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MONÓMIOS  E POLINÓMIOS
Problema: Observa as figuras. x - 9   x – 4 Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do rectângulo. 6 6 Se as figuras são equivalentes significa que têm a mesma área, logo podemos formar a seguinte equação: Resolução: No 1.º membro da equação surge um produto que ainda não sabem efectuar. Portanto, torna-se necessário estudar novas expressões e suas operações  que nos permitam dar resposta a alguns problemas.
  POLINÓMIOS
Um  polinómio  é uma soma algébrica de vários monómios . No polinómio  , às parcelas,  ,  e  chamam-se  termos ou monómios . Exemplos:  Trinómio  porque é constituído por 3 monómios Binómio , porque é constituído por dois monómios.
Curiosidade: Monómio  é uma palavra de origem grega, derivada de  monos , que significa  único . Monómio significa  único termo . Um  monómio  é uma expressão que pode ser constituída por um número ou por um  produto de números em que alguns podem ser representados por letras. MONÓMIOS Exemplos: M 3 -xy 6 23x x Nota: Num monómio não aparecem adições nem subtracções.
Constituição de um monómio Exemplo: -7y 3 Neste monómio podemos distinguir uma  parte numérica  ou  coeficiente  (-7) e  uma  parte literal  (y 3 ). Exercício: Completa a tabela seguinte : Monómio Coeficiente Parte literal
Como escrever correctamente um monómio? A área do maior rectângulo da figura ao lado pode ser dada pela expressão: mas deve escrever-se:  Exemplo II Observa a figura: Qual a sua área? 7x    2x = 14x 2 Exemplo I
O produto de dois monómios é um monómio cujo coeficiente é o produto dos coeficientes e cuja parte literal é o produto das partes literais. Convencionou-se que para escrever um produto de vários factores (um monómio)  escreve-se primeiro os números, e, em seguida, as letras por ordem alfabética. Por exemplo: Monómio Escrita correcta
Grau de um monómio grau 1 grau 2 grau 4   grau 7 6 grau 3 grau   0 Então, como se determina o grau de um monómio? O  grau de um monómio  é igual à soma dos expoentes da parte literal.
Completa a tabela: Monómios semelhantes Considera o seguinte polinómio: Este polinómio é constituído por 4 monómios  ,  ,  e  .  e  Os monómios  e  são semelhantes. Monómios semelhantes  – são aqueles que têm a mesma parte literal.  Monómios Grau
Os monómios  e  não são semelhantes porque não têm a  mesma parte literal. Grau de um polinómio Consideremos o polinómio  .  O grau deste polinómio é 4. Chama-se  grau de um polinómio  ao maior grau dos monómios que o constituem.
Adição algébrica de polinómios Nos monómios as letras representam números e as operações têm as mesmas propriedades que as operações com números. Por exemplo: Propriedade comutativa Propriedade associativa Aritmética  Álgebra Tal como na aritmética, é possível simplificar expressões quando estas têm termos semelhantes.
Tal como na aritmética, é possível simplificar expressões quando estas têm termos semelhantes. A soma de vários monómios semelhantes é um monómio semelhante com  coeficiente igual à soma algébrica dos coeficientes dos monómios das parcelas. Aritmética Álgebra 3 + 3 + 3 + 3 = 4  3 a + a + a + a =4  a = 4a 5  4 +  6  4 = 11  4 5 a +  6 a = 11a 3  7 +  2  7 +  4  7 = 9  7 3a + 2a + 4a = 9a
[object Object],[object Object],Polinómio reduzido   porque não tem termos semelhantes 2.  Transforma num polinómio reduzido os seguintes polinómios:
OPERAÇÕES COM POLINÓMIOS
Produto de um mon ó mio por um polin ó mio
b a  c A  á rea  é  dada pela expressão:   ab bc b b  c b 2 bc Como escrever correctamente, sem utilizar parênteses,  á rea do maior  rectângulo da figura?
Para multiplicar um mon ó mio por um polin ó mio, aplica-se a propriedade distributiva da multiplica ç ão em rela ç ão  à  adi ç ão, isto  é , multiplica-se o mon ó mio por cada um dos termos do polin ó mio.
Multiplica ç ão de polin ó mios A figura representa um rectângulo. A expressão que representa a sua  á rea  é : Como transformar esta expressão num polin ó mio reduzido? x+8 x+2 Produto de dois polin ó mios
1.ª processo: 2.ª processo: Expressão que representa a área do rectângulo dado. Polinómio reduzido Para multiplicar polin ó mios, multiplica-se cada termo de um, por todos os termos do outro, obtendo-se assim um novo polin ó mio.
Exerc í cio: Transforma num polin ó mio reduzido:
CASOS NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO
Entre todos os produtos de polin ó mios h á  dois casos que têm um interesse particular,  não s ó  pela sua aplica ç ão a muitas situa ç ões, como pela sua liga ç ão  à  geometria. J á  vimos que um polin ó mio com dois termos, ou seja, com dois mon ó mios, tamb é m se pode chamar BIN Ó MIO. Se  é  um bin ó mio, então  representa o quadrado de um bin ó mio .
Exemplos ,[object Object]
Exemplos ,[object Object]
Diferença de quadrados
De um modo geral, Quadrado do 2. º  termo É  importante ler a igualdade nos dois sentidos. Quadrado do 1. º  termo
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Observa :   
Mais Exemplos ,[object Object]
Geometricamente:
As igualdades  são casos particulares da multiplica ç ão de polin ó mios.  Chamam-se por isso ,  CASOS NOT Á VEIS DA MULTIPLICA Ç ÃO .
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Exercício 1 ,[object Object],[object Object]
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FACTORIZAÇÃO DE POLINÓMIOS
DECOMPOSI Ç ÃO EM FACTORES A+B  é  uma soma A e B são parcelas A    B é um produto A e B são os factores Recordar … Factorizar um polin ó mio  é  escrevê-lo sob a forma de um produto de factores.  Para decompor um polin ó mio em factores, aplicando a propriedade distributiva, procuram-se os factores comuns e colocam-se em evidência.
J á  sabem transformar produtos em somas alg é bricas, agora pretende-se que  fa ç am o contr á rio.    A Propriedade distributiva na decomposição em factores     PRODUTO  SOMA Acab á mos de transformar a soma num produto de factores  –   factoriza ç ão do polin ó mio. Colocámos em evidência o factor comum  a Distribuímos o factor  a  pelas parcelas SOMA  PRODUTO
Factor comum Expressão obtida suprimindo o factor comum Factoriza a seguinte expressão: 4x+5xy  = ..........  x  ......................... x (4+5y) Se multiplicares o factor comum pela  expressão dada, terás de obter a expressão inicial. Caso contrário, a expressão está mal factorizada . = 4x+5xy x (4+5y) Colocámos em evidência o factor x.
Mais exemplos:
Os casos notáveis e a decomposição em factores ,[object Object]
Lei do anulamento do produto Reparem que: Assim, se o produto de dois (ou mais) factores  é  zero, então, pelo menos um dos  factores  é  zero. Ou seja ,  Esta propriedade  é  conhecida pela  LEI DO ANULAMENTO DO PODUTO .   Um produto  é  nulo se e só se (sse) pelo menos um dos seus factores  é  nulo. Nota:  O s í mbolo  lê-se  ou .
[object Object],[object Object],A lei do anulamento do produto permite resolver equa ç ões de grau superior ao primeiro. Mas, ser á  poss í vel aplicar a lei do anulamento do produto na resolu ç ão de qualquer equa ç ão? Aten ç ão , para aplicar a lei do anulamento do produto na resolu ç ão de equa ç ões,  é  necess á rio que:
Ao aplicar esta lei, obtemos uma  disjunção   de duas condições, a que corresponde a  reunião  de dois conjuntos-solução. Conseguirás descobrir mentalmente as soluções?
 
Para aplicar a lei do anulamento do produto, é necessário factorizar o 1.º membro da equação. Nota:  é uma equação de grau 2,  completa  (porque tem o termo de grau 2, de grau um e de grau zero). Está  escrita na forma canónica. S.={0, 2}
  S.={-1/2} -0,5  é  raiz dupla
Resolve, por dois processos diferentes, as equa ç ões seguintes. ou
Problema: Observa as figuras. 6 6 Um voluntário?! Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do rectângulo.

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Polinómios

  • 1. MONÓMIOS E POLINÓMIOS
  • 2. Problema: Observa as figuras. x - 9 x – 4 Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do rectângulo. 6 6 Se as figuras são equivalentes significa que têm a mesma área, logo podemos formar a seguinte equação: Resolução: No 1.º membro da equação surge um produto que ainda não sabem efectuar. Portanto, torna-se necessário estudar novas expressões e suas operações que nos permitam dar resposta a alguns problemas.
  • 4. Um polinómio é uma soma algébrica de vários monómios . No polinómio , às parcelas, , e chamam-se termos ou monómios . Exemplos: Trinómio porque é constituído por 3 monómios Binómio , porque é constituído por dois monómios.
  • 5. Curiosidade: Monómio é uma palavra de origem grega, derivada de monos , que significa único . Monómio significa único termo . Um monómio é uma expressão que pode ser constituída por um número ou por um produto de números em que alguns podem ser representados por letras. MONÓMIOS Exemplos: M 3 -xy 6 23x x Nota: Num monómio não aparecem adições nem subtracções.
  • 6. Constituição de um monómio Exemplo: -7y 3 Neste monómio podemos distinguir uma parte numérica ou coeficiente (-7) e uma parte literal (y 3 ). Exercício: Completa a tabela seguinte : Monómio Coeficiente Parte literal
  • 7. Como escrever correctamente um monómio? A área do maior rectângulo da figura ao lado pode ser dada pela expressão: mas deve escrever-se: Exemplo II Observa a figura: Qual a sua área? 7x  2x = 14x 2 Exemplo I
  • 8. O produto de dois monómios é um monómio cujo coeficiente é o produto dos coeficientes e cuja parte literal é o produto das partes literais. Convencionou-se que para escrever um produto de vários factores (um monómio) escreve-se primeiro os números, e, em seguida, as letras por ordem alfabética. Por exemplo: Monómio Escrita correcta
  • 9. Grau de um monómio grau 1 grau 2 grau 4 grau 7 6 grau 3 grau 0 Então, como se determina o grau de um monómio? O grau de um monómio é igual à soma dos expoentes da parte literal.
  • 10. Completa a tabela: Monómios semelhantes Considera o seguinte polinómio: Este polinómio é constituído por 4 monómios , , e . e Os monómios e são semelhantes. Monómios semelhantes – são aqueles que têm a mesma parte literal. Monómios Grau
  • 11. Os monómios e não são semelhantes porque não têm a mesma parte literal. Grau de um polinómio Consideremos o polinómio . O grau deste polinómio é 4. Chama-se grau de um polinómio ao maior grau dos monómios que o constituem.
  • 12. Adição algébrica de polinómios Nos monómios as letras representam números e as operações têm as mesmas propriedades que as operações com números. Por exemplo: Propriedade comutativa Propriedade associativa Aritmética Álgebra Tal como na aritmética, é possível simplificar expressões quando estas têm termos semelhantes.
  • 13. Tal como na aritmética, é possível simplificar expressões quando estas têm termos semelhantes. A soma de vários monómios semelhantes é um monómio semelhante com coeficiente igual à soma algébrica dos coeficientes dos monómios das parcelas. Aritmética Álgebra 3 + 3 + 3 + 3 = 4  3 a + a + a + a =4  a = 4a 5  4 + 6  4 = 11  4 5 a + 6 a = 11a 3  7 + 2  7 + 4  7 = 9  7 3a + 2a + 4a = 9a
  • 14.
  • 16. Produto de um mon ó mio por um polin ó mio
  • 17. b a c A á rea é dada pela expressão:   ab bc b b c b 2 bc Como escrever correctamente, sem utilizar parênteses, á rea do maior rectângulo da figura?
  • 18. Para multiplicar um mon ó mio por um polin ó mio, aplica-se a propriedade distributiva da multiplica ç ão em rela ç ão à adi ç ão, isto é , multiplica-se o mon ó mio por cada um dos termos do polin ó mio.
  • 19. Multiplica ç ão de polin ó mios A figura representa um rectângulo. A expressão que representa a sua á rea é : Como transformar esta expressão num polin ó mio reduzido? x+8 x+2 Produto de dois polin ó mios
  • 20. 1.ª processo: 2.ª processo: Expressão que representa a área do rectângulo dado. Polinómio reduzido Para multiplicar polin ó mios, multiplica-se cada termo de um, por todos os termos do outro, obtendo-se assim um novo polin ó mio.
  • 21. Exerc í cio: Transforma num polin ó mio reduzido:
  • 22. CASOS NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO
  • 23. Entre todos os produtos de polin ó mios h á dois casos que têm um interesse particular, não s ó pela sua aplica ç ão a muitas situa ç ões, como pela sua liga ç ão à geometria. J á vimos que um polin ó mio com dois termos, ou seja, com dois mon ó mios, tamb é m se pode chamar BIN Ó MIO. Se é um bin ó mio, então representa o quadrado de um bin ó mio .
  • 24.
  • 25.
  • 27. De um modo geral, Quadrado do 2. º termo É importante ler a igualdade nos dois sentidos. Quadrado do 1. º termo
  • 28.
  • 29.
  • 31. As igualdades são casos particulares da multiplica ç ão de polin ó mios. Chamam-se por isso , CASOS NOT Á VEIS DA MULTIPLICA Ç ÃO .
  • 32.
  • 33.
  • 34.
  • 36. DECOMPOSI Ç ÃO EM FACTORES A+B é uma soma A e B são parcelas A  B é um produto A e B são os factores Recordar … Factorizar um polin ó mio é escrevê-lo sob a forma de um produto de factores. Para decompor um polin ó mio em factores, aplicando a propriedade distributiva, procuram-se os factores comuns e colocam-se em evidência.
  • 37. J á sabem transformar produtos em somas alg é bricas, agora pretende-se que fa ç am o contr á rio.  A Propriedade distributiva na decomposição em factores PRODUTO SOMA Acab á mos de transformar a soma num produto de factores – factoriza ç ão do polin ó mio. Colocámos em evidência o factor comum a Distribuímos o factor a pelas parcelas SOMA PRODUTO
  • 38. Factor comum Expressão obtida suprimindo o factor comum Factoriza a seguinte expressão: 4x+5xy = .......... x ......................... x (4+5y) Se multiplicares o factor comum pela expressão dada, terás de obter a expressão inicial. Caso contrário, a expressão está mal factorizada . = 4x+5xy x (4+5y) Colocámos em evidência o factor x.
  • 40.
  • 41. Lei do anulamento do produto Reparem que: Assim, se o produto de dois (ou mais) factores é zero, então, pelo menos um dos factores é zero. Ou seja , Esta propriedade é conhecida pela LEI DO ANULAMENTO DO PODUTO . Um produto é nulo se e só se (sse) pelo menos um dos seus factores é nulo. Nota: O s í mbolo lê-se ou .
  • 42.
  • 43. Ao aplicar esta lei, obtemos uma disjunção de duas condições, a que corresponde a reunião de dois conjuntos-solução. Conseguirás descobrir mentalmente as soluções?
  • 44.  
  • 45. Para aplicar a lei do anulamento do produto, é necessário factorizar o 1.º membro da equação. Nota: é uma equação de grau 2, completa (porque tem o termo de grau 2, de grau um e de grau zero). Está escrita na forma canónica. S.={0, 2}
  • 46. S.={-1/2} -0,5 é raiz dupla
  • 47. Resolve, por dois processos diferentes, as equa ç ões seguintes. ou
  • 48. Problema: Observa as figuras. 6 6 Um voluntário?! Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do rectângulo.