O documento discute polinômios, produtos notáveis e frações algébricas. Apresenta definições de polinômios e monômios, operações com polinômios como adição, multiplicação e divisão. Também aborda produtos notáveis que são úteis para simplificar expressões algébricas e casos de fatoração de polinômios.

1. POLINÔMIOS,
PRODUTOS NOTÁVEIS
E
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
30

2. MÓDULO III – POLINÔMIOS, PRODUTOS NOTÁVEIS E FRAÇÕES ALGÉBRICAS
O Módulo III é composto por uma coletânea de exercícios que tem como objetivo ajudá-lo a
relembrar itens como:
- “Colocar em evidência”;
- “Produtos Notáveis”;
- “Mínimo Múltiplo Comum”, onde os denominadores são variáveis e não números.
I. POLINÔMIOS
1) DEFINIÇÃO: Polinômios são qualquer adição algébrica de monômios.
MONÔMIOS: toda expressão algébrica inteira representada por um número ou apenas por
uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis.
Exemplos:
a)
m5
b) 2
p
c) xy2
d) my
Geralmente o monômio é formado por uma parte numérica chamada de coeficiente
numérico e por uma parte literal formada por uma variável ou por uma multiplicação de variáveis.
Exemplo:

22
mx2mx2 =
Os monômios que formam os polinômios são chamados de termos dos polinômios.
Obs. 1: O monômio ay4 é um polinômio de um termo só.
Obs. 2: y4x2 + é um polinômio de 2 termos: x2 e y4 .
Obs. 3: 4abx2 +− é um polinômio de 3 termos: x2 , ab− e 4.
2) OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
2.1. Adição Algébrica de Polinômios
Para somarmos 2 ou mais polinômios, somamos apenas os termos semelhantes.
Exemplo:
31
Coeficiente
Numérico
Parte Literal

3. a) Obter o perímetro do triângulo abaixo:
Como perímetro é a soma dos lados, teremos:
( ) ( ) ( )=+−+++ 3x4x3x1x 22
termos semelhantes
=+−+++ 3x4x3x1x 22
termos semelhantes
 =++−++ 31x4xx3x 22

4x3x4 2
+− o resultado é um polinômio.
b)
( ) ( ) ( ) =+++−−− xy2xyx34xy4x 22
xy2xyx34xy4x 22
+−−−−−
=+−−−−− xy2xyx34xy4x 22
=−−+−−−    24xyxyxy4x3x 22
6xy4x2 2
−−−
EXERCÍCIOS
32
2
x1+x
343 2
+− xx
Primeiro eliminaremos os
parênteses tomando cuidado
quando houver sinal negativo
fora dos parênteses.

4. 1) Reduza os termos semelhantes:
a) =−−− 2222
46104 aaaa
b) =+−−
532
aaa
2) Escreva os polinômios na forma fatorada:
a) =+− 234
654 xxx
b) =+− 3322
1248 baabba
c) =+ 43223
315 xbaxba
d) =+++ acabcb 55
e) =+++++ cnbnancmbmam
f) =++ 22
2 yxyx
g) =++ 962
aa
h) =+− 36122
mm
i) =− 22
164 yx
j) =−122
nm
k) ( ) ( ) ( )=+−−+−−++ yxyxyxyxxyyxyx 2222222222
65235
l) =





−+−+





−+−





++− cbabaccab
6
1
6
1
8
1
2
1
3
1
4
5
m) ( ) ( ) ( )=−−−++−+−− 3,05,11,38,17,04,12,35,2 222
xxxxxx
2.2. Multiplicação Algébrica de Polinômios
A multiplicação de um polinômio por outro polinômio deve ser feita multiplicando-se cada
termo de um deles pelos termos do outro (propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos
semelhantes.
Exemplo:
a) ( ) ( )xxy2x 2
−⋅+
xy2xy2xxxx 22
⋅−⋅+⋅−⋅=
yx2yx2xx 223
−+−= e fica assim.
33

5. b) ( ) ( )b2a3ba2 −⋅+
b2ba3bb2a2a3a2 ⋅−⋅+⋅−⋅=
bb2ab3ba22aa32 ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=
22
2346 bababa
ssemelhantetermos
−+−=
  
22
b2aba6 −−=
c) ( ) ( ) =+−⋅− 2p3p1p2 2
=−++−−
=−+−+−
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅
2p3p4pp6p2
2p3pp4p6p2
p31p12p2p3p2pp2
223
223
22


2p7p7p2 23
−+−
d) ( ) ( )=−⋅− yy3xy4xxy 22
=+⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅
=⋅+⋅−⋅−⋅
222222
2222
yx4yyxx34xyyyxx3
yyx4yx3yx4yxyyx3xy
34
Conserve a base e some
os expoentes.

6. 2224223
yx4yx12xyyx3 +−− não há termos semelhantes
Obs.: No item fatoração de polinômios veremos outras formas de apresentar esta resposta.
2.3. Divisão Algébrica de Polinômio
Divisão de um polinômio por um monômio
A divisão de um polinômio por um monômio deve ser feita dividindo-se cada termo do
polinômio pelo monômio.
Exemplo:
a) ( ) =÷+− 3234
x5x15x20x10
3
2
3
3
3
4
3
234
x5
x15
x5
x20
x5
x10
x5
x15x20x10
+−=
+−
=
x
3
4x2
x
1
314x2
x314x2
x3x4x2
x
5
15
x
5
20
x
5
10
1
1
101
323334
+−=
⋅+⋅−=
+⋅−=
+−=
⋅+⋅−⋅=
−
−
−−−
ou
3
2
3
3
3
4
3
234
x5
x15
x5
x02
x5
x10
x5
x15x20x10
+−=
+−
x
3
4x2
xx
x3
14
x
xx2
x
x3
x
x4
x
x2
2
2
3
3
3
2
3
3
3
4
+−=
⋅
⋅
+⋅−
⋅
=
+−=
/
/
/
/
/
/
b) ( ) =÷− 224334
yx7yx7yx28
22
43
22
34
22
4334
yx7
yx7
yx7
yx82
yx7
yx7yx28
−=
−
=
35
Como é mínimo múltiplo da fração,
podemos separar em duas frações.

7. 22
212
24232324
xyyx4
yx1yx4
yx1yx4
−=
⋅⋅−=
⋅⋅−⋅⋅= −−−−
ou
22
43
22
34
22
4334
yx7
yx7
yx7
yx82
yx7
yx7yx28
−=
−
22
22
22
222
22
122
xyyx4
xy1yx4
yx.1
yyxx1
yx
yyxx4
−=
=−=
/⋅/
⋅/⋅⋅/⋅
−
/⋅/
⋅/⋅/⋅
= //
//
//
//2
Obs.: Na parte de fatoração de polinômios, veremos outras formas de apresentar esta resposta.
EXERCÍCIOS
3) Calcule:
a) =+− )4)(3(5 xxx
b) =−+ ))(2(3 babaab
c) =+−− )1)(1)(1( 2
aaa
d)
( )
( ) =
−
2
24
7
2135
a
aa
e)
( )
=
−
−
xy
xyyx )( 33
f)
( )
( ) =
−
−−
2
357
6
722442
y
yyy
g)
( )
( )
=
−+
abc
abccabbca
5
502510 222
h)
=






+−
ab
abbaba
2
7
4
5
2
2
1 2222
i) =
+
2
3a2
j)
a
1a5 2
+
4) Escreva os seguintes polinômios na forma mais reduzida:
a) ( )( ) =−−+ 222
2axxaax
b) ( )( ) ( ) =+−−+− yxayxayx 2
c) ( )( ) ( )( ) =−−−−−−+ cbcbabacba
d)
( )( )( ) ( )( ) =++−−−+ 22
2323 yxyxyxyxyx
e) ( ) ( )( ) ( )[ ]=+−+−+ 22
22 xaaxxaxa
f) ( )=−−− 132.3 2
xxx
g) ( ) =++ xyyxyx 3.5 22
h) =





−
2
1
4
1
.
5
2
xx
i) =





+
2
3
4
3
.4
a
a
II. PRODUTOS NOTÁVEIS
No cálculo algébrico alguns produtos são muito utilizados, e são de grande importância para
simplificações realizadas em expressões algébricas. Devido a importância, estes produtos são
chamados de produtos notáveis. Abaixo, enumeramos os mais utilizados:
1) ( ) ( ) 22
yxyxyx −=−⋅+
2) ( ) 222
yxy2xyx +±=±
3) ( ) 32233
yxy3yx3xyx ±+±=±
36

8. Todos estes produtos são desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição e subtração. Se lembrarmos deste detalhe não precisaremos mais
decorá-los, observemos:
a) ( ) ( ) =+⋅− yxyx =−/−/+ 22
yxyyxx 22
yx −
b) ( ) =+
2
yx ( ) ( ) =+++=+⋅+ 22
yxyxyxyxyx 22
2 yxyx ++
c) ( ) =−
2
yx ( ) ( ) =+−−=−⋅− 22
yxyxyxyxyx 22
2 yxyx +−
d) ( ) =+
3
yx ( ) ( ) ( ) ( ) =++⋅+=+⋅+ 222
2 yxyxyxyxyx
=+++++= 322223
22 yxyyxxyyxx 3223
33 yxyyxx +++
Como utilizaremos os produtos notáveis?
Exemplos para simplificações:
a)
( )
( ) ( ) ( )yx
3
yxyx
yx3
yx
y3x3
notávelproduto22
−
=
−⋅+
+
 →
−
+
b) ( ) 16x8x44.x.2x4x 2222
++=++=+
Obs.: ( )2
4x + jamais será igual a 16x2
+ , basta lembrarmos que:
( ) ( ) ( ) 16x8x16x.44.xx4x4x4x 222
++=+++=+⋅+=+
c) ( )3
2a − jamais será 8a 3
− , pois:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−⋅−=−⋅−=− 4a4a2a2a2a2a 223
  8a12a6a8a8a2a4a4a 23223
−+−=−+−+−
EXERCÍCIOS
5) Desenvolva os produtos notáveis:
a) ( )2
ba +
b) ( )2
32 +a
c) ( )2
43 yx +
d) ( )2
ba −
e) ( )2
32 −a
f) ( )2
43 yx −
g) ( ) )( baba −+
h) ( )( )3232 −+ aa
i) ( )( )yxyx 3434 −+
j)
2
2
1






−y
k) ( )2
2hd −
l) ( )( )3535 −+
m) ( )( )1212 +−
37

9. Observemos que b é o fator comum,
portanto, deve ser colocado em
evidência com o menor expoente.
6) Sabendo que a – b = 5 e a + b = 20, determine quanto vale a2
– b2
.
III. ALGUNS CASOS DE FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
A fatoração de polinômios será muito usada para simplificação de expressões algébricas e
para obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de frações algébricas.
1. Fatoração pela colocação de algum fator em evidência
Exemplos:
a) 2
bab −
Então ( )babbab 2
−=−
Ao efetuarmos o produto ( )abb −⋅ , voltaremos para a expressão inicial 2
bab − .
b) by4ay2 +
Assim: ( )b2ay2by4ay2 +=+
c) xb8bx16bx4 223
−−
( )b4x8x2bx2xb8bx16bx4 2223
−−=−−
38
2y é o fator comum;
2 é o mínimo (menor) divisor comum de 2 e 4;
Portanto 2y deve ser colocado em evidência.
Fator comum 2bx (as variáveis b e x com seus
menores expoentes)
2 é o mínimo (menor) divisor comum de 4, 16 e 8.
Portanto, 2bx deve ser colocado em evidência.
a
b
ab
bab ==÷
b
b
b
bb
2
2
==÷
a
y2
ay2
y2ay2 ==÷
b2
y2
by4
y2by4 ==÷
2
3
3
x2
bx2
bx4
bx2bx4 ==÷
x8
bx2
bx16
bx2bx16
2
2
−=
−
=÷−
b4
bx2
xb8
bx2xb8
2
2
−=
−
=÷−

10. d) ( )3225322
my2ymymym2 −=−
Obs.: As variáveis que aparecem em todos os termos do polinômio aparecerão no fator comum
sempre com o menor expoente.
EXERCÍCIO
7) Simplifique as expressões:
a)
( ) =
+
+
ba
ba
2
b)
( )
( )
=
++
⋅++
xcba
xcba
c)
( ) =
+
+
ba
ba
55
33
d) =
+
+
1515
55
b
aab
e) =
++
+
22
2 baba
ba
f) =
+
−
1
1
2
a
a
g) =
++
−
96
9
2
2
xx
x
h) =
−
−
2
2
26
39
bab
aba
IV. FRAÇÕES ALGÉBRICAS
As frações que apresentam variável no denominador são chamadas de frações algébricas.
Exemplos: t
m2
,
y
t4
,
x
2
2
As operações de adição, subtração, multiplicação e potenciação de frações algébricas são
exatamente iguais às operações realizadas com frações não algébricas. A seguir trazemos alguns
exemplos:
1. Adição e Subtração
Tanto na adição como na subtração de frações, devemos obter o m.m.c. dos denominadores.
Exemplos:
a) y4
1
x2
3
+
39
2ymym2 2222
=÷
3
22
53
2253
my
ym
ym
ymym ==÷
m.m.c. dos denominadores =4 xy. 4 é o m.m.c. de 2 e 4.
xy → todas as variáveis que
aparecem nos denominadores
comporão o m.m.c. com seus
maiores expoentes.
y63y2
y2
x2
xy4
x2xy4
=⋅
==÷
x1x
x
y4
xy4
y4xy4
=⋅
==÷

11. =+
y4
1
x2
3
xy4
xy6 +
b) 22
2
x8
y
xy3
2
y
x
−+
M.m.c. entre
2222
yx24x8exy3,y =
=−+ 22
2
x8
y
xy3
2
y
x
22
324
yx24
y3x16yx24 −+
VOCÊ SABE A DIFERENÇA ENTRE MMC e MDC ?
40
24222
2
22
22
yx24xyx24
yx24
y
yx24
yyx24
=•
==÷
x162x8
x8
xy3
yx24
xy3yx24
2
22
222
=•
==÷
32
2
2
22
222
y3yy3
y3
x8
yx24
x8yx24
=•
==÷
24 é o m.m.c. entre 1, 3 e 8;
são as variáveis com seus
maiores expoentes.

12. Qual a diferença entre m.d.c. e m.m.c.?
m.d.c. ⇒ mínimo divisor comum. Usado quando determinamos fatores comuns (aquilo que aparece em
todos os termos) para colocar em evidência.
Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.d.c. é 2, pois 2 é o menor número que divide 2, 4 e 6.
b) 10, 15, 20 ⇒ m.d.c. é 5, pois 5 é o menor número que divide 10, 15 e 20.
m.m.c. ⇒ mínimo múltiplo comum. Usado quando somarmos ou subtrairmos frações.
Qual é o mmc de 2,4 e 6 ?
Observe:
múltiplos de 2 : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,.... (como se fosse a tabuada do 2)
múltiplos de 4 : 4,8,12,16,20,24,28,32,.....( como se fosse a tabuada do 4)
múltiplos de 6 : 6,12,18,24,30,36,,...........(como se fosse a tabuada do 6)
O número 12 é o menor dos múltiplos de 2, 4 e 6 por isso é chamado de mínimo múltiplo comum.(mmc).
No entanto não é necessário recorrer a este modo para determinar o mmc de vários números. Pode-se usar a regra
prática de a decomposição simultânea em fatores primos..
Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.m.c. é 12.
b) 10, 15, 20 ⇒ m.m.c. é 60.
Nos exemplos “c” e “d” a seguir, para obter o mmc dos denominadores teremos que
escrevê-los na forma fatorada.
c)
x39
x
xx3
3
2
−
−
−
Fatorando os denominadores:
( )
( )x33x39
x3xxx3 2
−=−
−=−
M.m.c. dos denominadores fatorados ( )x3x − e ( )x33 − será: ( )x3x3 −
Assim
( ) ( )
=
−
−
−
=
−
−
− x33
x
x3x
3
x39
x
xx3
3
2 ( )x3x3
x9 2
−
−
Mas ainda podemos melhorar o resultado:
41
605.3.2.2
5
3
2
2
1,1,1
5,5,5
5,15,5
10,15,5
20,15,10
=
123.2.2
3
2
2
1,1,1
3,1,1
3,2,1
6,4,2
=
Denominadores
fatorados
m.m.c.
produto de todos os
termos que aparecem
nos denominadores
( ) ( ) ( )
( )
2
xxxquetemose
x
x33
x3x3
x33x3x3
=•
=
−
−
=−÷−
( ) ( ) ( )
( )
933quetemose
3
x3x
x3x3
x3xx3x3
=•
=
−
−
=−÷−

13. ( )
( )( )
( ) x3
x3
x3x3
x3x3
x3x3
x9 notávelproduto
2
+
=
−
+−
 →
−
−
d) ya
1
ya
ya
ya
a
22
+
+
−
−
+
−
Procuramos escrever os denominadores na forma fatorada:
( )( ) notávelprodutoyayaya 22
→+−=−
Assim teremos:
( )( )
=
+
+
+
+
−
=
+
+
+−
−
+
− ya
1
ya
1
ya
a
ya
1
yaya
ya
ya
a
( )
( )( ) ( )( )yaya
y2a2aya
yaya
yayayaa 2
−+
−++
=
−+
−+−++
2. Multiplicação e divisão de frações algébricas
A multiplicação e divisão de frações algébricas é exatamente igual a de frações numéricas,
ou seja não é necessário obter o mmc dos denominadores. Multiplica-se numerador por
numerador e denominador por denominador.
Exemplos:
a) xy3
4
xy3
y4
y
1
3
y2
x
2
22
==⋅⋅
b)
yx
12
yx
12
yx
3
x
4
3
yx
x
4
32122
=
⋅
=⋅= +
42
m.m.c dos
denominadores será

14. EXERCÍCIOS
8. Calcule:
a) =−+
y
a
y
a
y
a 23
b) =
+
+
+
+
−
−
+
−
yx
x
yx
x
yx
x 123
c) =−+
b
a
b
a
b
a
2
3
3
2
d) =−+
x
a
x
a
x
a
4
3
2
2
3
e) =−
xx 4
32
2
f) =
−
+
+
2
23
a
a
a
g) =
−
+
−
−
+
1
1
22
13
x
x
x
x
h) =
−
+
+ baba
11
i) =
+
−
+
+
1
22 2
b
a
aab
ab
j)
4
124
2
2
2
2
2
−
−
+
−
+
+
−
x
x
xx
x
k)
ba
b
ba
b
ba
a
+
+
−
+
− 22
2
2
l)
ab
ba
a
ba
b
ba 22
+
+
+
−
+
m) =
+
+
−
−
−
− 2
2
4
12
2 2
2
xx
x
x
x
n) =
−
−
−
+
+
+
−
1
4
1
1
1
1
2
y
y
y
y
y
y
o) =
+
+−
x
x
x
3
3
2
p) =⋅
y
x 5
3
2
q) =
−
⋅
+
y
ba
x
ba
r) =
+
⋅
+ 2
2
3
3
a
a
a
a
s) =
−
⋅
−
5
2
3
5
a
aa
t) =⋅⋅
x
y
y
a
a
x 32
22
8
3
u) =
−
−
⋅
−
+
nm
ba
ba
nm
)(2
v) =
−
⋅
−
nm
nm 3
6
22
w) =
−
+
⋅
+
+
4
63
1 2
2
x
x
x
xx
x) =
+
⋅
−
1
212
a
x
x
a
y) =
x
a
a
2
3
z) =
−
−
x
xa
xy
xa 22
9. Calcule:
a) =
−
+
x
x
x
x
3
25
2
5
2
43

15. b) =
++
−
a
xx
a
x
9124
94
2
2
2
c)
( )
=
−
−
ba
a
ab
a
2
2
2
2
2
d) =
−
−
4
2
22
yx
yx
e) =





2
7
5
b
a
f) =




−
−3
3
m
a
g) =







2
2
3
2
b
a
h) =







−1
3
2
4
5
y
x
i) =





−3
2
5
2
b
a
j) =





0
2
c
ab
k) =







2
2
4
3
c
ba
l) =





−
−
2
ba
a
m) =





−
−2
43
2
x
x
n) =





+
−
2
ba
ba
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
1ª Questão:
a) 2
a16 b)
30
19a
−
2ª Questão:
a) ( )65x-4xx 22
+ d) c)a)(b(5 ++ g) 2
3)(a + j) 1)1).(mn-(mn +
b) ( )22
b3a1-2ab4ab + e) c)bn)(a(m +++ h) 2
6)-(m k) 2222
3xy-y5xyx +
c) ( )322
bx5axb3a + f) 2
y)(x + i) 4y)4y).(2x-(2x + l) ( )
24
12c8b-3a +
m) 1,1-0,9x-0,1x 2
3ª Questão:
a) 60x-5x5x 23
+ d) 3-5a 2 g) 10c-5b2a + j)
a
1
a5 +
b) 3223
3ab-b3a-b6a e) 22
yx- + h) ( )
140
40b28a-35ab +
c) 12a-a 24
+ f) 12y4y7y- 35
++ i)
2
3
a +
4ª Questão:
44

16. a) 242
2ax-x-a c) 22
c-ab-bca + e) 322
2x-xaax- + g) 3223
3xyy15xy3x ++
b) 3ay-2y3xy-x 22
+ d) y5x-5xy- 22
f) 3x9x6x- 23
++ h)
5
x
-
10
x2
i) 6a3a 2
+
5ª Questão:
a) 22
b2aba ++ d) 22
b2ab-a + g) 22
b-a j) 41+y-y 2
b) 912a4a2
++ e) 912a-4a 2
+ h) 9-4a 2 k) 22
4h4hd-d +
c) 22
16y24xy9x ++ f) 22
16y24xy-9x + i) 22
9y-16x l) 2
m) 1
6ª Questão:
100
7ª Questão:
a) ba + c)
5
3 e)
( )ba
1
+
g)
3x
3-x
+
b) d d)
3
a f)
( )1a
1
+
h)
2b
3a
8ª Questão:
a)
y
4a h)
( )22
b-a
2a o)
( )x3
9
+
v)
2
nm +
b)
( )yx
x
+
i)
( )1ba
b
+
p)
3y
10x w)
( )2-x
3x
c)
6b
a j)
4-x
4-2xx
2
2
+ q)
xy
b-a 22
x) 2a-2
d)
12x
7a k) ( )
( )b-a
ba + r)
65aa
6a
2
2
++
y)
3a
x
e) ( )
2
4x
3x-8 l)
b
2a s)
3
2a z) ( )
y
xa +
f)
( )2aa
aa
−
−+ 652 m)
( )2-x
4 t)
2
3xy2
g)
2
1 n) ( )
( )1y
2-2y
+
u)
( )n-m2
nm +
9ª Questão:
a)
102
3
−x
d)
yx +
2 g)
4
6
b
4a k)
2
24
16
9
c
ba
b)
)32(
32
+
−
xa
x e)
2
2
49
25
b
a h)
2
3
5
4
x
y l)
22
2
2 baba
a
+−
c)
( )2−ab
a f)
3
3
27a
m
−
i) 125b6
/8 a3
m)
2
2
4
16249
x
xx +−
j) 1 n)
22
22
2
2
baba
baba
++
+−
45