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POLINÔMIOS,
PRODUTOS NOTÁVEIS
8º ANO
Professora Andréia
Polinômios
DEFINIÇÃO: Polinômios são qualquer adição algébrica de monômios.
MONÔMIOS: toda expressão algébrica inteira representada por um número ou apenas por
uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis.
Exemplos:
a)
m5
b) 2
p
c) xy2
d) my
Geralmente o monômio é formado por uma parte numérica chamada de coeficiente
numérico e por uma parte literal formada por uma variável ou por uma multiplicação de variáveis.
Exemplo:

22
mx2mx2 =
Os monômios que formam os polinômios são chamados de termos dos polinômios.
Obs. 1: O monômio ay4 é um polinômio de um termo só.
Obs. 2: y4x2 + é um polinômio de 2 termos: x2 e y4 .
Obs. 3: 4abx2 +− é um polinômio de 3 termos: x2 , ab− e 4.
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
Adição Algébrica de Polinômios
Para somarmos 2 ou mais polinômios, somamos apenas os termos semelhantes.
Exemplo:
a) Obter o perímetro do triângulo abaixo:
Como perímetro é a soma dos lados, teremos:
( ) ( ) ( )=+−+++ 3x4x3x1x 22
Coeficiente
Numérico
Parte Literal
2
x1+x
343 2
+− xx
termos semelhantes
=+−+++ 3x4x3x1x 22
termos semelhantes
 =++−++ 31x4xx3x 22

4x3x4 2
+− o resultado é um polinômio.
b)
( ) ( ) ( ) =+++−−− xy2xyx34xy4x 22
xy2xyx34xy4x 22
+−−−−−
=+−−−−− xy2xyx34xy4x 22
=−−+−−−    24xyxyxy4x3x 22
6xy4x2 2
−−−
Multiplicação Algébrica de Polinômios
A multiplicação de um polinômio por outro polinômio deve ser feita multiplicando-se cada
termo de um deles pelos termos do outro (propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos
semelhantes.
Primeiro eliminaremos os
parênteses tomando cuidado
quando houver sinal negativo
fora dos parênteses.
Exemplo:
a) ( ) ( )xxy2x 2
−⋅+
xy2xy2xxxx 22
⋅−⋅+⋅−⋅=
yx2yx2xx 223
−+−= e fica assim.
b) ( ) ( )b2a3ba2 −⋅+
b2ba3bb2a2a3a2 ⋅−⋅+⋅−⋅=
bb2ab3ba22aa32 ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=
22
2346 bababa
ssemelhantetermos
−+−=
  
22
b2aba6 −−=
c) ( ) ( ) =+−⋅− 2p3p1p2 2
Conserve a base e some
os expoentes.
=−++−−
=−+−+−
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅
2p3p4pp6p2
2p3pp4p6p2
p31p12p2p3p2pp2
223
223
22


2p7p7p2 23
−+−
d) ( ) ( )=−⋅− yy3xy4xxy 22
=+⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅
=⋅+⋅−⋅−⋅
222222
2222
yx4yyxx34xyyyxx3
yyx4yx3yx4yxyyx3xy
2224223
yx4yx12xyyx3 +−− não há termos semelhantes
Obs.: No item fatoração de polinômios veremos outras formas de apresentar esta resposta.
Divisão Algébrica de Polinômio
Divisão de um polinômio por um monômio
A divisão de um polinômio por um monômio deve ser feita dividindo-se cada termo do
polinômio pelo monômio.
Exemplo:
a) ( ) =÷+− 3234
x5x15x20x10
3
2
3
3
3
4
3
234
x5
x15
x5
x20
x5
x10
x5
x15x20x10
+−=
+−
=
x
3
4x2
x
1
314x2
x314x2
x3x4x2
x
5
15
x
5
20
x
5
10
1
1
101
323334
+−=
⋅+⋅−=
+⋅−=
+−=
⋅+⋅−⋅=
−
−
−−−
ou
3
2
3
3
3
4
3
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x5
x15
x5
x02
x5
x10
x5
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+−=
+−
x
3
4x2
xx
x3
14
x
xx2
x
x3
x
x4
x
x2
2
2
3
3
3
2
3
3
3
4
+−=
⋅
⋅
+⋅−
⋅
=
+−=
/
/
/
/
/
/
b) ( ) =÷− 224334
yx7yx7yx28
22
43
22
34
22
4334
yx7
yx7
yx7
yx82
yx7
yx7yx28
−=
−
=
22
212
24232324
xyyx4
yx1yx4
yx1yx4
−=
⋅⋅−=
⋅⋅−⋅⋅= −−−−
ou
22
43
22
34
22
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yx7
yx7
yx7
yx82
yx7
yx7yx28
−=
−
22
22
22
222
22
122
xyyx4
xy1yx4
yx.1
yyxx1
yx
yyxx4
−=
=−=
/⋅/
⋅/⋅⋅/⋅
−
/⋅/
⋅/⋅/⋅
= //
//
//
//2
Obs.: Na parte de fatoração de polinômios, veremos outras formas de apresentar esta resposta.
Como é mínimo múltiplo da fração,
podemos separar em duas frações.
PRODUTOS NOTÁVEIS
No cálculo algébrico alguns produtos são muito utilizados, e são de grande importância para
simplificações realizadas em expressões algébricas. Devido a importância, estes produtos são
chamados de produtos notáveis. Abaixo, enumeramos os mais utilizados:
1) ( ) ( ) 22
yxyxyx −=−⋅+
2) ( ) 222
yxy2xyx +±=±
Todos estes produtos são desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição e subtração. Se lembrarmos deste detalhe não precisaremos mais
decorá-los, observemos:
a) ( ) ( ) =+⋅− yxyx =−/−/+ 22
yxyyxx 22
yx −
b) ( ) =+
2
yx ( ) ( ) =+++=+⋅+ 22
yxyxyxyxyx 22
2 yxyx ++
c) ( ) =−
2
yx ( ) ( ) =+−−=−⋅− 22
yxyxyxyxyx 22
2 yxyx +−
d) ( ) =+
3
yx ( ) ( ) ( ) ( ) =++⋅+=+⋅+ 222
2 yxyxyxyxyx
=+++++= 322223
22 yxyyxxyyxx 3223
33 yxyyxx +++
Como utilizaremos os produtos notáveis?
Exemplos para simplificações:
a)
( )
( ) ( ) ( )yx
3
yxyx
yx3
yx
y3x3
notávelproduto22
−
=
−⋅+
+
 →
−
+
b) ( ) 16x8x44.x.2x4x 2222
++=++=+
Obs.: ( )2
4x + jamais será igual a 16x2
+ , basta lembrarmos que:
( ) ( ) ( ) 16x8x16x.44.xx4x4x4x 222
++=+++=+⋅+=+
c) ( )3
2a − jamais será 8a 3
− , pois:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−⋅−=−⋅−=− 4a4a2a2a2a2a 223
  8a12a6a8a8a2a4a4a 23223
−+−=−+−+−
Observemos que b é o fator comum,
portanto, deve ser colocado em
evidência com o menor expoente.
ALGUNS CASOS DE FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
A fatoração de polinômios será muito usada para simplificação de expressões algébricas e
para obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de frações algébricas.
Fatoração pela colocação de algum fator em evidência
Exemplos:
a) 2
bab −
Então ( )babbab 2
−=−
Ao efetuarmos o produto ( )abb −⋅ , voltaremos para a expressão inicial 2
bab − .
b) by4ay2 +
Assim: ( )b2ay2by4ay2 +=+
c) xb8bx16bx4 223
−−
( )b4x8x2bx2xb8bx16bx4 2223
−−=−−
2y é o fator comum;
2 é o mínimo (menor) divisor comum de 2 e 4;
Portanto 2y deve ser colocado em evidência.
Fator comum 2bx (as variáveis b e x com seus
menores expoentes)
2 é o mínimo (menor) divisor comum de 4, 16 e 8.
Portanto, 2bx deve ser colocado em evidência.
a
b
ab
bab ==÷
b
b
b
bb
2
2
==÷
a
y2
ay2
y2ay2 ==÷
b2
y2
by4
y2by4 ==÷
2
3
3
x2
bx2
bx4
bx2bx4 ==÷
x8
bx2
bx16
bx2bx16
2
2
−=
−
=÷−
b4
bx2
xb8
bx2xb8
2
2
−=
−
=÷−
Obs.: As variáveis que aparecem em todos os termos do polinômio aparecerão no fator comum
sempre com o menor expoente.
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  • 2. Polinômios DEFINIÇÃO: Polinômios são qualquer adição algébrica de monômios. MONÔMIOS: toda expressão algébrica inteira representada por um número ou apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis. Exemplos: a) m5 b) 2 p c) xy2 d) my Geralmente o monômio é formado por uma parte numérica chamada de coeficiente numérico e por uma parte literal formada por uma variável ou por uma multiplicação de variáveis. Exemplo:  22 mx2mx2 = Os monômios que formam os polinômios são chamados de termos dos polinômios. Obs. 1: O monômio ay4 é um polinômio de um termo só. Obs. 2: y4x2 + é um polinômio de 2 termos: x2 e y4 . Obs. 3: 4abx2 +− é um polinômio de 3 termos: x2 , ab− e 4. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS Adição Algébrica de Polinômios Para somarmos 2 ou mais polinômios, somamos apenas os termos semelhantes. Exemplo: a) Obter o perímetro do triângulo abaixo: Como perímetro é a soma dos lados, teremos: ( ) ( ) ( )=+−+++ 3x4x3x1x 22 Coeficiente Numérico Parte Literal 2 x1+x 343 2 +− xx
  • 3. termos semelhantes =+−+++ 3x4x3x1x 22 termos semelhantes  =++−++ 31x4xx3x 22  4x3x4 2 +− o resultado é um polinômio. b) ( ) ( ) ( ) =+++−−− xy2xyx34xy4x 22 xy2xyx34xy4x 22 +−−−−− =+−−−−− xy2xyx34xy4x 22 =−−+−−−    24xyxyxy4x3x 22 6xy4x2 2 −−− Multiplicação Algébrica de Polinômios A multiplicação de um polinômio por outro polinômio deve ser feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro (propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos semelhantes. Primeiro eliminaremos os parênteses tomando cuidado quando houver sinal negativo fora dos parênteses.
  • 4. Exemplo: a) ( ) ( )xxy2x 2 −⋅+ xy2xy2xxxx 22 ⋅−⋅+⋅−⋅= yx2yx2xx 223 −+−= e fica assim. b) ( ) ( )b2a3ba2 −⋅+ b2ba3bb2a2a3a2 ⋅−⋅+⋅−⋅= bb2ab3ba22aa32 ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅= 22 2346 bababa ssemelhantetermos −+−=    22 b2aba6 −−= c) ( ) ( ) =+−⋅− 2p3p1p2 2 Conserve a base e some os expoentes.
  • 5. =−++−− =−+−+− ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅ 2p3p4pp6p2 2p3pp4p6p2 p31p12p2p3p2pp2 223 223 22   2p7p7p2 23 −+− d) ( ) ( )=−⋅− yy3xy4xxy 22 =+⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅ =⋅+⋅−⋅−⋅ 222222 2222 yx4yyxx34xyyyxx3 yyx4yx3yx4yxyyx3xy 2224223 yx4yx12xyyx3 +−− não há termos semelhantes Obs.: No item fatoração de polinômios veremos outras formas de apresentar esta resposta. Divisão Algébrica de Polinômio Divisão de um polinômio por um monômio A divisão de um polinômio por um monômio deve ser feita dividindo-se cada termo do polinômio pelo monômio. Exemplo: a) ( ) =÷+− 3234 x5x15x20x10 3 2 3 3 3 4 3 234 x5 x15 x5 x20 x5 x10 x5 x15x20x10 +−= +− =
  • 6. x 3 4x2 x 1 314x2 x314x2 x3x4x2 x 5 15 x 5 20 x 5 10 1 1 101 323334 +−= ⋅+⋅−= +⋅−= +−= ⋅+⋅−⋅= − − −−− ou 3 2 3 3 3 4 3 234 x5 x15 x5 x02 x5 x10 x5 x15x20x10 +−= +− x 3 4x2 xx x3 14 x xx2 x x3 x x4 x x2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 4 +−= ⋅ ⋅ +⋅− ⋅ = +−= / / / / / / b) ( ) =÷− 224334 yx7yx7yx28 22 43 22 34 22 4334 yx7 yx7 yx7 yx82 yx7 yx7yx28 −= − = 22 212 24232324 xyyx4 yx1yx4 yx1yx4 −= ⋅⋅−= ⋅⋅−⋅⋅= −−−− ou 22 43 22 34 22 4334 yx7 yx7 yx7 yx82 yx7 yx7yx28 −= − 22 22 22 222 22 122 xyyx4 xy1yx4 yx.1 yyxx1 yx yyxx4 −= =−= /⋅/ ⋅/⋅⋅/⋅ − /⋅/ ⋅/⋅/⋅ = // // // //2 Obs.: Na parte de fatoração de polinômios, veremos outras formas de apresentar esta resposta. Como é mínimo múltiplo da fração, podemos separar em duas frações.
  • 7. PRODUTOS NOTÁVEIS No cálculo algébrico alguns produtos são muito utilizados, e são de grande importância para simplificações realizadas em expressões algébricas. Devido a importância, estes produtos são chamados de produtos notáveis. Abaixo, enumeramos os mais utilizados: 1) ( ) ( ) 22 yxyxyx −=−⋅+ 2) ( ) 222 yxy2xyx +±=± Todos estes produtos são desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração. Se lembrarmos deste detalhe não precisaremos mais decorá-los, observemos: a) ( ) ( ) =+⋅− yxyx =−/−/+ 22 yxyyxx 22 yx − b) ( ) =+ 2 yx ( ) ( ) =+++=+⋅+ 22 yxyxyxyxyx 22 2 yxyx ++ c) ( ) =− 2 yx ( ) ( ) =+−−=−⋅− 22 yxyxyxyxyx 22 2 yxyx +− d) ( ) =+ 3 yx ( ) ( ) ( ) ( ) =++⋅+=+⋅+ 222 2 yxyxyxyxyx =+++++= 322223 22 yxyyxxyyxx 3223 33 yxyyxx +++ Como utilizaremos os produtos notáveis? Exemplos para simplificações: a) ( ) ( ) ( ) ( )yx 3 yxyx yx3 yx y3x3 notávelproduto22 − = −⋅+ +  → − + b) ( ) 16x8x44.x.2x4x 2222 ++=++=+ Obs.: ( )2 4x + jamais será igual a 16x2 + , basta lembrarmos que: ( ) ( ) ( ) 16x8x16x.44.xx4x4x4x 222 ++=+++=+⋅+=+ c) ( )3 2a − jamais será 8a 3 − , pois: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−⋅−=−⋅−=− 4a4a2a2a2a2a 223   8a12a6a8a8a2a4a4a 23223 −+−=−+−+−
  • 8. Observemos que b é o fator comum, portanto, deve ser colocado em evidência com o menor expoente. ALGUNS CASOS DE FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS A fatoração de polinômios será muito usada para simplificação de expressões algébricas e para obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de frações algébricas. Fatoração pela colocação de algum fator em evidência Exemplos: a) 2 bab − Então ( )babbab 2 −=− Ao efetuarmos o produto ( )abb −⋅ , voltaremos para a expressão inicial 2 bab − . b) by4ay2 + Assim: ( )b2ay2by4ay2 +=+ c) xb8bx16bx4 223 −− ( )b4x8x2bx2xb8bx16bx4 2223 −−=−− 2y é o fator comum; 2 é o mínimo (menor) divisor comum de 2 e 4; Portanto 2y deve ser colocado em evidência. Fator comum 2bx (as variáveis b e x com seus menores expoentes) 2 é o mínimo (menor) divisor comum de 4, 16 e 8. Portanto, 2bx deve ser colocado em evidência. a b ab bab ==÷ b b b bb 2 2 ==÷ a y2 ay2 y2ay2 ==÷ b2 y2 by4 y2by4 ==÷ 2 3 3 x2 bx2 bx4 bx2bx4 ==÷ x8 bx2 bx16 bx2bx16 2 2 −= − =÷− b4 bx2 xb8 bx2xb8 2 2 −= − =÷−
  • 9. Obs.: As variáveis que aparecem em todos os termos do polinômio aparecerão no fator comum sempre com o menor expoente.
  • 10. Obs.: As variáveis que aparecem em todos os termos do polinômio aparecerão no fator comum sempre com o menor expoente.