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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Derivação Logarítmica
Contato: nibblediego@gmail.com
Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 08/07/2015 - Atualizado em 31/10/2018
O que é?
A derivação logarítmica é uma técnica usada para facilitar a derivada de funções
mais complexas.
O que preciso saber?
Basicamente as propriedades operatórias dos logaritmos.
p1: ln(A · B) = ln(A) + ln(B);
p2: ln
A
B
= ln(A) − ln(B);
p3: ln(A)b
= b·ln(A).
oBS.: Apesar da derivação logarítmica ser uma boa ferramenta prática, normal-
mente ela pode ser dispensada.
Exemplo 1: Encontre a derivada de y = (2 + 1)5(4 − 3)6.
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
ln(y) = ln((2 + 1)5(4 − 3)6)
usando p1
ln(y) = ln(2 + 1)5 + ln(4 − 3)6
usando p3
ln(y) = 5 · ln(2 + 1) + 6 · ln(4 − 3)
1
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
derivando a equação anterior
1
y
dy
d
=
10
2 + 1
+
243
4 − 3
⇒
dy
d
=
10
2 + 1
+
243
4 − 3
y
Como y = (2 + 1)5(4 − 3)6 então:
dy
d
=
10
2 + 1
+
243
4 − 3
((2 + 1)5
(4
− 3)6
)
Exemplo 2: Encontre a derivada de y =
sen2()tg4()
(2 + 1)2
.
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
n(y) = n
sen2()tg4()
(2 + 1)2
usando p2
n(y) = n(sen2()tg4()) - n(2 + 1)2)
usando p1
n(y) = n(sen2()) + n(tg4()) − n(2 + 1)2)
usando p3
n(y) = 2 · n(sen()) + 4 · n(tg()) − 2 · n(2 + 1))
2
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
derivando a equação anterior
1
y
dy
d
=
2cos()
sen()
+
4sec2()
tg()
−
4
2 + 1
⇒
dy
d
= 2
cos()
sen()
+
2sec2()
tg()
−
2
2 + 1
y
Como y =
sen2()tg4()
(2 + 1)2
então:
dy
d
= 2
cos()
sen()
+
2sec2()
tg()
−
2
2 + 1
sen2()tg4()
(2 + 1)2
Exemplo 3: Encontre a derivada de y = .
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
n(y) = n ()
usando p3
n(y) =  · n()
derivando a equação anterior
1
y
dy
d
= n() + 1
⇒
dy
d
= (n() + 1)y
Como y =  então:
dy
d
= 
n() + 
3
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exemplo 4: Encontre a derivada de y = sen()
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
n(y) = n(sen())
usando p3
n(y) = sen() · n()
Derivação a equação anterior implicitamente em relação a 
1
y
dy
d
= cos()n() +
sen()

dy
d
= cos()n() +
sen()

y
Como y = sen() então:
dy
d
= cos()n() +
sen()

sen()
Exemplo 5: Encontre a derivada de y = cos()
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
ln(y) = lncos()
usando p3
n(y) =  · n(cos())
Aplicando a regra da cadeia ao lado direito e derivação implícita do lado esquerdo
1
y
dy
d
= n(cos()) − tg()
4
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
⇒
dy
d
= (n(cos()) − tg()) y
como y = cos() então:
dy
d
= (n(cos()) − tg()) cos()
Exemplo 6: Encontre a derivada de y = tg()1/
Solução
Aplicamos o logaritmo a toda a função
n(y) = n · tg()1/
usando p3
n(y) = (1/)n(tg())
Aplicando a regra da cadeia ao lado direito e derivação implícita do lado esquerdo
1
y
dy
d
= −
1
2
n(tg()) +
1

cossec2()
tg()
⇒
dy
d
= −
1
2
n(tg()) +
1

cossec2()
tg()
y
Como y = tg()1/ então:
dy
d
= −
1
2
n(tg()) +
1

cossec2()
tg()
tg()1/
5
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
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Derivação Logarítmica - Exemplos Resolvidos

  • 1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Derivação Logarítmica Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 08/07/2015 - Atualizado em 31/10/2018 O que é? A derivação logarítmica é uma técnica usada para facilitar a derivada de funções mais complexas. O que preciso saber? Basicamente as propriedades operatórias dos logaritmos. p1: ln(A · B) = ln(A) + ln(B); p2: ln A B = ln(A) − ln(B); p3: ln(A)b = b·ln(A). oBS.: Apesar da derivação logarítmica ser uma boa ferramenta prática, normal- mente ela pode ser dispensada. Exemplo 1: Encontre a derivada de y = (2 + 1)5(4 − 3)6. Solução Aplicamos o logaritmo a toda a função ln(y) = ln((2 + 1)5(4 − 3)6) usando p1 ln(y) = ln(2 + 1)5 + ln(4 − 3)6 usando p3 ln(y) = 5 · ln(2 + 1) + 6 · ln(4 − 3) 1
  • 2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA derivando a equação anterior 1 y dy d = 10 2 + 1 + 243 4 − 3 ⇒ dy d = 10 2 + 1 + 243 4 − 3 y Como y = (2 + 1)5(4 − 3)6 então: dy d = 10 2 + 1 + 243 4 − 3 ((2 + 1)5 (4 − 3)6 ) Exemplo 2: Encontre a derivada de y = sen2()tg4() (2 + 1)2 . Solução Aplicamos o logaritmo a toda a função n(y) = n sen2()tg4() (2 + 1)2 usando p2 n(y) = n(sen2()tg4()) - n(2 + 1)2) usando p1 n(y) = n(sen2()) + n(tg4()) − n(2 + 1)2) usando p3 n(y) = 2 · n(sen()) + 4 · n(tg()) − 2 · n(2 + 1)) 2
  • 3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA derivando a equação anterior 1 y dy d = 2cos() sen() + 4sec2() tg() − 4 2 + 1 ⇒ dy d = 2 cos() sen() + 2sec2() tg() − 2 2 + 1 y Como y = sen2()tg4() (2 + 1)2 então: dy d = 2 cos() sen() + 2sec2() tg() − 2 2 + 1 sen2()tg4() (2 + 1)2 Exemplo 3: Encontre a derivada de y = . Solução Aplicamos o logaritmo a toda a função n(y) = n () usando p3 n(y) =  · n() derivando a equação anterior 1 y dy d = n() + 1 ⇒ dy d = (n() + 1)y Como y =  então: dy d =  n() +  3
  • 4. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exemplo 4: Encontre a derivada de y = sen() Solução Aplicamos o logaritmo a toda a função n(y) = n(sen()) usando p3 n(y) = sen() · n() Derivação a equação anterior implicitamente em relação a  1 y dy d = cos()n() + sen()  dy d = cos()n() + sen()  y Como y = sen() então: dy d = cos()n() + sen()  sen() Exemplo 5: Encontre a derivada de y = cos() Solução Aplicamos o logaritmo a toda a função ln(y) = lncos() usando p3 n(y) =  · n(cos()) Aplicando a regra da cadeia ao lado direito e derivação implícita do lado esquerdo 1 y dy d = n(cos()) − tg() 4
  • 5. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA ⇒ dy d = (n(cos()) − tg()) y como y = cos() então: dy d = (n(cos()) − tg()) cos() Exemplo 6: Encontre a derivada de y = tg()1/ Solução Aplicamos o logaritmo a toda a função n(y) = n · tg()1/ usando p3 n(y) = (1/)n(tg()) Aplicando a regra da cadeia ao lado direito e derivação implícita do lado esquerdo 1 y dy d = − 1 2 n(tg()) + 1  cossec2() tg() ⇒ dy d = − 1 2 n(tg()) + 1  cossec2() tg() y Como y = tg()1/ então: dy d = − 1 2 n(tg()) + 1  cossec2() tg() tg()1/ 5
  • 6. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number890.wordpress.com Para aulas particulares, digitação de texto em LATEXe resolução de listas de exer- cícios entre em contato. nbbedego@gm.com .ƒcebook.com/theNmberType .nmber890.ordpress.com 6