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Números Inteiros Professora Camila C. Souza – Matemática – 21/03/09 1 0 -2 5 - 4 20 -3 -15 13 - 26
O conjunto Z dos Números Inteiros Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão).  Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Exemplos de subconjuntos do conjunto Z: (a) Conjunto dos números inteiros, excluído o número zero: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} (b) Conjunto dos números inteiros não negativos: Z +  = {0, 1, 2, 3, 4,...} (c) Conjunto dos números inteiros não positivos: Z -  = {..., -4, -3, -2, -1, 0}
Os números inteiros são encontrados com freqüência em nosso cotidiano, por exemplo:  ♦ Exemplo 1:  Um termômetro em certa cidade que marcou 10°C acima de zero durante o dia, à noite e na manhã seguinte o termômetro passou a marcar 3°C abaixo de zero. Qual a relação dessas temperaturas com os números inteiros?  Quando falamos  acima de zero , estamos nos referindo aos  números positivos  e quando falamos dos números  abaixo de zero  estamos referindo aos  números negativos .  +10° C ------------- 10° C acima de zero  - 3° C --------------- 3° C abaixo de zero  ♦ Exemplo 2:  Vamos imaginar agora que uma pessoa tem R$500,00 depositados num banco e faça sucessivas retiradas:  • dos R$500,00 retira R$200,00 e fica com R$300,00   • dos R$300,00 retira R$200,00 e fica com R$100,00    • dos R$100,00 retira R$200,00 e fica devendo R$ 100,00  A última retirada fez com que a pessoa ficasse devendo dinheiro ao banco. Assim:  Dever R$100,00 significa ter R$100,00 menos que zero. Essa dívida pode ser representada por  – R$100,00.
     Nas situações exemplificadas, utilizamos os números naturais precedidos pelos sinais + ou - .       Os números precedidos pelo sinal + são chamados de números inteiros positivos ( +1, +2, +3, ...)       Os números precedidos pelo sinal - são chamados de números inteiros negativos (-1, -2, -3, ...).       Para visualizarmos melhor essas situações podemos utilizar a reta numérica, onde nosso referencial é o número zero. Os números negativos ficarão à esquerda do zero e os números positivos ficarão à direita do zero.
Ordem e Simetria no conjunto Z O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z). Exemplos: (a)  3 é sucessor de 2 (b) -4 é sucessor de -5 (c)  0 é antecessor de 1 (d)  1 é sucessor de 0 (e) -1 é sucessor de -2 (f) -2 é antecessor de -1 Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto  -z  e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto  z  como  -z  estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é  0 . Exemplos: ( a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3. (b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.
Soma (adição) de números inteiros Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder. Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado. Exemplos: (a) -3 + 3 = 0 (b) +6 + 3 = 9 (c) +5 - 1 = 4 (d) – 4 + 1 = -3 (-8) + (+5) = (-3)  perder 8 + ganhar 5 = perder 3  (+8) + (-5) = (+3)  ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3  (-3) + (-4) = (-7)  perder 3 + perder 4 = perder 7  (+3) + (+4) = (+7)  ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7
Multiplicação (produto) de números inteiros A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um  x , isto é: 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60 Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos. Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais: (+1) × (+1) = (+1) (+1) × (-1) = (-1) (-1) × (+1) = (-1) (-1) × (-1) = (+1) Com o uso das regras acima, podemos concluir que: negativo diferentes positivo iguais Resultado do produto Sinais dos números
Quociente de dois números inteiros com sinais diferentes.  (- 45) : (+ 5) = - 9  (+45) : ( -5) = -9  O quociente de uma divisão exata entre dois números inteiros, com divisor diferente de zero e sinais diferentes é um número inteiro de:  Sinal: negativo  (-).  Quociente de dois números inteiros com sinais iguais .  (- 60) : (- 10) = + 6  (+ 60) : (+ 10) = + 6  O quociente de uma divisão exata entre dois números inteiros, com divisor diferente de zero e sinais iguais é um número inteiro de:  Sinal: positivo  (+).  Acontece da mesma forma que na multiplicação, dividimos os valores absolutos e o sinal é conforme a regra:  - : + = -  + : + = +  - : - = +   Observações:  •  Não existe divisão por zero. Exemplo: 15 : 0, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja 15.  • Zero dividido por qualquer número é sempre zero.
Jogo sugerido: Dominó dos números inteiros As regras   O jogo segue as regras do dominó tradicional, as pedras oferecem cálculos e respostas que devem ser colocadas na ordem correta, a pedra “branca” substituirá qualquer resultado ou operação.  Pode jogar 2, 3 ou 4 alunos.  Dois alunos: 7 pedras para cada, 14 pedras constituirão o monte, caso algum alguém não tenha a pedra para jogar deverá comprar no monte.  Três alunos: 7 pedras para cada um, 7 pedras no monte.  Quatro alunos: 7 pedras para cada um. No jogo com quatro alunos não teremos o monte, aquele que não obter o resultado para jogar passa a vez para o próximo.  Para obter o modelo do dominó acesse: http://www.educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/domino-dos-numeros-inteiros.htm
Bibliografia:  Projeto Araribá – Matemática (6ª Série) Editora Moderna Páginas pesquisadas: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/inteiros/inteiros.htm www.brasilescola.com/matematica/numeros-inteiros.htm www.drec.min-edu.pt/Eviprof/resources/school7/files/trab3/files/operacoes_inteiros.pdf  http://www.educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/domino-dos-numeros-inteiros.htm

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Numeros Inteiros 2

  • 1. Números Inteiros Professora Camila C. Souza – Matemática – 21/03/09 1 0 -2 5 - 4 20 -3 -15 13 - 26
  • 2. O conjunto Z dos Números Inteiros Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Exemplos de subconjuntos do conjunto Z: (a) Conjunto dos números inteiros, excluído o número zero: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} (b) Conjunto dos números inteiros não negativos: Z + = {0, 1, 2, 3, 4,...} (c) Conjunto dos números inteiros não positivos: Z - = {..., -4, -3, -2, -1, 0}
  • 3. Os números inteiros são encontrados com freqüência em nosso cotidiano, por exemplo: ♦ Exemplo 1: Um termômetro em certa cidade que marcou 10°C acima de zero durante o dia, à noite e na manhã seguinte o termômetro passou a marcar 3°C abaixo de zero. Qual a relação dessas temperaturas com os números inteiros? Quando falamos acima de zero , estamos nos referindo aos números positivos e quando falamos dos números abaixo de zero estamos referindo aos números negativos . +10° C ------------- 10° C acima de zero - 3° C --------------- 3° C abaixo de zero ♦ Exemplo 2: Vamos imaginar agora que uma pessoa tem R$500,00 depositados num banco e faça sucessivas retiradas:  • dos R$500,00 retira R$200,00 e fica com R$300,00   • dos R$300,00 retira R$200,00 e fica com R$100,00 • dos R$100,00 retira R$200,00 e fica devendo R$ 100,00 A última retirada fez com que a pessoa ficasse devendo dinheiro ao banco. Assim: Dever R$100,00 significa ter R$100,00 menos que zero. Essa dívida pode ser representada por – R$100,00.
  • 4.     Nas situações exemplificadas, utilizamos os números naturais precedidos pelos sinais + ou - .     Os números precedidos pelo sinal + são chamados de números inteiros positivos ( +1, +2, +3, ...)     Os números precedidos pelo sinal - são chamados de números inteiros negativos (-1, -2, -3, ...).     Para visualizarmos melhor essas situações podemos utilizar a reta numérica, onde nosso referencial é o número zero. Os números negativos ficarão à esquerda do zero e os números positivos ficarão à direita do zero.
  • 5. Ordem e Simetria no conjunto Z O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z). Exemplos: (a) 3 é sucessor de 2 (b) -4 é sucessor de -5 (c) 0 é antecessor de 1 (d) 1 é sucessor de 0 (e) -1 é sucessor de -2 (f) -2 é antecessor de -1 Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0 . Exemplos: ( a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3. (b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.
  • 6. Soma (adição) de números inteiros Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder. Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado. Exemplos: (a) -3 + 3 = 0 (b) +6 + 3 = 9 (c) +5 - 1 = 4 (d) – 4 + 1 = -3 (-8) + (+5) = (-3) perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (+8) + (-5) = (+3) ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (-3) + (-4) = (-7) perder 3 + perder 4 = perder 7 (+3) + (+4) = (+7) ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7
  • 7. Multiplicação (produto) de números inteiros A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x , isto é: 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60 Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos. Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais: (+1) × (+1) = (+1) (+1) × (-1) = (-1) (-1) × (+1) = (-1) (-1) × (-1) = (+1) Com o uso das regras acima, podemos concluir que: negativo diferentes positivo iguais Resultado do produto Sinais dos números
  • 8. Quociente de dois números inteiros com sinais diferentes. (- 45) : (+ 5) = - 9 (+45) : ( -5) = -9 O quociente de uma divisão exata entre dois números inteiros, com divisor diferente de zero e sinais diferentes é um número inteiro de: Sinal: negativo (-). Quociente de dois números inteiros com sinais iguais . (- 60) : (- 10) = + 6 (+ 60) : (+ 10) = + 6 O quociente de uma divisão exata entre dois números inteiros, com divisor diferente de zero e sinais iguais é um número inteiro de: Sinal: positivo (+). Acontece da mesma forma que na multiplicação, dividimos os valores absolutos e o sinal é conforme a regra: - : + = - + : + = + - : - = + Observações: • Não existe divisão por zero. Exemplo: 15 : 0, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja 15. • Zero dividido por qualquer número é sempre zero.
  • 9. Jogo sugerido: Dominó dos números inteiros As regras O jogo segue as regras do dominó tradicional, as pedras oferecem cálculos e respostas que devem ser colocadas na ordem correta, a pedra “branca” substituirá qualquer resultado ou operação. Pode jogar 2, 3 ou 4 alunos. Dois alunos: 7 pedras para cada, 14 pedras constituirão o monte, caso algum alguém não tenha a pedra para jogar deverá comprar no monte. Três alunos: 7 pedras para cada um, 7 pedras no monte. Quatro alunos: 7 pedras para cada um. No jogo com quatro alunos não teremos o monte, aquele que não obter o resultado para jogar passa a vez para o próximo. Para obter o modelo do dominó acesse: http://www.educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/domino-dos-numeros-inteiros.htm
  • 10. Bibliografia: Projeto Araribá – Matemática (6ª Série) Editora Moderna Páginas pesquisadas: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/inteiros/inteiros.htm www.brasilescola.com/matematica/numeros-inteiros.htm www.drec.min-edu.pt/Eviprof/resources/school7/files/trab3/files/operacoes_inteiros.pdf http://www.educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/domino-dos-numeros-inteiros.htm