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Produtos Notáveis
Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade
distributiva.
(a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²
(a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²
(a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²
Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se
esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes.
Afim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os
produtos notáveis.
Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para
evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém
serem memorizadas.
1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
( a + b ).( a – b ) = a² - b²
2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo
segundo, mais o quadrado do segundo.
( a + b )² = a² + 2ab +b²
3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro
pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
( a – b )² = a² - 2ab + b²
Existem muitas outras outras fórmulas:
( a + b ) ³ = a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³
(a – b )³ = a³ - 3 a²b + 3ab² - b³
Produtos Notáveis
1) Calcule os produtos notáveis:
a) (a+2)(a-2)
b) (xy+3z)(xy-3z)
c) (x²-4y)(x²+4y)
d)
e) (x+3)²
f) (2a-5)²
g) (2xy+4)²
h)
i) (x+4)³
j) (2a+b)³
l) (a-1)³
Exercício resolvido: Calcule 41.39 usando um produto notável.
(40+1)(40-1) = 40² -1² = 1.599
2) Calcule 101.99 usando um produto notável.
Fatoração
Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais
expressões, chamadas fatores.
Ex: ax + ay = a.(x+y)
Existem vários casos de fatoração como:
1) Fator Comum em evidência
Quando os termos apresentam fatores comuns
Observe o polinômio:
ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.
Assim: ax + ay = a.(x+y)
Forma fatorada
Exs : Fatore:
a) bx + by - bz = b.(x+y-z)
b)
c)
d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)
e)
2) Fatoração por agrupamento
Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios
especiais.
Como por exemplo:
ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos
possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:
a.(x+y) + b.(x+y)
Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em
evidência:
(x+y).(a+b)
Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)
Exs: Fatore:
a)
x é fator a é fator (x-3) é fator comum Forma
comum comum fatorada
b) é fator é
fator (2+a) é fator comum Forma
comum comum fatorada
3) Fatoração por diferença de quadrados:
Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença,
simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado
Assim:
Exs: Fatore:
a)
b)
c)
Note que é possível fatorar a expressão duas vezes
4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:
O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se
trinômio quadrado perfeito.
Por exemplo, os trinômios ( ) e ( ) são quadrados
perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado,
respectivamente.
Assim:
| |
| |
2x 3y
|__________|
|
2.2x.3y = 12xy » note que é igual ao segundo termo de
Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito.
= » forma fatorada
|_______________|
Sinal
Logo: = » forma fatorada
|_______________|
Sinal
Exs:
a)
b)
*Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos
fatorá-la por completo:
Exs:
a)
b)
Outros casos de fatoração:
1)
2)
3)
Fatoração
1) Fatore, colocando os fatores comuns em evidência:
Exemplos:
ax+2a = a(x+2)
a²-b² = (a+b)(a-b)
a² - 4ab + 4b² = (a-2b)²
2x²-2 = 2(x²-1) = 2(x+1)(x-1)
a) 3ax-7ay
b) x³ -x² + x
c) x³y² + x²y² + xy²
d) a²b² - ab³
e) a² + ab + ac + bc
f) x² - b²
g) x²-25
h) (x²/9 - y²/16)
i) x² + 4x + 4
j) a² + 6ab + 9b²
l) 144x²-1
m) ab + ac + 10b + 10c
n) 4a² - 4
o) x³y - xy³
p) x² + 16x + 64
q) 2x² + 4x + 2
r) ax³ + 2a²x² + a³x
Resolução do exercício e) a² + ab + ac + bc = a.(a+b) + c.(a+b) = (a+b).(a+c)
Cálculo Algébrico
Expressões Algébricas são aquelas que contém números e letras.
Ex: 2ax²+bx
Variáveis são as letras das expressões algébricas que representam um número
real e que de princípio não possuem um valor definido.
Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo
as variáveis por números e efetuamos suas operações.
Ex: Sendo x =1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da expressão:
x² + y » 1² + 2 =3 Portando o valor numérico da expressão é 3.
Monômio: os números e letras estão ligados apenas por produtos.
Ex : 4x
Polinômio: é a soma ou subtração de monômios.
Ex: 4x+2y
Termos semelhantes: são aqueles que possuem partes literais iguais ( variáveis )
Ex: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z » são termos semelhantes pois possuem a mesma
parte literal.
Adição e Subtração de expressões algébricas
Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar
ou subtrair os termos semelhantes.
Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z
ou
2 x³ y² z - 3x³ y² z = -x³ y² z
-Convém lembrar dos jogos de sinais.
Na expressão ( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) =
x³ +2 y² + 1 – y² + 2 = x³ + y² +3
Multiplicacão e Divisão de expressões algébricas
Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos usar a propriedade
distributiva.
Exemplos:
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2) (a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by
3) x ( x ² + y ) = x³ + xy
» Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos
os expoentes.
» Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes
Exemplos:
1) 4x² : 2 x = 2 x
2) ( 6 x³ - 8 x ) : 2 x = 3 x² - 4
3) =
[Resolução]
Cálculo Algébrico
1) Calcule:
Exemplo: (3x²+2x-1) + (-2x²+4x+2) = 3x²+2x-1-2x²+4x+2 = x²+6x+1
a) (3a-2b+c) + (-6a-b-2c) + (2a+3b-c)
b) (3x²-1/3) - (6x²-4/5)
c) (2a-3ab+5b) - (-a-ab+2b)
2) Efetue e simplifique:
Exemplo: (2x+3).(4x+1) = 8x²+2x+12x+3 = 8x²+14x+3
a) (2a+3b).(5a-b)
b) (x-y).(x²-xy+y²)
c) (3x-y).(3x+y).(2x-y)
3) Simplifique:
Exemplo: 10x³y²/5x²y = 2xy
a) 8a³b²/2ab²
b) 4a³-2a²+8a / 2a
c) 18x³y²/6x²y³
4) (Fuvest) O valor da expressão a³-3a²x²y², para a=10, x=3 e y=1 é:
(a) 100
(b) 50
(c) 250
(d) -150
(e) -200
5) (Fuvest) Se A=(x-y)/xy, x=2/5 e y=1/2, então A é igual a:
(a) -0,1
(b) 0,2
(c) -0,3
(d) 0,4
(e) -0,5
Respostas dos testes: 4)E, 5)E
Frações Algébricas
O cálculo de frações algébricas utiliza o mesmo processo do cálculo das frações
numéricas, admitindo-se sempre que o denominador não seja nulo, ou seja,
diferente de zero.
Simplificação de frações algébricas:
Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equivalente.
Para simplificar uma fração, fatoramos o numerador e o denominador.
Exs:
M.M.C de polinômios:
Para calcularmos o m.m.c de polinômios, basta igualá-lo ao produto dos fatores
comuns e não comuns, cada um deles com o maior expoente.
Exs:
» e
m.m.c =
e » m.m.c = (a+b)(a-b)
Não é possível fatorar nenhum dos polinômios, logo o m.m.c será o produto deles
e » e
m.m.c =
Adição e subtração de frações algébrica:
Quando as frações possuem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os
numeradores.
Ex:
Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzi-las ao
mesmo denominador e em seguida, somar ou subtrair os numeradores.
Ex:
Multiplicação e divisão de frações algébricas
Para multiplicar ou dividir frações algébricas, usamos o mesmo processo das
frações numéricas. Fatorando os termos da fração e simplificar os fatores comuns.
Exs:
Potenciação de frações algébricas
Utilizamos o mesmo processo das frações numéricas.
Exs:
Frações Algébricas
1) Ache o mínimo múltiplo comum (mmc) de:
a) (x²-9) e (x²+6x+9)
b) (x²+x), (x²-x) e (x³-x)
c) (x²-4), (x²-4x+4) e (x²+4x+4)
2) Simplifique:
a)
b)
c)
d)
3) Efetue:
a)
b)
4) Efetue as multiplicações:
a)
b)
c)
d)
e)
5) Efetue as divisões:
a)
b)
c)
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  • 1. Produtos Notáveis Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva. (a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b² (a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b² (a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c² Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes. Afim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis. Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas. 1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. ( a + b ).( a – b ) = a² - b² 2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. ( a + b )² = a² + 2ab +b² 3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. ( a – b )² = a² - 2ab + b² Existem muitas outras outras fórmulas: ( a + b ) ³ = a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³ (a – b )³ = a³ - 3 a²b + 3ab² - b³ Produtos Notáveis 1) Calcule os produtos notáveis: a) (a+2)(a-2) b) (xy+3z)(xy-3z) c) (x²-4y)(x²+4y) d)
  • 2. e) (x+3)² f) (2a-5)² g) (2xy+4)² h) i) (x+4)³ j) (2a+b)³ l) (a-1)³ Exercício resolvido: Calcule 41.39 usando um produto notável. (40+1)(40-1) = 40² -1² = 1.599 2) Calcule 101.99 usando um produto notável. Fatoração Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores. Ex: ax + ay = a.(x+y) Existem vários casos de fatoração como: 1) Fator Comum em evidência Quando os termos apresentam fatores comuns Observe o polinômio: ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência. Assim: ax + ay = a.(x+y) Forma fatorada Exs : Fatore: a) bx + by - bz = b.(x+y-z) b) c) d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y) e)
  • 3. 2) Fatoração por agrupamento Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais. Como por exemplo: ax + ay + bx + by Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência: a.(x+y) + b.(x+y) Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência: (x+y).(a+b) Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b) Exs: Fatore: a) x é fator a é fator (x-3) é fator comum Forma comum comum fatorada b) é fator é fator (2+a) é fator comum Forma comum comum fatorada 3) Fatoração por diferença de quadrados: Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado Assim: Exs: Fatore: a) b) c) Note que é possível fatorar a expressão duas vezes 4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito: O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.
  • 4. Por exemplo, os trinômios ( ) e ( ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente. Assim: | | | | 2x 3y |__________| | 2.2x.3y = 12xy » note que é igual ao segundo termo de Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito. = » forma fatorada |_______________| Sinal Logo: = » forma fatorada |_______________| Sinal Exs: a) b) *Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá-la por completo: Exs: a) b) Outros casos de fatoração: 1) 2) 3)
  • 5. Fatoração 1) Fatore, colocando os fatores comuns em evidência: Exemplos: ax+2a = a(x+2) a²-b² = (a+b)(a-b) a² - 4ab + 4b² = (a-2b)² 2x²-2 = 2(x²-1) = 2(x+1)(x-1) a) 3ax-7ay b) x³ -x² + x c) x³y² + x²y² + xy² d) a²b² - ab³ e) a² + ab + ac + bc f) x² - b² g) x²-25 h) (x²/9 - y²/16) i) x² + 4x + 4 j) a² + 6ab + 9b² l) 144x²-1 m) ab + ac + 10b + 10c n) 4a² - 4 o) x³y - xy³ p) x² + 16x + 64 q) 2x² + 4x + 2 r) ax³ + 2a²x² + a³x Resolução do exercício e) a² + ab + ac + bc = a.(a+b) + c.(a+b) = (a+b).(a+c) Cálculo Algébrico
  • 6. Expressões Algébricas são aquelas que contém números e letras. Ex: 2ax²+bx Variáveis são as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de princípio não possuem um valor definido. Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo as variáveis por números e efetuamos suas operações. Ex: Sendo x =1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da expressão: x² + y » 1² + 2 =3 Portando o valor numérico da expressão é 3. Monômio: os números e letras estão ligados apenas por produtos. Ex : 4x Polinômio: é a soma ou subtração de monômios. Ex: 4x+2y Termos semelhantes: são aqueles que possuem partes literais iguais ( variáveis ) Ex: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z » são termos semelhantes pois possuem a mesma parte literal. Adição e Subtração de expressões algébricas Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar ou subtrair os termos semelhantes. Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 2 x³ y² z - 3x³ y² z = -x³ y² z -Convém lembrar dos jogos de sinais. Na expressão ( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) = x³ +2 y² + 1 – y² + 2 = x³ + y² +3 Multiplicacão e Divisão de expressões algébricas Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos usar a propriedade distributiva. Exemplos: 1) a ( x+y ) = ax + ay 2) (a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by 3) x ( x ² + y ) = x³ + xy » Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.
  • 7. » Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes Exemplos: 1) 4x² : 2 x = 2 x 2) ( 6 x³ - 8 x ) : 2 x = 3 x² - 4 3) = [Resolução] Cálculo Algébrico 1) Calcule: Exemplo: (3x²+2x-1) + (-2x²+4x+2) = 3x²+2x-1-2x²+4x+2 = x²+6x+1 a) (3a-2b+c) + (-6a-b-2c) + (2a+3b-c) b) (3x²-1/3) - (6x²-4/5) c) (2a-3ab+5b) - (-a-ab+2b) 2) Efetue e simplifique: Exemplo: (2x+3).(4x+1) = 8x²+2x+12x+3 = 8x²+14x+3 a) (2a+3b).(5a-b) b) (x-y).(x²-xy+y²) c) (3x-y).(3x+y).(2x-y) 3) Simplifique: Exemplo: 10x³y²/5x²y = 2xy a) 8a³b²/2ab² b) 4a³-2a²+8a / 2a
  • 8. c) 18x³y²/6x²y³ 4) (Fuvest) O valor da expressão a³-3a²x²y², para a=10, x=3 e y=1 é: (a) 100 (b) 50 (c) 250 (d) -150 (e) -200 5) (Fuvest) Se A=(x-y)/xy, x=2/5 e y=1/2, então A é igual a: (a) -0,1 (b) 0,2 (c) -0,3 (d) 0,4 (e) -0,5 Respostas dos testes: 4)E, 5)E Frações Algébricas O cálculo de frações algébricas utiliza o mesmo processo do cálculo das frações numéricas, admitindo-se sempre que o denominador não seja nulo, ou seja, diferente de zero. Simplificação de frações algébricas: Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equivalente. Para simplificar uma fração, fatoramos o numerador e o denominador. Exs: M.M.C de polinômios: Para calcularmos o m.m.c de polinômios, basta igualá-lo ao produto dos fatores comuns e não comuns, cada um deles com o maior expoente. Exs: » e m.m.c = e » m.m.c = (a+b)(a-b) Não é possível fatorar nenhum dos polinômios, logo o m.m.c será o produto deles
  • 9. e » e m.m.c = Adição e subtração de frações algébrica: Quando as frações possuem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores. Ex: Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzi-las ao mesmo denominador e em seguida, somar ou subtrair os numeradores. Ex: Multiplicação e divisão de frações algébricas Para multiplicar ou dividir frações algébricas, usamos o mesmo processo das frações numéricas. Fatorando os termos da fração e simplificar os fatores comuns. Exs: Potenciação de frações algébricas Utilizamos o mesmo processo das frações numéricas. Exs: Frações Algébricas
  • 10. 1) Ache o mínimo múltiplo comum (mmc) de: a) (x²-9) e (x²+6x+9) b) (x²+x), (x²-x) e (x³-x) c) (x²-4), (x²-4x+4) e (x²+4x+4) 2) Simplifique: a) b) c) d) 3) Efetue: a) b) 4) Efetue as multiplicações: a) b) c) d) e)
  • 11. 5) Efetue as divisões: a) b) c) d)