introducao a teoria dos numeros

1. Prof. Jorge
A linguagem dos
números

2. Prof. Jorge
Os conjuntos numéricos
 Como surgiram os números? Eles foram sendo
criados pouco a pouco. A cada nova dificuldade
ou necessidade, o homem e a ciência foram
juntando novos tipos de números aos já
existentes.
 Com o tempo, por questões práticas, foi preciso
agrupá-los, formando estruturas com
características e propriedades comuns.

3. Prof. Jorge
Conjuntos – Conceitos iniciais
 Ficaram definidos, assim, os conjuntos numéricos
 ℕ, dos números naturais;
 ℤ, dos números inteiros;
 ℚ, dos números racionais;
 ℝ, dos números reais;
 ℂ, dos números complexos.

4. Prof. Jorge
Conjunto dos números naturais (ℕ)
 A necessidade de contar surgiu com o início da
civilização dos povos. Povos primitivos contavam
apenas um, dois e muitos. Esses três conceitos,
sozinhos, já resolviam seus problemas. Depois
outras quantidades (três, quatro, etc.) foram
sendo incorporadas. A idéia do zero só surgiu mais
tarde.
 Números utilizados para contar formam o conjunto
ℕ dos números naturais, definido assim:
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

5. Prof. Jorge
Conjunto dos números inteiros (ℤ)
 A soma e o produto de dois naturais são sempre
naturais. Mas a diferença de dois naturais nem
sempre é natural. Por exemplo,
(5 – 2)  ℕ, mas (2 – 5)  ℕ
 Subtrações como essa última só são definidas com
a introdução dos números inteiros negativos (–1,
–2, –3, –4, ...).
 A união dos naturais com os inteiros negativos
forma o conjunto ℤ dos números inteiros.
ℤ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

6. Prof. Jorge
Conjunto dos números inteiros (ℤ)
 Podemos separar os inteiros em três categorias:
 Os positivos: 1, 2, 3, 4, ...
 O zero: 0
 Os negativos: –1, –2, –3, –4, ...
 De maneira geral, se k é um número inteiro, o número
–k também é inteiro.
 Dizemos que k e –k são simétricos ou opostos.

7. Prof. Jorge
Conjunto dos números inteiros (ℤ)
 Simetria em relação ao zero.
0
-1
-2
-3
-4 1 2 4
3

8. Prof. Jorge
Exemplo
 De dois inteiros simétricos k e –k, não-nulos, qual
é o positivo? Qual o negativo?
 Dois inteiros simétricos podem ser iguais?
 A soma, a diferença, o produto e o quociente de
dois inteiros são sempre inteiros?

9. Prof. Jorge
Conjunto dos números inteiros (ℤ)
 Definem-se, em ℤ, as relações de igualdade e de
ordem (desigualdade).
 Se p e q são dois inteiros, eles satisfazem uma, e
somente uma, das seguintes relações:
 p = q (p é igual a q);
 p < q (p é menor que q);
 p > q (p é maior que q).
→ 3 – 5 = 2
→ –5 < –1 < 0 < 3
→ 7 > 2 > 0 > –4

10. Prof. Jorge
Observação
 Certos subconjuntos de ℕ e ℤ são definidos por
meio de desigualdades. No caso, devemos estar
atentos ao universo indicado.
 Exemplos
 A = {x  ℕ / x < 4} → A = {0, 1, 2, 3}.
 B = {x  ℤ / –3 ≤ x < 2} → B = {–3, –2, –1, 0,
1}.
 C = {x  ℤ / x ≥ –2} → C = {–2, –1, 0, 1, ...}.

11. Prof. Jorge
Observação
 Os conjuntos numéricos podem vir acompanhados
de certos símbolos, que têm a função de excluir,
dele, determinados números. Veja:
 O símbolo asterisco (*) exclui o zero;
 O símbolo mais (+) exclui os negativos;
 O símbolo menos (–) exclui os positivos.

12. Prof. Jorge
Observação
 Quando colocamos os inteiros em ordem crescente,
valem os conceitos de antecessor e sucessor. O
antecessor de 8 é o 7 e o sucessor de 8 é o 9.
Identifique, entre as sentenças a seguir, as que são
verdadeiras.
 O antecessor de –6 é –5 ( ).
 Se p é inteiro, seu sucessor é (p + 1) e seu antecessor
(p – 1) ( ).
 Se p, é par e q ímpar, então (p + 1).q é impar ( ).
 Se p é par e q é ímpar, então (p + q).(q + 1) é par ( ).
 No conjunto dos naturais, 0 não tem antecessor ( ).

13. Prof. Jorge
Conjunto dos números racionais (ℚ)
 A necessidade de operar com grandezas que nem
sempre podem ser representadas por números
inteiros e, consequentemente exigem subdivisões
levou à criação dos números fracionários:
3
5
,
8
7
,
1
10
, etc.
 Divisões como essas são definidas com a introdução
do conceito de número racional.

14. Prof. Jorge
Conjunto dos números racionais (ℚ)
 Todo quociente p/q da divisão de um inteiro p por
um inteiro q (q ≠ 0) é chamado de número
racional.
 Veja a definição do conjunto ℚ dos números
racionais.
ℚ = {x/x = p/q; p, q  ℤ, q ≠ 0}

15. Prof. Jorge
Exemplo
 São racionais os seguintes números
8
2
= 4  (inteiro)
3
7
 (fracionário de termos inteiros)
–3
8
= –0,375  (decimal exato)
5
9
= 0,555...  (dízima periódica)

16. Prof. Jorge
Conjunto dos números racionais (ℚ)
 Em resumo, são números racionais
 Os números inteiros;
 Os números fracionários;
 Os decimais exatos;
 As dízimas periódicas.

17. Prof. Jorge
Transformando decimais exatos em frações
 Um número decimal exato é sempre igual a uma
fração, cujo denominador é uma potência de base
10 e expoente natural.
 Exemplos
0,35 =
35
102
=
35
100
=
7
20
–1,8 =
–18
101
=
–18
10
=
–9
5

18. Prof. Jorge
Transformando decimais periódicos em frações
 Numa dízima periódica, o grupo de algarismos que
se repete é chamado período da dízima. Por
exemplo na dízima 23, 4727272..., o período é 72.
 A fração que dá origem a uma dízima é a sua
geratriz.

19. Prof. Jorge
Exemplos
 Achar a fração geratriz da dízima periódica
0,424242...
Suponhamos (1)
x = 0,424242...
100 . x = 100 . 0,424242...
100x = 42,4242...
⇒
⇒
(2)
subtraindo (2) – (1), membro a membro
100x = 42,4242...
– x = 0,424242...
99x = 42
⇒
x =
42
99
=
14
33

20. Prof. Jorge
Exemplos
 Encontrar a fração geratriz da dízima periódica
4,73333...
Suponhamos (1)
x = 4,73333...
10 . x = 10 . 4,73333...
10x = 47,3333...
⇒
⇒
(2)
subtraindo (2) – (1), membro a membro
10x = 47,33333...
– x = 4,73333...
9x = 42,6
⇒
90x = 426
⇒
x =
426
90
=
71
15

21. Prof. Jorge
Conjunto dos números racionais (ℚ)
 Podemos representar os números racionais por
pontos pertencentes a uma reta orientada,
bastando para isso fazer subdivisões convenientes
no eixo dos inteiros.
0
-1
-2
-3 1 2 3
0,333...
0,6
–5/3 1,5
–6/5

22. Prof. Jorge
Conjunto dos números reais (ℝ)
 Vimos anteriormente, que os únicos números
decimais racionais são os exatos e as dízimas
periódicas.
 Existirão números decimais que não sejam exatos
nem dízimas? Ou seja, números decimais não-
racionais?

23. Prof. Jorge
Conjunto dos números reais (ℝ)
 Veja a figura a seguir. Ela mostra um triângulo
retângulo cujos catetos medem 1 unidade. Veja o
cálculo de sua hipotenusa.
x
1
1
x2 = 12 + 12
x2 = 2
x = √2
 Extraindo a raiz quadrada de 2 nos levará ao número
1,41421356237... que não é racional.

24. Prof. Jorge
Conjunto dos números reais (ℝ)
 Números com √2 são chamados de números
irracionais. Sua representação decimal não é exata
e nem periódica.
 De modo geral, número irracional é todo número
que, escrito na forma decimal, é infinito e não-
periódico. Veja alguns exemplos:
 √3 = 1,73205080...
 3√5 = 1,70099759...
  = 3,141592653...
 0,202202220...

25. Prof. Jorge
Você sabia?
 que  é aproximadamente
3,14159265358979323846264338327950288419716
939937510582097494459230781640628620899862
803482534211706798214808651328230664709384
460955058223172535940812848111745028410270
193852110555964462294895493038196442881097
566593344612847564823378678316527120190914
564856692346034861045432664821339360726024
91412737245870066…?

26. Prof. Jorge
Conjunto dos números reais (ℝ)
 A reunião dos racionais com os irracionais resulta
no conjunto dos números reais. Ele é a partir de
agora, o nosso universo numérico.
ℝ = {x/x é racional ou irracional}

27. Prof. Jorge
Visão geral dos conjuntos numéricos
 No nosso estudo você deve ter notado como os
conjuntos numéricos ℕ, ℤ, ℚ e ℝ foram sendo
construídos. Na verdade, cada um deles amplia o
anterior, com acréscimo de novos tipos de
números.
ℕ ℤ ℚ ℝ
+ Inteiros
negativos
+ racionais
fracionários
+ irracionais

28. Prof. Jorge
Visão geral dos conjuntos numéricos
 Veja sua representação por diagrama.
Inteiros
negativos
racionais
fracionários
irracionais
ℕ ℤ ℚ ℝ

29. Prof. Jorge
O
Números reais como pontos da reta
 O conjunto ℝ dos números reais pode ser colocado
em correspondência com o conjunto dos pontos de
uma reta. Para isso definimos
 Um sentido positivo, indicado pela seta;
 Um ponto O, chamado origem, associado ao zero;
 uma unidade de medida arbitrária.
1 u
 A esta reta, damos o nome de reta real ou eixo real;

30. Prof. Jorge
Números reais como pontos da reta
 Na reta da figura marcamos os pontos O(0), A(1),
B(–3,5), C(4) e D(–2).
O
0
A C
B D
1 4
–2
–3,5
 Na representação:
A(1), 1 é a abscissa ou a coordenada do ponto A;
 Em geral: Escrevemos P(x) para indicar que o
ponto P está associado ao número x.

31. Prof. Jorge
Números reais como pontos da reta
 A reta estabelece uma ordenação para os números
reais, expressas por relações de desigualdade.
Sendo a e b dois reais distintos, temos:
 a < b (a é menor que b) significa que, na reta real,
a está à esquerda de b.
 a > b (a é maior que b) significa que, na reta real,
a está à direita de b.

32. Prof. Jorge
Números reais como pontos da reta
 Na reta real da figura a seguir, estão
representados os números reais 0, p e q.
O
0 q
p
Podemos escrever, por exemplo:
 p < 0 (p é negativo)
 q > 0 (q é positivo)
 p < 0 < q (0 está entre p e q)

33. Prof. Jorge
Observação
 A relação a ≤ b significa que (a < b ou a = b) e a
relação a ≥ b indica que (a > b ou a = b).
 a ≤ b (a é menor que ou igual a b)
 a ≥ b (a é maior que ou igual a b)
 Exemplos
 5 ≥ 3 (5 é maior ou igual a 3)
 –2 ≤ 1 (–2 é menor ou igual a 1)

34. Prof. Jorge
O C
b
a
Exemplos
 A figura mostra a reta real, em que O é a origem.
São dados os pontos A(a) e B(b) e sabe-se que
OA = OC.
A B
a) Quais são as abscissas de dos pontos O e C.
b) Complete os pontilhados com os sinais de
desigualdade > ou <.
a .... 0 –a .... 0 a + b .... 0 a2 .... 0
b .... 0 –b .... 0 ab .... 0 –b .... a
0 e –a
< > > >
> < < <

35. Prof. Jorge
Intervalos reais

36. Prof. Jorge
2
–3
Intervalos reais
 Considere os conjuntos A = {x  ℤ /–3 ≤ x < 2} e
B = {x  ℝ /–3 ≤ x < 2}. É verdade que A = B?
 O conjunto A tem apenas os elementos –3, –2, –1, 0 e
1, enquanto o conjunto B tem infinitos elementos,
dentre os quais estão os elementos de A.
 O conjunto A pode ter seus elementos representados
na reta real, delimitando-se uma parte dessa reta.
veja

37. Prof. Jorge
Intervalos reais
 Muitas vezes trabalhamos com determinados
subconjuntos de ℝ (partes da reta), denominados
intervalos reais. Em geral eles são definidos por
desigualdades.
 Suponhamos dois números reais a e b tais que
a < b. Os subconjuntos de ℝ definidos a seguir são
chamados de intervalos reais de extremos a e b.

38. Prof. Jorge
b
a
Intervalos reais – limitados
 Intervalo fechado a, b.
 Representações: [a, b] = {x  ℝ /a ≤ x ≤ b}
Na reta real:
b
a
 Intervalo aberto a, b.
 Representações: ]a, b[ = {x  ℝ /a < x < b}
Na reta real:

39. Prof. Jorge
b
a
Intervalos reais – limitados
 Intervalo fechado em a e aberto em b.
 Representações: [a, b[ = {x  ℝ /a ≤ x < b}
Na reta real:
b
a
 Intervalo aberto em a e fechado em b.
 Representações: ]a, b] = {x  ℝ /a < x ≤ b}
Na reta real:

40. Prof. Jorge
Observação
 Observe que cada intervalo inclui todos os reais
entre a e b; para os extremos a e b, temos:
 inclusão do extremo  fechado  bolinha cheia
(•)  colchetes normais [ ].
 exclusão do extremo  aberto  bolinha vazia
(o)  colchetes invertidos ] [.

41. Prof. Jorge
a
Intervalos reais – ilimitados
 Intervalo de a fechado até +.
 Representações: [a, +[ = {x  ℝ / x ≥ a}
Na reta real:
a
 Intervalo de a aberto até +.
 Representações: ]a, +[ = {x  ℝ /x > a}
Na reta real:

42. Prof. Jorge
a
Intervalos reais – ilimitados
 Intervalo de – até a fechado.
 Representações: ]–, a] = {x  ℝ / x ≤ a}
Na reta real:
a
 Intervalo de – até a aberto.
 Representações: ]–, a[ = {x  ℝ /x < a}
Na reta real:

43. Prof. Jorge
5
–3
Exemplos
 Vamos analisar, em detalhes, o intervalo real
A = [–3, 5[.
 Temos um intervalo fechado em –3 e aberto em 5;
 Representa todos os reais entre –3 e 5;
 Inclui o extremo –3 e exclui o extremo 5.
A = {x  ℝ / –3 ≤ x < 5}
Note que: –3  A; 4,99  A; 5  A

44. Prof. Jorge
Exemplos
 Vamos analisar, agora, o intervalo B, representado
na reta real.
 temos um intervalo aberto de 2 a +;
 estão indicados todos os reais maiores que 2;
 o extremo 2 está excluído;
B = {x  ℝ / x > 2}
Note que: 0  B; 2  B; 2,001  B; 1035  B
2

45. Prof. Jorge
Operações com
intervalos reais

46. Prof. Jorge
Operando com intervalos reais
 Podemos efetuar, com intervalos, as operações
usuais com conjuntos.
 A  B  A interseção B: conjunto dos elementos
comuns a A e B;
 A  B  A união B: conjunto dos elementos que
pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B;
 A – B  A menos B: conjunto dos elementos que
pertencem a A e não pertencem a B.
 Na prática, operações que envolvem intervalos são
efetuadas a partir da representação na reta real.

47. Prof. Jorge
–2 5
3
3 5
Exemplo
 Dado os intervalos A = ]–2, 5] e B = ]3, +[, obter
A  B, A  B e A – B.
 Cálculo de A  B.
A = ]–2, 5]
B = ]3,+[
A ⋂ B = ]3, 5]

48. Prof. Jorge
–2 5
3
–2
Exemplo
 Dado os intervalos A = ]–2, 5] e B = ]3, +[, obter
A  B, A  B e A – B.
 Cálculo de A  B.
A = ]–2, 5]
B = ]3,+[
A  B = ]–2, +[

49. Prof. Jorge
–2 5
3
–2 3
Exemplo
 Dado os intervalos A = ]–2, 5] e B = ]3, +[, obter
A  B, A  B e A – B.
 Cálculo de A – B.
A = ]–2, 5]
B = ]3,+[
A ⋂ B = ]–2, 3]

50. Prof. Jorge
Exemplos
 Complete o quadro abaixo.
{x  ℝ; x ≥ 3}
[3,+[
{x  ℝ; –7 ≤ x < 4}
[–7, 4[
{x  ℝ; –2 ≤ x ≤ ½}
[–2, ½]
{x  ℝ; x > –1}
]–1, +[
{x  ℝ; –5 < x ≤ 2}
]–5, 2]
{x  ℝ; x ≤ 5}
]–, 5]
Subconjunto de ℝ
Representação na
reta
intervalo
5
2
–5
–1
½
–2
4
–7
3

51. Prof. Jorge
Exemplos
 Chama-se amplitude de um intervalo real limitado
e fechado a medida de seu comprimento na reta
real, ou ainda, a distância entre seus extremos.
a) Qual é a amplitude dos intervalos [2, 5] e [–3, 4]?
b) Sendo a e b reais, com a < b, qual é a amplitude
do intervalo [a, b]?
c) Escreva todos os intervalos fechados de amplitude
4, sendo –1 um de seus extremos.
3 e 7
b – a
[–5, –1] e [–1, 3]

52. Prof. Jorge
Exemplos
 Escreva dois intervalos A e B, limitados, aos quais
pertença o real  e não pertençam os reais 3 e 4.
Escreva, também, um intervalo limitado C, de
amplitude 1,5 e ao qual pertençam dois números
primos.
A = ]3, ] e B = [, 4[
C = [2; 3,5]