Este documento apresenta conceitos matemáticos relacionados a matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda definições e exemplos de matrizes, operações com matrizes, matriz inversa e sistemas lineares na forma matricial. O objetivo é reforçar esses conteúdos e introduzir seus conceitos por meio de atividades envolvendo problemas, cálculos e uso de softwares.

1. MATRIZES,
DETERMINANTES
E
SISTEMAS LINEARES
Elaborado Por:
Cris tiano De Angelis

2. Introdução
Este trabalho tem como objetivos, reforçar conteúdos e introduzir
conceitos matemáticos, através de Matrizes, Determinantes e
Sistemas Lineares. É possível desenvolver atividades que envolvam,
problemas, cálculos, algoritmos, combinatória, trigonometria,
logaritmo, e uso de softwares.
Sem dúvida, cabe ao ensino de matemática o desenvolvimento
do raciocínio e nesse sentido matrizes, determinantes e sistemas
lineares são interessantes para serem trabalhados, utilizando se
possível material de apoio.
Este trabalho está estruturado de tal forma que a parte teórica e
os exercícios visam a exploração deste conteúdo. Num segundo
momento, passamos a exercícios mais específicos, ligados a este
conteúdo matemático como forma de exemplificar o uso do
software como recurso didático.

3. 1. Matrizes
Matriz é um conjunto com elementos dispostos em linhas e
colunas.
Exemplo:
 0 3 − 2 1a linha
A = 3 6 4 1a linha B= − 5 4 3 
2a linha
4 3 5  
  2a linha  0 −1 7 
  3a linha
1a coluna 1a coluna
2a coluna 2a coluna
3a coluna 3a coluna

4.  A indicação do número de linhas e colunas é chamada de
ordem da matriz. Nos exemplos, A tem ordem (2X3) e B tem
ordem (3X3), ou, simplesmente 3. Matriz quadrada é toda
matriz que tem igual número de linhas e colunas (ordem n).
 O elemento que está na linha i e coluna j é representado
por aij. Desta forma, uma matriz genérica de ordem m x n é
representada por:
 a11 a12 a13 ... a1m 
a 21 a 22 a 23 ... a 2m
A =  ...
 ...


 
 an1 an2 an3 ... anm 

5. 1.1 Matrizes Com Denominações
Especiais
Matriz Linha
Matriz Coluna
Matriz Quadrada
* Diagonal principal de uma matriz quadrada
* Diagonal secundária de uma matriz quadrada
Matriz Nula
Matriz Diagonal
Matriz Identidade ou Unidade
Matriz Transposta
Matriz Simétrica
Matriz Oposta
Matriz Escalar

6. Exercícios
1. Determinar a soma dos elementos da diagonal principal da matriz de ordem 3
definida por aij = i + j.
2. A transposta de uma matriz A= (aij) é a matriz AT = (bij), tal que as linhas de uma
são as colunas de outra. Se A tem ordem nxm, então At tem ordem mxn e bij =
aji, para todo i e todo j. Determinar a matriz transposta da matriz de ordem 2x3
definida por aij = i-j.
3. Matriz identidade é toda matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal
são iguais a 1e os demais iguais a zero. Quantos zeros tem uma matriz
identidade de ordem n?
4. Seja A de ordem 15x20 definida por aij = i - j + 10. Determinar o elemento b98 de
AT.

7. 1.2 Igualdade De Matrizes
Duas matrizes de mesma ordem são iguais, se, e
somente se, os elementos que ocupam a mesma posição
são iguais.
SÓ EXISTE IGUALDADE DE MATRIZES QUE POSSUEM A MESMA
ORDEM.
Exemplo:
a) Estas matrizes, A e B:
 2 8 2 y 
A =  x 4 B = 1 4 
   
serão iguais se, e somente se: x = 1 e y = 8
b)
 x y  7 − 2 x = 7 y = −2
⇔
m n  =  4 − 5
    m = 4 n = −5

8. 2. Operações Com Matrizes
Vamos apresentar as operações básicas com matrizes através de
exemplos: 1 − 2   0 − 2  1 1 0
A=  0 1 

B=  1 1 

C =  − 1 0 2
1 − 2  0 − 4  1 2
a) A - 2.B = 0 1 
  - 2
 2 =

 − 2 − 1
 
1 − 2   1 1 0 1 + 2 1 + 0 0 − 4  3 1 − 4
b) A . C = 0 1 
 
.  − 1 0 2
 
=  0 − 1 0 + 0 0 + 2
 
= − 1 0 2 
 
1 − 2   0 − 2  0 − 2 − 2 − 2 − 2 − 4
c) A . B = 0 1 
  . 1 1 
  = 0+1 0+ 1 
 
= 1
 1 


9.  0 − 2 1 − 2  0 − 0 0 − 2  0 − 2
d) B . A = 1 1 
 
. 0 1 
 
= 1 + 0 − 2 + 1 = 1
 − 1

 
1 − 2  1 0 1 − 0 0 − 2 1 − 2
e) A . I = 0 1 
 
. 
0 1

= 0 + 0 0 + 1
  = 0 1 
 
 A.I = A, para qualquer matriz A (I é o 1 das matrizes).
 Em geral A.B ≠B.A (não comutativa).
 Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B+C)=A.B + A.C
(distributiva).
 Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B.C)=(A.B).C
(associativa).

10. Exercícios
1. Numa turma, os graus que seis alunos receberam em três provas bimestrais são
dadas pela seguinte matriz A:
0 7 8 
7 8 0 
 
7 0 8 
 
6 6 6 

10 4 0 
 
0 4 10
2
 
A matriz B informa o peso de cada uma das provas: 2, 3 e 5 nesta ordem. B = 3
5 
 
Use as matrizes A e B para calcular as notas finais dos alunos e analise os graus
dos aprovados e dos reprovados, sabendo que é necessário 60 pontos para
aprovação.

11. 2. Uma micro-empresa, em abril teve a seguinte matriz custo,
Aluguel, água,
[ 500 ]
Salário luz,etc matéria prima distribuição
A= 1000 1100 300
Em maio houve vários aumentos, colocados na matriz B,
[
B = 1,12 1,02 1,05 1,10 ]
Utilize A e B para calcular o custo total do mês de maio. Muitos empresários
repassaram os 12% de aumento do salário mínimo para o preço do produto final,
alegando que o custo aumentou 12%.

12. 3. A matriz C fornece, em reais, o custo das porções arroz, carne e salada usados
num restaurante:
1 arroz
 
C = 3 carne
2
 
salada
A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na
composição dos pratos tipo P1, P2, P3 deste restaurante:
2 1 1 Prato P1
 
P = 1 2 1 Prato P2
2 1 0
  Prato P3
A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P 1, P2, P3 é:
7  4 9 2  2
         
(A) 9  (B) 4 (C) 11 (D) 6 (E) 2
8 
  4
  4
  8 
  4
 

13. 4. A matriz A = [aij]5x5, com i, j ∈ {1, 2, 3, 4 , 5}, revela um caminho ligando
alguns pontos do desenho, onde aij = 1 significa: “existe uma ligação entre Pi e Pj ”
e aij = 0 significa: “não existe uma ligação entre Pi e Pj ”.
0 0 1 0 0 P2
0 0 0 1 0
 
A= 1 0 0 0 1 P1
  P3
0 1 0 0 1
0
 0 1 1 0
 P5
P4
Saindo de P1, sem repetir trechos, qual o ponto final do caminho?
(A) P1
(B) P2
(C) P3
(D) P4
(E) P5

14. 3. Matriz Inversa
A inversa de uma matriz A, quando existir, é a matriz
−1 −1
representada por A tal que : A ⋅ A = I
Exemplo:
6 1  −1  1 −1
A = 5 1 tem A =  como inversa, pois
   −5 6 

6 1  1 − 1 6 − 5 − 6 + 6 1 0
5 1 . − 5 6  = 5 − 5 − 5 + 6 = 0 1
       

15. 4. Determinantes e Sistemas
Lineares
4.1 Sistema De Equações Na Forma Matricial
Um sistema de equações do primeiro grau pode ser posto na
forma matricial.
Exemplo:
 x + 2 y + 3z = 1 
Dado o sistema 4 x + 7 y + 8z = 2 ,
 
− x + y +
 = 3

podemos colocá-lo na forma:
 1 2 3  x  1
 4 7 8 .  y  = 2 , ou seja, A . X = B.
     
− 1 1 0   z 
    3 
 
A X B
A matriz A é chamada de MATRIZ PRINCIPAL, a X de MATRIZ DAS
INCÓGNITAS e a B de MATRIZ DOS TERMOS INDEPENDENTES.

16. 4.2 Determinante De Uma Matriz De Ordem 2
 Sistema genérico de duas equações e duas incógnitas:
 ax + by = c
 dx + ey = f

aex + bey = ce adx + bdy = cd
− dbx − bey = − bf − adx − aey = − af
( ae − bd ) x = ce − bf ( bd − ae ) y = cd − af
x = ce − bf y = cd − af (* -1) = − ad + af
ae − bd bd − ae − bd + ae
y = af − bd
ae − bd
Assim temos:
ce − bf af − cd
x= e y= ae − bd
ae − bd

17.  Observamos que denominadores são iguais nas duas
expressões, sendo formados pelos elementos da matriz principal
do sistema. Se forem nulos, não poderemos determinar a solução
(divisão por zero).
 Desta forma, é este denominador que determina a existência e
a unicidade da solução. Como poderíamos chamar algo que
determina?

18. Vamos definir e representar o determinante da matriz  a b
d e 
 
por
a b
= det (A) = ae - bd
d e
Determinante de uma matriz de ordem 2 é o produto dos
elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos
da diagonal secundária.

19. 4.3 Resolução De Um Sistema 2x2 Por Determinantes
 Nas expressões encontradas para x e y observamos que os
numeradores são também determinantes. Na primeira, a matriz
utilizada teve a primeira coluna substituída pela matriz B. Na
segunda expressão, foi substituída a segunda coluna.
 ax + by = c  a b  x  c
Exemplo:  →  d e *  y =  f 
 dx + ey = f      
ce − bf af − cd
x= e y=
ae − bd ae − bd

20. Chamando ∆ = det (A) = ae - bd,
c b a c
∆x = = ce − bf e ∆ y= = af − cd , temos:
f e d f
∆x ∆y
x= e y=
∆ ∆
 Esta regra, válida apenas se ∆ ≠ 0 , é chamada de REGRA DE
CRAMMER.

21. 4.4 Discussão de Um Sistema 2x2
 Um sistema pode ser de três tipos:
DETERMINADO: possui uma única solução.
INDETERMINADO: possui mais de uma solução.
IMPOSSÍVEL: não possui solução.
x = 1 e y = 1 é o único par de soluções: Determinado.
x = 1 e y = 1,
x=2 e y=0e
x = 0 e y = 2 são algumas das infinitas soluções: Indeterminado.
não tem solução: Impossível.

22.  Podemos classificar um sistema analisando os determinantes.
A regra de Crammer, ainda que válida apenas caso ∆ ≠ 0 , nos
induz à discussão do sistema.
Vamos, por exemplo, considerar que:
0
existe e é único
2
2
0 não está definido
0
0 tem infinitas respostas
Assim, temos:
∆ ≠ 0 Determinado
 ∆x = ∆y = 0 Indeterminado

∆ = 0 e
 ∆x ≠ 0 ou ∆y ≠ 0
 Impossível

23. 4.5 Determinantes De Ordem n
 Vimos a origem e o cálculo de um determinante de ordem 2.
Este foi útil na resolução e discussão de um sistema de ordem 2,
bem como na identificação de matrizes inversíveis de ordem 2. De
forma análoga, podemos obter determinantes de ordens
superiores a 2.
a) Determinante De Ordem 3:
 a11 a12 a13 
 a 21 a 22 a 23
Dada a matriz A=   , temos:
 a31 a32 a33
 
det(A)= a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a21 . a32 . a13
-a13 . a22 . a31 - a12 . a21 . a33 - a23 . a32 . a11
* No sentido da
1 −2 3
Exemplo: 0 -4 - 4 + 0 diagonal secundária
1
 4  = - 24 - 0 - 1 = -33 troca-se o sinal.
2
 1 −1


24.  No cálculo do det(A) observamos o seguinte:
* Usamos 6 parcelas (fatorial de 3).
* Cada parcela é o produto de 3 elementos da matriz.
* Em cada produto há um e somente um elemento de cada linha e
coluna.
* A metade das parcelas tem o sinal trocado.

25. b) Determinate De Ordem n:
Com base no que foi observado no cálculo do determinante de
ordem 3, temos que o determinante de uma matriz de ordem n é:
* A soma de n! parcelas.
* Cada parcela é o produto de n elementos da matriz.
* em cada produto há um e somente um elemento de cada linha e
coluna.
* A metade das parcelas tem o sinal trocado.
 Vamos calcular o determinante através do baixamento de
ordem. Desta forma determinantes de ordem superior a 3 são
expressos em função de determinantes de ordem 3 e, então,
calculados. Inicialmente, definimos co-fator cij de um elemento
aij da matriz A:

26. cij é o produto de ( − 1 ) pelo determinante da matriz obtida
i+ j
da A
eliminando-se a linha i e a coluna j.
Para se obter o baixamento de ordem procede-se da seguinte forma:
(1) Escolhe-se qualquer linha ou coluna da matriz.
(2) Multiplica-se cada elemento da linha ou coluna escolhida pelo seu
co-fator.
(3) Soma-se todos os produtos obtidos.

27. 4.6 Propriedades Dos Determinantes
 As propriedades dos determinantes são decorrentes da
definição de determinante.
 As propriedades abaixo são enunciadas para as linhas de uma
matriz quadrada A.
 Contudo, são válidas também para as colunas.
(1) Se A tem uma linha nula, então det(A) =0
(2) Permutando-se duas linhas de A, det(A) inverte o sinal.
(3) Se A tem duas linhas iguais, então det(A) =0
(4) Se A tem duas linhas múltiplas, então det(A) =0
(5) det(A.B) = det(A).det(B)
(6) Multiplicando uma linha de A por k real, det(A) fica multiplicado por k.
(7) Se Li e Lj são linhas de A e k é real, temos:
substituindo Li por Li + k.Lj, det (A) não se altera.

28. Exemplo:
a b c a+3 b+3 c+3
Sabendo que 1 1 1 = 2, calcular 1 1 3
1 2 3 2 2 2
 Substituindo a primeira linha pela segunda multiplicada por
uma constante (3) somada com a primeira linha.
a+3 b+3 c+3
1 1 1
1 2 3
a+3 b+3 c+3
 Tocar a segunda linha pela terceira. 1 2 3
1 1 1
a+3 b+3 c+3
 Multiplicar a terceira linha por uma constante (2). 1 2 3
2 2 2
Determinante = 2 . (-1) . 2 = -4

29. 4.7 Cálculo Da Inversa De Uma Matriz De Ordem 2
 Podemos calcular a inversa de uma matriz A de ordem 2 da
seguinte forma:
(1) Elementos da diagonal principal: trocar de posição.
(2) Elementos da diagonal secundária: trocar de sinal.
(3) Dividir todos os elementos por det(A).

30. Resolução De Exercícios Com
Auxílio de Software

31. Conclusão
O nosso objetivo com este trabalho, foi obter informações mais
detalhadas a respeito de Matrizes, Determinantes e Sistemas
Lineares.
O desafio no qual a dupla se propôs foi descobrir outras formas
de apresentar este conteúdo, apresentando também o uso de
software para que de alguma forma possa facilitar a compreensão,
descobrindo novas possibilidades de uso do material numa
aplicação à sala de aula.
Foi válida essa experiência, pois podemos perceber, a
importância do conteúdo e do “material concreto” no ensino da
matemática, principalmente, pelo estímulo que ele traz, pois não
desejamos que a matemática de hoje se torne monótona e repetitiva.

32. Referências Bibliográficas
BACCARO, Nelson. e CYRINO, Hélio. Matemática. segundo grau, volume
2, editora Ática, 6a edição, p. 96 a 152.
GENTIL, Nelson. e outros. Matemática para o 2o. grau. volume 2, editora
Ática, 277 exercícios resolvidos e 754 exercícios propostos, p. 139 a
208.
MÓTTOLA, Paulo R. de Carvalho. Móttola Matemática pra o vestibular.
2a edição, p. 109 a 126.
TEXEIRA, José Carlos. e outros. Matemática - Matrizes - Determinantes -
Sistemas Lineares. livro 15, sistema anglo de ensino, Anglo
Vestibulares, p. 1 a 86.