1) O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções, incluindo definição de função, domínio, contradomínio e imagem.
2) São descritos tipos de funções como função constante, função afim, função monotônica, função periódica e função definida por várias sentenças.
3) O documento também explica conceitos como função inversa, função composta e tipologia das funções (sobrejetora, injetora, bijetora).
3. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
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4. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
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5. 1
EM_V_MAT_004
Funções: Função
Afim, Função
Inversa e Função
Composta
Funções
Pode-se entender uma função como um dispo-
sitivo que responde a perguntas com duas caracte-
rísticas especiais: toda pergunta tem resposta e a
resposta a cada pergunta é única.
Isso faz com que as funções sejam amplamente
utilizadas tanto em Matemática como em outras ciên-
cias, pois permitem representar por meio de números
os fenômenos observados em experimentos.
Definição: Seja f uma relação de A em B, isto é,
f ⊂ A x B, dizemos que f é uma função de A em B se,
e somente se, para todo elemento x ∈ A existir um só
elemento y ∈ B, tal que (x, y) ∈ f, ou seja, y = f (x).
Portanto, para que uma relação de A em B seja
uma função, exige-se que a cada x ∈ A esteja asso-
ciado um único y ∈ B.
Entretanto, pode existir y ∈ B que não este-
ja associado a nenhum elemento pertencente ao
conjunto A ou que esteja associado a mais de um
elemento de A.
Os dois diagramas seguintes representam
relações de A em B, mas não funções de A em B. O
primeiro porque existe um elemento de A que não
está associado a nenhum elemento de B, e o segundo
porque existe um elemento de A que está associado
a mais de um elemento de B.
A
Bfa
b
c
d
e
f
A
Bfa
b
c
d
e
f
O diagrama de flechas a seguir representa uma
relação de A em B que também é uma função de A
em B:
A
B
fa
b
c
d
e
f
Domínio de f: D (f) = A
Contradomínio de f: B
Imagem de f: Im(f) ⊂ B
O domínio de f é o conjunto dos elementos de
A que são os primeiros termos dos pares ordenados
ou o conjunto origem das flechas.
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6. 2
EM_V_MAT_004
O conjunto B é chamado contradomínio de f
que são os segundos termos dos pares ordenados
do produto cartesiano ou o conjunto dos possíveis
destinos das flechas.
O conjunto imagem é um subconjunto de B
formado pelos elementos que são segundos termos
dos pares ordenados da função ou o conjunto dos ele-
mentos que são efetivamente destino de flechas.
No diagrama acima deve-se observar que de
todo elemento do conjunto A deve partir exatamente
uma flecha. Já os elementos do conjunto B podem
receber uma ou mais flechas ou até não receber
nenhuma flecha.
Notação:
f: A → B ou f = {(x , y)∈AxB y = f (x)}
x → f(x)
Chamam-se funções reais de variável real,
aquelas cujo domínio e contradomínio são subcon-
juntos dos reais.
Nesse caso, costuma-se definir a função apenas
pela “regra de correspondência” e adota-se como
domínio o maior subconjunto possível de R.
As funções reais de variável real podem ser
representadas graficamente no plano cartesiano or-
togonal. O gráfico da função é composto por todos
os pares ordenados que compõem a função.
Em virtude da definição de função, toda reta
vertical, que passa por um ponto do domínio, in-
tercepta o gráfico da função em exatamente um
ponto.
A análise do gráfico da função permite identi-
ficar o seu domínio e a sua imagem, como pode ser
visto a seguir:
Zero ou raiz da função é o número x, cuja ima-
gem é nula, isto é, f(x) = 0. Esses pontos são identi-
ficados como os pontos onde o gráfico intercepta o
eixo das abscissas (Ox).
É possível, também, identificar o sinal da função
em cada trecho do domínio. Os pontos de imagem
positiva encontram-se acima do eixo das abscissas
(parte positiva do eixo das ordenadas) e os de ima-
gem negativa abaixo (parte negativa do eixo das
ordenadas).
– – 1 2 4 7
y = f (x)
x–
++ +
Funções iguais
Duas funções f e g são iguais se, e somente se,
tiverem o mesmo domínio, e f(x) = g(x) para todo
x no domínio. Isso é equivalente a dizer que todos
os pares ordenados que compõem as funções são
iguais.
Funções monotônicas
Chama-se monotônica ou monótona a função que
é sempre crescente ou decrescente no seu domínio.
Seja a função f: A → B
f é1) crescente (não-decrescente) se ∀ x, y ∈
A, tais que x < y ⇒ f (x) ≤ f (y).
f é2) decrescente (não-crescente) se ∀ x, y ∈
A, tais que x < y ⇒ f (x) ≥ f (y).
f é3) estritamente crescente (crescente) se ∀
x, y ∈ A, tais que x < y ⇒ f (x) < f (y).
f é4) estritamente decrescente (decrescente)
se ∀ x, y ∈ A, tais que x < y ⇒ f (x) > f (y).
São funções crescentes f(x) = 3x – 1, f(x) = 2x
e f(x) = x3
.
São funções decrescentes f(x)=–2x + 5, f(x) =
(1/2)x
e f(x) = –x3
.
As funções f(x) = x2
e f(x) = sen x não são cres-
centes e nem decrescentes em R.
Esses conceitos acima mencionados são facil-
mente notados no gráfico da função. Nas funções
crescentes o gráfico “sobe” para a direita, enquanto
nas funções decrescentes o gráfico desce para a
direita.
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7. 3
EM_V_MAT_004
yy
x x00
Já a função a seguir não é monótona, pois é
decrescente numa parte do domínio e crescente em
outra.
y
x0
Paridade
Seja A um conjunto tal que x ∈ A ⇒ −x ∈ A e
a função f: A → B
f é par ⇔ f(–x) = f(x), ∀x ∈ A → o gráfico é
simétrico em relação ao eixo Oy, pois (x, y) ∈ f ⇔
(–x, y) ∈ f.
f é ímpar ⇔ f(–x) = –f(x), ∀x ∈ A → o gráfico
é simétrico em relação à origem, pois (x,y) ∈ f ⇔
(–x,–y) ∈ f.
Se uma função não é nem par nem ímpar, dize-
mos que ela não possui paridade.
São funções pares f(x) = x2
e f(x) = cos x. São
funções ímpares f(x) = x3
e f(x) = sen x. A função f(x)
= x2
+ x – 1 não é par nem ímpar.
Abaixo são mostrados gráficos desses dois tipos
de funções:
y
x
0
y
x0
f(x) = x2
→ par
f(x) = sen x → ímpar
Tipologia das funções
Sejam a função f: A → B
f é sobrejetora quando todo elemento de B está
associado por f a pelo menos um elemento de A, ou
seja, quando a imagem é igual ao contradomínio. No
diagrama, todo elemento recebe seta. No gráfico,
retas horizontais traçadas no contradomínio inter-
ceptam o gráfico em pelo menos um ponto. n(A) ≥
n(B), se A e B forem finitos.
f é sobrejetora ⇔ ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A tal que (x, y)
∈ f ou y = f (x)
f é injetora quando elementos distintos de A
estão associados a elementos distintos de B. No
diagrama, não há elemento em B que receba mais
de uma seta. No gráfico, retas horizontais cruzam
seu gráfico em no máximo um ponto. n(A) ≤ n(B), se
A e B forem finitos.
f é injetora ⇔ ∀ x1
, x2
∈ A, x1
≠ x2
⇒ f (x1
) ≠ f
(x2
) ou ∀ x1
, x2
∈ A, f (x1
) = f (x2
) ⇒ x1
= x2
f é bijetora se, e somente se, for sobrejetora e
injetora. Todo elemento de B está associado por f a
um único elemento de A. No diagrama, todo elemento
de B recebe uma seta. No gráfico, retas horizontais
traçadas pelo contradomínio cruzam o gráfico em
exatamente um ponto. n(A) = n(B), se A e B forem
finitos.
Os diagramas de flechas abaixo exemplificam
essas definições:
1) Sobrejetora
a
b
c
A B
f
d
e
2) Injetora
a
b
c
A B
d
e
f
g
f
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8. 4
EM_V_MAT_004
3) Bijetora
a
b
c
A B
d
e
f
f
Função limitada
A função f é limitada se ∃ K > 0, tal que ∀ x ∈
D (f) ⇒f (x) < K.
A função f(x) = sen x é uma função limitada,
pois ∀x ∈ R, –1 ≤ sen x ≤ 1. A função f(x) = x2
não é
limitada, pois ∀ k > 0, ∃ x, tal que f(x) = x2
> k.
Função periódica
A função f é periódica ⇔ ∃ p > 0 tal que f (x) = f(x
+ p), ∀x ∈ D (f).
Isso significa que os valores da função se repe-
tem em intervalos de tamanho p.
O menor número positivo p é chamado período
da função.
Os exemplos mais comuns de funções perió-
dicas são as funções trigonométricas. A função f(x)
= sen x, por exemplo, é uma função periódica de
período 2π.
Função definida por várias
sentenças abertas
Uma função f pode ser definida por várias sen-
tenças abertas, cada uma das quais ligada a um
domínio Di
contido no domínio de f.
Exemplo:``
≥
<≤
<
=→
1xpara1
1x0para2
0xpara1
f(x)quetalRRf:
Função constante
É a função que assume o mesmo valor em todo
o seu domínio.
f (x) = c, ∀ x ∈ D(f)
O gráfico de uma função constante com domínio
nos reais é uma reta paralela ao eixo dos x (horizon-
tal) e passando pelo ponto (0, c). Sua imagem é o
conjunto Im = {c}.
Exemplo:``
f(x) = 5 e f(x) = –3
y
x
(0, c)
0
No estudo das funções, muitas vezes é neces-
sário saber que valor do domínio leva a determinado
resultado na imagem. A função inversa associa os
valores da imagem aos do domínio.
Novamente, pensando na função como um
dispositivo que responde a perguntas, a função
inversa poderia ser entendida como um dispositivo
que informa qual a pergunta, dado que a resposta
é conhecida.
A função composta também é de grande impor-
tância, pois diversos processos ocorrem por meio da
aplicação sucessiva de funções. A função composta
permite identificar o resultado dessas diversas fun-
ções como se fossem uma única função.
Função composta
Dados os conjuntos A, B e C e as funções f: A →
B definida por y = f (x) e g: B → C definida por z = g
(y), chama-se função composta de g com f a função
h = (g o f) : A → C, definida por:
z = (g o f) (x) = g (f (x))
Assim, a função (gof) pode ser entendida como
uma função única que apresenta o mesmo resultado
que as aplicações sucessivas de f e g.
A função (gof) só é definida quando a imagem
de f está contida no domínio de g.
Os conceitos acima podem ser melhor entendi-
dos observando-se o diagrama de flechas a seguir:
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9. 5
EM_V_MAT_004
2 •
3 •
4 •
1 •
2 •
3 •
4 •
• 0
• 2
• 4
• 6
• 8
A
B
C
f
g
h = gof
A composição de funções não é comutativa: g o
f ≠ f o g. Pode acontecer também que somente uma
das funções (fog) ou (gof) esteja definida.
A sentença aberta que define (gof) (x) = g (f (x))
é obtida de g(x) substituindo-se x pela expressão
de f (x).
Exemplo:``
Sejam as funções reais f(x) = x2
+ 4x – 5 e g(x) = 2x – 3.
As expressões de (fog) e (gof) podem ser calculadas
como segue:
(fog) (x) = f(g(x)) = f (2x – 3) = (2x – 3)2
+4⋅(2x – 3)
– 5 = 4x2
– 4x – 8
(gof) (x) = g(f(x) = g(x2
+ 4x – 5) = 2 . ( x2
– 4x – 5) – 3
= 2x2
+ 8x – 13
Função inversa
Se f é uma função bijetora de A em B, a relação
inversa de f é uma função de B em A chamada função
inversa de f e denotada por f-1
e também é bijetora.
(x , y) ∈ f ⇔ (y , x) ∈ f – 1
Uma função só possui inversa se ela for bi-
jetora.
A função inversa é composta pelos pares orde-
nados obtidos pela inversão da ordem dos elementos
dos pares ordenados da função original. Assim, se a
função f: A → B associa cada elemento x ∈ A a um
elemento correspondente y ∈ B, a função f-1
, inversa
de f, associa a cada elemento y ∈ B o elemento cor-
respondente x ∈ A.
O domínio da função inversa é a imagem da
função original e a imagem da função inversa é o
domínio da função original.
D (f – 1
) = Im (f) e Im (f – 1
) = D (f)
Esses conceitos podem ser observados nos
diagramas de flecha seguintes:
a
b
c
d
e
f
d
e
f
a
b
c
A B B A
f f-1
As relações a seguir também são úteis:
1.ª) (f-1
) -1
= f
2.ª) ∀ x ∈ A, f-1
(f (x)) = x
3.ª) ∀ x ∈ B, f (f-1
(x)) = x
A primeira significa que a função inversa da
função inversa é igual à função original.
A segunda e terceira relações significam que
a composição entre a inversa e a função em qual-
quer ordem é a função identidade, ou seja, resulta
no elemento sobre o qual a função foi aplicada.
Os gráficos de f e f-1
são simétricos em relação
à bissetriz dos quadrantes ímpares (B13
), como pode
ser visto no exemplo abaixo:
• –8(–2; –8)
•
•
•
y
8
2
1–2–8
–2
–1 2 8 x
(8; 2)
(2; 8)
(–8; –2)
bissetrizf: y = x3
3
xy:3–f =
Obtenção da expressão da
função inversa
1.º Método:
Na sentença y = f(x), trocamos x por y e y por
x, obtendo x = f(y).
Em seguida, expressamos y em função de x,
transformando algebricamente a expressão x = f (y)
em y = f-1
(x).
Exemplo:``
A função inversa da função bijetora f: R →→ R, definida
por y = 2x – 4 pode ser calculada utilizando a regra
prática:
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10. 6
EM_V_MAT_004
1.º) permutar as variáveis: x = 2y – 4
2.º) expressar y em função de x: x = 2y – 4 ⇒ 2y = x +
4 ⇒ y = x + 4 .
2
A função inversa é então f −1
: R→R, definida por ⇒
y =
x + 4
.
2
2.º Método:
Basta utilizar a expressão vista anteriormente f
(f−1
(x)) = x e então obter a expressão de f−1
(x).
Exemplo:``
A função inversa da função bijetora f: → , definida por
y = 2x – 4 também pode se calculada como segue:
f (f - 1
(x)) = x ↔ 2⋅( f -1
(x)) –4 = x ↔
2⋅( f−1
(x)) = x + 4 ↔f –1
(x) =
x + 4
2
Função identidade
É uma função de R em R que a cada elemento
x ∈ R associa o próprio x.
f (x) = x , ∀ x ∈ R
O gráfico da função identidade é a bissetriz dos
quadrantes ímpares (β13
) e sua imagem é o conjunto
dos números reais: Im = R.
y
x
(2; 2)
(1; 1)
(0; 0)
(–1; –1)
(–2; –2)
Função linear
É uma função de R em R que a cada elemento x
∈ R associa o elemento ax ∈ R com a ≠ 0
f (x) = a ⋅ x , a ≠ 0
O gráfico da função linear é uma reta que passa
pela origem e sua imagem é o conjunto dos números
reais: Im = R.
(1; 2)
(0; 0)
2
1
y
x
A função f(x) =ax, com a > 0 e definida de R+
em
R+
é umarestriçãodafunçãolinearquerepresenta uma
proporcionalidade.
Sendo f(x1
) = y1
e f(x2
) = y2
, pode-se escrever
A relação acima é chamada de proporção, as
grandezas x e y são ditas diretamente proporcionais e
o coeficiente a é chamado fator de proporcionalidade.
Um exemplo comum é a massa de um corpo
que é proporcional ao seu volume e a relação entre
eles é o fator de proporcionalidade chamado massa
específica (ou densidade).
Função afim
É uma função de R em R definida por
f (x) = ax + b
onde a e b são constantes reais e a ≠ 0.
A função identidade (a = 1 e b = 0) e a fun-
ção linear (b = 0) são casos particulares da função
afim.
A função afim é uma função polinomial do 1.º
grau, seu gráfico é uma reta não-paralela a nenhum
dos eixos coordenados e sua imagem é o conjunto
dos números reais: Im = R.
O coeficiente a é chamado coeficiente angular
e representa a taxa de variação média da função
∆
∆
y
x
que é igual à tangente do ângulo de inclinação
da reta. Sendo θ o ângulo de inclinação da reta,
tem-se
tg θ = a
a > 0 → θ é agudo → função crescente
a < 0 → θ é obtuso → função decrescente
O coeficiente b é chamado coeficiente linear e
é o ponto onde a reta intercepta o eixo Oy, ou seja,
a reta passa no ponto (0, b).
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11. 7
EM_V_MAT_004
O gráfico intercepta o eixo dos x em um único
ponto que é a raiz da equação f(x) = 0 dada por x
= −b/a.
Abaixo são mostrados gráficos da função afim
para a negativo e positivo.
•
•
y = ax +b
a > 0
b
–b/a x
y
θ
•
x
y
θ
•
θ
x1
x2
•
y
θ
•
x-b/a
b
y = ax + b
a < 0
y
θ
x
θ
Dx
Dy
Dx
Dy
Sinais da função afim
Conhecendo o gráfico da função afim pode-se
realizar o seu estudo de sinais, isto é, identificar o
sinal da função em cada trecho do seu domínio, como
representado nas figuras seguintes:
•
y > 0
y < 0
y
x
Caso a > 0
)
a
b
–(x <
)
a
b
–(x <
)
a
b
–(x >
•
y > 0
y < 0
y
x
Caso a < 0
)
a
b
–(x <
)
a
b
–(x <
)
a
b
–(x >
Posições relativas entre retas
A análise dos coeficientes angulares das retas
permite identificar a posição relativa entre as retas.
Assim, sejam a reta r dada pela equação y = ax
+b e a reta s dada pela equação y = a’x +b’, a relação
entre seus gráficos é mostrada abaixo:
a = a’ e b ≠ b’ → retas paralelas
a = a’ e b = b’ → retas coincidentes
a ≠ a’ → retas concorrentes
a.a’ = −1 → retas perpendiculares
Isso permite também discutir sistemas de equa-
ções do primeiro grau a duas variáveis.
(PUC-SP) Qual dos gráficos seguintes representa uma1.
função de +
* em ?
a)
b)
c)
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12. 8
EM_V_MAT_004
d)
e)
Solução:`` C
O gráfico da letra a representa uma função de em +
*.
O gráfico da letra b também representa uma função de
em +
*.
O gráfico da letra c representa uma função de +
* em
.
O gráfico da letra d representa uma função de em +
.
O gráfico da letra e não representa uma função.
(FUVEST-SP)2. A figura abaixo representa o gráfico de
uma função da forma 3.x1–para
cbx
ax
f(x) ≤≤
+
+
= 3.x1–para
cbx
ax
f(x) ≤≤
+
+
=
•
•
•
•
•
y
x
– 1
– 1
– 3
1
2 3
1/5
–1/3
Pode-se concluir que o valor de b é:
-2a)
-1b)
0c)
1d)
2e)
Solução:`` D
A análise do gráfico mostra que os pontos (–1, – 3); (0, –1)
e (2, 0) pertencem à função. Assim,
2 a
f ( 2,0 ) 0 a 2
b.2 c
0 a
f (0, 1) 1 c 2
b.0 c
1 2
f ( 1, 3 ) 3 b 1
b.( 1) 2
+
= = ⇒ = −
+
+
− = = − ⇒ =
+
− −
− − = = − ⇒ =
− +
(PUC-RS) O domínio da função real dada por3.
4–x
x1
f(x)
+
=
é:
{xa) ∈Rx > –1 e x < 4}
{xb) ∈Rx < –1 ou x ≥ 4}
{xc) ∈Rx ≥ –1 e x ≤ 4}
{xd) ∈Rx ≤ –1 ou x > 4}
{xe) ∈Rx ≥ –1 e x < 4}
Solução:`` D
O domínio da função é o maior subconjunto dos reais
para o qual a função é definida. Nesse caso, a expressão,
sobre a raiz de índice par, deve ser não-negativa e o
denominador não pode ser nulo.
O diagrama a seguir mostra a variação do espaço em4.
função do tempo referente a um ponto material. De-
termine:
t (s)
S (m)
6
4
0 2 6 8
o espaço inicial do movimento;a)
o instante em que o ponto material atinge ob)
marco zero;
o intervalo de tempo durante o qual a veoci-c)
dade do móvel é positiva;
o intervalo de tempo durante o qual a veloci-d)
dade do móvel é negativa;
o intervalo de tempo durante o qual o móvele)
se encontra em repouso.
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13. 9
EM_V_MAT_004
Solução:``
O espaço inicial é a posição em t = 0s, ou seja,a)
s(0)= 4 m.
O instante no qual a posição do ponto material éb)
zero, o que ocorre quando t = 8 s.
Velocidade do móvel é positiva quando o espaçoc)
aumenta com o tempo, ou seja, quando a função é
crescente; isso ocorre entre 0 s e 2 s.
A velocidade do móvel é negativa quando o espaçod)
diminui com o tempo, ou seja, quando a função é
crescente; isso ocorre entre 0 s e 2 s.
O móvel está em repouso quando o valor do espaçoe)
não se altera, isto é, quando a função permanece
constante; isso ocorre entre 2 s e 6 s.
(PUC SP) Se5.
x–1
1
f(x)= , então (fo(fof)) (x) é igual a:
2xa)
3xb)
4xc)
xd)
-xe)
Solução:`` D
(fo (fof) (x) = f (f (f (x) ) ) = f (f (
1
1 – x
) )=
f
1
1
1-
1 - x
=
f (
1 – x
– x
) = 1
1 – x
– x
= x
1-
(CESGRANRIO) Seja f: x6. → f(x) a função cujo grá-
fico é:
y
0 x
O gráfico que mais bem representa a função inversa
f−1
: x → f−1
(x) é:
a)
x
y
0
b)
y
0 x
c)
y
x0
d)
x
y
0
e)
y
x0
Solução:`` E
Basta observarmos o gráfico da função original e procurar
dentre as opções um gráfico que seja simétrico a ele em
relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.
O melhor gráfico é o da opção E.
A função c (x) = 5.7.
x – 32
9 pode ser usada para a
conversão de uma temperatura x na escala Fahrenheit para
uma temperatura na escala Celsius. A função k (x) = x +
273podeserutilizadaparaaconversãodeumatemperatura
x na escala Celsius para uma temperatura na escala Kelvin.
Obtenha uma expressão para a conversão direta da escala
Fahrenheit para a escala Kelvin. Qual a temperatura em que
essas duas escalas fornecem o mesmo valor numérico?
Solução:``
Basta efetuar a composição das funções.
K(c(x)) = K 5.
x – 32
9
= 5.
x – 32
9
+ 273 =
5x + 2297
9
Para que as duas temperaturas sejam iguais, devemos
fazer
K(c(x)) = x ⇒ 5x + 2297
9
= x ⇒ x = 547,25° F = 547,25 k
(UERJ-1998) A promoção de uma mercadoria em um8.
supermercado está representada, no gráfico abaixo, por
seis pontos de uma mesma reta.
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14. 10
EM_V_MAT_004
•
•
•
•
•
•
150
50
5 20 30 quantidade de unidades
compradas
valor total da compra (R$)
Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria,
na promoção, pagará por unidade, em reais, o
equivalente a:
4,50a)
5,00b)
5,50c)
6,00d)
Solução:`` A
O valor total da compra f(x) está associado à quantidade
de unidades compradas x por uma reta. Assim,
f(x) = ax + b
Os pontos (5, 150) e (30, 50) pertencem à reta, então
f(5) = 150 ⇒ 5a + b = 150
f(30) = 50 ⇒ 30a + b = 50
Subtraindo a primeira equação da segunda:
25a = –100 ⇔ a = –4
5 (–4) + b = 150 ⇔ b = 170
Logo, f(x) = –4x + 170
Numa compra de 20 unidades, tem-se x = 20 e o valor da
compra f(20) = –4 ⋅ 20 + 170 = 90. O valor por unidade
será então 90/20 = 4,5.
(UNICAMP 1992) Calcule a e b positivos na equação9.
da reta ax + by = 6 de modo que ela passe pelo ponto
(3, 1) e forme com os eixos coordenados um triângulo
de área igual a 6.
Solução:`` a = 1 e b = 3.
Os pontos onde a reta intercepta os eixos coordenados
são os pontos para os quais x = 0 e y = 0.
x = 0 ⇒ a ⋅ 0 + by = 6 ⇒ y = 6/b
y = 0 ⇒ ax + b ⋅ 0 = 6 ⇒ x = 6/a
Como mostrado no gráfico a seguir.
a
6
b
6
0 x
y
A área do triângulo é 6
2
a
6.
b
6
= , logo a ⋅ b = 3.
A reta passa pelo ponto (3, 1), daí 3a + b = 6 ⇒ b =
6 – 3a
Substituindo a expressão de b na equação anterior.
a⋅(6 – 3a) = 3 ⇒ a2
– 2a + 1 = 0 ⇒ ⇒ a = 1 e
b = 6 – 3 ⋅ 1 = 3
(UFJF 2000) O esboço de gráfico abaixo mostra a tem-10.
peratura de uma região de 3h da madrugada até às 9h
da manhã do mesmo dia.
y
x
3
–5
10
0 9
Determine o horário em que a temperatura atingiua)
0º C.
Determine o tempo em que a temperatura perma-b)
neceu negativa.
Determine o tempo em que a temperatura perma-c)
neceu positiva.
Solução:``
A reta passa pelos pontos (3, –5) e (9, 10). Supondoa)
que a equação da reta seja f(x) = ax + b, tem-se:
f(3) = 3a + b = –5
f(9) = 9a + b = 10
Fazendo a segunda equação menos a primeira.
6a = 15 ⇒ a =
5
2
3 ⋅ (5/2) + b = –5 ⇒ b = – 25
2
Logo, f (x) =
5
2
x –
25
2
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15. 11
EM_V_MAT_004
O horário em que a temperatura atingiu 0º C é o
valor de x tal que f(x) = 0.
f (x) =
5
2
x –
25
2
= 0 ⇒ x = 5
Logo, a temperatura atingiu 0ºC às 5h.
A temperatura permaneceu negativa para 3b) ≤ x < 5,
ou seja, durante 2h.
A temperatura permaneceu positiva para 5 < xc) ≤ 9,
ou seja, durante 4h.
(UNICAMP - 1999) A troposfera, que é a primeira11.
camada da atmosfera, estende-se do nível do mar até a
altitude de 40 000 pés; nela, a temperatura diminui 2º C
a cada aumento de 1 000 pés na altitude. Suponha que
em um ponto A, situado ao nível do mar, a temperatura
seja de 20ºC. Pergunta-se:
Em que altitude, acima do ponto A, a temperaturaa)
é de 0ºC?
Qual é a temperatura a 35 000 pés acima do mesmob)
ponto A?
Solução:``
Como a taxa de variação é constante, a temperatura f(x)
pode ser relacionada com a altura x por uma função do
1º grau.
f(x) = ax + b
temperatura ao nível do mar é 20ºC ⇒ f(0) = b = 20 a
temperatura diminui 2º a cada aumento de 1 000 pés:
⇒ a =
∆y
∆x
=
–2
1000 =
–1
500
Logo, f (x)
–x
500 + 20
Deve-se encontrar x tal que f(x) = 0a)
f (x)
–x
500
+ 20 = 0 ⇒
–x
500
= –20 ⇒ x = 10 000
Resposta: A temperatura é de 0ºC a 10 000 pés.
Deve-se obter o valor da função para x = 35 000b)
f (35000) = –35 000
500
+ 20 = –50
A temperatura é –50ºC.
(UERJ) Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram1.
ao Maracanã 90 000 torcedores. Três portões foram
abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número
constante de pessoas por minuto. A partir desse horário,
abriram-se mais três portões e o fluxo constante de
pessoas aumentou. Os pontos que definem o número
de pessoas dentro do estádio em função do horário de
entrada estão contidos no gráfico abaixo:
12 15 17 horário
n.° de pessoas
45 000
30 000
90 000
Quando o número de torcedores atingiu 45 000, o
relógio estava marcando 15 horas e:
20min.a)
30min.b)
40min.c)
50min.d)
(UERJ) A estatura de um adulto do sexo feminino pode2.
ser estimada, através das alturas de seus pais, pela
expressão:
(y - 13) + x
2
Considere que x é a altura da mãe e y a do pai, em cm.
Somando-se ou subtraindo-se 8,5cm da altura estimada,
obtém-se, respectivamente, as alturas máxima ou mínima
que a filha adulta pode atingir. Segundo essa fórmula, se
João tem 1,72m de altura e sua esposa tem 1,64m, sua
filha medirá, no máximo:
1,70ma)
1,71mb)
1,72mc)
1,73md)
(UERJ) A velocidade angular W de um móvel é inversa-3.
mente proporcional ao tempo T e pode ser representada
pelo gráfico abaixo.
2
w (radianos/segundo)
0,5
T (segundo)
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16. 12
EM_V_MAT_004
Quando W é igual a 0,8π rad/s, T, em segundos, cor-
responde a:
2,1a)
2,3b)
2,5c)
2,7d)
(UERJ) Uma panela, contendo um bloco de gelo a −40º4.
C, é colocada sobre a chama de um fogão. A evolução
da temperatura T, em graus Celsius, ao longo do tempo
x, em minutos, é descrita pela seguinte função real:
20x – 40 se 0 ≤ x < 2
0 se 2 ≤ x ≤ 10
10x – 100 se 10 < x ≤ 20
100 se 20 < x ≤ 40
T(x) =
O tempo necessário para que a temperatura da água
atinja 50º C, em minutos, equivale a:
4,5a)
9,0b)
15,0c)
30,0d)
(UFRJ 2002) Considere as funções polinomiais5. f, g e h,
cujos gráficos são dados a seguir.
x
–5 –3 –2 –1
–4
y
0
1 2 3
4 5
–2
–4
–6
2
4
6
h
f
g
Determine os valores reais de x no intervalo [-5, 5] para
os quais valem as desigualdades: f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).
(UFRJ) Dada a função f: R6. → R definida por:
x3
– 4x se x ≤1
2x – 5 se x > 1
f(x) =
determine os zeros de f.
(PUC-RJ) A função7. :
é sempre positiva.a)
pode assumir qualquer valor real.b)
pode assumir o valor 1/3.c)
pode assumir o valor −1/6.d)
pode assumir o valor 1/2.e)
(PUC-RJ) Dada a função f(x) = (x + 1)⋅(x8. 2
– x + 1), deter-
mine:
f(−1) e f(0)a)
Ache as soluções reais da equação f(x) = 9b)
(U9. FF) Determine o domínio da função real da variável
real f, definida por f(x) =
x2
- 4x + 3
4
x - 1
(10. UFF) Classifique cada afirmativa abaixo, em verdadeira
ou falsa, justificando.
∀( )( x ∈ R, x < 0, -x sempre existe em R.
∀( )( x ∈ R, log (–x) não existe em R.
∀( )( x ∈ R, se (x – a)2
= (x – b)2
então a = b.
∀( )( x ∈ R, 2–x
< 0.
∀( )( x ∈ R, sen x ≤ 1.
(UFF) Considere o11. polinômio p(x) = x3
– 3x + 2 e a fun-
ção real de variável real f definida por .
Sabe-se que uma das raízes de p(x) é 1. Escreva o
domínio de f sob a forma de intervalo.
(UFF) O gráfico da função f está representado na figura:12.
Sobre a função f é falso afirmar que:
f(1) + f(2) = f(3)a)
f(2) = f(7)b)
f(3) = 3f(1)c)
f(4) – f(3) = f(1)d)
f(2) + f(3) = f(5)e)
(UERJ) Nicole pediu a seu irmão João que pensasse13.
em um número e efetuasse as seguintes operações,
nesta ordem:
multiplicar o número pensado por 5;1.° )
adicionar 6 ao resultado;2.° )
multiplicar a soma obtida por 4;3.° )
adicionar 9 ao produto;4.° )
multiplicar a nova soma por 5.5.° )
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17. 13
EM_V_MAT_004
João comunicou que o resultado é igual a K.
As operações que Nicole deve efetuar com K, para
“adivinhar” o número pensado, equivalem às da seguinte
expressão:
(K – 165) : 100a)
(K – 75) : 100b)
K : 100 + 165c)
(K + 165) : 100d)
(UERJ) Considere a função f:14.
2
Determine suas raízes.a)
Calculeb)
(UFF) Considere as funções reais de variável real15. f e
g definidas por f(x) = 3x +1 e g(x) = −2x −2. Deter-
mine:
a função h = fog;a)
as inversas de f e g.b)
(UFF) Considere as funções reais bijetivas16. f e g tais
que:
x f(x) g(x)
−1 1 2
0 2 1
1 0 −1
2 −1 0
Determine, justificando, os valores de:
(f o g) (1)a)
(g o fb) –1
) (2)
(fc) –1
o g–1
) (-1)
(fd) –1
o g) (2)
(UFF) Dada a função real de variável real17. f tal que
f (2x + 1) =
x2
- 1
2x , x ≠ 1 e x ≠ –1, determine:
a expressão de f(x);a)
o domínio da função f.b)
(UFF) Sejam T: M18. → M e S: M → M as funções repre-
sentadas a seguir.
Com respeito à função composta ToS, tem-se:
ToS(3) = S(3)a)
ToS(1) = S(3)b)
ToS(3) = T(2)c)
ToS(2) = T(1)d)
ToS(4) = ToS(1)e)
(UFF) Dada a função real de variável real19. f, definida
por:
f(x) =
x + 1
x - 1
, x ≠ 1:
determine (fof) (x);a)
escreva uma expressão para fb) –1
(x).
(UFF) Considere20. f e g funções reais de variável real,
definidas por f(x) = e g (x) = log (1– x).
Determine o domínio de f.a)
Defina a inversa de g.b)
(UFCE) . Seja21. f uma função real de variável real definida
por f(x) = x2
+ c, c > 0 e c ∈ R, cujo gráfico é
y
x
(0, c)
x2
Então o gráfico que melhor representa f(x + 1) é:
a)
y
x
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18. 14
EM_V_MAT_004
b)
y
x
c)
y
x
d)
y
x
e)
y
x
(UNIRIO) Considere as funções:22.
f: R R
x y = x −3
g: R R
x y = 2x
h: R R
x y = x
Determine o conjunto-imagem da função fogoh.
(UNESP) Dadas as funções f(x) = x23. 2
+ 2x +1 e
g(x) = x −1,
encontre a função composta (fog) (x);a)
resolva a equação: (fog) (y) = 0, onde y = cos x.b)
(FATEC) Um pai dividiu a quantia de R$750,00 entre seus24.
três filhos. A quantia recebida por Carlos correspondeu
a 10/7 da recebida por André e esta correspondeu a
7/8 da recebida por Bruno. É verdade que:
Carlos recebeu R$60,00 a mais que Bruno.a)
André recebeu R$100,00 a menos que Carlos.b)
Bruno recebeu R$70,00 a menos que Carlos.c)
Carlos recebeu R$100,00 a mais que André.d)
André recebeu R$40,00 a menos que Bruno.e)
(UERJ) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupa-25.
das. Algumas, por quatro pessoas; outras, por apenas
duas pessoas, num total de 38 fregueses.
O número de mesas ocupadas por apenas duas pessoas
é:
4a)
5b)
6c)
7d)
(UERJ) O Real Enferrujou26.
“[...]asmoedasde1e5centavosoxidamantesdoprevisto
[...]Atéagora,apenas116milhõesentreossetebilhõesde
moedas em circulação têm nova roupagem lançada pelo
governo no dia 1.º julho [...]” (ISTOÉ, 09 set. 1998)
Desses 116 milhões de moedas, metade é de R$0,50,
a metade do número restante é de R$0,10, a metade
do que sobrou é de R$0,05 e as últimas moedas são
de R$0,01. O total de moedas de R$0,01 corresponde,
em reais, a:
14.500,00a)
29.000,00b)
145.000,00c)
290.000,00d)
(UERJ) Observe o gráfico:27.
ProductAudit/Expand.
Seoconsumodevinhobrancoalemão,entre1994e1998,
sofreuumdecréscimolinear,ovolumetotaldesseconsumo
em 1995, em milhões de litros, corresponde a:
6,585a)
6,955b)
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19. 15
EM_V_MAT_004
7,575c)
7,875d)
(UENF) Um tanque com capacidade para 1 200 litros28.
de água tem um furo no fundo por onde a água escoa
a uma razão constante. Considere V o volume do tan-
que, em litros, e t o tempo de escoamento, em horas,
relacionados pela equação: V = 1 200 – 12t
Estando o tanque totalmente cheio, calcule:
o volume de água no tanque, após 30 horas de esco-a)
amento;
o tempo necessário para que ele se esvazie total-b)
mente.
(UENF) Nos jogos válidos por um campeonato de29.
futebol, cada vitória dá ao time três pontos, enquanto
cada empate vale um ponto. Se perder, o time não ganha
pontos. Um jornal publicou uma tabela com a classifica-
ção dos três melhores times. Entretanto, dois números da
tabela não puderam ser identificados, sendo substituídos
pelas letras x e y, conforme é mostrado abaixo:
Time
Pontos
ganhos
n.º de
vitórias
n.º de
empates
Corinthians 24 8 0
Flamengo x 6 0
Atlético 16 y 1
Calcule o valor de:
x;a)
y.b)
(UENF) Um atleta está treinando em uma pista reti-30.
línea e o gráfico abaixo apresenta dados sobre seu
movimento.
4
2
V (m/s)
0 5 10 t (s)
A distância percorrida pelo corredor, no intervalo entre
0 e 5 segundos, é igual à área do trapézio sombreado.
Calcule essa distância.
(UENF) O gráfico a seguir representa, em bilhões de31.
dólares, a queda das reservas internacionais de um
determinado país no período de julho de 2000 a abril
de 2002.
35,6
22
12
bilhõesdedólares
julho
2000
junho
2001
abril
2002
(Veja, 01 mai. 2002. Adaptado)
Admita que, nos dois intervalos do período considerado,
a queda de reservas tenha sido linear. Determine o total
de reservas desse país, em bilhões de dólares, em maio
de 2001.
(UERJ) A função que descreve a dependência temporal32.
da posição S de um ponto material é representada pelo
gráfico abaixo.
s(m)
t(s)
12
8
4
0
–4
1 2 3 4 5
Sabendo que a equação geral do movimento é do tipo
S = A + Bt + Ct2
, os valores numéricos das constantes
A, B e C são, respectivamente:
0, 12, 4a)
0, 12, 4b)
12, 4, 0c)
12, –4 , 0d)
(UERJ) Jorge quer distribuir entre seus filhos os ingres-33.
sos ganhos para um show. Se cada um de seus filhos
ganhar quatro ingressos, sobrarão cinco ingressos; se
cada um ganhar seis ingressos, ficarão faltando cinco
ingressos. Podemos concluir que Jorge ganhou o nú-
mero total de ingressos correspondente a:
15a)
25b)
29c)
34d)
(UFRJ) João, Pedro e Maria se encontraram para bater34.
papo em um bar. João e Pedro trouxeram R$50,00 cada
um, enquanto Maria chegou com menos dinheiro. Pedro,
muito generoso, deu parte do que tinha para Maria,
de forma que os dois ficaram com a mesma quantia. A
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20. 16
EM_V_MAT_004
seguir, João resolveu também repartir o que tinha com
Maria, de modo que ambos ficassem com a mesma
quantia. No final, Pedro acabou com R$4,00 a menos
do que os outros dois. Determine quanto Maria possuía
quando chegou ao encontro.
(PUC-RJ) João dá a Pedro tantos reais quanto Pedro35.
possui. Em seguida, Pedro dá a João tantos reais quanto
João possui. Se terminaram com R$180,00 cada um,
quantos reais cada um deles possuía inicialmente?
João possuía R$100,00 e Pedro R$80,00.a)
João possuía R$200,00 e Pedro R$225,00.b)
João possuía R$135,00 e Pedro R$280,00.c)
João possuía R$225,00 e Pedro R$135,00.d)
João possuía R$100,00 e Pedro R$135,00.e)
(UFF) Na figura a seguir estão representadas as retas36.
r e s.
Sabendo que a equação da reta s é x = 3 e que OP
mede 5 cm, a equação de r é:
y = 3/4xa)
y = 4/3xb)
y = 5/3xc)
y = 3 xd)
y = 5 xe)
(UFF) As empresas Alfa e Beta alugam televisores do37.
mesmo tipo. A empresa Alfa cobra R$35,00 fixos pelos
primeiros 30 dias de uso e R$1,00 por dia extra. A em-
presa Beta cobra R$15,00 pelos primeiros 20 dias de
uso e R$1,50 por dia extra. Após n dias o valor cobrado
pela empresa Beta passa a ser maior do que o cobrado
pela empresa Alfa. O valor de n é:
25a)
35b)
40c)
45d)
50e)
(UNIRIO) Saiu na Veja, em 2003 “A conta do GNV –38.
Quanto vale converter seu carro para o gás natural.
Calcule o gasto de combustível de seu carro por1)
quilômetro. Se ele faz 10km por litro de gasolina, e
o litro custa 2 reais, o gasto é de 20 centavos por
quilômetro.
A grosso modo, um metro cúbico de gás natural2)
rende quilometragem 20% superior à de 1 litro de
gasolina e 40% acima da obtida com 1 litro de álco-
ol. Portanto, com GNV o carro do item 1 fará 12 qui-
lômetros por metro cúbico a 1 real o metro cúbico,
esse veículo gastará 8 centavos por quilômetro.”
Se você pagar R$2.100,00 para fazer a conversão do
seu automóvel para GNV, a economia será feita a partir
da seguinte quilometragem.
18 000kma)
17 500kmb)
17 000kmc)
16 500kmd)
16 000kme)
(UERJ) Considere a função f, definida para todo x real1.
positivo, e seu respectivo gráfico.
y
x
0 a b 3a 3b
f(x) =
1
x
Se a e b são dois números positivos (a < b), a área
do retângulo de vértices (a,0), (b,0) e (b, f(b)) é igual
a 0,2.
Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0)
e (3b, f(3b)).
(UFF) Determine o domínio da função de variável real2. f
definida por
−
=
−
2
(x 1)
1
f(x)
1 10
(UFJF) A figura a seguir representa, no plano cartesiano,3.
o gráfico de uma função y = f(x) definida no intervalo
[-2,5].
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21. 17
EM_V_MAT_004
Com base neste gráfico, é incorreto afirmar que:
y
4
3
2
1
0
–1
1 2 3 4 5
–1–2
x
f(4) > f(5).a)
o conjunto imagem de f contém o intervalo [−1, 4].b)
f(x) < 0 se −2c) ≤ x ≤ 0.
f(f(1)) = 0.d)
o conjunto {xe) ∈ [−2, 5] f(x) = 3} possui exata-
mente dois elementos.
(UNIRIO)Considereafunçãorealf:A4. →R,ondeRdenota
o conjunto dos números reais, cujo gráfico é apresentado
a seguir, sendo o eixo das ordenadas e a reta de equação
y = 3, assíntotas da curva que representa f : x → y =
f(x).
y
x
3
0
Determine o domínio e o conjunto-imagem de f.a)
Esboce o gráfico da função g: Bb) → R; x → y = f(x
−2) −4
(UNIRIO) Seja f a função real na variável x definida por5.
+ −
=
+ − −
1 x + 1 x
f(x)
1 x 1 x
Determine o domínio de definição D da função.a)
Mostre que, para todo xb) ∈ D, tem-se
+ +
=
+
2
1 1 x
f(x)
1 x
(UFF) Considere a função real de variável real f e a fun-6.
ção g tal que Dom(g) = [–1,4] e g (x) = f (2x) – 1.
O gráfico de g é representado na figura a seguir.
Pede-se:
a expressão que define g;a)
a imagem de g;b)
a expressão que define f no intervalo [0,4].c)
(UFF) Para a função f: N*7. → N*, que a cada número
natural não-nulo associa o seu número de divisores
positivos, considere as afirmativas:
existe um natural não-nulo n tal que f(n) = n.I.
f é crescente.II.
f não é injetiva.III.
Assinale a opção que contém a(s) afirmativa(s)
correta(s):
apenas II.a)
apenas I e III.b)
I, II e III.c)
apenas I.d)
apenas I e II.e)
(UFF) Uma função real de variável real8. f é tal que
= π
1
f
2
e f(x +1) = x f(x) para todo x ∈ R. O valor
de f(7/2) é:
pa)
7b) p
p
2c)
15 p
8
d)
7 p
15
e)
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22. 18
EM_V_MAT_004
(UNESP) Uma pessoa parte de carro de uma cidade10.
X com destino a uma cidade Y. Em cada instante t (em
horas), a distância que falta para percorrer até o destino
é dada, em dezenas de quilômetros, pela função D,
definida por:
D(t) = 4 2
t 7
1
t 1
+
− +
Considerando o percurso da cidade X até a cidade Y, a
distância, em média, por hora, que o carro percorreu foi:
40kma)
60kmb)
80kmc)
100kmd)
120kme)
(UFF) Sejam11. f e g funções reais de uma variável real
dadas por
3x + 4 , se x ≥ 1 x2
+ 1 , se x > 3
f(x) e g(x)
5x + 2 , se x < 1 5x - 5 , se x ≤ 3
Pede-se:
g[f(2)]a)
fb) −1
[g(0)]
(UFJF) Responda aos itens I e II, observando os gráficos12.
das duas funções f e g de R em R, respectivamente, do
1.º e 2.º graus, representados abaixo.
y
x
f
g
Sobre a função h = f + g de R em R, definida porI.
h(x) = f(x) + g(x), é correto afirmar que:
possui ponto de máximo.a)
possui ponto de mínimo.b)
é uma função crescente.c)
é uma função decrescente.d)
é uma função constante.e)
Sobre a função h = fog de R em R, definida por h(x)II.
= f(g(x)), é correto afirmar que:
possui ponto de máximo.a)
possui ponto de mínimo.b)
é uma função crescente. c)
é uma função decrescente.d)
é uma função constante.e)
(UFF) Considere as funções reais13. f, g e h definidas
por f(x) = log2
x 2
, g(x) = log2
x e h(x) = log 2/3
x.
Determine o valor de h (g (f(4))).
(UFCE) Considere a função f(x) =14.
cx
dx + 3
definida para
todo número real x tal que dx + 3 0, onde c e d são
constantes reais. Sabendo que f(f(x)) = x e f(5)
(3) =
f(f(f(f(f(3))))) = –3/5, podemos afirmar que c2
+d2
é
igual a:
(UFF) Na figura, o ponto R representa a localização,9.
à beira-mar, de uma usina que capta e trata o esgoto
de certa região. Com o objetivo de lançar o esgoto
tratado no ponto T, uma tubulação RQT deverá ser
construída.
800 m
2 km
Q R
cais
T
P
x
O ponto T situa-se a 800m do cais, em frente ao
ponto P, que dista 2km de R, conforme ilustração
acima.
O custo da tubulação usada no trajeto retilíneo
RQ, subterrâneo ao longo do cais, é de 100 reais
por quilômetro, e o custo da tubulação usada na
continuação QT, também retilínea, porém submarina,
é de 180 reais por quilômetro.
Sendo x a medida de PQ, a função f que expressa
o custo, em real, da tubulação RQT em termos de x,
em quilômetro, é dada por:
f(x) = 2 – x +a) 800 + x
f(x) = 200 – 100x + 180b) 0,64 + x2
f(x) =c) 0,64 + x2
+ x2
+ x
f(x) = 200 +d) 0,64 + x2
f(x) = 200 – 100x + 0,8xe) 2
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23. 19
EM_V_MAT_004
5a)
25b)
61c)
113d)
181e)
(UFF) Considere a função f definida por15.
4x , | x | < 4
f(x) = Pede-se:
x3
, | x | ≥ 4
f(0);a)
(fof) (–2);b)
o valor de m tal que f(m) = –125;c)
fd) –1
(1/4).
(UFMG) Nesta figura, está representado o gráfico da16.
função y = f(x), cujo domínio é o conjunto {x ∈ R: –6 ≤ x
≤ 6} e cuja imagem é o conjunto {y ∈ R: -2 ≤ y ≤ 3}:
y
x
1
3
2
4
6
0
-2
-3
-6
Sendo g(x) = f(x) +2 e h(x) = f(x +2),
1. Determine g(0) e h(0).
2. Esboce o gráfico de:
y = g(x)a)
y = h(x)b)
3. Determine os domínios das funções g e h.
(UFRN) Uma calculadora apresentava, em sua tela, o17.
resultado da soma dos gastos do mês realizados por
um pai “coruja” que permitiu a seu filho apertar algu-
mas teclas, alterando esse resultado. O pai observou
que o menino havia apertado as teclas , + ,
1 e , nessa ordem e uma única vez.
Para recuperar o resultado que estava na tela, o pai
deverá apertar as teclas
x2
a) , 1 , - e x2
.
x2
b) , - , 1 e x2
.
x2
c) , + , 1 e x2
.
x2
d) , 1 , + e x2
.
(UNIRIO) Sob pressão constante, conclui-se que18.
o volume V, em litros, de um gás e a temperatura T,
em graus Celsius, estão relacionados por meio da
equação:
V = Vo
+
Vo
273
T ,
onde Vo
denota o volume do gás a 0ºC. Assim, a
expressão que define a temperatura como função
do volume V é:
Vo
273
T = V – Voa)
V – Vo
273 Vo
T =b)
273V – Vo
Vo
T =c)
V – 273Vo
Vo
T =d)
V – Vo
Vo
T = 273e)
(ITA) Sejam f, g: R19. R definidas por f(x) = x3
e g(x) =
103⋅cos 5x
. Podemos afirmar que
f é injetora e par e g é ímpar.a)
g é sobrejetora e gof é par.b)
f é bijetora e gof é ímpar.c)
g é par e gof é ímpar.d)
f é ímpar e gof é par.e)
(UFF) Considere as retas20. r, s e t cujas equações são,
respectivamente, x/p + y = 1, x – py = p e 2x + 3y = 6,
com p ≠ 0.
Determine:
o valor dea) p para o qual r, s e t interceptam-se em
um único ponto M;
as coordenadas do ponto de interseção M.b)
(UFF) Com relação ao triângulo ABC sabe-se que:21.
o ponto A pertence ao eixo das abscissas;••
o ponto B pertence ao eixo das ordenadas;••
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24. 20
EM_V_MAT_004
a equação da reta que contém os pontos A e C é x +••
y + 5 = 0;
a equação da reta que contém os pontos B e C é 2x –••
y – 2 = 0.
Determine as coordenadas dos pontos A, B e C.
(UFF) Um motorista de táxi cobra, em cada corrida, o va-22.
lor fixo de R$3,20 mais R$0,80 por quilômetro rodado.
Indicando pora) x o número de quilômetros rodados
e por P o preço a pagar pela corrida, escreva a ex-
pressão que relaciona P com x.
Determine o número máximo de quilômetros roda-b)
dos para que, em uma corrida, o preço a ser pago
não ultrapasse R$120,00.
(UFF)Umrestaurantecobra,noalmoço,atéas16h,opreço23.
fixo de R$15,00 por pessoa. Após as 16 h, esse valor cai
paraR$12,00.Emdeterminadodia,50pessoasalmoçaram
no restaurante, sendo x o número de pessoas que almo-
çaram até as 16h. Sabendo que o custo de um almoço
é R$ 8,00 por pessoas e o lucro obtido pelo restaurante
naquelediafoimaiorqueR$250,00emenorqueR$300,00,
determine o menor e maior valor possível de x.
(UFF) Um reservatório, contendo inicialmente 400 litros24.
de água, começa a receber água a uma razão constante
de três litros por segundo, ao mesmo tempo que uma
torneira deixa escoar água desse reservatório a uma
razão, também constante, de um litro por segundo.
Considerando o instante inicial (t = 0) como o instante
em que o reservatório começou a receber água, de-
termine:
o volume de água no reservatório decorridos deza)
segundos (t = 10) a partir do instante inicial;
uma expressão para o volume (V), em litro, de águab)
no reservatório em função do tempo decorrido (t),
em segundo, a partir do instante inicial.
(UFRJ) Um videoclube propõe a seus clientes três25.
opções de pagamento:
Opção I: R$40,00 de taxa de adesão anual, maisa)
R$1,20 por DVD alugado.
Opção II: R$20,00 de taxa de adesão anual, maisb)
R$2,00 por DVD alugado.
Opção III: R$3,00 por DVD alugado, sem taxa dec)
adesão.
Um cliente escolheu a opção II e gastou R$56,00 no ano.
Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento
para o seu caso? Justifique a sua resposta.
(UFRJ) Maria faz hoje 44 anos e tem dado um duro26.
danado para sustentar suas três filhas: Marina, de 10
anos; Marisa, de 8 anos; e Mara, de 2 anos. Maria
decidiu que fará uma viagem ao Nordeste para visitar
seus pais, no dia do seu aniversário, quando sua idade
for igual à soma das idades de suas três filhas. Com que
idade Maria pretende fazer a viagem?
(UFF) A reta r contém o ponto P( −5, 0), tem coeficiente27.
angular negativo e forma, com os eixos coordenados,
um triângulo de área igual a 20. Determine a equação
de r.
(UFF) Um grande poluente produzido pela queima28.
de combustíveis fósseis é o SO2
(dióxido de enxofre).
Uma pesquisa realizada na Noruega e publicada na
revista “Science” em 1972 concluiu que o número (N)
de mortes por semana, causadas pela inalação de
SO2
, estava relacionado com a concentração média
(C), em mg/m3
, do SO2
conforme o gráfico abaixo: os
pontos (C, N) dessa relação estão sobre o segmento
de reta da figura.
C0 100 700
97
115
N
Combasenosdadosapresentados,arelaçãoentreNe
C (100 ≤ C ≤ 700) pode ser dada por:
N = 100 – 700Ca)
N = 94 + 0,03Cb)
N = 97 + 0,03Cc)
N = 115 – 94Cd)
N = 97 + 600Ce)
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25. 21
EM_V_MAT_004
B1.
A2.
C3.
C4.
x5. ∈ [0, 1] ∪ [3, 5]
–2, 0 e 5/26.
C7.
8.
f(-1) = 0 ea) f(0) = 1
2b)
Df = {x9. ∈ R x ≥ 3}
V, F, V, F, V10.
Dom f = (– 2, 1)11. ∪ (1, + ∞)
E12.
A13.
14.
0 ea) 3
3
8b)
15.
h(x) = –6x – 5a)
1 1x 1 x 2
f (x) e g (x)
3 2
− −− − −
= =b)
16.
1a)
–1b)
1c)
1d)
17.
2
2(x 1)
f(x)
x 2x 3
−
=
− −
a)
D(f) = {xb) ∈ R x < −1 ou x > 3}
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26. 22
EM_V_MAT_004
C18.
19.
xa)
1 x 1
f (x)
x 1
− +
=
−
b)
20.
Df = { xa) ∈ R x ≥ 1/2}
gb) –1
(x) = 1 –10x
B21.
Im (fogoh) = [ -3; +22. ∞ [
23.
(fog) (x) = xa) 2
S {x | x k , k Z}
2
π
= = + π ∈b)
A24.
B25.
C26.
D27.
28.
840a)
100 horas.b)
29.
18a)
5b)
12,5m.30.
24,26 bilhões de dólares.31.
D32.
B33.
R$34,00.34.
D35.
B36.
C37.
B38.
0,21.
Df = {x2. ∈ R –1 < x < 1}
D3.
4.
D(f) = R* e Im(f) = R −{3}a)
Gráfico.b)
y
x
0 2
–1
5.
D(f) = {xa) ∈ R −1 ≤ x < 0 ou 0 < x ≤ 1}
Demonstração.b)
Basta racionalizar a expressão de f.
2 2
2 2
( 1 x + 1 x ) 1 1 x
f(x)
x( 1 x ) ( 1 x )
+ − + −
= =
+ + −
6.
x, 1 x 0
0, 0 x 1
g(x)
2x 2, 1 x 2
2, 2 x 4
− − ≤ <
≤ <
=
− ≤ <
≤ ≤
a)
b) [0,2]
c)
1, 0 x 2
f(x)
x 1, 2 x 4
≤ <
− ≤ ≤
B7.
D8.
B9.
C10.
11.
101a)
–7/5b)
12.
bI)
aII)
–113.
B14.
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27. 23
EM_V_MAT_004
15.
0a)
–512b)
–5c)
1/16d)
(1.) g(0) = 2 e h(0) = −216.
(2.)
a)
x
g(x)
2 6-3
3
-6
5
b)
-8
-5
-2
X
h (x)
1
3
4
(3.)
D(g) = {x R: −6 ≤ x ≤6} e D(h) = {x R: −8 ≤ x ≤ 4}
B17.
E18.
E19.
20.
p = 3a)
(3, 0)b)
21.
A (–5, 0)
B (0, –2)
C (–1, –4)
22.
P = 3,20 +0,80xa)
146km.b)
O menor valor possível para x é 17 e o maior valor pos-23.
sível para x é 33.
24.
420 litros.a)
V(t) = 400 +2tb)
Não, a melhor opção seria a opção III.25.
56 anos.26.
y = (-8/5) x - 827.
B28.
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28. 24
EM_V_MAT_004
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