1) O documento introduz conceitos básicos de matrizes, incluindo tipos especiais como matrizes quadradas, diagonais e identidade. 2) São definidas operações matriciais como adição, subtração e produto. A adição de matrizes segue propriedades como associatividade e comutatividade. 3) O produto de matrizes é definido como a soma dos produtos dos elementos de cada linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes de cada coluna da segunda.

1. MÓDULO II – PARTE 12 MATEMÁTICA
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INTRODUÇÃO À TEORIA DAS MATRIZES 2.5) Matriz Quadrada (de ordem n) : é toda matriz do tipo n x
n, isto é, é uma matriz que tem o nº de linhas igual ao nº de
1 - Noção de Matriz: colunas (m = n).
Dados dois números m e n naturais e não nulos,
chama-se matriz m por n (indica-se m x n) toda tabela M 2.5.1) Chama-se Diagonal principal de uma matriz
formada por números reais distribuídos em m linhas e n quadrada de ordem n o conjunto dos elementos que tem ( i
colunas. =j)
4 2  1 2.5.2) Chama-se Diagonal secundária de uma matriz
Ex6 3 é matriz 2 x 2. 0 é matriz 2 x 1 quadrada de ordem n o conjunto dos elementos que têm
    (i + j = n + 1)
5 6
4 0 é matriz 3 x 2
[ 3] é matriz 1 x 1
Ex:
  1 6
1 2 
  5 4 quadrada de ordem 2
 
2 - Matrizes especiais : Diag secundária Diag principal
2.1)Matriz Genérica: Uma matriz M do tipo m x n também
pode ser indicada por : M = (a ij) m x n onde i ∈ {1,2,3,...,m} e j 2.6) Matriz Diagonal: É toda matriz quadrada em que os
∈ {1,2,3,...,n}, onde i ( representa a posição da linha em que elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais
o elemento se encontra) e j (representa a posição da coluna a zeros.
em que o elemento se encontra).
Ex.
 a 11 a 12 ... a 1n  1 0 0 
a a 22 ... a 2 n  2 0 0 0 0  0 0
M =  21  0 1   0 0
 : : ... :    0 0 −2  
   
a m1 a m2 ... a mn  m x n
2.2) Matriz Linha: É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, é uma 2.7) Matriz Unidade ou IDENTIDADE: É toda matriz quadrada
matriz que tem uma unica linha. de ordem n (indica-se por In) em que os elementos da
[1 −3 0]1 x 3
diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais
Ex. a 0.
Ex
2.3) Matriz Coluna: É toda matriz do tipo m x 1, isto é, é uma
matriz que tem uma única coluna. 1 0 0
1 0
I 3 = 0 1 0
Ex
I2 =    
1 0 1
0 2x1 0 0 1
 
 
3 - Igualdade de Matrizes:
2.4) Matriz nula: é toda matriz que tem todos os elementos
iguais a zero.
Duas matrizes A = (a ij) m x n e B = (b ij) m x n são iguais
quando a ij = b ij para todo i ∈ {1,2,3,...,m} e j ∈ {1,2,3,...,n}.
0 0
  0 0
Ex. 0 0 0 0
 
0 0 3 x 2  2x2 4 2  4 2 
  A= 6 3 e B = 6 3 , A = B , pois os
   
elementos de mesmo índice são iguais a ij = b ij.
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OPERAÇÕES MATRICIAIS 1 2  2.1 2.2 2 4
Ex: 2
−1 0 = 2.( −1) 2.0 = −2 0
1 - ADIÇÃO:      
Duas matrizes A = (a ij)m x n e B = (b ij)m x n .Chama-se A
+ B a matriz C =(c ij)m x n tal que:  1 
− 2 . ( −1)  1
c ij = a ij + b ij −1   2
−  4  =  − .4  =
1 1  −2 
2   2   
4 2  +  3 1 = 4 + 3 2 + 1 7 3 0 
  0
6 3 2 1 6 + 2 3 + 1 = − .0 
Ex : 1
8 4  
 
         2
 

 1  −3  1 − 3  −2  Propriedades:
−2  +  1  =  −2 + 1 =  −1
        (i) a . (b . A) = (ab) . A
 0  −5  0 − 5 
       −5
 
(ii) a . (A + B) = a.A + a.B
2 1 1 impossível (iii) (a + b) . A = a.A + b.A
1 1 + 2 =
    (iv) 1. A = A
3 - PRODUTO DE MATRIZES:
Propriedades da Adição de Matrizes:
Duas matrizes A = (a ij)m x n e B = (b jk)n x p . Chama-se
(i) é associativa : (A + B) + C = A + (B + C) quaisquer que
produto AB a matriz C = (cik)m x p , tal que:
sejam A , B e C do tipo m x n;
c ik = a i1 . b 1k + a i2 . b 2k + ... + a in . b nk , ou seja
(ii) é comutativa : A + B = B + A quaisquer que sejam A e B, do
n
tipo m x n.
c ik = ∑ a ij . b jk
j=1
(iii) tem elemento neutro : ∃ M | A + M = A qualquer que
seja A do tipo m x n (no caso M seria a matriz nula (vide cap para todo i ∈ {1,2,...,m} e todo k ∈ {1,2,..., p}.
1)
Observações:
(iv) todo elemento tem simétrico: para todo A do tipo m x n:
(i) A definição dada garante a existência do produto AB
∃ A’ | A + A’ = M
somente se o número de colunas de A for igual ao número de
Definição : Dada a matriz A = (aij)m x n , chama-se oposta de
linhas de B.
(ii) A definição dada acima afirma também que o produto AB
A (indica-se –A) a matriz A’ tal que A + A’ = 0.
é uma matriz que tem o nº de linhas de A e o nº de colunas
Exemplo:
de B, pois C é do tipo m x p.
A= − 1 0 ; -A=  1 0
Exemplos:
2  − 2 3
 − 3
  
 3
Observação : Dadas as matrizes A= (aij)m x n e B= (bij)m x n .A Dadas as matrizes A = 1 2 3 e B = 2 
0 4 1  
diferença entre matrizes A e B (A-B) é efetuada através da    1
soma de A com a oposta de B. Mas a operação poderá ser  
feita diretamente com a subtração dos respectivos elementos
1.3 + 2.2 + 3.1 3 + 4 + 3 10
correspondentes. AB =  = =
. 
0.3 + 4.2 + 11  0 + 8 + 1
9
  2 x1
2 - MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR:
B3 x 1 . A 2 x 3 = é impossível. Logo AB≠BA
Seja A = (a ij)m x n uma matriz e α ∈ R (α é um escalar)
. Chama-se produto αA a matriz
B= (b ij)m x n tal que : Propriedades do Produto entre Matrizes :
(i) é associativa : (AB)C = A(BC) quaisquer que
bij = α . a ij sejam A = (a ij)m x n ,B = (b jk)n x p e C = (c ij)m x p .
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(ii) é distributiva à direita : (A + B)C = AC + BC 02) (UFRJ-99-PNE) - Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para
quaisquer que sejam A = (a ij)m x n ,B = (b jk)n x p e
tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no
C = (c ij)m x p
(iii) é distributiva à esquerda : C(A + B) = CA + CB domingo.
quaisquer que sejam A = (a ij)m x n ,B = (b jk)n x p e
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um
C = (c ij)m x p
(iv) (kA)B = A(kB) = k(AB) quaisquer que sejam A = consumiu e como a despesa foi dividida:
(a ij)m x n ,B = (b jk)n x p e k∈R.
4 1 4  5 5 3
4 - MATRIZ TRASPOSTA: S =  0 2 0 e D = 0 3 0
   
Seja A = (a ij)m x n uma matriz. Chamamos de 
 3 1 5
 
2 1 3

t t
trasponsta de A a matriz A = (a ji)n x m .
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.
1 4 3 Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou
1 3 1 2  
Ex: A = 4 1 2 0 A t =  3 1 −1

  para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e
1 2 1
 3 −1 1 5
    Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i,
2 0 5
coluna j de cada matriz).
5 - MATRIZ INVERSA:
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos
-1 -
que A é a matriz inversa da matriz A, se e somente se: A . A bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio ( primeira linha
1
= I, onde I é a matriz identidade. da matriz S).
2 0 −1
Ex: A= , A = ? a) Quem bebeu mais chope no fim de semana ?
0 2
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio ?
2 0  a b 1 0 2a 2 b  1 0
0 .
2  c  = 0 1 → 2c 2d  = 0 1, dai
   d      
1 
 0
−1 03) (AFA-98) Se os elementos da matriz A3x4 são definidos por
A = 2
1
0  aij = 2i - j, então, o elemento b23 da matriz
 2
-1 t
EXERCÍCIOS B = 2 A.A é
01) (UFRJ) - Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa
(A) 1
utilizando materiais diferentes. Considere a Matriz A = (a ij) a
seguir, onde a ij representa quantas unidades do material j (B) 7
serão empregadas para fabricar roupa do tipo i. (C) 10
(D) 13
5 0 2
A = 0 1 3
 
4 2 1 
 
Responda:
a) Quantas unidades do material 3 serão empregadas na
confecção de uma roupa do tipo 2 ?
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será
empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro do
tipo 2 e duas roupas do tipo 3:
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04) (UFRJ) As faculdades A e B oferecem somente cursos de 07) (UERJ-2008-2ªfase)
Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos
medicina e engenharia. A tabela a seguir apresenta as
Pan-americanos do Rio de Janeiro em 2007:
percentagens dos alunos que concluíram seus cursos em
1995, distribuídos segundo sua faculdade e curso:
Medicina Engenharia
Fac A 40% 60%
Fac B 30% 70%
Sabe-se que esses alunos estão atualmente empregados ou
desempregados, de acordo com os índices da tabela a seguir:
Empregado Desempregado Com base na tabela, é possível formar a matriz quadrada A
cujos elementos a ij representam o número de medalhas do
Medicina 70% 30%
tipo j que o país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao
Engenharia 20% 80% conjunto {1, 2, 3}.
A tabela abaixo deve apresentar as percentagens dos alunos Para fazer uma outra classificação desses países, são
que concluíram seus cursos em 1995, porém distribuídos por atribuídos às medalhas os seguintes valores:
– ouro: 3 pontos;
faculdade e situação ocupacional (empregado / – prata: 2 pontos;
desempregado): – bronze: 1 ponto.
 3
Empregado Desempregado  
Esses valores compõem a matriz V = 2
Fac A X Y  
Fac B Z W 1
 
Determine o valor de W. Determine, a partir do cálculo do produto AV, o número de
pontos totais obtidos pelos três países separadamente.
1 1 .
05) (UFRJ-99-PE) - Seja A=  0

0 0 0 0

0 1 08) É dada a matriz a 0 0 0 0 .
A = 0 a 0 0 0
3
a) Determine A = A . A . A
n  
b) Se A denota o produto de A por A n vezes, determine o 0 0 a 0 0
valor do número natural k tal que  
0 0 0 a 0
2
A 5K + A 6 = I
2 3 500
AK −
Calcular A + A + A + ... + A .
onde I é a matriz identidade.
09) (ITA-2000) - Sendo x um número real positivo, considere
06) (UFRJ-adptd) Considere as matrizes: as matrizes:
19941994 19941994  1 − 1  log x log1 / 3 x 2 1
A= e B= A =  1/ 3
 0

19941994 19941995


− 1 1   − log 3 x 1 
2 2
e
Seja A = A . A e B =B.B
 0 log1 / 3 x 2 
 
2 2
Logo a matriz C = A – B – (A + B).(A – B), é: B= 1 0 
 
 − 3 log1 / 3 x −4 
(A)  1 1  (B)  0 1  (C)  0 0 T
 − 1 − 1 − 1 0 − 1 − 1 A soma dos valores de x para os quais (AB) = (AB) é igual a:
     
(A) 25 / 3 (B) 28 / 3 (C) 32 / 3
(D)  19941994 19941995  (E) 1 0
− 19941994 − 19941995 0 1  (D) 27 / 2 (E) 25 / 2
   
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+ _ _ _
INTRODUÇÃO À DETERMINANTES + +
DETERMINANTE: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12
Determinante é uma função que associa matrizes det A =
quadradas a números reais segundo regras que discutiremos
a 21 a 22 a 23 a 21 a 22
no decorrer deste módulo. a 31 a 32 a 33 a 31 a 32
Determinante de uma Matriz de 1ª ordem
Toda matriz de ordem 1, possui apenas um Exemplos: _
elemento. Definimos como determinante de A o próprio + + + _ _
elemento:
Sendo A = [ a 11 ] 1 x 1 det A = 1 2 −3 1 2
0 1 −1 0 1
det A = | a 11 | = a 11
3 0 0 3 0
Sendo Assim: B = [ 4 ] e C = [ -3 ]
9 0 0 0 -6 0
det B = 4 e det C = -3
det A = 9 - 6 = 3
Determinante de uma Matriz de 2ª ordem
det A = 3
É o produto dos elementos da diagonal principal
menos o produto dos elementos da diagonal secundária., ou Teorema de Binet:
seja: _
+
det( A ⋅ B ) = det A ⋅ det B
a
A =  11
a 12  a a 12 
a 22 
det A =  11
a 22 
Principal consequência :
a 21  a 21  A ⋅ A−1 = I
det( A ⋅ A−1 ) = det I
troca o sinal mantém o sinal
det A ⋅ det A−1 = 1
det A = a 11 . a 22 - a 12 . a 21
1
_ det A−1 =
Exemplos: + det A
2 −1
A= 
SISTEMAS LINEARES
2 3 
Resolução de Sistemas Lineares por :
(-1) . 2 = -2 =2 2.3=6
1) ESCALONAMENTO:
det A = 6 + 2 = 8 >> det A = 8
x + y + z = 4

Ex :  x − y + z = 2
Determinante de uma Matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus) x − y − z = 0

- Repete-se as duas primeiras colunas.
- Fazemos o produto de três elementos fazendo Peguemos a matriz dos coeficientes das variáveis se parando-
retas paralelas à diagonal principal. as das soluções:
- Fazemos o produto de três elementos fazendo
retas paralelas à diagonal secundária.
- Somamos os resultados de cada produto.
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6. MÓDULO II – PARTE 12 MATEMÁTICA
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1 1 1 4  1 1 1 4
 L2=L2 - L1   L2=L2 /(-2) REGRA DE CRAMER:
1 −1 1 2   0 −2 0 −2 
1 −1 −1 0L3=L3 - L1
   0 −2 −2 −4 
  L3=L3 /(-2) x + y + z = 4

x − y + z = 2
x − y − z = 0
1 1 1 4 1 0 1 3 1 0 0 2  
 L1=L1 - L2 L1=L1 - L3 
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1  Determinante Principal: (D)
0 1 1 2L3=L3 - L20 0 1 1
    0 0 1 1 
  1 1 1
D = 1 −1 1 = 4
Portanto x=2 , y =1 e z=1 .. S = (2,1,1)
1 −1 −1
Determinantes Secundários (Dx , Dy , Dz)
Se encontrarmos: 4 1 1 1 4 1
D x = 2 −1 1 =8 Dy = 1 2 1 =4
- uma linha “inteira” de zeros
0 −1 −1 1 0 −1
O SISTEMA TEM INFINITAS SOLUÇÕES, LOGO É: 1 1 4
D z = 1 −1 2 = 4
POSSÍVEL E INDETERMINADO:
1 −1 0
 2x + y + z = 4 Dx Dy Dz
 x= , y= , z=
Ex  3 x − 4 y + z = 2 D D D
4 x + 2 y + 2 z = 8
 8 4 4
x= =2 y= = 1, z == =1
 2 1 1 4  2 1 1 4  2 1 1 4 4 4 4
      S = ( 2 ,1,1)
 3 − 4 1 2  3 − 4 1 2  3 − 4 1 2
4 2 2 8
   2 1 1 4
  0 0 0 0
  EXERCÍCIOS
S =∞
Se encontrarmos: 10) (UERJ-03-1ª fase) Observe a matriz a seguir.
- uma linha com COEFICIENTES iguais a zeros e “Resposta”
diferente de zero
O SISTEMA NÃO TEM SOLUÇÃO, LOGO É:
IMPOSSÍVEL:
Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte
resultado:
 2x + y + z = 4

Ex  3 x − 4 y + z = 2
2 3
(A) 1 (B) sen x (C) sen x (D) sen x
4 x + 2 y + 2 z = 2  1 3 0
 
11) Se o determinante da matriz A = log x
2
log x 2 é

2 1 1 4 2 1 1 4 2 1 1 4   log x 4 1
       
3 − 4 1 2 3 − 4 1 2 3 − 4 1 2  igual à 1, então o valor de x é:
4 2 2 2
  2 1 1 1 
  0 0 0 − 3
  (A) 10
0
(B) 10
1
(C) 10
2
9
(D) 10 (E) zero
S =∅
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7. MÓDULO II – PARTE 12 MATEMÁTICA
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12) (UFF – 01 –1ªF) Alessandra, Joana e Sônia vendem 16) (UNIRIO) - Considere a seqüência ordenada e crescente
saladas prontas, contendo porções de tomate, pimentão e dos números naturais primos (a11 , a21 , a12 , a22) que são,
repolho. respectivamente o segundo, o primeiro, o sexto e o quinto
A matriz M fornece o número de porções de tomate, pimentão elementos da referida seqüência, e a matriz A = (aij)2x2. O
e repolho usadas na composição das saladas: determinante de A é:
(A) 22 (B) 11 (C) 7
Tomate Pimentão Repolho
(D) 0 (E) -7
 T1 P1 R1 
Alessandra
  − 3 0
  17) (UFF-99) -Considere a matriz M =  4 5 . Os valores
M =  T2 P2 R2 
Joana
 
 
 T P3 R3 
Sônia de k que tornam nulo o determinante da matriz M - kI, sendo
 3 
I a matriz identidade são:
A matriz N fornece, em real, o custo das saladas:
(A) 0 e 4 (B) 4 e 5 (C) -3 e 5
Alessandra (D) -3 e 4 (E) 0 e 5
 Q1 
 
 
N =  Q 2  Joana 18) (UERJ-2011-2ª FASE) Considere a matriz A3 × 3 abaixo:

 Q  Sônia

 3
Sabendo-se que o determinante de M é não-nulo, obtém-
se a matriz que fornece, em real, o custo de cada porção
de tomate, pimentão e repolho, efetuando-se a operação:
Cada elemento desta matriz é expresso pela seguinte relação:
–1 –1
(A) MN (B) NM (C) MN
–1 –1
(D) M N (E) N M
Nessa relação, os arcos θ1, θ2 e θ3 são positivos e menores
0 2x 1 π
que rad
3
13) (Mack-SP)- Se 0 2
x
2 = 1 , então o valor de x é:
4 2x 3 Calcule o valor numérico do determinante da matriz A.
(A) -2 (B) -1 (C) 0 3x + 4y − z = 0

(D) 1 (E) 2 19)(EEAR-1/2) O sistema de equações 2x − y + 3z = 0
x + y = 0

14) (UFF-2000-específica) Numa progressão aritmética, de (A) não tem solução
1 (B) tem infinitas soluções
termo geral an e razão r, tem-se a1 = r = .
2 (C) tem apenas a solução trivial
(D) tem uma única solução não trivial
a 5a4 
Calcule o determinante da matriz a a  .
 4 12  20)(RURAL –97) A soma dos números, (x + y + z), que
satisfazem ao sistema é:
x y  x + 2 y − 3z = 29
15) (UFF) - Sendo = k , o valor da expressão (A) 0 
z w (B) 1  x + 3 y + 2z = 4
(C) 2  x − y − 2z = 8
x z z w y x 
− − é: (D) 3
y w x y w z (E) 4
(A) 3k (B) 2k (C) k (D) –k (E) -2k
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8. MÓDULO II – PARTE 12 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Matrizes e Sistemas Prof. Bruno Vianna
21)(EEAR-2001)– Na resolução da equação matricial 24) (UFF-2011-1ªF) A transmissão de mensagens codificadas
1 − 1 0  x  1  em tempos de conflitos militares é crucial. Um dos métodos
4 − 1 1 ⋅  y  = 2 , o valor de x + y + z é: de criptografia mais antigos consiste em permutar os
      símbolos das mensagens. Se os símbolos são números, uma
0 − 3 0   z  0 
      permutação pode ser efetuada usando-se multiplicações por
(A) –2 (B) 1 (C) –1 (D) 0 matrizes de permutação, que são matrizes quadradas que
satisfazem as seguintes condições:
22) (AFA-03) As quantidades dos produtos que Elaine, Pedro
e Carla compraram num mercado estão esquematizadas na · cada coluna possui um único elemento igual a 1 (um) e
tabela que segue todos os demais elementos são iguais a zero;
produto A produto B produto C · cada linha possui um único elemento igual a 1 (um) e todos
Elaine 1 2 3 os demais elementos são iguais a zero.
Pedro 3 6 2
Carla 2 4 1
0 1 0 
Sabendo-se que Pedro gastou R$ 21,00 e Carla R$ 13,00,  
Por exemplo, a matriz M = 0 0 1 permuta os
pode-se concluir, necessariamente, que  
1 0 0 
 
(A) Elaine gastou R$ 10,00.
(B) o preço do produto C é R$ 3,00. a 
(C) o preço do produto A é R$ 1,00.  
elementos da matriz coluna Q = b ,
(D) o preço do produto B é R$ 3,00.  
c 
 
23) (UFF-2010-1ªF) b 
 
transformando-a na matriz P = c pois P = M . Q .
 
a 
 
a 
Em computação gráfica, o sistema RGB identifica uma cor a  
Pode-se afirmar que a matriz que permuta b ,
partir de três números R, G e B que especificam,  
respectivamente, as quantidades de vermelho (Red), verde c 
 
(Green) e azul (Blue) que compõem a cor. Outro sistema de
identificação de cores é o NTSC (usado em TV). Nesse c 
sistema, uma cor também é definida por três números: Y
 
transformando-a em a , é:
(luminância), I (sinal em fase) e Q (quadratura). Os dois
 
b 
 
sistemas estão relacionados através da seguinte equação
matricial:
Y  0,299 0,587 0,114   R  0 0 1  1 0 0
 I  = 0,596 − 0,274 − 0,322 ⋅ G     
      (A) 1 0 0 (B) 0 0 1
   
Q   0,211 − 0,523 0,312   B 
      0 1 0 
  0 1 0 
 
Se 0 ≤ R ≤ 1 , 0 ≤ G ≤ 1 e 0 ≤ B ≤ 1 , então:
0 1 0  0 0 1 
(A) 0 ≤ Y ≤ 1 , 0 ≤ I ≤ 1 e 0 ≤ Q ≤ 1 
(C) 1 0 0
 
(D) 0 1 0

(B) 0 ≤ Y ≤ 1 , −0,596 ≤ I ≤ 0,596 e −0,523 ≤ Q ≤ 0,523    
(C) 0 ≤ Y ≤ 0,299 , 0 ≤ I ≤ 0,596 e 0 ≤ Q ≤ 0,211 0 0 1 
  1 0 0
 
(D) 0,114 ≤ Y ≤ 0,587 , −0,322 ≤ I ≤ 0,596 e −0,523 ≤ Q ≤ 1 0 0
0,312  
(E) 0 1 0
 
(E) 0,211 ≤ Y ≤ 0,596 , −0,523 ≤ I ≤ 0,587 e −0,322 ≤ Q ≤ 0 0 1 
 
0,312
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9. MÓDULO II – PARTE 12 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Matrizes e Sistemas Prof. Bruno Vianna
25) (UERJ-94) - Considere que na resolução do sistema
abaixo, onde cada equação representa um plano do espaço  −2 3 1  1   −2 3 1  2   98
cartesiano tridimensional, um aluno aplicou a regra de          
Crammer.  −1 2 1 ⋅  1  =  −1 2 1 .  2  =  98
         
 x + 2 y + 3z = 1  −2 3 1  97  −2 3 1  96  98

x + 2 y + 3z = 2
x + 2 y + 3z = 4 Id Ota pensou então em alterar o coeficiente central
 da matriz , a22 , igual a 2, para um outro valor k.
RESOLUÇÃO DO ALUNO
Determine, se possível, os valores de k que fazem o
1 2 3 1 2 3 código funcionar bem.
D=1 2 3 = 0; Dx = 2 2 3 = 0; 27) (UNICAMP - 2002) Considere o sistema linear abaixo, no
1 2 3 4 2 3 qual a é um parâmetro real:
1 1 3 1 2 1  ax + y + z = 1

Dy = 1 2 3 = 0; Dz = 1 2 2 = 0;  x + ay + z = 2
 x + y + az = −3
1 4 3 1 2 4 
Dx 0 Dy 0 Dz 0
x= = y= = z= = a) Mostre que para a = 1 o sistema é impossível.
D 0 D 0 D 0
b) Encontre os valores do parâmetro a para os quais o
Conclusão: Sistema POSSÍVEL e INDETERMINADO. sistema tem solução única.
A conclusão do aluno está errada. A regra de Cramer pode,
na discussão de sistemas, levar a falsas conclusões. Esse Gabaritos
sistemas por exemplo, é impossível pois os 3 planos são:
01) a) 3 b) 33 02) a) Cláudio b) 2 chopes 03) D
(A) paralelos disdintos
(B) paralelos, sendo apenas dois coincidentes
04) 65% 05) a) A3 = 1 3 b) k =2 ou k =3
(C) dois paralelos distintos e o terceiro oblíquo a eles  
0 1
(D) dois paralelos distintos e o terceiro perpendicular a eles
(E) secante dois a dois, determinando três retas paralelas
06) B 07) EUA = 519 Cuba = 288 e Brasil = 309
distintas.
0 0 0 0 0
 
26) (UFRJ-98-PE)- O agente Id Ota inventou o seguinte código 08)  a 0 0 0 0
a2 a 0 0 0
secreto para a transmissão de datas de certos fatos  3 
a a2 a 0 0
importantes: o código transforma uma data d - m - a, onde d a4
é o dia, m é o mês e a representa os dois últimos algarismos  a3 a2 a 0

do ano, em uma nova tripla de números 09) B 10) D 11) D 12) D
d’ - m’ - a’, de acordo com a regra
13) A 14) 11 15) A 16) C
 −2 3 1  d   d ′ 
      17) C 18) 0 19) B 20) A
 −1 2 1 ⋅  m =  m ′
      21) C 22) B 23) B 24) A
 −2 3 1  a   a ′ 
25) A 26) K < -27 ou K > 33
O código revelou-se um desastre. De fato, várias
datas originais distintas (d,m,a) correspondem a um mesmo 27) a) Dem b) a ≠ 1 e a ≠ -2.
código transmitido (d’,m’,a’).
Por exemplo, as datas 1/1/97 e 2/2/96
correspondem ao mesmo código 98-98-98, pois:
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10. MÓDULO II – PARTE 12 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Matrizes e Sistemas Prof. Bruno Vianna
Resolução de algumas questões Questão 27)
A- Sendo a = 1, o sistema fica:
Questão 07)
(-1)
 x + y + z =1 x + y + z = 1
 + 
 x+ y+z =2 + ∴ 0 =1
 x + y + z = −3  0 = −4
 
que é impossível.
B- Para que o sistema tenha solução única, devemos ter
a 1 1
1 a 1 ≠ 0 ∴ a 3 + 2 − 3a ≠ 0
Questão 18) 1 1 a
∴ a - a + a - 3a + 2 ≠ 0 ∴ a (a - 1) + (a - 2)(a - 1) ≠ 0
3 2 2 2
∴ (a - 1) ⋅( a + a - 2) ≠ 0
2
a - 1 ≠ 0 ∴a ≠ 1
e
a + a - 2 ≠ 0 ∴ a ≠ 1 e a ≠ -2
2
Resposta: a ≠ 1 e a ≠ -2.
Questão 26)
O determinante da matriz usada é nulo, o que explica o desastre.
Se (d,m,a) e (d1,m1,a1) são duas datas distintas transformadas
no mesmo código, temos:
ou
para algum n Z - {0}
Temos as seguintes restrições:
Basta analisarmos n=1, pois este valor determinará os maiores
intervalos para K.
É fácil ver que se o código não funciona.
Logo devemos ter K < -27 ou K > 33.
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