Princípio de Cavalieri

16.956 visualizações

Publicada em

Publicada em: Tecnologia
0 comentários
3 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
16.956
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
228
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
221
Comentários
0
Gostaram
3
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Princípio de Cavalieri

  1. 1.  Nasceu em Milão em 1598.  Aos 15 anos foi aluno do Galileu.  Membro de ordem religiosa dos jesuados.  Viveu em Milão e Roma.  Professor de matemática da universidade de Bolonha de 1629 até 1647.  Morreu em 1647 aos 49 anos.
  2. 2.  Em 1621, tornou-se assistente do Cardeal Federico Borromeo no monastério de Milão. Depois de ensinar teologia, tornou-se prior de São Pedro, em Lodi (1623). Após três anos em Lodi, foi para o monastério de Parma, sendo nomeado para cadeira de matemática em Bologna (1629), quando já estava desenvolvendo a famosa teoria dos indivisíveis, que apresentou na sua obra Geometria indivisibilis continuorum nova (1635).
  3. 3.  Deixou obra vasta abrangendo astronomia, óptica , geometria e trigonometria.  Introdução dos logaritmos na Europa(matemático influente).  Em 1632 publicou Directorium universale uranometricum contendo tabelas de seno, secantes e senos versos junto com os logaritmos até oito casas.  Tratado de geometria indivisibilibus publicada em 1635 ( apresenta seu método dos indivisíveis contendo o que hoje é conhecido como principio de cavalieri).  Exercitationes geometricae sex publicada em1647 na qual apresentou de maneira mais clara sua teoria.
  4. 4. Foi o primeiro matemático italiano que apreciou em todo seu valor os logarítimos.  Também figurou entre os primeiros que ensinaram a teoria copérnica dos planetas. Outros trabalhos seus dignos de renome são o desenvolvimento dado a trigonometria esférica, assim como o descobrimento das fórmulas relativas aos focos dos espelhos e das lentes.
  5. 5. Manteve contato com muitos matemáticos da época, como Galileu, Mersènne, Renieri, Rocca, Torricelli e Viviani. Seu último livro foi Trattato della ruota planetaria perpetua (1646). Faleceu em Bologna no ano de 1647.
  6. 6.  È um dos pilares que hoje conhecemos como calculo integral ajudando a definir a noção de integral.  Serve para calculo de áreas e volumes.  Podem resolver muitos problemas de mensuração que normalmente requerem técnicas avançadas de cálculo.
  7. 7. Se dois sólidos têm alturas iguais, e se secções feitas por planos paralelos ás bases e a distâncias iguais dessas estão sempre numa dada razão, então os volumes dos sólidos estão também nessa razão.
  8. 8. 10 O Princípio de Cavalieri e o Volume da esfera No século XVII o matemático Italiano Bonaventura Cavalieri estabelece um princípio básico para o cálculo de volumes, que diz que dois sólidos que tiverem a mesma altura e, sempre que seccionados por um mesmo plano gerarem áreas iguais, terão o mesmo volume. Se A1 = A2 então V1 = V2 Usaremos o Princípio de Cavalieri no cálculo do volume de uma esfera.
  9. 9. 11 Ao seccionarmos uma esfera por um plano qualquer, à uma distância d do seu centro, iremos sempre obter um círculo. x2 + d2 = r2 x é o raio do círculo. d é a distância do centro da esfera ao centro do círculo. r é o raio da esfera.
  10. 10. 13 Vamos considerar uma esfera de raio r apoiada sobre um plano . Ainda sobre esse plano, tomemos um cilindro eqüilátero de raio r e altura 2r. Desse cilindro retira-se dois cones com raio r e centro no ponto médio da altura do cilindro. Observe a figura abaixo: Se mostrarmos que as seções obtidas na esfera e no sólido que restou com a retirada dos cones têm a mesma área, pelo Principio de Cavalieri, poderemos obter o volume da esfera através do cálculo do volume do sólido formado.
  11. 11. 14 Verifiquemos que esses dois sólidos, quando “cortados” à uma distância h, de seus centros, geram áreas iguais. Sólido da esquerda – área da coroa =  r2 -  h2 = .(r2 – h2 ) Sóli do da direita – área do círculo =  x2 , mas como x2 = r2 – h2 , teremos Área do círculo = .(r2 – h2 ) x
  12. 12. 15 Logo, de acordo com Cavalieri, esses sólidos terão o mesmo volume, o que garante que o volume da esfera é igual ao volume do sólido que sobrou ao retiramos os dois cones, do cilindro. Se calcularmos o volume desse sólido, teremos o volume da esfera. Esse volume será igual ao volume do cilindro eqüilátero, de raio r, menos duas vezes o volume do cone, de raio r e altura r, vejamos: 3 πr4 3 πr2 πr2V 3 rπr 2.(2r)πrV 33 3 x 2 2 x   CONCLUSÃO: O Volume de uma esfera de raio r é dado pela fórmula: 3 r4π V 3 
  13. 13.  Calculo de Volumem de Esfera. Disponível em: http://212.170.234.89/educared/PDF/volumen_esfera.doc acesso em:11/11/2010.  BOYER, Carl B. História da Matemática. 2ªed. São Paulo: Edgard Blücher,1996.  DANTE, Luiz Roberto. Matemática ,volume único. São Paulo: Ática, 2005.  EVES, Howard. Introdução á História da Matemática. São Paulo: Editora da Unicamp, 2004.  IEZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar, volume 10. 7ªed. São Paulo: Atual,1996.  MARCÍLIO, Ulysses da Cruz. Geometria Espacial no Cabri 3D. Goiás: UFG, 2006. Disponível em: http://www.mat.ufg.br/bienal/2006/poster/ulysses.pdf acesso em: 11/11/2010.  PEIXOTO, Lourenço de Lima. A Construção do Pensamento sobre o Principio de Cavalieri Através da Lei da Alavanca.Uberlândia: Farmat revista,2003.Disponível em: http://www.famat.ufu.br/revista/revistadez2003/salaaula/ProjetoLourenco.pdf acesso em: 12/11/2010.  Principio de Cavalieri.Disponível em: http://caraipora.tripod.com/cavprin.htm acesso em :11/11/2010.  SÁ, Ilydio Pereira.Estudo das Esferas.Rio de Janeiro: UERJ-USS.Disponível em : http://www.magiadamatematica.com/uerj/cap/14-esferas.pps acesso em: 12/11/2010..  SMOLE, Kátia Cristina Stocco. Matemática,volume 2. 3ªed. reform. São Paulo: Saraiva, 2003.  TROTTA, Fernando. Matemática Aplicada. 3ª ed. São Paulo: Ed. Moderna, 1980.

×