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AULA 1
MATEMÁTICA
E chegamos aos nossos dias ...
O conjunto dos números inteiros (Z) é a união
dos números naturais (N) com os números
negativos.
N = {0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
números negativos: ..., - 4, - 3, - 2, - 1
Z = {..., - 4, - 3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Observação:
Na verdade o zero não é um número natural, pois ele, por si só, não serve para
contar, que é a principal função dos números naturais. Porém, optamos por
mantê-lo no conjunto N.
Adição e Subtração de Números Inteiros
Exemplos:
* (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos
números)
* (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos
números)
* (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos
números)
* (+15) - (+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número
que estava depois da subtração)
* (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número
que estava depois da subtração)
Lembrete:
Para facilitar seu entendimento, efetue esta operações pensando em débito
(número negativo) e crédito (número positivo):
+ 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10
- 15 + 10, devo 15 reais se tenho só dez para pagar ainda fico devendo 5
Multiplicação e Divisão de Números Inteiros
Exemplos:
* (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +)
* (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +)
* (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -)
* (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -)
* (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +)
* (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -)
* (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +)
* (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +)
Lembrete:
Observe que a multiplicação ou divisão de números de mesmo sinal
o resultado e sempre positivo, a multiplicação ou divisão de
números de sinais diferentes o resultado é sempre negativo.
Potenciação de Números Inteiros
•Exemplos:
• (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9
• (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32
• (-8)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo)
• (+9)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo)
• (18)1 = 18 (todo número elevado a um é igual a ele mesmo)
Importante:
• (-2)2 = (-2) x (-2) = 4 é diferente de - 22 = -(2) x (2) = - (4) = - 4
• No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão ao
quadrado e no segundo caso apenas o número está elevado ao
quadrado.
O que é mesmo um número primo????
Um número inteiro p > 1 é dito ser um número
primo se seus únicos divisores positivos são o 1
e próprio p.
Exemplos (clássicos): 2,3,5,7,...,43,89 , etc...
Um número inteiro p > 1 que não é primo é dito
composto.
EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA
1) DEFINIÇÃO
• Chama-se de equação do 2º grau com uma incógnita, toda equação
que assume a forma:
ax² + bx + c = 0.
Onde:
 x é a incógnita.
 a, b e c são números reais, com a ≠ 0.
 a é coeficiente do termo em x².
 b é coeficiente do termo em x.
 c é o coeficiente do termo independente de x.
Exemplos:
a) 3x² + 4x + 1 = 0 (incógnita x)
a = 3 b = 4 c = 1
b) p² - 5p + 6 = 0 (incógnita p)
a = 1 b = -5 c = 6
c) -5t² + 7t – 2 = 0 (incógnita t)
a = -5 b = 7 c = -2
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU
• Seja a equação do 2º grau na forma normal:
ax² + bx + c = 0, com a≠0.
• Para determinarmos as raízes dessa equação, caso existam,
utilizaremos a fórmula resolutiva de Bhaskara:
• Onde: b² - 4.a.c , é chamado de discriminante da equação e
representado pela letra grega delta ( ). Assim:
b b² 4.a.c
x
2.a
  


b
x
2.a
  

EXEMPLOS:
Determine as raízes reais da equação: x² - 5x + 4 = 0.
- Temos que: a= 1, b= - 5 e c= 4.
- Calculando o discriminante da equação, obtemos:
- Substituindo os valores na fórmula resolutiva de Bhaskara:
- A equação tem duas raízes reais e diferentes que são 1 e 4.
       
 
b² 4.a.c ( 5)² 4.1.4 25 16
9
      
  

  

  
1
2
b ( 5) 9 5 3
x
2.a 2.1 2
5 3 8
x 4
2 2
5 3 2
x 1
2 2
Determine as raízes reais da equação: 3p² + 6p + 3 = 0.
- Calculando o discriminante, obtemos:
- Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:
- A equação tem raízes reais e iguais. A raiz é -1.
    
 
6² 4.3.3 36 36
0
   
 

  

  
1
2
6 0 6 0
p
2.3 6
6
p 1
6
6
p 1
6
20
Equações incompletas do 2º grau
Exemplos:
4 x² + 6x = 0 (a = 4, b = 6, c = 0)
-3 x² - 9 = 0 (a = -3, b = 0, c = -9)
2 x² = 0 (a = 2, b = 0, c = 0)
Uma equação do segundo grau é incompleta se
b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0.
Na equação incompleta o coeficiente a é diferente
de zero.
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  • 4. E chegamos aos nossos dias ...
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  • 10. O conjunto dos números inteiros (Z) é a união dos números naturais (N) com os números negativos. N = {0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} números negativos: ..., - 4, - 3, - 2, - 1 Z = {..., - 4, - 3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Observação: Na verdade o zero não é um número natural, pois ele, por si só, não serve para contar, que é a principal função dos números naturais. Porém, optamos por mantê-lo no conjunto N.
  • 11. Adição e Subtração de Números Inteiros Exemplos: * (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números) * (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números) * (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números) * (+15) - (+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração) * (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração) Lembrete: Para facilitar seu entendimento, efetue esta operações pensando em débito (número negativo) e crédito (número positivo): + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10 - 15 + 10, devo 15 reais se tenho só dez para pagar ainda fico devendo 5
  • 12. Multiplicação e Divisão de Números Inteiros Exemplos: * (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +) * (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +) * (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -) * (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -) * (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +) * (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -) * (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +) * (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +) Lembrete: Observe que a multiplicação ou divisão de números de mesmo sinal o resultado e sempre positivo, a multiplicação ou divisão de números de sinais diferentes o resultado é sempre negativo.
  • 13. Potenciação de Números Inteiros •Exemplos: • (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9 • (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32 • (-8)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo) • (+9)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo) • (18)1 = 18 (todo número elevado a um é igual a ele mesmo) Importante: • (-2)2 = (-2) x (-2) = 4 é diferente de - 22 = -(2) x (2) = - (4) = - 4 • No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão ao quadrado e no segundo caso apenas o número está elevado ao quadrado.
  • 14. O que é mesmo um número primo???? Um número inteiro p > 1 é dito ser um número primo se seus únicos divisores positivos são o 1 e próprio p. Exemplos (clássicos): 2,3,5,7,...,43,89 , etc... Um número inteiro p > 1 que não é primo é dito composto.
  • 15.
  • 16. EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA 1) DEFINIÇÃO • Chama-se de equação do 2º grau com uma incógnita, toda equação que assume a forma: ax² + bx + c = 0. Onde:  x é a incógnita.  a, b e c são números reais, com a ≠ 0.  a é coeficiente do termo em x².  b é coeficiente do termo em x.  c é o coeficiente do termo independente de x. Exemplos: a) 3x² + 4x + 1 = 0 (incógnita x) a = 3 b = 4 c = 1 b) p² - 5p + 6 = 0 (incógnita p) a = 1 b = -5 c = 6 c) -5t² + 7t – 2 = 0 (incógnita t) a = -5 b = 7 c = -2
  • 17. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU • Seja a equação do 2º grau na forma normal: ax² + bx + c = 0, com a≠0. • Para determinarmos as raízes dessa equação, caso existam, utilizaremos a fórmula resolutiva de Bhaskara: • Onde: b² - 4.a.c , é chamado de discriminante da equação e representado pela letra grega delta ( ). Assim: b b² 4.a.c x 2.a      b x 2.a    
  • 18. EXEMPLOS: Determine as raízes reais da equação: x² - 5x + 4 = 0. - Temos que: a= 1, b= - 5 e c= 4. - Calculando o discriminante da equação, obtemos: - Substituindo os valores na fórmula resolutiva de Bhaskara: - A equação tem duas raízes reais e diferentes que são 1 e 4.           b² 4.a.c ( 5)² 4.1.4 25 16 9                   1 2 b ( 5) 9 5 3 x 2.a 2.1 2 5 3 8 x 4 2 2 5 3 2 x 1 2 2
  • 19. Determine as raízes reais da equação: 3p² + 6p + 3 = 0. - Calculando o discriminante, obtemos: - Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara: - A equação tem raízes reais e iguais. A raiz é -1.        6² 4.3.3 36 36 0               1 2 6 0 6 0 p 2.3 6 6 p 1 6 6 p 1 6
  • 20. 20 Equações incompletas do 2º grau Exemplos: 4 x² + 6x = 0 (a = 4, b = 6, c = 0) -3 x² - 9 = 0 (a = -3, b = 0, c = -9) 2 x² = 0 (a = 2, b = 0, c = 0) Uma equação do segundo grau é incompleta se b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.