O documento apresenta 19 exercícios sobre álgebra linear envolvendo operações com matrizes como soma, multiplicação, transposição e inversa. Os exercícios abordam conceitos como matriz identidade, idempotente, simétrica e anti-simétrica.

1. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 1
FACULDADE DA FUNDAÇÃO DE ENSINO DE MOCOCA
MOCOCA – SP
ÁLGEBRA LINEAR – 3º PERÍODO – CIÊNCIA DA
COMPUTAÇÃO
Prof. Mestre Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
professor.otavio@yahoo.com.br
LISTA DE EXERCÍCIOS
Se uma matriz é definida por aij=i2
+3j, significa que para cada elemento da matriz vamos substituir i e j
pelos valores de linhas e colunas. Suponha que a matriz seja 3x3,
( )
Substituindo os valores:
( )=( )
1) Dado Seja A=(aij)3x3 a matriz definida por aij=3i+2j+3, encontre a matriz.
Seja a matriz m x n, a transposta At
é a matriz n x m, onde se invertem as linhas e as diagonais.
Por exemplo:
A=(
√
) At
=
(
√
)
D=( ) Dt
=( )
2) Se A=( ), ache a matriz transposta At
.
3) Seja A=(aij)3x3 a matriz assim definida
aij={
a) Ache as matrizes A e At
.
b) Sendo p o produto dos elementos da diagonal principal e s o produto dos elementos da diagonal
secundária da matriz A calcule p-s.
Duas matrizes são iguais quando todos os seus elementos são iguais
[ ] [ ]
Igualando os membros temos que:
x+y=10
x-y=6
z2
-6z=-5
2w-3=5(w+4)
Para achar x e y resolvemos o sistema { , pelo método da adição encontramos x=8 e y=2.
Para z2
-6z+5=0, achamos o Δ=36-4.1.5=16, z=5 ou z=1
E 2w-3=5(w+4), temos que 2w-5w=20+3, então 3w=23, w=23/3.

2. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 2
4) Ache os valores desconhecidos:
( )=( )
5) Calcule x, y e z para que a igualdade seja verdadeira:
[ ] =[ ]
6) Dadas as matrizes A=( ), B=( ) e C=( ), ache 2A+3B+2Ct
.
7) Dadas as matrizes A=[ ] e B=[ ], calcule a matriz X, se X-I2=2A-Bt
.
8) Calcule os produtos A.B e B.A
a) A=[ ] e B=[ ] b) A=( ) e B=( )
c) A=[ ] e B=[ ] d) A=[ ] e B=[ ]
e) A=[ ] e B=[ ]
As propriedades mais importantes das operações entre matrizes (Soma e multiplicação por número) são:
Sendo A, B e C matrizes, 0 a matriz nula e a e b números reais.
A+B=B+A Comutatividade da Adição
(A+B)+C=A+(B+C) Associatividade da Adição
A+0=0+A=A Elemento Neutro da Adição
A+(-A)=0 Elemento Oposto da Adição
a.(b.A)=(ab).A Associatividade da Multiplicação por números
(a+b)A=aA+bA Distributividade da Multiplicação em relação à adição de números
a(A+B)=aA+bA Distributividade da Multiplicação em relação à adição de matrizes
1.A=A Elemento Neutro da Multiplicação por números
Veja as propriedades da Multiplicação de matrizes:
Dados A, B, C matrizes e n um número real:
(A.B).C=A.(B.C) Associatividade da Multiplicação
A.(B+C)=A.B+A.C Distributividade da Multiplicação à direita
(A+B).C=A.C+B.C Distributividade da Multiplicação à esquerda
n.(A.B)=(n.A).B=A.(n.B) Associatividade do número nas Multiplicações
Amxn.In=A Elemento Neutro da Multiplicação
9) Verdadeiro ou Falso?
( ) Se existe A.B e existe B.A, então A.B=B.A.
( ) Existem A e B tais que A.B=B.A
( ) Se existe A.B, então existe B.A
( ) Se A.B existe e A é uma matriz nula, então A.B é uma matriz nula.
( ) Se A.B é uma matriz nula, então ou A é nula ou B é nula.
10) Dada a matriz A=( ), verifique que A.I2=I3.A=A.
Lembre-se que I3=( ), a matriz identidade! Igualmente I2=( ).

3. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 3
11) Calcule x, y e z para que se tenha:
( ) ( ) ( )
12) Dadas a matriz A=( ), calcule A2
, A3
e A4
.
A2
=A.A, A3
=A2
.A, etc...
13) Calcule x e y para que A e B comutem A=[ ] e B=[ ].
Faça A.B e B.A e iguale os termos.
14) Dada a matriz A= [ ], calcule A2
, A3
, A100
e A101
.
15) Verifique que a matriz A=[ ] é não invertível.
Ou seja, você tentará calcular a Matriz Inversa (relembre aulas passadas), e verificará que não é possível,
por um motivo que vai aparecer durante a resolução.
Há uma propriedade importante para ser lembrada e formalizada:
A.A-1
=A-1
.A=In Elemento Inverso da Multiplicação
16) Verifique que (A.B)-1
=B-1
.A-1
Resolução do exercício 16
(A.B)-1
=B-1
.A-1
, vamos multiplicar por A.B nos dois membros
(A.B)-1
.A.B=B-1
.A-1
.A.B, mas (A.B)-1
.A.B=In, e também A-1
.A=In, pela propriedade Elemento Inverso, então
In=B-1
.In.B
In
=
In.In
In=In CQD.
17) Diz que uma matriz quadrada A de ordem n é idempotente se A2
=A. Mostrar que a matriz A=[ ].
Matriz Simétrica – é a matriz quadrada onde A=At
[ ]
Matriz Anti-Simétrica – é a matriz quadrada onde A=-At
[ ]
18) Determinar x, y e z de modo que a matriz A=( ) é anti-simétrica.
19) Resolva as equações matriciais:
a) [ ].X=[ ] b) [ ].X=[ ]