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Vamos aprender
definição

grau

adição

subtração

operações multiplicação

Polinômios métodos
divisão

Teoremas

Equações
polinomiais

Polinômio
Definição:
Chamamos de polinômio na variável x,
toda expressão na forma:
n 1 n2
an x  an1 x
n
 an  2 x  ...  a2 x  a1 x  a0
2

Onde:
an, an-1, an-2,...,a2, a1, a0 são números complexos
denominados coeficientes
n é um número inteiro não negativo
x é uma variável complexa

definição an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0

Polinômios

Polinômio
Grau do polinômio:
O grau do polinômio é determinado pelo
maior expoente da variável.

Exemplos:
 4x2 – 3  2º grau

 8x5 + 6x3+ 2x  5º grau

grau Maior expoente da variável

Polinômios

Tente fazer
sozinho
1) (Mack-SP) Determine m real para que o
polinômio:
p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4
seja de grau 2.

Solução
p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4

m4  0 m  16  0
2

m4 m  4

Resposta: m não existe.

Tente fazer
sozinho
2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c
para que os polinômios p1(x) e p2(x) sejam
idênticos:
p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d)
p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14

Solução
p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14

a  x  c   b x  d   x  6 x  15 x  14
3 3 2

a x  3x c  3xc  c   bx  bd  x  6 x  15 x  14
3 2 2 3 3 2

ax 3  3acx 2  3ac 2 x  ac 3  bx  bd  x 3  6 x 2  15 x  14
ax  3acx
3 2
 3ac 2
 bx  ac 3
 bd  x  6 x  15 x  14
3 2

Solução
p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
2
 2

ax  3acx  3ac  b x  ac  bd  x  6 x  15x  14
3 3 3 2

ax  x
3 3
3acx  6 x
2 2
3ac 2

 b x  15 x
a 1 3.1.c  6 3.1.2  b  15
2

c2 12  b  15
b3

Operações com
Polinômios
A) Adição:
Sendo p(x) = 3x2+2x-1 e q(x) = -x3+7x2-6,
logo p(x) + q(x) = -x3+10x2+2x-7.

B) Subtração:
Sendo p(x) = 3x2-4x+1 e q(x) = 5x2-3x+4,
logo p(x) - q(x) = -2x2-x-3.

Operações com
Polinômios
C) Multiplicação :
 Sendo p(x) = 7 e q(x) = 2x3-4x2+5x-3, logo
p(x).q(x) = 7(2x3-4x2+5x-3)=14x3-28x2+35x-21.

 Sendo p(x) = 3x-4 e q(x) = -2x+5, logo
p(x) . q(x) = (3x-4)(-2x+5) = -6x2+15x+8x-20 =
= -6x2+23x-20.

adição

subtração

multiplicação
operações

Polinômios

Tente fazer
sozinho
3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus
7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças
seguintes, corrigindo o que for falso:
a) O grau de f(x) . g(x) é 35
b) O grau de f(x) + g(x) é 7
c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7

Solução
f(x)  grau 7 e g(x)  grau 5

a) f(x) . g(x)  grau 35 (falso)
x7 . x5 = x12  grau 12
b) f(x) + g(x)  grau 7 (verdadeiro)
c) (x2-1) . g(x) + f(x)  grau 7 (falso)

grau 7 ou menor que 7, pois o coeficiente da
soma dos termos de grau 7 pode ser zero

Divisão de
Polinômios
C.1) Método da chave
No método da chave temos que armar a conta,
como se fosse uma divisão de números naturais:
dividendo divisor

resto quociente

e seguir os passos conforme os exemplos.

Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: Calcule (x2 + 2x – 15) : (x + 5)
1º passo: ordenar e completar o dividendo,
se necessário.
Nesse caso não será necessário

2º passo: armar a conta. x2 + 2x - 15 x + 5

Divisão de
Polinômios
3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo
1º termo do divisor.

x2 + 2x - 15 x + 5
x

Divisão de
Polinômios
4º passo: multiplicar o resultado por cada
termo do divisor, colocando a resposta embaixo
do dividendo, com o sinal contrário.

x2 + 2x - 15 x + 5
-x2 - 5x x

Divisão de
Polinômios
5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha,
obtendo um novo dividendo.

x2 + 2x - 15 x + 5
-x2 - 5x x
- 3x - 15

Divisão de
Polinômios
6º passo: verificar se o grau do 1º termo do
novo dividendo é menor que o grau do 1º termo
do divisor. Caso não seja, voltamos ao 3º passo.

x2 + 2x - 15 x + 5
-x2 - 5x x
- 3x - 15

Divisão de
Polinômios

x2 + 2x - 15 x + 5 x2 + 2x - 15 x + 5
-x2 - 5x x -x2 - 5x x -3
- 3x - 15 - 3x - 15
3x + 15
0

Logo, quociente é x – 3 e resto é 0.

Divisão de
Polinômios
Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
x4 + 1 por x3 +1.
1º passo:
x4 + 1 = x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1

2º passo:
x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1

Divisão de
Polinômios
x4 + 1 por x3 +1.
3º passo:
x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
x

Divisão de
Polinômios
x4 + 1 por x3 +1.
4º passo:
x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
-x4 - x x

Divisão de
Polinômios
x4 + 1 por x3 +1.
5º passo:
x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
-x4 - x x
- x+1

Divisão de
Polinômios
x4 + 1 por x3 +1.
5º passo:

x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
-x4 - x x
- x+1

Logo, o quociente é x e o resto é - x +1

adição

subtração

multiplicação
operações
Método da
Divisão comum
Chave

divisão

Divisão de divisão de
Note que para toda
Polinômios a sentença:
polinômios, vale
D(x) = d(x) . q(x) + r(x)
Exemplo:
x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1

Tente fazer
sozinho
4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio
4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8

Solução

4x3 + 12x2 + x – 4 2x + 3
-4x3 – 6x2 2x2 + 3x – 4
6x2 + x – 4
– 6x2 – 9x
– 8x – 4
+ 8x+12
8 Letra E

Tente fazer
sozinho
5) Determine o polinômio p(x) que dividido
pelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente
q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.

Solução
D(x)= d(x).q(x) + r(x)
P(x)= f(x) . q(x) + r(x)
P(x) = (x + 5) (x – 2) + 3
P(x) = x2 – 2x + 5x – 10 + 3
P(x) = x2 + 3x – 7

Divisão de
Polinômios
C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Vamos usar o próximo exemplo para mostrar
os passos a serem seguidos:
Exemplo 1: Calcular o quociente e o resto de
(x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
1º passo: Calcular a raiz do divisor.
x 3  0  x  3

Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
2º passo: Dispor a raiz do divisor e os
coeficientes do dividendo da seguinte forma

3 1 -4 5 -2

Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
2º passo: Dispor a raiz do divisor e os
coeficientes do dividendo da seguinte forma
raiz do coeficientes
3 1 -4 5 -2
divisor do dividendo

Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).

3º passo: abaixar o 1º coeficiente do dividendo

3 1 -4 5 -2
1

Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
4º passo: multiplicar o número abaixado pela
raiz do divisor e somar com o coeficiente
seguinte. (3 . 1 - 4 = -1)
3 1 -4 5 -2
1 -1

Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).

4º passo: multiplicar o número abaixado pela
raiz do divisor e somar com o coeficiente
seguinte. +
Colocar o resultado
3 1 -4 5 -2 embaixo do
1 -1 coeficiente somado
x

Divisão de
Polinômios

Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).

5º passo: repetir as operações (multiplicar
pela raiz do divisor e somar com o coeficiente
seguinte)

Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
5º passo:
+ +
3 1 -4 5 -2 3 1 -4 5 -2
1 -1 2 1 -1 2 4
x x

Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
6º passo: identificar o resto e os coeficientes
do quociente.
3 1 -4 5 -2
O quociente é:
x2 – x + 2 1 -1 2 4 Resto = 4

Divisão de
Polinômios

Exemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i).

1º passo: x  i  0  x  i

2º passo: 3º passo:
-i 2 0 -5 1 -i 2 0 -5 1
2

Divisão de
Polinômios

Exemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i).

4º e 5º passos: 6º passo:
-i 2 0 -5 1 O quociente é: 2x2 – 2ix – 7
2 -2i -7 1+7i O resto é: 1 + 7i

adição

subtração

multiplicação
operações
Método da
Divisão comum
Chave
Dispositivo de
Seguir os 6 passos
divisão Briot-Ruffini

Tente fazer
sozinho
6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e
b são constantes reais) é divisível por x – 5.
Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos
resto 35.
a) Determine os valores de a e b.
b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?

Solução
5 -1 a 5 b
-1 a – 5 5a – 20 25a – 100 + b
0
-2 -1 a 5 b
-1 a + 2 - 2a + 1 4a – 2 + b
35
25a – 100 + b = 0 a=3
4a – 2 + b = 35 b = 25

Teorema do Resto

“ Seja p(x) um polinômio
tal que p ≥ 1. O resto da
divisão de p(x) por x – a é
igual a p(a), ou seja,
r = p(a).”

Teorema do Resto
Exemplo: Para calcular o resto da divisão de
p(x) = 3x2 – 17x + 15 por x – 2, basta aplicar
o Teorema do Resto.
A raiz do divisor é : x – 2 = 0  x = 2
Pelo Teorema do Resto temos que:
r(x) = p(2)
r(x) = 3.22 – 17.2 + 15 = 12 – 34 + 15 = - 7.

adição

subtração

multiplicação
operações
Método da
Divisão comum
Chave
Dispositivo de
Seguir os 6 passos
Teorema r(x)=p(a) , sendo
do resto (x-a) divisor de p(x)
Teoremas

Tente fazer
sozinho
7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)
por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5
como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto.
Sabendo-se que o resto da divisão de k(x)
por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70

Solução
P(x)= k(x) . q(x) + r(x)
P(x) = k(x) . (x3 + 3x2 + 5) + (x2 + x + 7)
P(0) = k(0) . (03 + 3.02 + 5) + (02 + 0 + 7)
P(0) = k(0) . 5 + 7
Pelo Teorema do resto, temos que k(0) = 2
Logo, p(0) = 2 . 5 + 7 = 17  letra C

Teorema de
D’Alembert
“ Seja a (complexo) é raiz de
um polinômio f(x), então f(x) é
divisível por x – a e,
reciprocamente, se f(x) é
divisível por x – a, então a é
raiz de f(x).”

adição

subtração

multiplicação
operações
Método da
Divisão comum
Chave
Dispositivo de
Seguir os 6 passos
Teoremas
Teorema de a é raiz de f(x) f(x)
D’Alembert é divisível por (x-a)

Equações
Polinomiais
Equação polinomial é aquela que pode ser
escrita na forma:
n 1
an x  an1 x
n
 ...  a1 x  a0  0
Exemplos:
 x3 + 1 = 0
 3x2 – 2ix + 1 = 0
 x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0

adição

subtração

multiplicação
operações
Método da
Divisão comum
Chave
Dispositivo de
Seguir os 6 passos
Teoremas

Definição an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0
Equações
polinomiais

Equações
Polinomiais
Raiz da equação é o valor que da variável,
que satisfaz a igualdade.

Exemplos:
a) 2x + 12 = 0 b) x2 – 9 = 0
2 x = - 12 x2 = 9
x=-6 x=±3

adição

subtração

multiplicação
operações
Método da
Divisão comum
Chave
Dispositivo de
Seguir os 6 passos
Teoremas

Equações Valor da variável que
polinomiais definição satisfaz a igualdade

raiz

Equações
Polinomiais
c)x  2x  2x  0
3 2
d)x  2x  x  2  0
3 2

 
x x  2x  2  0
2
x x  2  1x  2  0
2

x  0 ou x  2x  2  0 x  2x 2  1  0
2

x1  1  i;
x  2  0 ou x 1  0
2

x2  1  i x  -2 x  1

Equações
Polinomiais
Podemos decompor um polinômio em fatores
do 1º grau, de acordo com suas raízes, através
da fórmula:
p( x)  an ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )  ...  ( x  xn )
Onde:
an é o coeficiente de xn .
xi são as raízes de p(x).

Equações
Polinomiais
Exemplo: Sabendo que as raízes do polinômio
2x3 – 4x2 – 2x + 4 são os números –1, 1 e 2,
podemos decompor esse polinômio em fatores
do 1º grau, usando a fórmula:
p( x)  an ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )  ...  ( x  xn )
Sendo assim, temos:
2(x + 1) (x – 1) (x – 2)

Tente fazer
sozinho
8) Resolva a equação abaixo, sabendo
que duas de suas raízes são – 1 e 1.
x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0

Solução
Como – 1 e 1 são raízes de p(x) = 0, então
p(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) = 0.
Logo,
-1 1 -2 1 2 -2
1 1 -3 4 -2 0
1 -2 2 0 q(x) = x2 – 2x + 2

Como as raízes de q(x) são 1 + i e 1 – i ,
então as raízes da equação são ± 1 e 1 ± i.

Multiplicidade
da Raiz
Entende-se por multiplicidade da raiz o
número de vezes que uma mesma raiz aparece.

Exemplo:
Na resolução da equação x2 – 12x + 36 = 0 ,
encontramos duas raízes iguais a 6. Nesse caso,
dizemos que x = 6 é uma raiz de multiplicidade
2.

adição

subtração

multiplicação
operações
Método da
Divisão comum
Chave
Dispositivo de
Seguir os 6 passos
Teoremas


raiz Nº de vezes que
definição a raiz aparece
multiplicidade

Multiplicidade
da Raiz
Para identificar qual é a multiplicidade de
uma raiz, basta dividir o polinômio pela raiz,
até encontrar um resto diferente de zero.

Exemplo:
Qual é a multiplicidade da raiz 2 do
polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8?

Multiplicidade
da Raiz
Exemplo:
Qual é a multiplicidade da raiz 2 do
polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8?
2 1 -5 6 4 -8
2 1 -3 0 4 0
2 1 -1 -2 0
não 2 1 1 0
1 3

adição

subtração

multiplicação
operações
Método da
Divisão comum
Chave
Dispositivo de
Seguir os 6 passos
Teoremas


raiz Nº de vezes que
definição a raiz aparece
multiplicidade
Divisões
identificação
sucessivas

Tente fazer
sozinho
9) Determine uma equação algébrica
do 4º grau que tenha -1 como raiz de
multiplicidade 3 e 2 como outra raiz.

Solução
Como o – 1 tem multiplicidade 3 e o 2 é a
outra raiz, podemos escrever o polinômio
assim:
p(x) = (x + 1)3 (x – 2) = 0
p(x) = (x3 +3x2 + 3x + 1) (x – 2) = 0
p(x) = x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0

Bibliografia
• Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson;
Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo,
Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 –
Páginas: 551 a 585
• Matemática Contexto e Aplicações: Dante,
Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição –
2008 - Páginas: 134 a 164
• Figuras: google imagens

Note que para toda divisão de
polinômios, vale a sentença:
D(x) = d(x) . q(x) + r(x)
Exemplo:
x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1

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