorra uma vez, duas vezes, três vezes meia-vida,
e assim por diante.
Observando essa sequência de frações, existe um padrão das potências de
1
2
,
sendo o expoente de cada termo correspondente à quantidade de meias-vidas passada.
1
2
, (
1
2
)
1
, (
1
2
)
2
, (
1
2
)
3
, … , (
1
2
)
𝑥
Nesse último, passados x meias-vidas.
Esse padrão dará origem a uma função, uma vez que temos a variável x no
expoente, chamada função exponencial. Existem inúmeras aplicações, como na
Economia, em que se aplicam juros compostos, Urbanismo, onde se verificam o
desgaste de um sistema viário, na Biologia, no estudo do crescimento do número de
bactérias numa cultura e outros.
Considere a seguinte situação:
64. 64
Em uma cultura de bactérias, a população dobra a cada hora. Se há 1000 bactérias no
início da experiência, calcule quantas bactérias existirão depois de:
a) 3 horas
Depois de 1 hora, teremos 2000 bactérias (2 . 1000).
Depois de 2 horas, teremos 4000 bactérias (4 . 1000 ou 22
. 1000 ).
Então, depois de 3 horas, teremos 8000 bactérias (8 . 1000 ou 23
. 1000).
b) 8 horas
28
. 1000 = 256 . 1000 = 256 000 bactérias
c) x horas
2𝑥
. 1000 bactérias
Em geral, o modelo matemático é dado pela função de tipo exponencial 𝑓(𝑥) =
𝑏 . 𝑎𝑥
, em que b representa a população de bactérias existentes no início da experiência
e x é o tempo decorrido.
Caracterização da função exponencial
A característica fundamental da função tipo exponencial é a seguinte: se
calcularmos a população das bactérias nos instantes 𝑥0, 𝑥0 + ℎ, 𝑥0 + 2ℎ, … isto é, em
intervalos de igual duração h, obteremos que cada população é igual à do instante
anterior multiplicada pela mesma constante k:
𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0). 𝑘
𝑓(𝑥0 + 2ℎ) = 𝑓(𝑥0 + ℎ). 𝑘
Esta é a característica fundamental da função exponencial.
Definição
Seja 𝑎 (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1), denomina-se função exponencial de base 𝑎 a uma
função f de 𝑅 𝑒𝑚 𝑅+
∗
definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
ou 𝑦 = 𝑎𝑥
.
Vejamos alguns exemplos:
1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥
2) 𝑦 = (
1
2
)
𝑥
3) 𝑔(𝑥) = 0,4𝑥
4) 𝑦 = (√2)𝑥
65. 65
Observação: As restrições 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 dadas na definição são
necessárias, pois:
• Para 𝑎 = 0 e x negativo, não existiria 𝑎𝑥
(não teríamos uma função definida em R).
• Para 𝑎 < 0 e 𝑥 =
1
2
, por exemplo, não haveria 𝑎𝑥
(não teríamos uma função em R).
• Para 𝑎 = 1 e x qualquer número real, 𝑎𝑥
= 1 (função constante).
Gráfico da função exponencial
Vejamos os gráficos de duas funções exponenciais 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
, a primeira com
𝑎 > 1 e a segunda com 0 < 𝑎 < 1.
a) 𝑎 > 1
𝑓(𝑥) = 2𝑥
b) 0 < 𝑎 < 1
c)
𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
66. 66
Observando as tabelas e os gráficos podemos concluir que, para
uma função exponencial:
1) 𝐷(𝑓) = 𝑅, 𝐶𝐷(𝑓) = 𝑅+
∗
, 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑅+
∗
, 𝑓(1) = 𝑎 e 𝑓(𝑥1 + 𝑥2) = 𝑓(𝑥1) . 𝑓(𝑥2)
2) o gráfico é uma figura chamada curva exponencial, que passa por (0, 1);
3) o gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III e IV;
4) para 𝑎 > 1 a função é crescente (𝑥1 > 𝑥2 → 𝑎𝑥1 > 𝑎𝑥2);
5) para (0 < 𝑎 < 1), a função é decrescente (𝑥1 > 𝑥2 → 𝑎𝑥1 < 𝑎𝑥2);
6) a função exponencial é sobrejetiva: Im(f) = CD(f), ou seja, para todo número real
𝑏 > 0, existe algum 𝑥 ∈ 𝑅 tal que 𝑎𝑥
= 𝑏 (todo número real positivo é uma
potência de a);
7) a função exponencial é injetiva (𝑥1 ≠ 𝑥2 → 𝑎𝑥1 ≠ 𝑎𝑥2 ou 𝑎𝑥1 = 𝑎𝑥2 → 𝑥1 =
𝑥2) pois ou ela é crescente (𝑎 > 1) ou é decrescente (0 < 𝑎 < 1);
8) a função exponencial é bijetiva, logo, admite função inversa;
9) a função exponencial é ilimitada superiormente.
As ideias desenvolvidas no estudo da função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
podem ser
aplicadas em outras funções em que a variável aparece no expoente. Vejamos:
Seja f a função de R em R definida por 𝑓(𝑥) = 4𝑥
+ 1.
Calcular 𝑓(−2), 𝑓(−1), 𝑓(0), 𝑓(1) e 𝑓 (
3
2
)
Em seguida colocando esses valores em uma tabela,
67. 67
Próximo passo colocar no plano cartesiano esses valores.
D(f) = R e Im(f) = { y ∈ 𝑅 | 𝑦 > 1}
Observe o gráfico da função exponencial f definida por 𝑓(𝑥) = 𝑟𝑥
Com base no gráfico, responda:
a) 𝑟 > 1 ou 0 < 𝑟 < 1?
0 < 𝑟 < 1
b) 𝑓 é crescente ou decrescente?
68. 68
𝑓 é 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
c) 𝑓(7) é maior, menor ou igual a 𝑓(3) ?
𝑓(7) < 𝑓(3)
d) Entre as sentenças seguintes, identifique a de f:
I) 𝑓(𝑥) = (
2
3
)
𝑥
II) 𝑓(𝑥) = (
2
5
)
𝑥
𝑓(𝑥) = (
2
3
)
𝑥
Nesse momento, recomendamos a utilizar um aplicativo de
geometria dinâmica, no qual podem ser exploradas tabelas e outros. Para isso, crie uma
função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑏. 𝑎𝑥
+ 𝑐 , com os controles deslizantes, a, b e c. Em seguida, faça
alterações nos valores do controle deslizante e discuta entre os estudantes.
Aplicativo Geogebra: https://www.geogebra.org/classic#graphing
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1) Verifique quais das sentenças dadas correspondem à lei da função exponencial.
a) 𝑓(𝑥) = 12𝑥
b) 𝑦 = (0,666 … )𝑥
c) 𝑔(𝑥) = (−4)𝑥
d) 𝑦 = 𝑥2
Gabarito: a e b.
2) Dada a função exponencial 𝑓(𝑥) = 4𝑥
, determine:
69. 69
a) 𝑓(3)
b) 𝑓(−1)
c) 𝑚 tal que 𝑓(𝑚) = 1.
Gabarito: a) 64 b) ¼ c) m=0
3) Cada gráfico abaixo representa uma função exponencial do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
.
Identifique a lei de formação de cada uma delas.
Gabarito: a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥
b) 𝑓(𝑥) = (
3
2
)
𝑥
4) 𝑓 , 𝑔 e ℎ são funções de 𝑅 em 𝑅 dadas por 𝑓(𝑥) = 2 . 3𝑥
, 𝑔(𝑥) = 5𝑥
− 2 e
ℎ(𝑥) = 5𝑥−2
. Determine:
a) 𝑓(2)
b) 𝑔(2)
c) ℎ(2)
d) 𝑓(−1)
Gabarito: 18, 23, 1,
2
3
5) Construa o gráfico da função f de R em R definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥−1
.
Gabarito:
70. 70
Habilidade da BNCC
(EM13MAT403) Analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias
digitais, entre as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em
tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais
(domínio, imagem, crescimento) de cada função.
Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT403B) Analisar, com ou sem apoio de tecnologias digitais, informações
de funções exponencial e logarítmica apresentadas em quadros, tabelas e/ou no
plano cartesiano, reconhecendo suas características fundamentais (domínio, imagem,
crescimento) para estabelecer relações entre as representações dessas funções.
Objetos de conhecimento
Função exponencial e gráfico de funções a partir de transformações no plano.
Equações exponenciais
As equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes.
8𝑥
= 64, (
1
3
)
𝑥
= 81, 49𝑥+1
= √7𝑥, 22𝑥
= 2𝑥
+ 12
Para resolver uma equação exponencial, vamos primeiramente transformar numa
igualdade de potências de mesma base. Usaremos o fato de que a função exponencial
é injetiva, ou seja, para 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, temos:
𝑎𝑥1 = 𝑎𝑥2 ↔ 𝑥1 = 𝑥2
Vamos resolver as equações:
a) 32𝑥−2
= 81
Primeiro vamos fatorar o 81 = 34
,
32𝑥−2
= 34
Usando o fato de ser injetiva:
2𝑥 – 2 = 4
𝑥 = 3
71. 71
Verificação: 𝑥 = 3 → 32𝑥−2
= 32.3−2
= 34
= 81
Solução = {3}.
Acesse a resolução dessa equação:
b) (
1
2
)
𝑥
= √4
3
c) 2𝑥2−3𝑥−4
= 1
Temos 1 = 20
, logo
2𝑥2−3𝑥−4
= 1 = 20
Assim, 𝑥2
− 3𝑥 − 4 = 0 (Equação do 2º grau em x)
𝑠 = {−1, 4}
d) 0,75𝑥
=
9
16
72. 72
Algumas equações exigem artifícios de cálculo para serem solucionadas.
a) 3 . 4𝑥+1
= 96
b) 2𝑥+2
+ 2𝑥−1
= 18
Vamos resolver essa equação de duas maneiras.
1ª maneira:
73. 73
2ª maneira:
Inequações exponencias
A seguir apresentamos as chamadas inequações exponenciais:
2𝑥−1
≥ 16 25𝑥
≥ √5 8𝑥−1
≤
1
16𝑥
Para resolvê-las devemos nos lembrar de que a função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
é
crescente para 𝑎 > 1 e decrescente para 0 < 𝑎 < 1, ou seja:
𝑎𝑥1 < 𝑎𝑥2 ↔ 𝑥1 < 𝑥2 para 𝑎 > 1
𝑎𝑥1 < 𝑎𝑥2 ↔ 𝑥1 > 𝑥2 para 0 < 𝑎 < 1
Função crescente
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
com 𝑎 > 1
74. 74
Nesse caso de 𝑎 > 1, o sentido da desigualdade foi conservado.
Função decrescente
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
com 0 < 𝑎 < 1
Neste caso de 0 < 𝑎 < 1, o sentido da desigualdade foi trocado.
Exemplos:
1) Vamos resolver as inequações:
a) 2𝑥+7
< 32
2𝑥+7
< 32
2𝑥+7
< 25
→ (desigualdade de potências de mesma base)
𝑎 = 2 → 𝑎 > 1 (mantém-se o sentido da desigualdade)
𝑥 + 7 < 5
𝑥 < 5 − 7
𝑥 < −2
75. 75
b) (
1
2
)
𝑥+1
≥ 4𝑥+3
c) (
1
3
)
𝑥2−𝑥
> (
1
3
)
2
Como já temos uma desigualdade com potências de mesma base, logo:
2) Explicitar o domínio D da função 𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 9.
Para que exista 𝑓(𝑥) devemos ter 3𝑥
− 9 ≥ 0.
3𝑥
≥ 9
3𝑥
≥ 32
𝑥 ≥ 2
Logo, 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥ 2}.
76. 76
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1) Resolva as seguintes equações exponenciais:
a) 2𝑥
= 64
b) 3𝑥−2
= 9
c) (√2)
𝑥
= 4
d) (
1
2
)
𝑥2−4
= 8𝑥+2
Gabarito: a) 6, b) 4, c) 4, d) {-1,-2}
2) Resolva a equação (0,25)𝑥
= 16
Gabarito: {-2}
3) Resolva as equações exponencias:
a) 2 . 3𝑥−2
= 162 ; 6
b) 3 . 5𝑥−1
= 75; 3
c) 2𝑥
+ 2𝑥−1
= 12
d) 4 . 2𝑥
+ 2𝑥−1
= 72
Gabarito: a) 6; b) 3; c) 3; d) 4
4) Resolva as inequações exponenciais:
a) 25𝑥
> 23𝑥+10
b) 35−𝑥2
< 3−4
c) 2𝑥+3
< (
1
2
)
3
Gabarito: a) x>5; b) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < −3 𝑜𝑢 𝑥 > 3}; c) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 <
−6}
5) Explicite o domínio D da função 𝑓(𝑥) = √(7𝑥)𝑥 − 72𝑥.
Gabarito: 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≤ 0 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 2}
77. 77
Habilidade da BNCC
(EM13MAT403) Analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias
digitais, entre as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em
tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais
(domínio, imagem, crescimento) de cada função.
Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT403C) Estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias digitais,
entre as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e
em plano cartesiano, comparando as características fundamentais (domínio, imagem,
crescimento) de cada uma das funções para propor soluções e comunicar resultados
de problemas.
Objetos de conhecimento
Estudo do crescimento e análise do comportamento das funções exponenciais e
logarítmica em seus respectivos domínios.
Aplicações
Uma aplicação dessa última observação é o cálculo dos juros compostos quando
calculado em intervalos de tempos iguais.
Se um capital inicial 𝑐0 é aplicado a juros fixos e capitalizados continuamente
após decorrido um tempo t, o capital existente é dado por 𝑐(𝑡) = 𝑐0 . 𝑎𝑡
.
Se tirarmos extratos da conta nos tempos 0, 𝑟, 2𝑟, 3𝑟, . .. teremos:
𝑐(0) = 𝑐0;
𝑐(𝑟) = 𝑐0. 𝐴;
𝑐(2𝑟) = 𝑐0. 𝐴2
𝑐(3𝑟) = 𝑐0. 𝐴3
, …
em que 𝐴 = 𝑎𝑟
, ou seja, a evolução do saldo, quando ele é calculado em intervalos de 𝑟
unidades de tempo, é dada pela
𝑐0, 𝑐0 . 𝐴, 𝑐0 . 𝐴2
, 𝑐0 . 𝐴3
, …
em que 𝐴 = 𝑎𝑟
.
Considere um capital inicial de 𝑐0 e uma taxa fixa de i% ao mês, teremos após 𝑡 meses:
𝑐𝑡 = 𝑐0 . (1 + 𝑖)𝑡
Considere um capital inicial de R$ 100 000,00, aplicado a juros fixos de 2% ao mês,
produz um montante no final de:
a) 1 mês: 𝑐0 . (1 + 𝑖) = 100 000 . (1 + 0,02) = 𝑅$ 102 000,00
b) 2 meses: 𝑐0 . (1 + 𝑖)2
= 100 000 . (1 + 0,02)2
= 𝑅$ 104 040,00
c) 3 meses: 𝑐0 . (1 + 𝑖)3
= 100 000 . (1 + 0,02)3
= 𝑅$ 106 120,80
Podemos perceber que os números 102 000,00; 104 040,00; 106 120,80; ... formam
uma PG de razão 1,02. Confira com o auxílio de uma calculadora.
78. 78
1) (FMJ-SP) O número de bactérias de uma cultura, 𝑡 horas após o início de certo
experimento, é dado pela expressão 𝑁(𝑡) = 1200 . 20,4𝑡
. Nessas condições,
quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38400 bactérias?
𝑁(𝑡) = 1200 . 20,4𝑡
→ 𝑁(𝑡) = 38400
Igualando, temos
1200 . 20,4𝑡
= 38400
20,4𝑡
=
38400
1200
20,4𝑡
= 32
20,4𝑡
= 25
→ 0,4𝑡 = 5 → 𝑡 = 12,5ℎ
Portanto, a cultura terá 38400 bactérias após 12h 30min.
A radioatividade é um fenômeno que ocorre em núcleos de átomos instáveis por
emitirem partículas e radiações. Núcleos instáveis, na maioria das vezes, são grandes e,
por isso, emitem partículas e radiação para tornarem-se estáveis. A medida de tempo
na qual metade da quantidade do material radioativo se desintegra é denominada meia-
vida ou período de semidesintegração (P). O valor da meia-vida é sempre constante para
o mesmo elemento químico radioativo. Assim, a cada período de tempo P, a quantidade
de material radioativo reduz-se à metade da anterior, sendo possível relacionar a
quantidade de material radioativo a qualquer tempo com a quantidade inicial por meio
de uma função exponencial
𝑁(𝑡) = 𝑁0 . (
1
2
)
(
𝑡
𝑝
)
em que 𝑁0 é a quantidade inicial do material radioativo, 𝑡 é o tempo decorrido e 𝑃 é o
valor da meia-vida do material radioativo considerado.
2) A PET (Positron Emission Tomography) é uma das melhores técnicas de
tomografia para obtenção de imagens do corpo humano, permitindo melhores
definições de imagem usando menos radiação do que outras técnicas. Os
isótopos mais usados nos radiofármacos injetados nos pacientes submetidos ao
processo PET são o carbono-11, o nitrogênio-13, o oxigênio-15 e o flúor-18, cujas
meias-vidas são respectivamente de 20, 10, 2 e 110 minutos. Como os isótopos
usados têm meia-vida muito curta, assim que um desses isótopos é obtido,
restam poucos minutos para sintetizar o radiofármaco e injetá-lo no paciente.
Vamos calcular em quanto tempo uma amostra de carbono-11 se reduz a 25%
do que era quando foi obtida.
A função 𝑁(𝑡) = 𝑁0 . (
1
2
)
(
𝑡
𝑝
)
, relaciona a quantidade de carbono-11 presente em
função do tempo.
79. 79
Assim: 𝑁(𝑡) = 𝑁0 . (
1
2
)
(
𝑡
20
)
, de acordo com enunciado temos 𝑝 = 20 e 𝑁(𝑡) =
0,25𝑁0.
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1) Numa certa cultura, há 1000 bactérias num determinado instante. Após 10 min,
existem 4000. Quantas bactérias existirão em 1 h, sabendo que elas aumentam
segundo a fórmula 𝑃 = 𝑃0 . 𝑒𝑘𝑡
, em que P é o número de bactérias, t é o tempo
em horas e k é a taxa de crescimento?
Gabarito: 𝑃 ≅ 4 447 022 bactérias
2) Uma substância se decompõe aproximadamente segundo a lei 𝑄(𝑡) =
𝐾 . 2(−0,5)𝑡
, em que K é uma constante, t indica o tempo (em minutos) e Q(t)
indica a quantidade de substância (em gramas) no instante t.
Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico,
determine os valores de K e de a.
Gabarito: k = 2048 e a = 4
80. 80
3) A quantia de R$ 20 000,00 foi aplicada a uma taxa de 1% ao mês. Qual será o
saldo no final de 3 meses?
Gabarito: R$ 20 606,02.
4) Estima-se que a população de uma certa cidade cresça 3% a cada 8 anos. Qual é
o crescimento estimado para um período de 24 anos?
Gabarito: 9,27%.
81. 81
Logaritmo
No início do século XVII surgiram as primeiras tábuas de logaritmos, inventadas
independentemente por Jost Bürgi (1552-1632) e John Napier (1550-1617). Logo depois,
Henry Briggs (1561-1631) aperfeiçoou essas tábuas, apresentando os logaritmos
decimais. A principal contribuição dos logaritmos para facilitar os cálculos foi a de
transformar as operações de multiplicação em adição e as de divisão em subtração.
Essas descobertas aumentaram muito a capacidade de cálculo dos que estavam
envolvidos em Astronomia e Navegação. Em 1638 um matemático inglês chamado
William Oughtred inventou a régua de cálculo com base na tábua de logaritmos criada
por Napier. Esse foi um passo em direção à calculadora e à construção dos
computadores. Uma importante aplicação dos logaritmos é a escala Richter, na área da
sismologia, que fornece as magnitudes dos terremotos.
Atividade de pesquisa
Professor/a nesse site o/a estudante vai conhecer mais sobre a escala, podendo
entender melhor sobre logaritmo. https://brasilescola.uol.com.br/geografia/escala-
richter.htm Acessado: 06062022.
Habilidade da BNCC
(EM13MAT305) Resolver e elaborar problemas com funções logarítmicas nos quais
seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em
contextos como os de abalos sísmicos, pH, radioatividade, Matemática Financeira,
entre outros.
Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT305A) Resolver problema que envolve função logarítmica, utilizando
estratégias, conceitos, definições e procedimentos matemáticos para avaliar proposta
de intervenção na realidade.
Objetos de conhecimento
Logaritmo (decimal e natural).
82. 82
Magnitude de Richter
A magnitude de Richter corresponde ao logaritmo da medida da amplitude das
ondas sísmicas de tipo P (primárias, mais rápidas) e S (secundárias, mais lentas) a 100
km do epicentro. A fórmula utilizada é 𝑀𝑙 = 𝑙𝑜𝑔𝐴 − 𝑙𝑜𝑔𝐴0, sendo log a abreviação de
logaritmo, A a amplitude máxima medida no sismógrafo e 𝐴0 uma amplitude de
referência. Esses conceitos é que iremos estudar a partir de agora.
Logaritmo
Segundo o Banco Mundial, a previsão do crescimento demográfico na América
Latina, no período de 2004 a 2020, é de 1,2% ao ano, aproximadamente. Em quantos
anos a população da América Latina vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a
mesma?
Nas condições indicadas temos:
Supondo que dobrará em x anos, logo:
𝑃
𝑥 = 2𝑃0
𝑃0(1,012)𝑋
= 2𝑃0
(1,012)𝑋
= 2
Com os conhecimentos adquiridos até aqui não é possível resolver essa equação.
Com o objetivo de transformar uma equação exponencial como essa numa igualdade
entre potências de mesma base, vamos desenvolver a noção de logaritmo.
Definição de logaritmo de um número
Considere as seguintes questões. A que número x se deve elevar:
a) o número 2 para se obter 8?
O valor 3 denomina-se logaritmo do número 8 na base 2. Assim:
b) o número 3 para se obter
1
81
?
83. 83
O valor -4 chama-se logaritmo do número
1
81
na base 3.
Perceba que o logaritmo é um expoente.
SAIBA MAIS: É interessante, realizar algumas operações simples
utilizando logaritmos para que os estudantes tenham ideia de como os antigos
matemáticos faziam os cálculos.
Por exemplo, comece tomando os logaritmos decimais dos números de 1 a 10, com o
auxílio da calculadora, tal como mostra a tabela abaixo:
Dados os números reais positivos a e b, com 𝑎 ≠ 1, se 𝑏 = 𝑎𝑐
, então o
expoente 𝑐 chama-se logaritmo de 𝑏 na base 𝑎, ou seja: 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑐 ↔ 𝑎𝑐
= 𝑏, com a e
b positivos e 𝑎 ≠ 1. Nessa equivalência temos:
84. 84
Vejamos mais alguns exemplos:
Experimente aplicar a definição nesses casos. Professor, é importante
verificar como a definição fica em cada situação.
1) Veja que, de acordo com as restrições impostas, não são definidos, por exemplo:
𝑙𝑜𝑔3 − 81, 𝑙𝑜𝑔100, 𝑙𝑜𝑔03, 𝑙𝑜𝑔−28, e 𝑙𝑜𝑔16.
2) Quando a base do logaritmo for 10, podemos omiti-la. Assim, 𝑙𝑜𝑔2 é o logaritmo
de 2 na base 10. Aos logaritmos na base 10 damos o nome de logaritmos
decimais.
Nesse momento é importante verificar com os estudantes alguns
exemplos, observe que estamos trabalhando com números inteiros, racionais e reais.
Vamos determinar:
1) 𝑙𝑜𝑔2128
𝑙𝑜𝑔2128 = 𝑥 ⟶ 2𝑥
= 128 = 27
⟶ 𝑥 = 7.
Portanto, 𝑙𝑜𝑔2128 = 7.
85. 85
2) 𝑙𝑜𝑔√3 9
3) 𝑙𝑜𝑔1
9
3√3
4) Vamos calcular a sabendo que 𝑙𝑜𝑔𝑎 25 = 2.
5) Vamos calcular o número real A sabendo que 𝐴 = 𝑙𝑜𝑔100,001 + 𝑙𝑜𝑔2
1
16
.
6) Sabendo que 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = −2, vamos determinar x.
O número x deve ser positivo (x > 0). Pela definição de logaritmo, 𝑥 = 3−2
→
𝑥 =
1
9
.
7) Calcular 𝑙𝑜𝑔2(𝑙𝑜𝑔381).
86. 86
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1) Usando potência, determine o equivalente a cada logaritmo:
a) 𝑙𝑜𝑔27 = 𝑥
b) 𝑚 = 𝑙𝑜𝑔𝑝𝑟
c) 𝑙𝑜𝑔𝑥0,1 = −1
Gabarito:
2) Com os três números dados, escreva uma igualdade usando logaritmo:
a) 6, 36 e 2
b) 5, -1 e
1
5
c) 8, 8 e 1
Gabarito:
3) Usando a definição, calcule:
a) 𝑙𝑜𝑔327
b) 𝑙𝑜𝑔 10000
c) 𝑙𝑜𝑔1
2
32
Gabarito:
4) Determine
a) 𝑙𝑜𝑔𝑎8 = 3
b) 𝑙𝑜𝑔𝑎4 = −2
Gabarito: a) 2 b) 1/2
87. 87
5) Calcule x nas igualdades:
a) 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 5
b) 𝑙𝑜𝑔 (𝑥 + 1) =2
Gabarito a) 32 b) 99
Condições de existência de logaritmos
Nesse momento é importante professor, deixar claro para o estudante que nem
sempre temos a definição do logaritmo definida. Como sugestão de atividade, é
imprescindível uma leitura, pelo estudante, do material e uma revisitada nas definições.
A existência de um logaritmo, como por exemplo 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁, depende das
seguintes condições:
• N deve ser um número positivo (N > 0).
• A base deve ser um número positivo e diferente de 1 (1 ≠ a > 0).
Exemplos:
1) Vamos determinar os valores reais de x para os quais existe:
a) 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 3)
Como a base é 2, temos que é positiva e diferente de 1. Devemos impor que 𝑥 − 3 >
0 → 𝑥 > 3. Logo, 𝑥 ∈ 𝑅 | 𝑥 > 3.
b) log1
3
(𝑥2
− 7𝑥 + 10)
A base é positiva. Precisamos impor a condição 𝑥2
− 7𝑥 + 10 > 0
Estudo do sinal:
Logo, a solução é dada por {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < 2 𝑜𝑢 𝑥 > 5}.
2) Qual é o conjunto dos valores reais de x para os quais existe log𝑥−2(𝑥 + 5)?
88. 88
De acordo com as condições de existência, temos
Assim o x, deve satisfazer simultaneamente as três condições:
Assim, o conjunto é {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 > 2 𝑒 𝑥 ≠ 5}.
Consequências da definição de logaritmo
A seguir apresentamos algumas consequências da definição de logaritmo. Observem
que as demonstrações podem ser encontradas em qualquer livro do ensino médio.
1) log𝑎 1 = 0, pois 𝑎0
= 1, qualquer que seja 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1.
2) log𝑎 𝑎 = 1, pois 𝑎1
= 𝑎, qualquer que seja 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1.
3) log𝑎 𝑎𝑛
= 𝑛, pois 𝑎𝑛
= 𝑎𝑛
para todo 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 e para todo n.
4) 𝑎log𝑎 𝑁
= 𝑁, com 𝑁 > 0, 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1.
5) log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦, com 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1.
Exemplos
1) Calcular o valor de 2log5 10 . log2 5
propriedades das potências
2) Vamos calcular o valor de x tal que log2(𝑥 − 2) = log2 9.
Verificar a condição de existência, ou seja: 𝑥 − 2 > 0 → 𝑥 > 2.
log2(𝑥 − 2) = log2 9 → (𝑥 − 2) = 9 → 𝑥 = 11.
Assim, com x=1, existe log2(𝑥 − 2), pois 11 > 2, e log2 9, a resposta é 𝑥 = 11.
89. 89
Propriedades operatórias dos logaritmos
1ª propriedade: logaritmo de um produto
Para introduzir essa propriedade é fundamental começar pelas propriedades das
potências, 𝑎𝑥
. 𝑎𝑦
= 𝑎𝑥+𝑦
, surge uma propriedade semelhante nos logaritmos.
Vejamos:
log2(4 . 8) = log2(22
. 23
) = log2 22+3
= 2 + 3 = 5(I)
log24 + log2 8 = log2 22
+ log2 23
= 2 + 3 = 5 (II)
De (I) e (II) podemos perceber que: log2(4 . 8) = log24 + log2 8
Logo:
log𝑎(𝑀. 𝑁) = log𝑎𝑀 + log𝑎 𝑁
Numa mesma base, o logaritmo do produto de dois números positivos é igual à soma
dos logaritmos de cada um desses números.
Exemplos:
1) log7(2 . 5) = log72 + log7 5
2) log5(4 . 5) = log54 + log5 5 = log5 4 + 1
3) log 300 = log(3 . 100) = log 3 + log 100 = log 3 + 2
log 3 . 2 não é o mesmo que log(3 . 2).
2ª propriedade: logaritmo de um quociente
Vejamos:
log2 (
16
4
) = log2 (
24
22) = log2 24−2
= 4 − 2 = 1 (I)
log216 − log2 4 = log2 24
− log2 22
= 4 − 2 = 2 (II)
De (I) e (II) podemos perceber que:
90. 90
log2 (
16
4
) = log2 16 − log2 4
Assim, numa mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos é
igual à diferença entre os logaritmos desses números.
log𝑎 (
𝑀
𝑁
) = log𝑎 𝑀 − log𝑎 𝑁
Caso particular: log𝑎
1
𝑁
= log𝑎 1 − log𝑎 𝑁 = 0 − log𝑎 𝑁, ou seja
log𝑎
1
𝑁
= − log𝑎 𝑁.
Vejamos alguns exemplos:
1) log5 (
2
3
) = log5 2 − log5 3
2) log (
7
10
) = log 7 − log 10
3) log2 (
1
8
) = log2 1 − log2 8 = 0 − 3 = −3
3ª propriedade: logaritmo de uma potência
Observe que:
log2 73
= log2(7 . 7 . 7) = log2 7 + log2 7 + log2 7 = 3 . log2 7
Assim:
log2 73
= 3 . log2 7
Portanto há mais de uma propriedade dos logaritmos, pois trata-se de um fato que
ocorre para qualquer base e qualquer potência sempre que existam os logaritmos
envolvidos.
Numa mesma base, o logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto
do expoente pelo logaritmo da base da potência.
log𝑎 𝑀𝑁
= 𝑁 . log𝑎 𝑀
Podemos aplicar essa propriedade no logaritmo de uma raiz (quando existir):
log𝑎 √𝑀
𝑁
= log𝑎 𝑀
1
𝑁 =
1
𝑁
log𝑎 𝑀.
91. 91
Exemplos:
a) log3 84
= 4 . log3 8
b) log7 53
= 3 . log7 5
c) log2 √4
3
= log2(4)
1
3 =
1
3
. log2 4 =
1
3
. 2 =
2
3
.
4ª propriedade: mudança de base
Observe:
log4 64 = 3, pois 43
= 64;
log2 64 = 6, pois 26
= 64;
log2 4 = 2, pois 22
= 4.
Como 3 =
6
2
, podemos escrever log4 64 =
log2 64
log2 4
.
Logo: log𝑏 𝑁 =
log𝑎 𝑁
log𝑎 𝑏
, para 𝑁 > 0, 𝑏 > 0, 𝑎 > 0; 𝑏 ≠ 1 e 𝑎 ≠ 1.
Quando existirem, log𝑏 𝑎 e log𝑎 𝑏 são números inversos.
Exemplos:
1) log7 5 =
log2 5
log2 7
(na base 2)
2) log7 5 =
log5
log7
(na base 10)
3) log𝑏 𝑎 = −
3
4
↔ log𝑎 𝑏 = −
4
3
Uma aplicação importante dessa propriedade é o uso em calculadoras eletrônicas, pois
elas só possuem teclas para calcular logaritmos na base 10 e na base e.
92. 92
Calculadora
Como calcular logaritmo na calculadora? Assista ao vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=Psy9Whtq-VI&t=40s
Algumas calculadoras possuem duas teclas com as seguintes funções:
• tecla log: permite calcular o logaritmo decimal de um número N, inteiro ou decimal.
• tecla 10𝑥
: permite calcular o número N quando se conhece log N = x
Usando essas teclas, as propriedades dos logaritmos e as quatro operações
fundamentais, é possível realizar os seguintes cálculos:
1) log 36
2) log √4,57
3
3) log2 997
93. 93
4) log10 𝑥 = 0,72342
Cálculo de logaritmos
O pH de uma solução é definido como o logaritmo decimal (base 10) do inverso
da respectiva concentração de 𝐻3𝑂+
(íon hidroxônio). O cérebro humano contém um
líquido cuja concentração de 𝐻3𝑂+
é 4,8 . 10−8
𝑚𝑜𝑙/𝐿 (em média). Qual será o pH desse
líquido?
Observe que para resolver esse problema, é preciso utilizar as propriedades de
logaritmo.
Usando a calculadora: log 4,8 ≅ 0,681241
Assim o pH = 8 − 0,681241 ≅ 7,3.
94. 94
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1) Determine os valores reais de x para os quais é possível determinar:
a) log𝑥 10
b) log1
2
(−𝑥2
+ 5𝑥 − 4)
Gabarito: a) b)
2) Determine o conjunto dos valores reais de x para que seja possível definir:
a) log𝑥(𝑥 − 3)
b) log𝑥−1(𝑥 + 4)
Gabarito:
3) Calcule o valor dos logaritmos:
a) Log7 1
b) log0,8 0,8
Gabarito: a) 0 b) 1
4) Calcule o valor de x:
a) log6 𝑥 = log6 8
b) log3 8𝑥
= log3 16
Gabarito:
5) Calcule o valor das expressões:
a) 10log10 3
b) 3log2 7 . log3 2
Gabarito: a) 3 b) 7
6) Escreva:
a) log5 8 usando logaritmos na base 4;
b) O valor de log𝑦 𝑥 sabendo que log𝑥 𝑦 = 2
1
3
.
95. 95
Gabarito:
Aplicação: Logaritmos dados
Nosso objetivo agora é, a partir de um ou mais logaritmos dados, sabermos que
podemos obter o valor aproximado de uma infinidade de logaritmos, usando as
propriedades conhecidas. Por exemplo:
Dados log 2 ≅ 0,30 e log 3 ≅ 0,48, podemos calcular:
a) log 6 = ?
log 6 = (2 . 3) = log 2 + log 3 = 0,30 + 0,48 = 0,78
b) log √3 =
1
2
. log 3 =
1
2
. 0,48
c) log 5 = log(10: 2) = log 10 − log 2 = 1 − 0,3 = 0,7
d) log9 32 =
log 32
log9
=
log25
log32 =
5 . log 2
2 . log 3
=
5 . 0,3
2 . 0,48
= 1,5625
Aplicação: logaritmos e equações exponenciais
Nesse momento é importante que o estudante entenda que o logaritmo é uma
ferramenta importante para a resolução de equações exponencias.
Para resolver uma equação exponencial qualquer, uma boa técnica é imaginar
uma balança de dois pratos em equilíbrio.
96. 96
A balança fica equilibrada quando há igual massa nos dois pratos e, para
encontrar o valor de uma massa desconhecida, é necessário manipular as massas dos
pratos de forma que o equilíbrio seja sempre mantido.
Seja a equação 3𝑥
= 5.
Para encontrar o valor de x, aplicamos logaritmos nos dois membros da mesma
e utilizamos a terceira propriedade, a fim de isolar a incógnita:
Vejamos mais exemplos.
1) Dados log 2 = 0,30; log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70. Resolva a equação 52𝑥
−
7 . 5𝑥
+ 12 = 0.
52𝑥
− 7 . 5𝑥
+ 12 = 0.
(5𝑥)2
− 7(5𝑥) + 12 = 0
Fazendo 5𝑥
= 𝑦, temos:
𝑦2
− 7𝑦 + 12 = 0
𝑦´ = 4 e 𝑦´´ = 3
Logo:
97. 97
5𝑥
= 4 → log 5𝑥
= log 4 → 𝑥 . log 5 = 2 . log 5 → 𝑥 =
2 . log 2
log 5
≅ 0,86
5𝑥
= 3 → log 5𝑥
= log 3 → 𝑥 . log 5 = log 3 → 𝑥 =
log 3
log 5
≅ 0,69
2) Sabemos que o número de bactérias numa cultura, depois de um tempo t, é dado
por 𝑁 = 𝑁0. 𝑒𝑟𝑡
, em que 𝑁0 é o número inicial (quando 𝑡 = 0) e r é a taxa de
crescimento relativo. Em quanto tempo o número de bactérias dobrará se a taxa de
crescimento contínuo é de 5% ao minuto?
De acordo com a pergunta, tem que ter 𝑁 = 2𝑁0.
𝑁 = 𝑁0. 𝑒𝑟𝑡
→ 2𝑁0 = 𝑁0 . 𝑒0,05𝑡
→ 2 = 𝑒0,05𝑡
aplicando: ln 2 = ln 𝑒0,05𝑡
→ ln 2 =
0,05𝑡 ln 𝑒
𝑡 =
ln 2
0,05
= 13,8min = 13min e
8
10
min = 13 min 48 s.
O número de bactéria dobrará em 13 min 48 s.
3) Segundo o Banco Mundial, a previsão do crescimento demográfico na
América Latina, no período de 2004 a 2020, é de 1,2% ao ano,
aproximadamente. Em quantos anos a população da América Latina vai
dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma?
Observe que a temos uma população inicial: 𝑃
𝑜.
Após um ano: 𝑃
𝑜(1,012) = 𝑃1
Após dois anos: 𝑃0(1,012)2
= 𝑃2
...
Após x anos: 𝑃0(1,012)𝑥
= 𝑃
𝑥
Supondo que a população dobrará em relação a população inicial: 𝑃0, temos:
𝑃
𝑥 = 2𝑃0 → 𝑃0(1,012)𝑥
= 2𝑃0 → 1,012𝑥
= 2
Aplicando o logaritmo:
log 1,012𝑥
= log 2
𝑥 . log 1,012 = log 2
𝑥 =
log 2
log 1,012
≅ 58
98. 98
A população dobrará em 58 anos, aproximadamente.
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1) Resolva as equações, sabendo que log 2 = 0,30; log 3 = 0,48; log 5 = 0,70 e
log 𝑒 = 0,43.
a) 2𝑥
= 5
b) 𝑒𝑥
= 3
c) 5𝑥
= 𝑒
Gabarito:
Para os exercícios 2 a 4 use a fórmula 𝑄 = 𝑄0. 𝑒−𝑟𝑡
, na qual Q representa a massa da
substância ou o número de bactérias, r representa a taxa e t representa o tempo.
2) Uma substância radioativa se desintegra a uma taxa de 8% ao ano. Em quantos
anos 50 g dessa substância se reduzirão a 5 g?
Gabarito: Aproximadamente 28 anos, 9 meses e 18 dias.
3) Num laboratório, uma pessoa verifica que a taxa de crescimento relativo
contínuo de bactérias numa cultura é de 2,5%porminuto. Nessas condições, em
quantos minutos o número de bactérias passará de 4000 para 6000?
Gabarito: Aproximadamente 16 min 12 s.
4) Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa
de 4% ao ano. (Lembre-se: meia-vida é o tempo que deve decorrer para que, em
certo momento, metade dos átomos de uma substância radioativa se
desintegre.)
Gabarito: Aproximadamente 17 anos, 3 meses e 18 dias.
5) A expressão 𝑀 = 𝐴(1 + 𝑖)𝑛
nos permite calcular o montante M, resultante da
aplicação do capital A a juros compostos, à taxa anual i, ao completar um período
de n anos. Nessas condições, se o capital de R$ 800.000,00 for aplicado a juros
compostos e à taxa anual de 12%, após quanto tempo da aplicação serão obtidos
juros no valor de R$ 700.000,00?
99. 99
Gabarito: Aproximadamente 5 anos, 6 meses e 18 dias.
Na matemática, existem funções elementares que podem ser intuitivamente
modeladas, ou seja, aquelas que podem ser escritas como fórmulas explícitas,
envolvendo apenas as operações elementares e um conjunto limitado de funções,
nesse caso, vamos utilizar a as funções logarítmicas.
Função logarítmica
Para todo número real positivo 𝑎 ≠ 1, a função exponencial 𝑓: 𝑅 → 𝑅+
∗
, 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥
, é uma correspondência biunívoca entre 𝑅 e 𝑅+
∗
. Ela é crescente se 𝑎 ≠ 1,
decrescente se 0 < 𝑎 < 1 e tem a seguinte propriedade:
𝑓(𝑥1 + 𝑥2) = 𝑓(𝑥1) . 𝑓(𝑥2), ou seja, 𝑎𝑥1+𝑥2 = 𝑎𝑥1. 𝑎𝑥2
Essas condições garantem que f possuem uma função inversa.
A inversa da função exponencial de base a é a função real log𝑎 𝑅+
∗
→ 𝑅 que
associa a cada número real positivo x o número real log𝑎 𝑥, chamado logaritmo de x na
base a, com a real positivo e 𝑎 ≠ 1.
Observe que 𝑓: 𝑅 → 𝑅+
∗
, dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
, tem a propriedade 𝑓(𝑥1 + 𝑥2) =
Habilidade da BNCC
(EM13MAT305) Resolver e elaborar problemas com funções logarítmicas nos quais
seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em
contextos como os de abalos sísmicos, pH, radioatividade, Matemática Financeira,
entre outros.
Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT305B) Modelar situações que envolvam variáveis socioeconômicas ou
técnico-científicas, usando representações algébricas logarítmicas identificando e
relacionando as variáveis envolvidas para resolver problemas com ou sem apoio de
tecnologias digitais.
Objetos de conhecimento
Função logarítmica
100. 100
𝑓(𝑥1) . 𝑓(𝑥2), ou seja, 𝑎(𝑥1+𝑥2)
= 𝑎𝑥1. 𝑎𝑥2. A sua inversa g: 𝑅+
∗
→ 𝑅, dada por 𝑔(𝑥) =
log𝑎 𝑥, tem a propriedade log𝑎(𝑥1. 𝑥2) = log𝑎 𝑥1 + log𝑎 𝑥2.
Domínio da função logarítmica: 𝑅+
∗
Imagem da função logarítmica: 𝑅
Como a função logarítmica é a inversa da função exponencial, temos:
𝑎log𝑎 𝑥
= 𝑥 para todo 𝑥 > 0 e loga(𝑎𝑥) = 𝑥 para todo 𝑥 ∈ 𝑅
Assim, log𝑎 𝑥 é o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número
x, ou seja, 𝑦 = log𝑎 𝑥 ↔ 𝑎𝑦
= 𝑥 .
As funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja base a é maior do que 1.
Particularmente, as de base 10 (logaritmos decimais), as de base 2 (logaritmos binários)
e as de base e (logaritmos naturais). São exemplos de função logarítmica as funções de
𝑅+
∗
→ 𝑅 definidas por:
𝑓(𝑥) = log2 𝑥, 𝑔(𝑥) = log10 𝑥 = log 𝑥, ℎ(𝑥) = log𝑒 𝑥 = ln 𝑥, 𝑖(𝑥) = log1
4
𝑥
Gráfico da função logarítmica
Vejamos os seguintes gráficos de função logarítmica, 𝑓(𝑥) = log2 𝑥.
1) Para construção, do gráfico primeiro vamos construir uma tabela para
auxiliar a construção dos gráficos.
101. 101
1) Vamos acompanhar esse segundo exemplo, 𝑓(𝑥) = log1
2
𝑥.
Para construir gráfico de função logarítmica utilizando um aplicativo acesse:
https://www.youtube.com/watch?v=5_iCOqA7GmQ acesso: 06/06/2022
Da definição de função logarítmica e da análise dos gráficos, podemos
concluir que:
• o gráfico da função logarítmica passa pelo ponto (1, 0), isto é, 𝑓(1) = 0 ou log𝑎 1 = 0;
• o gráfico nunca toca o eixo y nem ocupa pontos dos quadrantes II e III;
• se 𝑎 > 1, a função logarítmica é crescente (𝑥1 > 𝑥2 ↔ log𝑎 𝑥1 > log𝑎 𝑥2);
• se 0 < 𝑎 < 1, a função logarítmica é decrescente (𝑥1 > 𝑥2 ↔ log𝑎 𝑥1 < log𝑎 𝑥2);
• só números positivos possuem logaritmo real, pois a função 𝑥 → 𝑎𝑥
assume somente
valores positivos;
102. 102
• quando 𝑎 > 1, os números maiores do que 1 têm logaritmo positivo e os números
compreendidos entre 0 e 1 têm logaritmo negativo;
• quando 0 < 𝑎 < 1, os números maiores do que 1 têm logaritmo negativo e os
números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritmo positivo;
• a função logarítmica é ilimitada, superior e inferiormente.
No caso de 𝑎 > 1 ser ilimitada superiormente significa que se pode dar a log𝑎 𝑥 um valor
tão grande quanto se queira, desde que tomemos x suficientemente grande;
• ao contrário da função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
com 𝑎 > 1, que cresce rapidamente, a
função logarítmica log𝑎 𝑥 com 𝑎 > 1 cresce muito lentamente.
• a função logarítmica é injetiva, pois números positivos diferentes têm logaritmos
diferentes. Ela é também sobrejetiva, pois, dado qualquer número real b, existe sempre
um único número real positivo x tal que log𝑎 𝑥 = 𝑏. Portanto, ela é bijetiva.
Uma relação importante
Uma relação importante e a seguinte: o gráfico de duas funções inversas são simétricos
à reta 𝑦 = 𝑥. Observe os gráficos a seguir 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
e 𝑔(𝑥) = log𝑎 𝑥:
nesse caso 𝑎 = 2.
103. 103
nesse caso 𝑎 =
1
2
.
Observe no gráfico (a > 1) como a função exponencial cresce
rapidamente, enquanto a função logarítmica cresce muito lentamente.
Escreva as coordenadas de alguns pontos simétricos em cada um dos gráficos.
Um pouco de História - Logaritmos e funções logarítmicas
Vários conceitos básicos da Matemática, criados para atender a certas
necessidades e resolver problemas específicos, revelaram posteriormente uma utilidade
bem mais ampla do que a inicialmente pensada e vieram, com a evolução das ideias e o
desenvolvimento das teorias, a adquirir uma posição definitiva de grande relevância
nessa ciência. Em alguns casos, a utilidade original foi, com o tempo, superada por novas
técnicas, mas a relevância teórica se manteve. […] Os logaritmos foram inventados no
início do século XVII a fim de simplificar as trabalhosas operações aritméticas dos
astrônomos para a elaboração de tabelas de navegação. Com efeito, a regra log(𝑥𝑦) =
log 𝑥 + log 𝑦 e suas consequências, tais como log (
𝑥
𝑦
) = log 𝑥 − log 𝑦 e outras,
permitem reduzir cada operação aritmética (exceto, naturalmente, a adição e a
subtração) a uma operação mais simples, efetuada com os logaritmos. Essa maravilhosa
utilidade prática dos logaritmos perdurou até recentemente, quando foi vastamente
superada pelo uso das calculadoras eletrônicas. A função logarítmica, entretanto,
juntamente com sua inversa, a função exponencial, permanece como uma das mais
importantes na Matemática, por uma série de razões que vão muito além da sua
104. 104
utilidade como instrumento de cálculo aritmético. […]
Resumindo: um matemático ou astrônomo do século XVII achava os logaritmos
importantes porque eles lhe permitiam efetuar cálculos com rapidez e eficiência. Um
matemático de hoje acha que a função logarítmica e sua inversa, a função exponencial,
ocupam uma posição central na Análise Matemática por causa de suas propriedades
funcionais, pois descreve a evolução de grandezas que, em cada instante, sofrem uma
variação proporcional ao valor naquele instante. Exemplos de grandezas com essa
propriedade são um capital empregado a juros compostos, uma população (de animais
ou bactérias), a radioatividade de uma substância, ou um capital que sofre desconto.
[…]
(adaptado) Fonte: Elon Lages Lima. Meu professor de Matemática e outras
histórias. Rio de Janeiro: Impa-Vitae, 1991. p. 28-30 passim.
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1) As funções logarítmicas f e g são dadas por 𝑓(𝑥) = log3 𝑥 e 𝑔(𝑥) =
log4 𝑥. Determine:
a) 𝑓(9)
b) 𝑔(1)
c) 𝑓−1
(1)
d) 𝑓(27) + 𝑔(𝑔16)
Gabarito: a) 2 b) 0 c) 3 d) 5
2) Construa os gráficos das funções logarítmicas.
a) 𝑓(𝑥) = log3𝑥
b) 𝑔(𝑥) = log1
3
𝑥
c) ℎ(𝑥) = log2(𝑥 − 1)