áLgebra i

A noção de conjunto.
Subconjunto.
Conjunto das partes.
Como representar.
Operações.
Propriedades.
Representações.
Relações.
Reta Numérica.
Plano Cartesiano.
Produto Cartesiano.
Conjuntos Numéricos.
1
Capítulo

1.1 A NOÇÃO DE CONJUNTO
 Qualquer agrupamento de elementos com exceção do
conjunto vazio.
 Ex: A=( )
 unitário: aquele que possui apenas um elemento.
 Ex: B=( 1 )
 finito: aquele que possui um número determinado de
elementos.
 Ex: C=( 1, 2, 3 )
 infinito: aquele que possui um número indeterminado de
elementos.
 Ex: D=conjunto dos números primos.

1.2 SUBCONJUNTO
 É um conjunto que está contido dentro de outro
conjunto.
 Ex: o conjunto B é um subconjunto do conjunto A.
1 2 5 3 4
A B

1.3 CONJUNTO DAS PARTES
 Se S é o conjunto de três elementos {1, 2, 3} a lista
completa de subconjuntos de S é:
• { } (o conjunto vazio);
• {1};
• {2};
• {3};
• {1, 2};
• {1, 3};
• {2, 3};
• {1, 2, 3};
 e portanto o conjunto de partes de S é o conjunto de 8
elementos:
 P(S) = {{ }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

1.4 COMO REPRESENTAR UM CONJUNTO
 Um conjunto pode ser representado por duas
formas:
 Por extensão- enumera-se seus elementos,
escrevendo-os entre chaves e separando-os por
vírgula.
 Ex: A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
 Por compreensão- o conjunto é apresentado por
meio de uma propriedade que caracteriza seus
elementos.
 Ex: A={xЄN|x<10}

1.5 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
 União de conjuntos: é o conjunto formado por
todos os elementos que pertencem aos conjuntos
envolvidos.
 Ex: A U B={x|x ЄA ou x Є B}
 Intersecção de conjuntos: é conjuntos formado
pelos elementos que são comuns aos conjuntos
envolvidos.
 Ex: A ∩ B={x|x ЄA e x Є B}
 Diferença de conjuntos: é o conjunto formado dos
elementos que pertencem um conjunto e a outro
não.
 Ex: A - B={x|x ЄA e x Є B}
3
4
1
2
1 2
3 4
3
4
2
4
1 3
4
2 3
4
1
4
+ =
=-
A
A
A
B
B
B
A-B
AUB
A ∩ B
=

1.6 CONJUNTOS NUMÉRICOS
 Conjunto dos números naturais(0+positivos);
 Ex: N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...}
 Conjunto dos números inteiros(N+negativos);
 Ex: Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
 Conjunto dos números racionais(Z+decimais);
 Ex: Q={...;0;0,1;0,2;0,3;0,4;0,5;0,6;0,7;0,8;0,9;1;...}
 Conjunto do números irracionais(raízes inexatas);
 Ex: I={..., 2, 3, …}
 Conjunto dos números reais(racionais+irracionais).
 Ex: R=Q U I

1.7 REPRESENTAÇÃO DOS CONJUNTOS
NUMÉRICOS
 Números Naturais= todos os números positivos.
 Ex: N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...}
 Números Inteiros=todos os números positivos e negativos.
 Ex: Z={...,-2,-1,0,+1,+2,...}
 Números Racionais=todos que podem ser representados em
forma de fração.
 Ex: Q={...;-1;-1,1;-1,2;-1,3;-1,4;...}
 Números Irracionais=todos que não podem ser frações.
 Ex: I={… , , 2, 3, 5,...}
 Números Reais=todos os números existentes.
 Ex: R={...,0,1,..., ,... , 2,...,2,3,...}

1.8 RELAÇÕES DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

NUMÉRICOS
 Efetuar operações dentro do conjunto dos números
naturais quer dizer que o resultando dessa operação
deve ser um número natural.
Veja: 3+ 20= 23 então, 23 N (23 pertence ao conjunto
dos números naturais).
 Do mesmo modo nas demais operações:
 Subtração 35 – 7 = 28 N
Multiplicação 8 * 5 = 45 N
Divisão 80 /10 = 8 N

NUMÉRICOS
 Com o tempo houve a necessidade de ampliar as
representações das quantidades, assim surgiu o conjunto
dos números inteiros, sendo o conjunto dos números
naturais mais seu oposto, que são os negativos.
Z = {… -3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3, …}
A adição com números inteiros: -80 + (-20)= -100 Z
subtração 90 - (15) = 75 Z
multiplicação (-8) *(6) = 48 Z
Divisão -70/10= -7 Z. Caso tivesse -70/4= 17,5 ∉ Z

NUMÉRICOS
 Estendendo os conjuntos numéricos temos os números
racionais, que são aqueles que podem ser
representados pela razão a/b, onde a Z e b Z.
Q = { ...-½, 0, ½ …}
Adição 0,5 + 0,5 = 1 Q
Subtração 4/3 – 2/3= 2/3 Q
Multiplicação 7/2 * 4= 14 Q
Divisão 30,5/1000= 0,0305 Q.
Por outro lado, √2 * 2 = 2,82... ∉ Q

NUMÉRICOS
 Já o Conjunto dos números Irracionais é formado por
aqueles números que não podem ser representados na
forma de fração, como : , √2, √3…
Veja as operações:
Adição √3 + √2 =3,146... I
Subtração √7 – = -0,494... I
Multiplicação *2= 6,26... I
Divisão / 3= 1,046... I.

NUMÉRICOS
 E, finalmente, o conjunto dos números Reais, que é o
agrupamento dos Racionais e Irracionais R= {Q + I},
como mostra o diagrama dos conjuntos.
 Adição dentro do conjunto dos números Reais, - ½ + ½ =
0 R
Subtração 3,16 – 1,12= 2,2 R
Multiplicação √2 * √2 = R
Divisão 1/7= 0,428... R


Definição.
Domínio.
Contradomínio.
Imagem.
Gráfico.
Composta.
Injetora, Bijetora e
Sobrejetora
Inversa.
2
Capítulo

2.1 DEFINIÇÃO
 Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma
relação f de A em B, essa relação f é uma função
de A em B quando a cada elemento x do conjunto A
está associando um e um só elemento y do
conjunto B.
 5
 6
 7
 8
 1
 2
 3
 4
A B

2.2 DOMÍNIO
 O conjunto A é denominado domínio da função,
que indicamos por D “conjunto de partida”.
 D={1, 2, 3, 4}
 5
 6
 7
 8
 1
 2
 3
 4
A B

2.3 CONTRADOMÍNIO
 O conjunto B é denominado contradomínio da
função, que indicamos por CD “conjunto de
chegada” formado por todos os elementos de B.
 CD={5, 6, 7, 8, 9}
 5
 6
 7
 8
 9
 1
 2
 3
 4
A B

2.4 IMAGEM
 O subconjunto de B é denominado imagem da
função, que indicamos por Im formado por todos os
elementos de B que estão ligados aos do A.
 Im={5, 6, 7, 8}
 5
 6
 7
 8
 9
 1
 2
 3
 4
A B Im

- - - -
- - - - - - - -
- - - - - - - - -
- - - - -
2.5 GRÁFICO
x Y=2x y
-2 Y=2.(-2) -4
-1 Y=2.(-1) -2
0 Y=2.(0) 0
1 Y=2.(1) 2
2 Y=2.(2) 4
4
2
0
-2
-4
-2 -1 1 2.
. .
.
.
.
.
. .
. .
. .

2.6 TIPOS
 Injetora: cada elemento da imagem está associado a
apenas um elemento do domínio.
 Sobrejetora: todos os elementos do contradomínio estão
associados a algum elemento do domínio.
 Bijetora: todos os elementos do domínio estão
associados a todos os elementos do contradomínio de
forma um par um e exclusivo.
A
• 1
• 2
A
B
• 1
• 2
• 1
• 2
A
B
C

2.7 COMPOSTA
 Considerando as funções f:A→B e g:B → C, temos que
a função compostas de g com f é a função g o f:A → C,
sendo (g o f) (x) = (g(f(x)).
x
y=f(x) g({f(x)}
f g o f
g
B
A
C

2.8 INVERSA
 Chama-se função inversa de f a função g:B→A quando e
somente quando f(m)=n equivaler a g(n)=m, quaisquer que
sejam mЄA e nЄB. Indicaremos por 𝒇−𝟏.
 Ex: f={(1,3);(2,4);(3,5)} 𝒇
−𝟏
={(3,1);(4,2);(5,3)}
 3
 4
 5
 1
 2
 3
 1
 2
 3
 3
 4
 5
B BA A

Introdução. Definição.
Gráfico.
Constante.
Linear.
Crescente.
Decrescente.
Zero da função.
Estudo do sinal.
Inequação do 1º grau.
3
Capítulo

3.1 INTRODUÇÃO
 Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função
afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei
da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais
dados e a0.
 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de
coeficiente de x e o número b é chamado termo
constante.

3.2 DEFINIÇÃO
 Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando
existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos
reais tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. A lei que
define função afim é:

3.3 GRÁFICO
 O gráfico de uma função afim é uma reta não
perpendicular ao eixo Ox.
 Domínio: D = R
Imagem: Im = R
 São casos particulares de função afim as funções
lineares e constante.

3.4 FUNÇÃO CONSTANTE
 Uma função definida por f: R→R chama-se constante
quando existe uma constante b R tal que f(x) = b para
todo x ∈ R. A lei que define uma função constante é:
 O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela
ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto
de ordenada b.

3.5 FUNÇÃO LINEAR
 Uma função definida por f: R→R chama-se linear quando
existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈
R. A lei que define uma função linear é a seguinte:
 O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular
ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano.
 Domínio: D = R
Imagem: Im = R

3.6 FUNÇÃO CRESCENTE
 Observe o gráfico da função y = 2x + 1 para o qual
foram escolhidos os valores 1 e 2 para x e encontrados
seus correspondentes y, que são iguais a 3 e 5:
Regra geral :a função do 1º grau
f(x) = ax + b é crescente quando o
coeficiente de x é positivo (a > 0);
•Justificativa :para a > 0: se x1 < x2, então
ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde
vem f(x1) < f(x2).

3.7 FUNÇÃO DECRESCENTE
 Observe agora o gráfico da função y = – x + 2 para o qual
foram escolhidos os valores 1 e 2 para x e encontrados
seus correspondentes y (1 e 0):
Regra geral : a função do 1º grau
f(x) = ax + b é decrescente quando o
coeficiente de x é negativo (a < 0);
•Justificativa : para a < 0: se x1 < x2, então
ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde
vem f(x1) > f(x2).

3.8 ZERO DA FUNÇÃO
 Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) =
ax + b, a0, o número real x tal que f(x) = 0.
 Temos:
f(x) = 0 ax + b = 0
 Vejamos alguns exemplos:
Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
f(x) = 0 2x - 5 = 0
Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2
 Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x +
10 corta o eixo das abcissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x)
= 0; então: h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5

3.9 ESTUDO DO SINAL
 Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os
valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para
os quais y é zero e os valores de x para os quais y é
negativo.
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos
estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra
raiz . Há dois casos possíveis:

3.9.1 ESTUDO DO SINAL: 1º CASO
a > 0 (a função é crescente)
 y > 0 → ax + b > 0 → x >
 y < 0 → ax + b < 0 → x <
 Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a
raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

3.9.2 ESTUDO DO SINAL: 2º CASO
a < 0 (a função é decrescente)
 y > 0 → ax + b > 0 → x <
 y < 0 → ax + b < 0 → x >
 Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a
raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.

3.10 INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
 Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão
do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
 ax + b > 0;
 ax + b < 0;
 ax + b ≥ 0;
 ax + b ≤ 0.
 Onde a, b são números reais com a ≠ 0.
 Exemplos:
 -2x + 7 > 0
 x - 10 ≤ 0
 2x + 5 ≤ 0
 12 - x < 0

Introdução.
Definição.
Zeros da função.
Gráfico.
Estudo do sinal.
Inequação do 2º
grau.
4
Capítulo

4.1 INTRODUÇÃO
 Em Matemática, uma função quadrática, um polinômio
quadrático, um polinômio de grau 2 º ou um polinômio de
segundo grau, é uma função polinomial de segundo grau.
 Essa função pode ter uma ou mais variáveis, porém este
artigo se limita ao estudo das funções quadráticas de
uma variável apenas.

4.2 DEFINIÇÃO
 Chama-se função quadrática, ou função polinomial do
2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da
forma f(x) = a𝑥2+ bx + c, onde a, b e c são números reais e
a 0.
 Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
 f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
 f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
 f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
 f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
 f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

4.3 ZEROS DA FUNÇÃO
 Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do
2º grau f(x) = a𝑥2
+ bx + c , a 0, os números reais x
tais que f(x) = 0.
 Então as raízes da função f(x) = a𝑥2+ bx + c são as
soluções da equação do 2º grau a𝑥2+ bx + c = 0,
as quais são dadas pela chamada fórmula de
Bháskara:

4.4 GRÁFICO
 O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y
= a𝑥2
+ bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
 Exemplo:
 Vamos construir o gráfico da função y = 𝑥2+ x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o
valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos
assim obtidos.

4.5 GRÁFICO
x y
-3 6
-2 2
-1 0
-1/2 -1/4
0 0
1 2
2 6

4.6.1 ESTUDO DO SINAL
 Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx +
c e determinemos os valores de x para os quais y é
negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
Conforme o sinal do discriminante Δ= b2 - 4ac, podemos
ocorrer os seguintes casos:
 1º caso - Δ> 0 Nesse caso a função quadrática admite
dois zeros reais distintos (x1≠ x2). a parábola intercepta o
eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado
nos gráficos abaixo:

 quando a > 0
 y > 0 ↔ (x < x1 ou x > x2)
 y < 0 ↔ x1 < x < x2

 quando a < 0
 y > 0 ↔ x1 < x < x2
 y < 0 ↔ (x < x1 ou x > x2)

 2º caso - Δ = 0
 quando a > 0


 quando a < 0

 3º caso - Δ < 0
 quando a > 0

 quando a < 0

4.7.1 INEQUAÇÃO DO 2º GRAU
 Uma inequação do 2° grau na incógnita x é uma expressão do
2° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
 ax² + bx + c > 0;
 ax² + bx + c < 0;
 ax² + bx + c ≥ 0;
 ax² + bx + c ≤ 0.
 Para resolvermos uma inequação do Segundo grau devemos
estudar o sinal da função correspondente equação.
 1. Igualar a sentença do 2° grau a zero;
 2. Localizar e (se existir) as raízes da equação no eixo x.
 3. Estudar o sinal da função correspondente, tendo-se como
possibilidades:

4.7.2 INEQUAÇÃO DO 2º GRAU
 a>0 a<0

Módulo.
Função modular.
Gráfico.
Equação modular.
Inequação modular.
5
Capítulo

5.1 MÓDULO
 Inicialmente definimos módulo de um número real
como |x| , ou valor absoluto de x.
 Entende-se módulo como:
 , assim o significado destas sentenças é:
 i) o módulo de um número real não negativo é o
próprio número.
 ii) o módulo de um número real negativo é o oposto
do número.

5.2 FUNÇÃO MODULAR
 Função Modular é aquela que associa a cada elemento x
real um elemento |x|
 Para que o conceito de função fique claro adotamos a
notação de uma função f(x) = |x|, como sendo:

5.3 GRÁFICO
 Sendo que o gráfico de f(x) = |x| é semelhante ao gráfico
de f(x) = x, sendo que a parte negativa do gráfico será
“refletida” sempre para um f(x) positivo.

5.4 EQUAÇÃO MODULAR
 Chamamos de equações modulares as equações em que
aparecem módulos de expressões que contêm incógnita.
 Exemplos de equações modulares:
 |x| = 7
 |x + 6| = x + 6
 |x – 3| + 4x = 7
 |x + 2| = 4

5.5 INEQUAÇÃO MODULAR
 Inequação modular é toda inequação cuja incógnita aparece em
módulo. Veja alguns exemplos:
 |x| > 6
 |x| ≤ 4
 |x + 3| > 7
 |4x + 1| ≥ 3
 Podemos utilizar as propriedades a seguir para resolver esse
tipo de inequação:
 |x| > a → x < – a ou x > a.
 |x| < a → – a < x < a.
 |x| ≤ a → – a ≤ x ≤ a.
 |x| ≥ a → x ≤ – a ou x ≥ a.
 |x – a| ≤ b → – b ≤ x – a ≤ b → a – b ≤ x ≤ a + b

Introdução.
Potenciação.
Função exponencial.
Gráfico.
Equação exponencial.
Inequação
exponencial.
6
Capítulo

6.1 INTRODUÇÃO
 Toda relação de dependência, em que uma incógnita
depende do valor da outra, é denominada função. A
função denominada como exponencial possui essa
relação de dependência e sua principal característica é
que a parte variável representada por x se encontra no
expoente. Observe:
 y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x

6.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL
 Dizemos que uma função é exponencial quando a
variável se encontra no expoente de um número real,
sendo que esse número precisa ser maior que zero e
diferente de um. Podemos explicitar tal condição usando
a seguinte definição geral:
 f: R→R tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

6.4 GRÁFICO
 Uma função pode ser representada através de um gráfico,
e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e
0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos
respeitando as condições propostas:

6.5 EQUAÇÃO EXPONENCIAL
 Equações exponenciais são aquelas em que a
incógnita se encontra no expoente de pelo menos uma
potência. A forma de resolução de uma equação
exponencial permite que as funções exponenciais sejam
também resolvidas de forma prática. Esse tipo de função
apresenta características individuais na análise de
fenômenos que crescem ou decrescem rapidamente.
 Exemplos de equações exponenciais:
10x = 100
2x + 12 = 20
9x = 81
5x+1 = 25

6.6 INEQUAÇÃO EXPONENCIAL
 Assim como as equações exponenciais, as inequações
exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no
expoente. Confira alguns exemplos:

Logaritmo. Função
logarítmica.
Gráfico.
Equação logarítmica.
Inequação
logarítmica.
7
Capítulo

7.2 FUNÇÃO LOGARITMICA
 Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax,
com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de
base a. Nesse tipo de função o domínio é representado
pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o
contradomínio, o conjunto dos reais.
 Exemplos de funções logarítmicas:
f(x) = log2x
f(x) = log3x
f(x) = log1/2x
f(x) = log10x
f(x) = log1/3x
f(x) = log4x
f(x) = log2(x – 1)
f(x) = log0,5x

7.3 GRÁFICO
 Para a construção do gráfico da função logarítmica
devemos estar atentos a duas situações, temos o gráfico
da seguinte forma:
 Função crescente Função decrescente
 a > 1 0 < a < 1,

7.4 EQUAÇÃO LOGARITMICA
 As equações logarítmicas são as equações em que
temos a incógnita presente no logaritmando ou na base
do logaritmando. A resolução é feita utilizando as regras
operatórias envolvendo logaritmos.

7.5 INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA
 As inequações logarítmicas são todas aquelas que
apresentam logaritmos. A incógnita, nesses casos, está no
logaritmando e/ou na base.
 Para resolver inequações logarítmicas, aplicamos as
propriedades operatórias dos logaritmos e os conceitos
tradicionais de resolução de inequações. Assim como
fazemos com as equações logarítmicas, é importante
verificar as condições de existência dos logaritmos (tanto
a base quanto o logaritmando devem ser maiores que
zero).

Introdução;
Razão;
Razões Especiais;
Proporção;
Propriedade Fundamental
da Proporção;
Grandezas Proporcionais;
Regra de Três Simples;
Regra de Três Composta.
8
Capítulo

8.1 INTRODUÇÃO
 A proporcionalidade, para a matemática, a química e
a física, é a mais simples e comum relação entre
grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito
matemático amplamente difundido na população leiga
pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra
de três". Quando existe proporcionalidade direta, a razão
(divisão) entre os correspondentes valores das duas
grandezas relacionadas é uma constante, e a esta
constante dá-se o nome de constante de
proporcionalidade.

8.2 RAZÃO
 Existem várias maneiras de comparar duas grandezas,
por exemplo quando se escreve A>B ou A<B ou ainda
A=B, estamos a comparar as grandezas A e B. Mas essa
comparação, muitas vezes, pouco nos diz. Daí o utilizar-
se, no dia a dia, a razão entre duas grandezas, isto é o
quociente entre essas grandezas.
 Por exemplo : a razão entre 6 e 3 é expressa por 6:3 ou
6/3 .
 Se eu pretendo comparar a e b determino a
razão a:b ou a/b, agora se eu disser que a razão entre
elas é 2, estou a afirmar que a é duas vezes maior que b.

8.3.1 RAZÕES ESPECIAIS
 Escala. Ao compararmos mapas com os lugares a serem
representados por eles, representamos as distâncias em escala
menor que a real. O conceito é dado pela seguinte razão:
 Escala = medida no mapa/medida real ; (ambos na mesma
unidade de medida).
 Exemplo: a escala da planta de um terreno na qual o
comprimento de 60 metros foi representado por um segmento
de 3 cm é:
 Primeiramente, transformamos os 60 m para centímetros, para
trabalharmos no mesmo sistema de unidades:
60 m=60⋅100 cm=6000 cm
 Portanto,
Escala= 3cm/6000cm=1/2000=1:2000

 Velocidade Média. É a razão entre a distância percorrida
e o tempo total de percurso. A velocidade média será
sempre acompanhada de uma unidade, que depende das
unidades escolhidas para calcular distância e tempo.
Alguns exemplos de unidades para a velocidade média
são km/h, m/s, cm/s etc.
 Velocidade média = distância percorrida/tempo total
de percurso

 Densidade. A densidade de um corpo é a razão entre a
sua massa e o seu volume. A densidade também será
sempre acompanhada de uma unidade, que depende das
unidades escolhidas para medir a massa e o volume.
Alguns exemplos de unidades para a densidades são
g/cm³, kg/m³ etc.
 Densidade = massa/volume=m/v

8.4 PROPORÇÃO
 Chamamos de proporção a igualdade de duas razões.
 a1/b1=a2/b2=k (também escrito por a1:b1 :: a2:b2),
 onde a1, a2, b1, b2 são números reais com b1 e b2
diferentes de zero. O número k é o que chamamos de
constante da proporção (Lê-se “a1 está para b1 assim
como a2 está para b2).
 O antecedente da primeira razão (a1) e o consequente
da segunda (b2) são chamados de extremos, enquanto o
consequente da primeira razão (b1) e o antecedente da
segunda razão (a2) são chamados de meios. Os nomes
são sugestivos quando consideramos a segunda forma de
expressar a proporção (a1:b1 :: a2:b2)

8.5 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA
PROPORÇÃO
 O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. O
que denotamos por:
 a/b=c/d⟺b.c=a.d
 Pela comutatividade do produto, podemos escrever a
mesma proporção de várias maneiras distintas:
 a/b=c/d⟺d/c=b/a⟺d/b=c/a⟺a/c=b/d , entre outras.

8.6 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
 Duas grandezas são diretamente proporcionais
quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um
número positivo, o valor da outra é multiplicado por esse
mesmo número positivo.
 Duas grandezas são inversamente proporcionais
quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um
número positivo, o valor da outra é dividido por esse
mesmo número positivo.

8.7.1 REGRA DE TRÊS SIMPLES
 Regra de três simples é um processo prático para resolver
problemas que envolvam quatro valores dos quais
conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar
um valor a partir dos três já conhecidos.
 Passos utilizados numa regra de três simples:
 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da
mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha
as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais.
 3º) Montar a proporção e resolver a equação.

8.7.2 REGRA DE TRÊS SIMPLES
 Exemplo: Uma moto percorre um trajeto em 48 minutos em uma
velocidade de 80km/h, se essa mesma moto reduzir a velocidade para
60km/h em quanto tempo ela fará o mesmo percurso?

8.8.1 REGRA DE TRÊS COMPOSTA
 Uma regra de três é classificada como composta quando
apresentar três ou mais grandezas. Vejamos quatro passos
utilizados numa regra de três composta:
 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas em
colunas e relacionando cada valor a sua respectiva
grandeza. Começaremos colocando os valores na última
linha da tabela e, em seguida, na linha acima.

8.8.2 REGRA DE TRÊS COMPOSTA
 2º) Isolar a grandeza cujo valor é desconhecido. As grandezas que não
forem destacadas serão relacionadas, uma de cada vez, com a
grandeza que foi destacada para determinar se estas duas são
diretamente ou inversamente proporcionais. Caso seja diretamente
proporcional, colocaremos um d sobre esta grandeza não destacada;
caso contrário, sendo inversamente proporcional, colocaremos uma
letra i sobre esta grandeza não destacada;
 3º) Montar a equação da seguinte maneira: o valor desconhecido da
grandeza destacada será igual ao valor conhecido da grandeza
destacada que multiplica as frações das grandezas não destacadas da
seguinte maneira: se a grandeza tiver a letra d acima, é só repetir a
fração e, caso contrário, tiver a letra i, inverte-se a fração.
 4º) Resolver a equação.

REFERENCIAS
 http://www.somatematica.com.br/
 http://educacao.globo.com/matematica/

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