Este documento apresenta conceitos matemáticos relacionados a matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda definições e exemplos de matrizes, operações com matrizes, matriz inversa e sistemas lineares na forma matricial. O objetivo é reforçar esses conteúdos e introduzir seus conceitos por meio de atividades envolvendo problemas, cálculos e uso de softwares.
1) As matrizes surgiram na China antiga e o termo "matriz" foi introduzido por Sylvester em 1850.
2) Matrizes são usadas em imagens digitais e planilhas.
3) Uma matriz pode ser representada de três formas: colchetes, parênteses ou barra dupla.
Este documento discute operações com matrizes, incluindo adição, subtração e multiplicação por um número real. Ele fornece exemplos dessas operações e explica que as matrizes devem ser iguais em tamanho para serem somadas ou subtraídas. O documento também cobre resolução de equações matriciais igualando termos correspondentes para determinar valores desconhecidos.
O documento explica como identificar diferentes partes de uma matriz, incluindo as diagonais principal e secundária, números acima e abaixo da diagonal principal, e números nos lados esquerdo e direito entre as diagonais, usando uma matriz 5x5 como exemplo. Regras como linha igual a coluna são usadas para identificar a diagonal principal, enquanto a soma da linha e coluna igual a 6 identifica a diagonal secundária.
A matriz apresentada mostra as notas de três alunos, Ana, Carlos e Pedro, em Matemática nos anos de 2006 e 2007. Cada elemento da matriz representa a nota de um aluno em um determinado ano.
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que representa elementos ordenados.
2) Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais, nulas e transpostas.
3) Podemos realizar operações com matrizes como soma, subtração e multiplicação seguindo regras de ordem das linhas e colunas.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, tipos, operações e exemplos. Resume os principais conceitos de matrizes como tabelas com linhas e colunas para organizar dados, indicando elementos individuais e realizando operações como soma, subtração e multiplicação.
O documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo sua origem na China antiga, o desenvolvimento da álgebra de matrizes no século XIX e suas aplicações atuais na computação, mecânica, eletrônica e planilhas eletrônicas.
1) As matrizes surgiram na China antiga e o termo "matriz" foi introduzido por Sylvester em 1850.
2) Matrizes são usadas em imagens digitais e planilhas.
3) Uma matriz pode ser representada de três formas: colchetes, parênteses ou barra dupla.
Este documento discute operações com matrizes, incluindo adição, subtração e multiplicação por um número real. Ele fornece exemplos dessas operações e explica que as matrizes devem ser iguais em tamanho para serem somadas ou subtraídas. O documento também cobre resolução de equações matriciais igualando termos correspondentes para determinar valores desconhecidos.
O documento explica como identificar diferentes partes de uma matriz, incluindo as diagonais principal e secundária, números acima e abaixo da diagonal principal, e números nos lados esquerdo e direito entre as diagonais, usando uma matriz 5x5 como exemplo. Regras como linha igual a coluna são usadas para identificar a diagonal principal, enquanto a soma da linha e coluna igual a 6 identifica a diagonal secundária.
A matriz apresentada mostra as notas de três alunos, Ana, Carlos e Pedro, em Matemática nos anos de 2006 e 2007. Cada elemento da matriz representa a nota de um aluno em um determinado ano.
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que representa elementos ordenados.
2) Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais, nulas e transpostas.
3) Podemos realizar operações com matrizes como soma, subtração e multiplicação seguindo regras de ordem das linhas e colunas.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, tipos, operações e exemplos. Resume os principais conceitos de matrizes como tabelas com linhas e colunas para organizar dados, indicando elementos individuais e realizando operações como soma, subtração e multiplicação.
O documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo sua origem na China antiga, o desenvolvimento da álgebra de matrizes no século XIX e suas aplicações atuais na computação, mecânica, eletrônica e planilhas eletrônicas.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação, igualdade, tipos, operações e leis de formação. São descritas matrizes quadradas e retangulares, transpostas, nulas e identidade. São explicadas as operações de adição, subtração e multiplicação entre matrizes.
O documento apresenta exercícios sobre operações com matrizes, incluindo produto, inversa, determinantes, matrizes simétricas e anti-simétricas. As respostas são fornecidas no final, resolvendo cada exercício proposto.
O documento apresenta informações sobre a produção de guarda-roupas e uso de fechaduras em uma fábrica durante o mês de outubro de 2005. As tabelas 1 e 2 mostram respectivamente a produção de guarda-roupas por modelo e madeira e a quantidade de fechaduras usadas em cada tipo de armário. A questão pede a quantidade total de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte no período, que de acordo com a tabela 2 foi de 192.
O documento descreve matrizes, definindo-as como tabelas com elementos dispostos em linhas e colunas. Apresenta exemplos de matrizes de diferentes tipos (quadrada, triangular, diagonal, identidade e nula) e operações como transposição.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, definindo-as como tabelas de números dispostos em linhas e colunas. Explica que as matrizes podem ser somadas e multiplicadas, seguindo regras específicas, e apresenta exemplos ilustrativos dessas operações.
O documento define e explica os conceitos básicos de matrizes, incluindo tipos de matrizes (quadrada, diagonal, identidade), operações (adição, subtração, multiplicação), propriedades (transposta, simétrica, anti-simétrica) e inversão.
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre matrizes, incluindo:
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que organiza dados de forma estruturada;
2) Cada elemento de uma matriz tem uma posição definida por sua linha e coluna;
3) Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais e nulas.
Este documento descreve as características básicas de matrizes, incluindo suas dimensões, elementos, transposição e operações como adição, subtração e multiplicação. Matrizes podem ser quadradas ou retangulares, e vetores são considerados matrizes de dimensão especial.
O documento fornece definições e explicações sobre matrizes, incluindo: 1) o que é uma matriz e sua notação; 2) os tipos básicos de matrizes como matrizes nulas, quadradas e identidade; 3) operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação.
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- Tabelas;
- Tipos de Matrizes;
- Soma e subtração de matrizes;
- Multiplicação de uma matriz por um número real;
- Multiplicação de duas matrizes;
- Matriz inversa;
- Dicas para o cálculo da matriz inversa de ordem 2;
- Atividades.
Exercicios de Matrizes, Vetores e Equacões LinearesLCCIMETRO
Este documento apresenta 20 exercícios sobre matrizes e determinantes, sistemas de equações lineares e álgebra vetorial. Os exercícios envolvem cálculo de determinantes, inversão de matrizes, resolução de sistemas lineares e operações com vetores como produto escalar e produto vetorial.
Este documento descreve os conceitos básicos de matrizes, incluindo suas definições, notações, tipos, operações e propriedades. As três principais informações são:
1) Uma matriz é uma tabela de números dispostos em linhas e colunas. Pode ser representada por parênteses, colchetes ou barras duplas.
2) Existem diferentes tipos de matrizes como quadradas, diagonais, simétricas e identidade.
3) As operações básicas com matrizes incluem adição, subtração, multiplicação por escal
1) O documento fornece um gabarito de um teste sobre matrizes com 5 questões.
2) A primeira questão pede para construir uma matriz 2x2 definida por aij = 3i - j.
3) A segunda questão pede para determinar uma matriz quadrada A tal que A = 2*At.
4) A terceira questão define o que é uma matriz anti-simétrica e pede para determinar os elementos de uma matriz M dada anti-simétrica.
5) A quarta questão pede para construir uma tabela do total de botões usados em maio e jun
Este documento apresenta 20 exercícios de álgebra linear envolvendo operações com matrizes, cálculo de determinantes e resolução de equações lineares. Os exercícios abordam tópicos como cálculo da inversa de matrizes, multiplicação e soma de matrizes, igualdade de matrizes e resolução de sistemas lineares através de matrizes e determinantes.
1) O documento define matrizes, suas representações e tipos especiais como matrizes quadradas, triangulares e identidade.
2) São descritas operações básicas com matrizes como adição, subtração, multiplicação por número e transposição.
3) A transposição troca linhas e colunas de uma matriz e é usada para definir matrizes simétricas e anti-simétricas.
O documento apresenta uma introdução sobre matrizes, definindo-as como tabelas ordenadas de números dispostos em linhas e colunas. Explica que as matrizes permitem expressar situações envolvendo múltiplas variáveis de forma concisa. Em seguida, descreve operações básicas com matrizes e conceitos como matriz quadrada, identidade e nula.
O documento define matrizes e suas propriedades. Uma matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Existem operações como adição, subtração e multiplicação entre matrizes. A multiplicação só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda.
O documento discute sistemas lineares, matrizes e determinantes. Aborda resolução de sistemas lineares usando redução por linhas, operações com matrizes, propriedades e cálculo de determinantes. Apresenta teoremas sobre sistemas lineares, matrizes invertíveis e relação entre determinante e inversibilidade.
O documento define o que é um determinante e apresenta as regras para calcular determinantes de matrizes quadradas de diferentes ordens. Explica como calcular determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3. Apresenta também algumas propriedades importantes dos determinantes, como quando ele é nulo, como muda quando se multiplica linhas, e como é afetado por transposição e inversão de matrizes.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação, igualdade, tipos, operações e leis de formação. São descritas matrizes quadradas e retangulares, transpostas, nulas e identidade. São explicadas as operações de adição, subtração e multiplicação entre matrizes.
O documento apresenta exercícios sobre operações com matrizes, incluindo produto, inversa, determinantes, matrizes simétricas e anti-simétricas. As respostas são fornecidas no final, resolvendo cada exercício proposto.
O documento apresenta informações sobre a produção de guarda-roupas e uso de fechaduras em uma fábrica durante o mês de outubro de 2005. As tabelas 1 e 2 mostram respectivamente a produção de guarda-roupas por modelo e madeira e a quantidade de fechaduras usadas em cada tipo de armário. A questão pede a quantidade total de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte no período, que de acordo com a tabela 2 foi de 192.
O documento descreve matrizes, definindo-as como tabelas com elementos dispostos em linhas e colunas. Apresenta exemplos de matrizes de diferentes tipos (quadrada, triangular, diagonal, identidade e nula) e operações como transposição.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, definindo-as como tabelas de números dispostos em linhas e colunas. Explica que as matrizes podem ser somadas e multiplicadas, seguindo regras específicas, e apresenta exemplos ilustrativos dessas operações.
O documento define e explica os conceitos básicos de matrizes, incluindo tipos de matrizes (quadrada, diagonal, identidade), operações (adição, subtração, multiplicação), propriedades (transposta, simétrica, anti-simétrica) e inversão.
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre matrizes, incluindo:
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que organiza dados de forma estruturada;
2) Cada elemento de uma matriz tem uma posição definida por sua linha e coluna;
3) Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais e nulas.
Este documento descreve as características básicas de matrizes, incluindo suas dimensões, elementos, transposição e operações como adição, subtração e multiplicação. Matrizes podem ser quadradas ou retangulares, e vetores são considerados matrizes de dimensão especial.
O documento fornece definições e explicações sobre matrizes, incluindo: 1) o que é uma matriz e sua notação; 2) os tipos básicos de matrizes como matrizes nulas, quadradas e identidade; 3) operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação.
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- Tabelas;
- Tipos de Matrizes;
- Soma e subtração de matrizes;
- Multiplicação de uma matriz por um número real;
- Multiplicação de duas matrizes;
- Matriz inversa;
- Dicas para o cálculo da matriz inversa de ordem 2;
- Atividades.
Exercicios de Matrizes, Vetores e Equacões LinearesLCCIMETRO
Este documento apresenta 20 exercícios sobre matrizes e determinantes, sistemas de equações lineares e álgebra vetorial. Os exercícios envolvem cálculo de determinantes, inversão de matrizes, resolução de sistemas lineares e operações com vetores como produto escalar e produto vetorial.
Este documento descreve os conceitos básicos de matrizes, incluindo suas definições, notações, tipos, operações e propriedades. As três principais informações são:
1) Uma matriz é uma tabela de números dispostos em linhas e colunas. Pode ser representada por parênteses, colchetes ou barras duplas.
2) Existem diferentes tipos de matrizes como quadradas, diagonais, simétricas e identidade.
3) As operações básicas com matrizes incluem adição, subtração, multiplicação por escal
1) O documento fornece um gabarito de um teste sobre matrizes com 5 questões.
2) A primeira questão pede para construir uma matriz 2x2 definida por aij = 3i - j.
3) A segunda questão pede para determinar uma matriz quadrada A tal que A = 2*At.
4) A terceira questão define o que é uma matriz anti-simétrica e pede para determinar os elementos de uma matriz M dada anti-simétrica.
5) A quarta questão pede para construir uma tabela do total de botões usados em maio e jun
Este documento apresenta 20 exercícios de álgebra linear envolvendo operações com matrizes, cálculo de determinantes e resolução de equações lineares. Os exercícios abordam tópicos como cálculo da inversa de matrizes, multiplicação e soma de matrizes, igualdade de matrizes e resolução de sistemas lineares através de matrizes e determinantes.
1) O documento define matrizes, suas representações e tipos especiais como matrizes quadradas, triangulares e identidade.
2) São descritas operações básicas com matrizes como adição, subtração, multiplicação por número e transposição.
3) A transposição troca linhas e colunas de uma matriz e é usada para definir matrizes simétricas e anti-simétricas.
O documento apresenta uma introdução sobre matrizes, definindo-as como tabelas ordenadas de números dispostos em linhas e colunas. Explica que as matrizes permitem expressar situações envolvendo múltiplas variáveis de forma concisa. Em seguida, descreve operações básicas com matrizes e conceitos como matriz quadrada, identidade e nula.
O documento define matrizes e suas propriedades. Uma matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Existem operações como adição, subtração e multiplicação entre matrizes. A multiplicação só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda.
O documento discute sistemas lineares, matrizes e determinantes. Aborda resolução de sistemas lineares usando redução por linhas, operações com matrizes, propriedades e cálculo de determinantes. Apresenta teoremas sobre sistemas lineares, matrizes invertíveis e relação entre determinante e inversibilidade.
O documento define o que é um determinante e apresenta as regras para calcular determinantes de matrizes quadradas de diferentes ordens. Explica como calcular determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3. Apresenta também algumas propriedades importantes dos determinantes, como quando ele é nulo, como muda quando se multiplica linhas, e como é afetado por transposição e inversão de matrizes.
Este documento descreve operadores diagonalizáveis em álgebra linear. Os principais pontos são:
1) Operadores diagonalizáveis possuem uma base de auto-vetores, onde a matriz do operador nessa base é uma matriz diagonal com os auto-valores na diagonal principal.
2) Para um operador ser diagonalizável, deve ter tantos auto-vetores lineamente independentes quanto a dimensão do espaço vetorial.
3) A diagonalização simplifica o estudo de operadores, transformando sua matriz na forma mais simples de uma matriz diagonal.
O documento apresenta um resumo sobre matrizes, abordando sua história, definição, tipos especiais e operações básicas. As matrizes surgiram para resolver sistemas lineares e seu nome foi dado por Cayley em 1850, sendo amplamente utilizadas na álgebra linear.
Ensino de matrizes, sistemas lineares e determinantes através do excelJESIEL SOUZA DA ROCHA
Este trabalho tem objetivo de trazer a interdisciplinaridade da matemática, explorando algumas aplicações e utilizando os recursos computacionais da planilha Excel 2007, com a finalidade de motivar o ensino da matemática.
O documento descreve os principais conceitos relacionados a matrizes, incluindo: (1) o que é uma matriz e suas representações; (2) igualdade e tipos de matrizes como nula, linha, coluna, quadrada, diagonal, triangular, oposta e identidade; e (3) operações básicas como soma, subtração e multiplicação de matrizes.
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com,Br - Matemática - Semelhança de TriângulosClarice Leclaire
O documento discute semelhança de triângulos, definindo-a como figuras que têm ângulos correspondentes congruentes e lados homólogos proporcionais. Apresenta casos de semelhança como LLL, LAL e AA e o Teorema Fundamental da Semelhança, que estabelece que uma paralela a um lado determina dois triângulos semelhantes. Discutem-se também razão de semelhança e propriedades de triângulos semelhantes.
O documento discute intervalos musicais, classificação de notas em escalas e flexões de intervalos. Explica que intervalos são distâncias entre sons, classificados em tom e semitom. Apresenta a escala de Dó Maior e classifica suas notas por graus e nomes, como tônica, subdominante e dominante. Descreve intervalos como maior, menor, justo, aumentado e diminuto, de acordo com a quantidade de tons e semitons. Demonstra como flexionar notas através de sustenidos, bemois e bemol, alterando os
Matemática - VideoAulas Sobre Potenciação – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Potenciação
O documento apresenta os conceitos de intervalos numéricos, definindo-os como subconjuntos do conjunto dos números reais. Descreve os principais tipos de intervalos (fechado, aberto, semi-aberto) e operações entre eles (união, intersecção, diferença).
O documento apresenta os conceitos fundamentais de números reais e intervalos reais: (1) Cada ponto da reta real pode ser associado a um número real; (2) Os números reais estabelecem uma relação de ordem que permite definir intervalos reais; (3) Existem diferentes tipos de intervalos reais representados por símbolos específicos.
O documento discute intervalos numéricos, definindo-os como subconjuntos do conjunto dos números reais. Apresenta os principais tipos de intervalos (fechado, aberto, semi-aberto) e operações entre eles (união, intersecção, diferença). Fornece exemplos ilustrativos para cada conceito.
O documento apresenta os conceitos fundamentais da correspondência entre números reais e pontos da reta real. Mostra como cada ponto da reta pode ser associado a um único número real, chamado coordenada ou abscissa do ponto. Também define intervalos reais como subconjuntos da reta real e apresenta diferentes tipos de intervalos com seus respectivos símbolos.
Este documento descreve os principais tipos de intervalos reais e operações entre eles. Intervalos podem ser fechados, abertos ou mistos dependendo se incluem ou não os pontos extremos. A intersecção de intervalos retorna os elementos comuns entre eles, a união retorna todos os elementos ou a diferença retorna os elementos de um intervalo que não estão no outro.
Este documento discute intervalos de números reais. Explica os seis tipos básicos de intervalos (fechado, aberto, aberto à direita/esquerda, ilimitado à direita/esquerda) e como representá-los em compreensão, intervalo e geometricamente. Também menciona operações com intervalos como união e intersecção, mas não fornece exemplos.
O documento discute os diferentes conjuntos numéricos, incluindo números naturais, inteiros, racionais, irracionais e complexos. Ele fornece exemplos de cada conjunto e explica brevemente suas propriedades e operações matemáticas associadas. O documento também lista referências bibliográficas relacionadas.
Este documento discute conjuntos e funções matemáticas como uma nova metodologia para ensinar matemática. Apresenta definições e exemplos de conjuntos, operações com conjuntos, intervalos reais, representações de funções e cálculo de valores de funções.
Exercícios resolvidos sobre conjuntos numéricos e diagramasmovimento fitness
O documento apresenta uma série de exercícios resolvidos sobre conjuntos numéricos e diagramas de Venn. Os exercícios envolvem interpretar dados sobre grupos de pessoas e itens para identificar quantidades desconhecidas através de diagramas e operações matemáticas.
O documento discute conjuntos e operações entre conjuntos. Explica como representar conjuntos por enumeração de elementos ou propriedades, relações de pertinência e inclusão, operações como união, intersecção e diferença, conjuntos complementares e o conjunto de partes de um conjunto.
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Trata de questões sobre multiplicação de matrizes, determinantes, igualdade de sistemas lineares e inversão de matrizes.
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Resume conceitos como multiplicação de matrizes, determinantes de matrizes quadradas e resolução de sistemas lineares através de igualdades matriciais.
O documento apresenta conceitos básicos sobre matrizes, incluindo suas definições, tipos, operações e determinantes. Matizes são tabelas numéricas utilizadas para organizar dados. Podem ser adicionadas, subtraídas e multiplicadas. Determinantes são utilizados para verificar se uma matriz quadrática possui inversa. Exemplos ilustram os principais conceitos.
O documento fornece informações sobre determinantes de matrizes. Em três frases ou menos:
1) Determinantes representam valores numéricos associados a matrizes e são calculados de diferentes formas dependendo da ordem da matriz. 2) Propriedades dos determinantes incluem que se uma linha ou coluna for nula ou proporcional a outra, o determinante será nulo. 3) O Teorema de Laplace permite calcular determinantes de matrizes de ordem maior que 3 somando produtos de elementos por seus respectivos cofatores.
1) O documento contém uma prova de matemática com 5 questões sobre operações matriciais. A primeira questão pede para escrever uma matriz 2x3 com elementos definidos por uma função. A segunda questão pede para determinar valores que satisfaçam uma igualdade matricial. A terceira questão pede para calcular a transposta da soma de duas matrizes. A quarta questão pede para calcular somas de matrizes. E a quinta questão pede para calcular produtos de matrizes.
O documento descreve conceitos básicos sobre matrizes, incluindo: (1) matrizes são tabelas formadas por linhas e colunas; (2) exemplos de matrizes retangulares e quadradas; (3) elementos de uma matriz genérica; (4) tipos especiais de matrizes como linha, coluna, nula, triangular, diagonal, identidade, transposta, simétrica.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo:
1) Definição de matrizes, dimensões e elementos.
2) Tipos de matrizes como nula, quadrada, diagonal, identidade e transposta.
3) Operações com matrizes como soma, subtração e multiplicação por uma constante.
Este documento contém 15 questões de matemática sobre sistemas lineares, matrizes e determinantes. As questões incluem cálculos e resoluções de exercícios envolvendo estas operações matriciais.
O documento descreve os principais conceitos relacionados a matrizes, incluindo: (1) o que é uma matriz e suas representações; (2) igualdade e tipos de matrizes como nula, linha, coluna, quadrada, diagonal, triangular; (3) operações como soma, subtração e multiplicação de matrizes.
Este documento fornece exemplos de operações com matrizes, como soma, multiplicação, transposta e produto entre matrizes. Inclui também a definição de matriz identidade e suas propriedades algébricas importantes.
O documento apresenta 29 exercícios de álgebra linear envolvendo operações com matrizes como soma, subtração, multiplicação e resolução de sistemas lineares. Os exercícios abordam conceitos como matriz identidade, matriz nula, matriz idempotente e matriz periódica.
O documento descreve os conceitos básicos de matrizes, incluindo suas definições, tipos especiais como matrizes quadradas, diagonais e identidade. Também apresenta operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação, além de propriedades dessas operações. Por fim, explica o conceito de determinante de matrizes.
Este documento contém 16 questões sobre matrizes e sistemas de equações lineares. A maioria das questões pede para calcular determinantes, resolver sistemas ou analisar propriedades de matrizes.
1) O documento apresenta 10 questões de matemática sobre operações com matrizes, como determinar elementos, soma, produto e inversa.
2) As questões abordam cálculos envolvendo matrizes definidas por expressões algébricas e operações como soma, produto e inversa.
3) O texto fornece um problema motivacional sobre a importância de se concentrar no trabalho presente para se preparar para o futuro.
Funçao trig matriz determinante e sistema 2 x2GabrielaMansur
1) O documento discute sistemas lineares e matrizes. Apresenta 30 questões sobre determinantes, sistemas lineares, funções trigonométricas e operações com matrizes.
2) As questões abordam tópicos como classificação de sistemas lineares, cálculo de determinantes, resolução de sistemas lineares, gráficos de funções trigonométricas e operações com matrizes como soma, produto e transposta.
3) São solicitados cálculos, discussões e classificações relacionadas a esses conceitos da ál
1. O documento apresenta uma prova de Álgebra Linear com três questões. A primeira questão pede para resolver operações matriciais como determinantes, inversas e produtos. A segunda questão pede para resolver sistemas lineares. A terceira questão pede para resolver determinantes e postos de matrizes.
2. O documento é uma prova de Álgebra Linear com três questões. A primeira questão pede para resolver operações matriciais. A segunda questão pede para resolver sistemas lineares. A terceira questão pede para resolver determinantes e postos de matrizes.
3.
O documento apresenta um teste estatístico chamado Teste F para comparar a precisão de dois métodos. O Teste F é usado para verificar se as variâncias de dois conjuntos de dados são estatisticamente diferentes entre si.
Educação e Capitalismo uma Certa Economia PolíticaAjudar Pessoas
1. O documento discute uma conferência da OCDE em 1961 sobre investimentos em educação para promover o crescimento econômico. O presidente da conferência argumentou que a educação é necessária para elevar o nível de vida das pessoas e dominar as forças da ciência e tecnologia.
2. A conferência concluiu que os países precisam investir mais em educação especializada em ciência e engenharia para atender à crescente demanda por trabalhadores qualificados em um contexto de rápida inovação tecnológica e competição global. Isso
Posicionamento Filosofico e Base de AprendizagemAjudar Pessoas
A Teoria dos Construtos Pessoais propõe que cada pessoa desenvolve sistemas antecipatórios únicos para lidar com eventos da vida. Estes sistemas, chamados de "construtos", são formados a partir de experiências anteriores e podem ser reformulados. A teoria também sugere que as pessoas diferem em suas interpretações dos mesmos eventos devido a suas construções únicas.
Evolucao historica da avaliacao em geracõesAjudar Pessoas
Este documento descreve as quatro gerações da avaliação educacional: (1) a geração da medição focada em testes padronizados, (2) a geração da descrição que avalia o alcance de objetivos, (3) a geração do julgamento que considera processos e resultados não esperados, e (4) a geração participativa baseada em negociação. A quarta geração é vista como uma alternativa às anteriores por ser um processo sócio-político e colaborativo.
Este documento apresenta 30 exercícios de aplicação do Teorema de Pitágoras para determinar medidas desconhecidas em triângulos retângulos e não retângulos. Os exercícios envolvem cálculos de lados, alturas, distâncias e comprimentos relacionados a situações geométricas e arquitetônicas.
Matriz Curricular : Licenciatura em Química IFPE 2015Ajudar Pessoas
O documento apresenta a matriz curricular de um curso com as disciplinas cursadas entre 2015 e 2018. A matriz inclui disciplinas obrigatórias de matemática, química, física, biologia e educação ao longo de oito períodos. O aluno não cursou nenhuma disciplina fora da matriz curricular e ainda precisa cumprir créditos complementares para concluir o curso.
O documento discute compostos orgânicos nitrogenados como aminas, amidas, nitrilas e nitrocompostos. Estes compostos são essenciais para a vida e usados industrialmente em medicamentos, plásticos e explosivos. As aminas estão presentes em aminoácidos e proteínas, enquanto amidas como a uréia são produtos finais do metabolismo animal.
Correção da prova de física ifpe 2015 parte 1.Ajudar Pessoas
O documento resume os principais defeitos de visão como miopia, hipermetropia, astigmatismo e presbiopia, explicando suas causas e correções. A única opção que não é um defeito de visão é catarata, que causa opacidade no cristalino.
Este documento fornece uma lista de tópicos de física como cinemática, dinâmica, gravitação, fluidos, termodinâmica, óptica, ondulatória, eletrostática, eletrodinâmica e magnetismo, juntamente com as principais fórmulas e constantes relacionadas a cada tópico. O documento também fornece tabelas com significados e unidades das fórmulas listadas.
1. O documento contém 10 questões sobre biologia que abordam tópicos como: a composição química dos seres vivos, com ênfase nos sais, carboidratos e água; evidências da possível existência de vida em Marte no passado; e funções do colesterol no organismo.
A Saúde Pública é viabilizada através da ação do Estado para organizar os serviços médicos e combater fatores que propagam doenças. A evolução da Saúde Pública no Brasil foi lenta, com poucas medidas até a República, quando começaram a surgir instituições de pesquisa e aposentadoria. Atualmente, o Sistema Único de Saúde é responsável pelo atendimento populacional, apesar das críticas sobre a precariedade dos serviços.
This document contains a series of multiple choice questions about carbohydrates and other biomolecules. Question 1 asks about purifying substances including glycogen from cow liver, cellulose from plant cell walls, RNA from cytoplasm, and proteins. Question 2 is about carbohydrates serving as energy reserves in the form of starch. Question 3 asks about substances preferentially used as energy sources, like glycerides and polysaccharides like starch.
1. O texto descreve exercícios sobre compostos orgânicos e processos biológicos como a digestão e respiração celular. 2. As macromoléculas alimentares precisam ser quebradas em moléculas menores para serem utilizadas na respiração celular. 3. A respiração ocorre nos pulmões e nas células, sendo processos relacionados.
O documento contém 9 questões sobre conjugação verbal em português. As questões abordam erros de concordância, escolha da forma verbal correta para preencher espaços em frases e seleção da opção com conjugação adequada.
The document contains 15 multiple choice questions about biological concepts such as lipids, proteins, amino acids, and cholesterol. The questions cover topics like the structure and function of proteins, lipids and triglycerides, essential amino acids, and the roles of cholesterol in the body.
O documento descreve as principais funções das proteínas, carboidratos, lipídios e suas subclasses. As proteínas podem ter funções estruturais, hormonais, de defesa, energética e enzimática. Os carboidratos fornecem energia, têm funções estruturais e de armazenamento, e incluem monossacarídeos, dissacarídeos e polissacarídeos. Os lipídios são fontes de energia, têm funções estruturais, de isolamento térmico e proteção mecân
1) O documento apresenta 15 questões de matemática sobre diversos assuntos como funções, geometria, porcentagem e estatística.
2) A questão 1 trata de salário em função de vendas e a questão 6 trata de crescimento populacional exponencial.
3) Outras questões envolvem sistemas de equações lineares, áreas de figuras planas, porcentagem, progressão aritmética e trigonometria.
O documento apresenta 12 questões do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) sobre diversos assuntos históricos, como a evolução humana, a história do Egito Antigo, a Revolução Russa de 1917, a monarquia brasileira no Segundo Reinado e a Ditadura Militar no Brasil. As questões abordam temas como calendários, cheias do rio Nilo, árvore filogenética, Revolução de Outubro e a figura de Getúlio Vargas.
O documento discute a implantação de uma matriz energética em um país com características de região plana, chuvosa, com ventos constantes e poucos recursos hídricos. A opção mais adequada é a energia eólica, devido às condições climáticas favoráveis e por não gerar poluição.
O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
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2. Introdução
Este trabalho tem como objetivos, reforçar conteúdos e introduzir
conceitos matemáticos, através de Matrizes, Determinantes e
Sistemas Lineares. É possível desenvolver atividades que envolvam,
problemas, cálculos, algoritmos, combinatória, trigonometria,
logaritmo, e uso de softwares.
Sem dúvida, cabe ao ensino de matemática o desenvolvimento
do raciocínio e nesse sentido matrizes, determinantes e sistemas
lineares são interessantes para serem trabalhados, utilizando se
possível material de apoio.
Este trabalho está estruturado de tal forma que a parte teórica e
os exercícios visam a exploração deste conteúdo. Num segundo
momento, passamos a exercícios mais específicos, ligados a este
conteúdo matemático como forma de exemplificar o uso do
software como recurso didático.
3. 1. Matrizes
Matriz é um conjunto com elementos dispostos em linhas e
colunas.
Exemplo:
0 3 − 2 1a linha
A = 3 6 4 1a linha B= − 5 4 3
2a linha
4 3 5
2a linha 0 −1 7
3a linha
1a coluna 1a coluna
2a coluna 2a coluna
3a coluna 3a coluna
4. A indicação do número de linhas e colunas é chamada de
ordem da matriz. Nos exemplos, A tem ordem (2X3) e B tem
ordem (3X3), ou, simplesmente 3. Matriz quadrada é toda
matriz que tem igual número de linhas e colunas (ordem n).
O elemento que está na linha i e coluna j é representado
por aij. Desta forma, uma matriz genérica de ordem m x n é
representada por:
a11 a12 a13 ... a1m
a 21 a 22 a 23 ... a 2m
A = ...
...
an1 an2 an3 ... anm
5. 1.1 Matrizes Com Denominações
Especiais
Matriz Linha
Matriz Coluna
Matriz Quadrada
* Diagonal principal de uma matriz quadrada
* Diagonal secundária de uma matriz quadrada
Matriz Nula
Matriz Diagonal
Matriz Identidade ou Unidade
Matriz Transposta
Matriz Simétrica
Matriz Oposta
Matriz Escalar
6. Exercícios
1. Determinar a soma dos elementos da diagonal principal da matriz de ordem 3
definida por aij = i + j.
2. A transposta de uma matriz A= (aij) é a matriz AT = (bij), tal que as linhas de uma
são as colunas de outra. Se A tem ordem nxm, então At tem ordem mxn e bij =
aji, para todo i e todo j. Determinar a matriz transposta da matriz de ordem 2x3
definida por aij = i-j.
3. Matriz identidade é toda matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal
são iguais a 1e os demais iguais a zero. Quantos zeros tem uma matriz
identidade de ordem n?
4. Seja A de ordem 15x20 definida por aij = i - j + 10. Determinar o elemento b98 de
AT.
7. 1.2 Igualdade De Matrizes
Duas matrizes de mesma ordem são iguais, se, e
somente se, os elementos que ocupam a mesma posição
são iguais.
SÓ EXISTE IGUALDADE DE MATRIZES QUE POSSUEM A MESMA
ORDEM.
Exemplo:
a) Estas matrizes, A e B:
2 8 2 y
A = x 4 B = 1 4
serão iguais se, e somente se: x = 1 e y = 8
b)
x y 7 − 2 x = 7 y = −2
⇔
m n = 4 − 5
m = 4 n = −5
9. 0 − 2 1 − 2 0 − 0 0 − 2 0 − 2
d) B . A = 1 1
. 0 1
= 1 + 0 − 2 + 1 = 1
− 1
1 − 2 1 0 1 − 0 0 − 2 1 − 2
e) A . I = 0 1
.
0 1
= 0 + 0 0 + 1
= 0 1
A.I = A, para qualquer matriz A (I é o 1 das matrizes).
Em geral A.B ≠B.A (não comutativa).
Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B+C)=A.B + A.C
(distributiva).
Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B.C)=(A.B).C
(associativa).
10. Exercícios
1. Numa turma, os graus que seis alunos receberam em três provas bimestrais são
dadas pela seguinte matriz A:
0 7 8
7 8 0
7 0 8
6 6 6
10 4 0
0 4 10
2
A matriz B informa o peso de cada uma das provas: 2, 3 e 5 nesta ordem. B = 3
5
Use as matrizes A e B para calcular as notas finais dos alunos e analise os graus
dos aprovados e dos reprovados, sabendo que é necessário 60 pontos para
aprovação.
11. 2. Uma micro-empresa, em abril teve a seguinte matriz custo,
Aluguel, água,
[ 500 ]
Salário luz,etc matéria prima distribuição
A= 1000 1100 300
Em maio houve vários aumentos, colocados na matriz B,
[
B = 1,12 1,02 1,05 1,10 ]
Utilize A e B para calcular o custo total do mês de maio. Muitos empresários
repassaram os 12% de aumento do salário mínimo para o preço do produto final,
alegando que o custo aumentou 12%.
12. 3. A matriz C fornece, em reais, o custo das porções arroz, carne e salada usados
num restaurante:
1 arroz
C = 3 carne
2
salada
A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na
composição dos pratos tipo P1, P2, P3 deste restaurante:
2 1 1 Prato P1
P = 1 2 1 Prato P2
2 1 0
Prato P3
A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P 1, P2, P3 é:
7 4 9 2 2
(A) 9 (B) 4 (C) 11 (D) 6 (E) 2
8
4
4
8
4
13. 4. A matriz A = [aij]5x5, com i, j ∈ {1, 2, 3, 4 , 5}, revela um caminho ligando
alguns pontos do desenho, onde aij = 1 significa: “existe uma ligação entre Pi e Pj ”
e aij = 0 significa: “não existe uma ligação entre Pi e Pj ”.
0 0 1 0 0 P2
0 0 0 1 0
A= 1 0 0 0 1 P1
P3
0 1 0 0 1
0
0 1 1 0
P5
P4
Saindo de P1, sem repetir trechos, qual o ponto final do caminho?
(A) P1
(B) P2
(C) P3
(D) P4
(E) P5
14. 3. Matriz Inversa
A inversa de uma matriz A, quando existir, é a matriz
−1 −1
representada por A tal que : A ⋅ A = I
Exemplo:
6 1 −1 1 −1
A = 5 1 tem A = como inversa, pois
−5 6
6 1 1 − 1 6 − 5 − 6 + 6 1 0
5 1 . − 5 6 = 5 − 5 − 5 + 6 = 0 1
15. 4. Determinantes e Sistemas
Lineares
4.1 Sistema De Equações Na Forma Matricial
Um sistema de equações do primeiro grau pode ser posto na
forma matricial.
Exemplo:
x + 2 y + 3z = 1
Dado o sistema 4 x + 7 y + 8z = 2 ,
− x + y +
= 3
podemos colocá-lo na forma:
1 2 3 x 1
4 7 8 . y = 2 , ou seja, A . X = B.
− 1 1 0 z
3
A X B
A matriz A é chamada de MATRIZ PRINCIPAL, a X de MATRIZ DAS
INCÓGNITAS e a B de MATRIZ DOS TERMOS INDEPENDENTES.
16. 4.2 Determinante De Uma Matriz De Ordem 2
Sistema genérico de duas equações e duas incógnitas:
ax + by = c
dx + ey = f
aex + bey = ce adx + bdy = cd
− dbx − bey = − bf − adx − aey = − af
( ae − bd ) x = ce − bf ( bd − ae ) y = cd − af
x = ce − bf y = cd − af (* -1) = − ad + af
ae − bd bd − ae − bd + ae
y = af − bd
ae − bd
Assim temos:
ce − bf af − cd
x= e y= ae − bd
ae − bd
17. Observamos que denominadores são iguais nas duas
expressões, sendo formados pelos elementos da matriz principal
do sistema. Se forem nulos, não poderemos determinar a solução
(divisão por zero).
Desta forma, é este denominador que determina a existência e
a unicidade da solução. Como poderíamos chamar algo que
determina?
18. Vamos definir e representar o determinante da matriz a b
d e
por
a b
= det (A) = ae - bd
d e
Determinante de uma matriz de ordem 2 é o produto dos
elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos
da diagonal secundária.
19. 4.3 Resolução De Um Sistema 2x2 Por Determinantes
Nas expressões encontradas para x e y observamos que os
numeradores são também determinantes. Na primeira, a matriz
utilizada teve a primeira coluna substituída pela matriz B. Na
segunda expressão, foi substituída a segunda coluna.
ax + by = c a b x c
Exemplo: → d e * y = f
dx + ey = f
ce − bf af − cd
x= e y=
ae − bd ae − bd
20. Chamando ∆ = det (A) = ae - bd,
c b a c
∆x = = ce − bf e ∆ y= = af − cd , temos:
f e d f
∆x ∆y
x= e y=
∆ ∆
Esta regra, válida apenas se ∆ ≠ 0 , é chamada de REGRA DE
CRAMMER.
21. 4.4 Discussão de Um Sistema 2x2
Um sistema pode ser de três tipos:
DETERMINADO: possui uma única solução.
INDETERMINADO: possui mais de uma solução.
IMPOSSÍVEL: não possui solução.
x = 1 e y = 1 é o único par de soluções: Determinado.
x = 1 e y = 1,
x=2 e y=0e
x = 0 e y = 2 são algumas das infinitas soluções: Indeterminado.
não tem solução: Impossível.
22. Podemos classificar um sistema analisando os determinantes.
A regra de Crammer, ainda que válida apenas caso ∆ ≠ 0 , nos
induz à discussão do sistema.
Vamos, por exemplo, considerar que:
0
existe e é único
2
2
0 não está definido
0
0 tem infinitas respostas
Assim, temos:
∆ ≠ 0 Determinado
∆x = ∆y = 0 Indeterminado
∆ = 0 e
∆x ≠ 0 ou ∆y ≠ 0
Impossível
23. 4.5 Determinantes De Ordem n
Vimos a origem e o cálculo de um determinante de ordem 2.
Este foi útil na resolução e discussão de um sistema de ordem 2,
bem como na identificação de matrizes inversíveis de ordem 2. De
forma análoga, podemos obter determinantes de ordens
superiores a 2.
a) Determinante De Ordem 3:
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
Dada a matriz A= , temos:
a31 a32 a33
det(A)= a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a21 . a32 . a13
-a13 . a22 . a31 - a12 . a21 . a33 - a23 . a32 . a11
* No sentido da
1 −2 3
Exemplo: 0 -4 - 4 + 0 diagonal secundária
1
4 = - 24 - 0 - 1 = -33 troca-se o sinal.
2
1 −1
24. No cálculo do det(A) observamos o seguinte:
* Usamos 6 parcelas (fatorial de 3).
* Cada parcela é o produto de 3 elementos da matriz.
* Em cada produto há um e somente um elemento de cada linha e
coluna.
* A metade das parcelas tem o sinal trocado.
25. b) Determinate De Ordem n:
Com base no que foi observado no cálculo do determinante de
ordem 3, temos que o determinante de uma matriz de ordem n é:
* A soma de n! parcelas.
* Cada parcela é o produto de n elementos da matriz.
* em cada produto há um e somente um elemento de cada linha e
coluna.
* A metade das parcelas tem o sinal trocado.
Vamos calcular o determinante através do baixamento de
ordem. Desta forma determinantes de ordem superior a 3 são
expressos em função de determinantes de ordem 3 e, então,
calculados. Inicialmente, definimos co-fator cij de um elemento
aij da matriz A:
26. cij é o produto de ( − 1 ) pelo determinante da matriz obtida
i+ j
da A
eliminando-se a linha i e a coluna j.
Para se obter o baixamento de ordem procede-se da seguinte forma:
(1) Escolhe-se qualquer linha ou coluna da matriz.
(2) Multiplica-se cada elemento da linha ou coluna escolhida pelo seu
co-fator.
(3) Soma-se todos os produtos obtidos.
27. 4.6 Propriedades Dos Determinantes
As propriedades dos determinantes são decorrentes da
definição de determinante.
As propriedades abaixo são enunciadas para as linhas de uma
matriz quadrada A.
Contudo, são válidas também para as colunas.
(1) Se A tem uma linha nula, então det(A) =0
(2) Permutando-se duas linhas de A, det(A) inverte o sinal.
(3) Se A tem duas linhas iguais, então det(A) =0
(4) Se A tem duas linhas múltiplas, então det(A) =0
(5) det(A.B) = det(A).det(B)
(6) Multiplicando uma linha de A por k real, det(A) fica multiplicado por k.
(7) Se Li e Lj são linhas de A e k é real, temos:
substituindo Li por Li + k.Lj, det (A) não se altera.
28. Exemplo:
a b c a+3 b+3 c+3
Sabendo que 1 1 1 = 2, calcular 1 1 3
1 2 3 2 2 2
Substituindo a primeira linha pela segunda multiplicada por
uma constante (3) somada com a primeira linha.
a+3 b+3 c+3
1 1 1
1 2 3
a+3 b+3 c+3
Tocar a segunda linha pela terceira. 1 2 3
1 1 1
a+3 b+3 c+3
Multiplicar a terceira linha por uma constante (2). 1 2 3
2 2 2
Determinante = 2 . (-1) . 2 = -4
29. 4.7 Cálculo Da Inversa De Uma Matriz De Ordem 2
Podemos calcular a inversa de uma matriz A de ordem 2 da
seguinte forma:
(1) Elementos da diagonal principal: trocar de posição.
(2) Elementos da diagonal secundária: trocar de sinal.
(3) Dividir todos os elementos por det(A).
31. Conclusão
O nosso objetivo com este trabalho, foi obter informações mais
detalhadas a respeito de Matrizes, Determinantes e Sistemas
Lineares.
O desafio no qual a dupla se propôs foi descobrir outras formas
de apresentar este conteúdo, apresentando também o uso de
software para que de alguma forma possa facilitar a compreensão,
descobrindo novas possibilidades de uso do material numa
aplicação à sala de aula.
Foi válida essa experiência, pois podemos perceber, a
importância do conteúdo e do “material concreto” no ensino da
matemática, principalmente, pelo estímulo que ele traz, pois não
desejamos que a matemática de hoje se torne monótona e repetitiva.
32. Referências Bibliográficas
BACCARO, Nelson. e CYRINO, Hélio. Matemática. segundo grau, volume
2, editora Ática, 6a edição, p. 96 a 152.
GENTIL, Nelson. e outros. Matemática para o 2o. grau. volume 2, editora
Ática, 277 exercícios resolvidos e 754 exercícios propostos, p. 139 a
208.
MÓTTOLA, Paulo R. de Carvalho. Móttola Matemática pra o vestibular.
2a edição, p. 109 a 126.
TEXEIRA, José Carlos. e outros. Matemática - Matrizes - Determinantes -
Sistemas Lineares. livro 15, sistema anglo de ensino, Anglo
Vestibulares, p. 1 a 86.