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VETORES,
TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
MATEMÁTICA
8º ANO
GEOMETRIA
E MEDIDA
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GEOMETRIA E MEDIDA
ÍNDICE
 Reta, semirreta e segmento
de reta
 Segmento de reta orientado
 Vetores
 Translações
 Isometrias
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VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
MATEMÁTICA
8º ANO
RESUMO | Luis Carrilho
Reta, semirreta e segmento de reta
 Reta
 Linha sem princípio nem fim
 Semirreta
 Linha com princípio mas sem fim
 Segmento de reta
 Linha com princípio e fim
GEOMETRIA E MEDIDA
VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
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A B
C D
E F
Reta 𝐴𝐵
Semirreta 𝐶𝐷
Segmento de reta [𝐸𝐹]
Segmento de reta orientado
 Segmento de reta orientado
 Linha com princípio e fim
 Caracteriza-se pelo comprimento, direção e sentido
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G H
Segmento de reta orientado 𝐺, 𝐻
• Direção: horizontal
• Sentido: de 𝐺 para 𝐻
(da esquerda para a direita)
I J
Segmento de reta orientado 𝐽, 𝐼
• Direção: horizontal
• Sentido: de 𝐽 para 𝐼
(da direita para a esquerda)
K
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Segmento de reta orientado 𝐿, 𝐾
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M
N
Segmento de reta orientado 𝑀, 𝑁
• Direção: diagonal
• Sentido: de 𝑀 para 𝑁
(da esquerda para a direita
e de baixo para cima)
GEOMETRIA E MEDIDA
VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
Segmento de reta orientado
 Extremos de um segmento de reta orientado
 O sentido de um segmento de reta orientado é da sua origem para a extremidade
 Segmentos de reta orientados equipolentes
 Segmentos orientados com o mesmo comprimento, direção e sentido
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O P
Q R
W X
S T
U V
Neste caso, os segmentos de reta orientados, 𝑄, 𝑅 , 𝑆, 𝑇 , 𝑈, 𝑉 , 𝑊, 𝑋 são equipolentes
Neste caso, a origem é o ponto O e a extremidade é o ponto P
GEOMETRIA E MEDIDA
VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
Vetores
 Como é representado um vetor
 Um vetor é representado por segmentos orientados equipolentes
 Tal como um segmento orientado, define-se pelo seu comprimento, direção e sentido.
 Representa-se por uma letra minúscula (𝒖) ou por duas letras maiúsculas (𝑨𝑩, se o
vetor for definido por todos os segmentos de reta orientados equipolentes a 𝐴, 𝐵 ).
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Neste caso, os segmentos de reta
orientados 𝐴, 𝐵 , 𝐶, 𝐷 e 𝐸, 𝐹 são
representações do mesmo vetor (𝑢)
A
B
F
E
D
C
𝑢
GEOMETRIA E MEDIDA
VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
Vetores
 Vetores colineares
 Vetores que têm a mesma direção
 Vetores simétricos
 Vetores que têm o mesmo comprimento e direção, mas sentido oposto
 Vetor nulo
 Vetor definido por segmentos orientados de extremos iguais
 Representa por 𝟎
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𝑎
𝑏
𝑐
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A
Neste caso, o vetor é definido pelo
segmento de reta orientado 𝐴, 𝐴
Neste caso, 𝒅 = −𝒄
GEOMETRIA E MEDIDA
VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
Vetores
 Adição de vetores (regra do triângulo)
 Para adicionar dois vetores podemos seguir os seguintes passos:
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𝑎 𝑏
GEOMETRIA E MEDIDA
VETORES, TRANSLAÇÕES E
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 Adição de vetores (regra do triângulo)
 Para adicionar dois vetores podemos seguir os seguintes passos:
1. Desenhar os dois vetores de tal modo em que a origem do segundo vetor coincida com a extremidade
do primeiro
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𝑎 𝑏
𝑎
𝑏
GEOMETRIA E MEDIDA
VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
Vetores
 Adição de vetores (regra do triângulo)
 Para adicionar dois vetores podemos seguir os seguintes passos:
1. Desenhar os dois vetores de tal modo em que a origem do segundo vetor coincida com a extremidade
do primeiro
2. O vetor soma tem a origem do primeiro vetor e a extremidade do segundo
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𝑎 𝑏
𝑎
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𝑎 + 𝑏
GEOMETRIA E MEDIDA
VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
 Soma de um vetor com um ponto
 Para somar um vetor com um ponto devemos seguir os seguintes passos:
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GEOMETRIA E MEDIDA
VETORES, TRANSLAÇÕES E
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 Soma de um vetor com um ponto
 Para somar um vetor com um ponto devemos seguir os seguintes passos:
1. Desenhar um segmento orientado que represente o vetor de tal modo que a sua origem coincida com
o ponto dado
Vetores
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GEOMETRIA E MEDIDA
VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
 Soma de um vetor com um ponto
 Para somar um vetor com um ponto devemos seguir os seguintes passos:
1. Desenhar um segmento orientado que represente o vetor de tal modo que a sua origem coincida com
o ponto dado
2. A soma do vetor com o ponto é o ponto que se encontra na extremidade do segmento orientado
desenhado
Vetores
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GEOMETRIA E MEDIDA
VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
Translações
 O que é
 Quando uma figura efetua um deslocamento ao longo de uma reta diz-se que efetua um
movimento de translação
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 Quando uma figura efetua um deslocamento ao longo de uma reta diz-se que efetua um
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ISOMETRIAS
Translações
 O que é
 Quando uma figura efetua um deslocamento ao longo de uma reta diz-se que efetua um
movimento de translação
 A translação é uma transformação geométrica que não altera a forma nem o tamanho da
figura.
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GEOMETRIA E MEDIDA
VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
 Translação associada a um ou mais vetores
 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖
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GEOMETRIA E MEDIDA
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ISOMETRIAS
 Translação associada a um ou mais vetores
 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
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GEOMETRIA E MEDIDA
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GEOMETRIA E MEDIDA
VETORES, TRANSLAÇÕES E
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 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖 𝑢
Translações
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A
B
Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁
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 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖
 Composição de translações:
𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗)
𝑢
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Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁
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 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖
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𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗)
𝑢
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A
B
Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁
A
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ISOMETRIAS
 Translação associada a um ou mais vetores
 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖
 Composição de translações:
𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗)
𝑢
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B
Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁
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ISOMETRIAS
 Translação associada a um ou mais vetores
 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖
 Composição de translações:
𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗)
𝑢
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A
B
Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁
𝑢A
𝑣
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 Translação associada a um ou mais vetores
 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖
 Composição de translações:
𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗)
𝑢
Translações
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A
B
Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁
𝑢A
𝑣
𝑢 + 𝑣
GEOMETRIA E MEDIDA
VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
 Translação associada a um ou mais vetores
 A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor:
𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖
 Composição de translações:
𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗)
𝑢
Translações
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A
B
Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁
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Neste caso, 𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐂
𝑢 + 𝑣
GEOMETRIA E MEDIDA
VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
 O que é uma isometria
 Uma isometria é uma transformação geométrica do plano que conserva os
comprimentos dos segmentos de reta e as amplitudes dos ângulos
Isometrias
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𝑢
𝑟
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Translação
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Reflexão
GEOMETRIA E MEDIDA
VETORES, TRANSLAÇÕES E
ISOMETRIAS
GEOMETRIA E MEDIDA
O QUE FOI ESTUDADO:
 Reta, semirreta e segmento
de reta
 Segmento de reta orientado
 Vetores
 Translações
 Isometrias
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ISOMETRIAS
MATEMÁTICA
8º ANO
RESUMO | Luis Carrilho
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Vetores, translações e isometrias

  • 2. GEOMETRIA E MEDIDA ÍNDICE  Reta, semirreta e segmento de reta  Segmento de reta orientado  Vetores  Translações  Isometrias www.obichinhodosaber.com VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS MATEMÁTICA 8º ANO RESUMO | Luis Carrilho
  • 3. Reta, semirreta e segmento de reta  Reta  Linha sem princípio nem fim  Semirreta  Linha com princípio mas sem fim  Segmento de reta  Linha com princípio e fim GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS www.obichinhodosaber.com A B C D E F Reta 𝐴𝐵 Semirreta 𝐶𝐷 Segmento de reta [𝐸𝐹]
  • 4. Segmento de reta orientado  Segmento de reta orientado  Linha com princípio e fim  Caracteriza-se pelo comprimento, direção e sentido www.obichinhodosaber.com G H Segmento de reta orientado 𝐺, 𝐻 • Direção: horizontal • Sentido: de 𝐺 para 𝐻 (da esquerda para a direita) I J Segmento de reta orientado 𝐽, 𝐼 • Direção: horizontal • Sentido: de 𝐽 para 𝐼 (da direita para a esquerda) K L Segmento de reta orientado 𝐿, 𝐾 • Direção: vertical • Sentido: de 𝐿 para 𝐾 (de baixo para cima) M N Segmento de reta orientado 𝑀, 𝑁 • Direção: diagonal • Sentido: de 𝑀 para 𝑁 (da esquerda para a direita e de baixo para cima) GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 5. Segmento de reta orientado  Extremos de um segmento de reta orientado  O sentido de um segmento de reta orientado é da sua origem para a extremidade  Segmentos de reta orientados equipolentes  Segmentos orientados com o mesmo comprimento, direção e sentido www.obichinhodosaber.com O P Q R W X S T U V Neste caso, os segmentos de reta orientados, 𝑄, 𝑅 , 𝑆, 𝑇 , 𝑈, 𝑉 , 𝑊, 𝑋 são equipolentes Neste caso, a origem é o ponto O e a extremidade é o ponto P GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 6. Vetores  Como é representado um vetor  Um vetor é representado por segmentos orientados equipolentes  Tal como um segmento orientado, define-se pelo seu comprimento, direção e sentido.  Representa-se por uma letra minúscula (𝒖) ou por duas letras maiúsculas (𝑨𝑩, se o vetor for definido por todos os segmentos de reta orientados equipolentes a 𝐴, 𝐵 ). www.obichinhodosaber.com Neste caso, os segmentos de reta orientados 𝐴, 𝐵 , 𝐶, 𝐷 e 𝐸, 𝐹 são representações do mesmo vetor (𝑢) A B F E D C 𝑢 GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 7. Vetores  Vetores colineares  Vetores que têm a mesma direção  Vetores simétricos  Vetores que têm o mesmo comprimento e direção, mas sentido oposto  Vetor nulo  Vetor definido por segmentos orientados de extremos iguais  Representa por 𝟎 www.obichinhodosaber.com 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 A Neste caso, o vetor é definido pelo segmento de reta orientado 𝐴, 𝐴 Neste caso, 𝒅 = −𝒄 GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 8. Vetores  Adição de vetores (regra do triângulo)  Para adicionar dois vetores podemos seguir os seguintes passos: www.obichinhodosaber.com 𝑎 𝑏 GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 9. Vetores  Adição de vetores (regra do triângulo)  Para adicionar dois vetores podemos seguir os seguintes passos: 1. Desenhar os dois vetores de tal modo em que a origem do segundo vetor coincida com a extremidade do primeiro www.obichinhodosaber.com 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 10. Vetores  Adição de vetores (regra do triângulo)  Para adicionar dois vetores podemos seguir os seguintes passos: 1. Desenhar os dois vetores de tal modo em que a origem do segundo vetor coincida com a extremidade do primeiro 2. O vetor soma tem a origem do primeiro vetor e a extremidade do segundo www.obichinhodosaber.com 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 + 𝑏 GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 11.  Soma de um vetor com um ponto  Para somar um vetor com um ponto devemos seguir os seguintes passos: Vetores www.obichinhodosaber.com A 𝑣 GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 12.  Soma de um vetor com um ponto  Para somar um vetor com um ponto devemos seguir os seguintes passos: 1. Desenhar um segmento orientado que represente o vetor de tal modo que a sua origem coincida com o ponto dado Vetores www.obichinhodosaber.com A 𝑣 𝐴𝐵A B GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 13.  Soma de um vetor com um ponto  Para somar um vetor com um ponto devemos seguir os seguintes passos: 1. Desenhar um segmento orientado que represente o vetor de tal modo que a sua origem coincida com o ponto dado 2. A soma do vetor com o ponto é o ponto que se encontra na extremidade do segmento orientado desenhado Vetores www.obichinhodosaber.com A 𝑣 𝐴𝐵A B Neste caso, 𝐴 + 𝑣 = 𝐵 GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 14. Translações  O que é  Quando uma figura efetua um deslocamento ao longo de uma reta diz-se que efetua um movimento de translação www.obichinhodosaber.com GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 15. Translações  O que é  Quando uma figura efetua um deslocamento ao longo de uma reta diz-se que efetua um movimento de translação www.obichinhodosaber.com GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 16. Translações  O que é  Quando uma figura efetua um deslocamento ao longo de uma reta diz-se que efetua um movimento de translação www.obichinhodosaber.com GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 17. Translações  O que é  Quando uma figura efetua um deslocamento ao longo de uma reta diz-se que efetua um movimento de translação www.obichinhodosaber.com GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 18. Translações  O que é  Quando uma figura efetua um deslocamento ao longo de uma reta diz-se que efetua um movimento de translação www.obichinhodosaber.com GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 19. Translações  O que é  Quando uma figura efetua um deslocamento ao longo de uma reta diz-se que efetua um movimento de translação  A translação é uma transformação geométrica que não altera a forma nem o tamanho da figura. www.obichinhodosaber.com GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 20.  Translação associada a um ou mais vetores  A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor: 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖 Translações www.obichinhodosaber.com GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 21.  Translação associada a um ou mais vetores  A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor: 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖 Translações www.obichinhodosaber.com A GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 22.  Translação associada a um ou mais vetores  A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor: 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖 𝑢 Translações www.obichinhodosaber.com A GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 23.  Translação associada a um ou mais vetores  A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor: 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖 𝑢 Translações www.obichinhodosaber.com A B Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁 GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 24.  Translação associada a um ou mais vetores  A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor: 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖  Composição de translações: 𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗) 𝑢 Translações www.obichinhodosaber.com A B Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁 GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 25.  Translação associada a um ou mais vetores  A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor: 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖  Composição de translações: 𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗) 𝑢 Translações www.obichinhodosaber.com A B Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁 A GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 26.  Translação associada a um ou mais vetores  A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor: 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖  Composição de translações: 𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗) 𝑢 Translações www.obichinhodosaber.com A B Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁 𝑢A GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 27.  Translação associada a um ou mais vetores  A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor: 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖  Composição de translações: 𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗) 𝑢 Translações www.obichinhodosaber.com A B Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁 𝑢A 𝑣 GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 28.  Translação associada a um ou mais vetores  A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor: 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖  Composição de translações: 𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗) 𝑢 Translações www.obichinhodosaber.com A B Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁 𝑢A 𝑣 𝑢 + 𝑣 GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 29.  Translação associada a um ou mais vetores  A translação de um ponto associada a um vetor é igual à soma do ponto com o vetor: 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + 𝒖  Composição de translações: 𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝑨 + (𝒖 + 𝒗) 𝑢 Translações www.obichinhodosaber.com A B Neste caso, 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐁 𝑢A 𝑣C Neste caso, 𝑻 𝒗 𝝄 𝑻 𝒖 𝑨 = 𝐂 𝑢 + 𝑣 GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 30.  O que é uma isometria  Uma isometria é uma transformação geométrica do plano que conserva os comprimentos dos segmentos de reta e as amplitudes dos ângulos Isometrias www.obichinhodosaber.com 𝑢 𝑟 C 𝑠 𝑣 Translação Reflexão deslizanteRotação Reflexão GEOMETRIA E MEDIDA VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS
  • 31. GEOMETRIA E MEDIDA O QUE FOI ESTUDADO:  Reta, semirreta e segmento de reta  Segmento de reta orientado  Vetores  Translações  Isometrias www.obichinhodosaber.com VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS MATEMÁTICA 8º ANO RESUMO | Luis Carrilho  Mais resumos e exercícios no site www.obichinhodosaber.com  Página Facebook www.facebook.com/OBichinhoDoSaber/