O documento apresenta exercícios sobre operações com matrizes, incluindo produto, inversa, determinantes, matrizes simétricas e anti-simétricas. As respostas são fornecidas no final, resolvendo cada exercício proposto.

1. 18/11/2003. 26/10/2005 00:22:49h
24/4/2006, 18:46:21
Produto de Matrizes _____________________________________________________ 1
Exercício: _________________________________________________________________ 1
Matriz Involutiva _______________________________________________________ 1
Exercício__________________________________________________________________ 1
Matriz Simétrica _______________________________________________________ 2
Exercício__________________________________________________________________ 2
Matriz anti-simétrica: ___________________________________________________ 2
Exercício__________________________________________________________________ 2
Determinante de uma matriz de ordem 2 _____________________________________ 2
Determinante de uma matriz de ordem 3 — Regra de Sarrus_____________________ 3
Definição _________________________________________________________________ 3
Exercício: _________________________________________________________________ 3
Respostas: ____________________________________________________________ 4
Produto de Matrizes
Exercício:
1 1 2
 
1. Seja a matriz A =  1 3 1  , determine
4 1 1
 
a matriz polinomial, 2. A + 3. A + 5.I .
2
a)
−1 1 2 5 3
b) A matriz inversa A-1 usando a fórmula A =− A + A + .I .
17 17 17
Matriz Involutiva
Uma matriz A quadrada é involutiva quando A = I
2
Exercício
 a 0
2. Uma matriz diagonal A, de ordem 2, é involutiva. Determine-a. Sugestão: faça A = 
 .

 0 b

2. Arquivo: aula2matriz.doc Page 2/4
Matriz Simétrica
— é uma matriz quadrada A = aij [ ]nxn
, diz-se simétrica quando aij = a ji para todo i, 1 ≤ i ≤ n , para todo
j, 1 ≤ j ≤ n .
Obs: Se A é simétrica então A = A t
.
Exercício
3 2b 
Determine o número b ∈ R, para que a matriz A = 
  , seja simétrica.
b
3. 2
b 
aii = 0

[ ]
4. Seja a matriz A = aij
4x4
, para a qual aij = a ji . Determine A e At. A é

aij = i + j, se1 ≤ i < j ≤ 4
simétrica?
 sen 2α (sen α + cosα )2  1


b
5. Se  
= , determine os números a, b e c.
 cos 4α
 sen3 α + cos3 α   2
 a

c
Matriz anti-simétrica:
— é uma matriz quadrada A = aij [ ]
nxn
, diz-se anti-simétrica quando aij = −a ji para todo i, 1 ≤ i ≤ n ,
para todo j, 1 ≤ j ≤ n .
Obs: Se A é anti-simétrica então A = − A t ; os elementos da diagonal principal são todos nulos.
Exercício
 0 a b
 
6. A matriz A =  − a 0 c  é anti-simétrica.
 − b − c 0
 
 a 2 −3 
 
7. Determine os números reais a, b, c, x, y e z para que a matriz A =  x − 1 b 2 y − 4  seja anti-
 z c 
 4 
simétrica.
Determinante de uma matriz de ordem 2
A toda matriz quadrada está associado um número real chamado determinante.
Exemplos: Calcular os determinantes das matrizes:
 4 − 2
a) A = 
  o determinante dessa matriz é: detA= 4.7 – 6(-2) = 28 + 12 =40

6 7 
 5 3
b) B =   o determinante dessa matriz é: detB= 5.2 – 3. 4 = 10 – 12 = -2
 4 2
c) Calcule o polinômio característico det(A – x.I)=0, onde x∈R;

3. Arquivo: aula2matriz.doc Page 3/4
Determinante de uma matriz de ordem 3 — Regra de Sarrus
8. Calcular os determinantes das matrizes pela regra de Sarrus:
2 3 −1 2 −1 1 2 3 0
a) 4 1 2 b) 1 0 0 c) 0 1 2
−3 2 1 0 1 0 1 3 2
π
log 2 8 tg sec(− π ) π
4 sen − 12 1
1 2
9. Calcule os determinantes a) 4 2
sen8π 30 b) log1 0 −1
− 12 3π
ln e 1 cos 2 −1 30
2
Matriz Inversa
Definição
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz quadrada B, de ordem n, diz-se uma inversa de A, se e
somente se: A.B = B. A = I n .
Propriedade:
A inversa de uma matriz A existe se o det A ≠ 0 .
Exercício:
1 2
10. Seja a matriz A = 
  , pede-se:

3 0
a) verificar se existe a inversa A-1 da matriz A, det A ≠ 0 .
b) A inversa da A-1 usando a definição.
Resolução:
1 2  a b   1 0
A. A −1 = I → 
 3 0 . c d  =  0 1 
   
    
1 1
11. Seja a matriz A = 
  . Determine A-1, se existir.
 0 0 
2 − 1
12. Encontrar a matriz inversa B-1 da matriz B =  
3 0 
a) usando a definição.
b) usando o “artifício”.
c) usando escalonamento
2 -1
d) a partir da equação B =2.B-3.I, determine a matriz inversa B , (obs: 2=2+0 e
3=det B).

4. Arquivo: aula2matriz.doc Page 4/4
Resolução:
B2=2.B-3.I à
1 0 1 
 
13. Encontre a matriz inversa C-1 da matriz C = 0 − 1 2 , usando o escalonamento.
 
2 0 1
 
Respostas:
 28 15 16  8) a) -47 b) 1 c)-2
 
1)  19 36 15  9) a) -8 b) 1/2
 30 19 28 
 
 0 1 
1 0 1 0   − 1 0  3 
 0 1  ,  0 −1 ,
2)      0 1 ,
 
10)
1 1 
−
       2 6
 −1 0  11) Não existe, pois a matriz é singular.

 0 − 1  0 − 1 / 3
−1
  12) B = 
3) 0 ou 2 1 2 / 3 
0 3 4 5 1 0 1 1 0 0
 
3 0 5 6 13) 0 − 1 2 0 1 0 à
A=
7
4) , A é uma matriz
4 5 0 2 0 1 0 0 1
 
5 0 − 1 0 1
 6 7 
simétrica. −1
B =  4 − 1 − 2

5) a =
1
, b=
3
e c=
3 6  2 0 − 1
 
2 2 8
6) Quaisquer que sejam a, b e c pertenceste a
R.
7) a=b=c=0; x=-1 e y=0; z=3