1. MATRIZES
Definição
Chama-se matriz do tipo m x n (m ∈ IN* e n ∈ IN*) a toda tabela M formada por números reais
distribuídos em m linhas e n colunas.
Em uma matriz M de m linhas e n colunas podemos representar seus elementos da seguinte
maneira:
 a11 a12 a13 a14 a15 ... a1n 
a a22 a 23 a24 a 25 ... a 2n 
A notação usada a14 indica
21
M=   que este elemento está na
 ... ... ... ... ... ... ... 
  1ª linha e na 4ª coluna.
 a m1 am2 am3 am 4 am5 ... amn 
Exemplos:
− 1 sen 90 o π −5 0 
3 −1   
M= 
0 2 / 5 
 M=  3 2 4 2 e 
  6 1 0 6 − 8

 

é uma matriz 2 x 2 é uma matriz 3 x 5
Podemos representar os elementos de uma matriz entre parênteses ou entre colchetes.
Adição de matrizes
Chama-se soma de duas matrizes Am x n e Bm x n a matriz Cm x n , cujos elementos são iguais à
soma dos elementos correspondentes de A e B.
Exemplo:
+ =
− 1 9 3  5 − 1 0 4 8 3
 0 6 − 2 + 8 1 2 = 8 7 0
     
Produto de número real por uma matriz
Dada a matriz A e o número real k, obtemos o produto de k por A, multiplicando-se todos os
elementos de A por k.
3 −1   3 − 1  15 − 5 
Exemplo: Se A = 
  e k = 5, então k.A = 5 .
 
0 2 / 5  =  0
  
0 2 / 5     2 


2. Multiplicação de matrizes
Dadas duas matrizes Am x n e Bn x p, chama-se produto, que se indica por A.B, a matriz Cm x p tal
que cada elemento da matriz C é calculado da seguinte maneira
c ij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ai4 . b 4j + ... + ain . bnj
Observação 1: Na multiplicação de matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser
igual ao número de linhas da segunda matriz.
Observação 2: A matriz resultante da multiplicação de A por B terá o número de linhas da
matriz A e o número de colunas de B.
Veja:
A2 x 3 . B3 x 5 = C2 x 5
=
Exemplo:
1
 1 0 1 0 obtenha A.B e B.A, se existirem.
Dadas as matrizes A =   eB=  
− 1 2 5 2
 
A2 x 3 e B3 x 1 , é possível multiplicarmos A por B, pois o número de colunas de A é igual ao
número de linhas de B. A matriz A.B terá 2 linhas e 1 coluna.
Visualização da multiplicação:
 1 0 1  1.1 + 0.0 + 1.2  3
A=   (−1).1 + 2.0 + 5.2 = A.B Logo A.B =  
− 1 2 5   9
1
 
B = 0
2
 
B3 x 1 e A2 x 3 não é possível multiplicarmos B por A, pois o número de colunas de A é diferente
do número de linhas de B.
DETERMINANTES
Definição de determinante (n = 3):
Consideremos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais. Seja M uma matriz de
ordem n desse conjunto. Chamamos determinante da matriz M (e indicamos por det M) o
número que podemos obter operando com os elementos de M da seguinte forma:
1º. Se M é de ordem n = 1, então det M é único elemento de M.
M = [a11 ] ⇒ det M = a11
Exemplo
M = [6] ⇒ det M = 6 .

3. 2º. Se M é de ordem n = 2, então det M é o produto dos elementos da diagonal principal
menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
a a12  a11 a12
M =  11  ⇒ det M = a 21 a 22 = a11a 22 − a12 a 21
a 21 a 22 
Exemplos
M =  3 − 1 ⇒ det M = 3 − 1 = 3 ⋅ 2 − (− 1) ⋅ 4 = 10
4 2 
  4 2
cos x sen x  cos x sen x 
M=   ⇒ det M = sen y cos y  = cos x ⋅ cos y − sen x ⋅ sen y = cos(x + y )
sen y cos y   
a11 a12 a13 
3º. Se M é de ordem n = 3, isto é, M = a 21 a 22 a 23  então
a a 33 
 31 a32 
a11 a12 a13
det M = a 21 a22 a 23 = a11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a13 a 21a 32 − a13 a22 a 31 − a11a 23 a32 − a12 a 21a33
a 31 a32 a 33
Exemplo:
1 2 3
4 5 6 = 1 ⋅ 5 ⋅ 9 + 2 ⋅ 6 ⋅ 7 + 3 ⋅ 4 ⋅ 8 − 3 ⋅ 5 ⋅ 7 − 1⋅ 6 ⋅ 8 − 2 ⋅ 4 ⋅ 9 = 0
7 8 9
Definição: Seja M uma matriz quadrada de ordem n. O cofator do elemento aij da matriz M é
i+ j
dado por A ij = ( −1) ⋅ D ij , onde Dij é o determinante da matriz M quando excluímos sua linha i
e sua coluna j.
Exemplo:
 2 0 7
Três dos cofatores da matriz M =  1 5 − 2 são:
− 3 − 1 6 
 
A11 = ( −1)1+1 ⋅ 5 − 2 = ( −1) 2 ⋅ [5 ⋅ 6 − ( −2)( −1) ] = +(30 − 2) = 28
−1 6
A12 = ( −1)1+2 ⋅ 1 − 2 = ( −1) 3 ⋅ [1⋅ 6 − ( −2)( −3 )] = −( 6 − 6 ) = 0
−3 6
A13 = ( −1)1+3 ⋅ 1 5 = ( −1) 4 ⋅ [1⋅ ( −1) − 5( −3)] = +( −1 + 15) = −14
−3 −1

4. Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada de ordem n (qualquer n natural)
pode ser calculado do seguinte modo:
1) escolha uma linha (ou coluna) da matriz e calcule os cofatores dos elementos dessa linha
(ou coluna).
2) calcule o produto dos elementos dessa linha (ou coluna) pelo seu respectivo cofator.
3) o determinante é dado pela soma dos produtos obtidos.
a11 a12 a13 
Observação: Para uma matriz de ordem 3, M = a 21 a 22 a 23  , se escolhermos a primeira
a a32 a 33 
 31 
linha, teremos que o determinante será dado por
det M = a 11 ⋅ A 11 + a 12 ⋅ A 12 + a 13 ⋅ A 13 =
a 22 a23 a a 23 a a 22
= a 11 ⋅ ( −1)1+1 ⋅ + a 12 ⋅ ( −1)1+2 ⋅ 21 + a13 ⋅ ( −1)1+1 ⋅ 21 =
a 32 a33 a 31 a 33 a 31 a 32
a 22 a 23 a a 23 a a 22
= a 11 ⋅ − a 12 ⋅ 21 + a13 ⋅ 21
a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32
Exemplo:
1 4 2
2 0 5 = 1 ⋅ 0 5 − 4 ⋅ 2 5 + 2 ⋅ 2 0 = 1⋅ ( −5) − 4 ⋅ ( −1) + 2 ⋅ 2 = −5 + 4 + 4 = 3
1 7 3 7 3 1
3 1 7
Bibliografia:
1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São
Paulo, 2002.
2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar- vol. 4. Atual editora. São Paulo, 2000.

5. Exercícios sobre matrizes
1) Calcule 2A + 3B para:
1 4  1 − 1 
1 3   − 1 0    
a) A = 
5 4  e B =
 
 2 3  b) A =  3 7  e B = 3 2 
    2 − 1   4 − 3
   
 1 2
   10 1 − 7 
c) A =  3 5  e B = 
−1 0 3  
 − 1 3  
 
 3 6 1 x 
   
2) Dada a matriz A =  − 1 4  , escreva A na forma A = λ B, com B =  y z  e na forma
 5 7  t w
   
a b
 
A = α C, com C =  c d  .
1 f 
 
3) Calcule os seguintes produtos:
 0 2
1  
a)  .[0 − 2 1 5] b) (2 9 1). 1 3 
− 3 − 1 0 
 
 cos 15o
− sen15o 
4) Sendo A =   , calcule 2(A.A).
 sen15 o cos 15o 
 
Lembrete: sen(2a) = 2sen(a).cos(a) cos(2a) = cos 2(a) - sen2(a)
Exercícios sobre determinantes
1) Calcule os determinantes abaixo:
1 2 3 1 2 0
2 5 a b
a) b) c) 9 7 4 d) 7 3 0
1 7 1 −5
2 3 1 4 −4 1
1
aa2
2) Para quais valores de a e b o determinante 3 pode ser zero?
2a b
2
x 2x 1
3) Para que valores de a, o determinante 1 x 2 pode se anular? (Considere que x é raiz
a 3 1
real do polinômio de segundo grau correspondente).

6. 4) Utilize o teorema de Laplace para calcular os determinantes abaixo.
a11 a12 a13
a a 23 a a 23 a a 22
Observação: a 21 a 22 a 23 = a11 ⋅ 22 − a12 ⋅ 21 + a13 ⋅ 21
a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32
a 31 a 32 a 33
2 5 7 1 0 3 a b c i j k
a) 3 − 1 2 b) 3 2 1 c) 2 1 3 d) 2 1 1
4 7 5 −1 4 7 3 1 4 −1 0 3
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO – MATRIZES E DETERMINANTES
MATRIZES
5 5 
−1 6   
1) a) 
 16 17 
 b) 15 20  c) Não é possível realizar a operação 2A + 3B, pois
  16 − 11 
 
as matrizes A3 x 2 e B2 x 3 não são de mesmo tipo.
 1 2   3 / 5 6 /5
   
2) A = 3  − 1 / 3 4 / 3  A = 5  − 1 / 5 4 / 5
 5 / 3 7 / 3  1 7 /5
   
0 − 2 1 5 
3) a) 
 
 b) (8 31)
 0 6 − 3 − 15 
 3 − 1
4)  
 1 3
 
DETERMINANTES
1) a) 9 b)-5a-b c) 32 d) -11.
2) a = 0 ou b = 2/3
3) a > 18 + 2 69 ≈ 34,613 ou a < 18 − 2 69 ≈ 1,387 .
4) a) 102
b) 52
a b c
c) 2 1 3 = a1 3 − b 2 3 + c 3 1 = a + b − c
1 4 3 4
2
1
3 1 4
i j k
1 1 2 1 2 1
d) 2 1 1 =i⋅ − j⋅ + k⋅ = 3i − 7 j + k
0 3 −1 3 −1 0
−1 0 3