Polinómios

Problema: Observa as figuras. x - 9 x – 4 Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do rectângulo. 6 6 Se as figuras são equivalentes significa que têm a mesma área, logo podemos formar a seguinte equação: Resolução: No 1.º membro da equação surge um produto que ainda não sabem efectuar. Portanto, torna-se necessário estudar novas expressões e suas operações que nos permitam dar resposta a alguns problemas.

Um polinómio é uma soma algébrica de vários monómios . No polinómio , às parcelas, , e chamam-se termos ou monómios . Exemplos: Trinómio porque é constituído por 3 monómios Binómio , porque é constituído por dois monómios.

Curiosidade: Monómio é uma palavra de origem grega, derivada de monos , que significa único . Monómio significa único termo . Um monómio é uma expressão que pode ser constituída por um número ou por um produto de números em que alguns podem ser representados por letras. MONÓMIOS Exemplos: M 3 -xy 6 23x x Nota: Num monómio não aparecem adições nem subtracções.

Constituição de um monómio Exemplo: -7y 3 Neste monómio podemos distinguir uma parte numérica ou coeficiente (-7) e uma parte literal (y 3 ). Exercício: Completa a tabela seguinte : Monómio Coeficiente Parte literal

Como escrever correctamente um monómio? A área do maior rectângulo da figura ao lado pode ser dada pela expressão: mas deve escrever-se: Exemplo II Observa a figura: Qual a sua área? 7x  2x = 14x 2 Exemplo I

O produto de dois monómios é um monómio cujo coeficiente é o produto dos coeficientes e cuja parte literal é o produto das partes literais. Convencionou-se que para escrever um produto de vários factores (um monómio) escreve-se primeiro os números, e, em seguida, as letras por ordem alfabética. Por exemplo: Monómio Escrita correcta

Grau de um monómio grau 1 grau 2 grau 4 grau 7 6 grau 3 grau 0 Então, como se determina o grau de um monómio? O grau de um monómio é igual à soma dos expoentes da parte literal.

Completa a tabela: Monómios semelhantes Considera o seguinte polinómio: Este polinómio é constituído por 4 monómios , , e . e Os monómios e são semelhantes. Monómios semelhantes – são aqueles que têm a mesma parte literal. Monómios Grau

Os monómios e não são semelhantes porque não têm a mesma parte literal. Grau de um polinómio Consideremos o polinómio . O grau deste polinómio é 4. Chama-se grau de um polinómio ao maior grau dos monómios que o constituem.

Adição algébrica de polinómios Nos monómios as letras representam números e as operações têm as mesmas propriedades que as operações com números. Por exemplo: Propriedade comutativa Propriedade associativa Aritmética Álgebra Tal como na aritmética, é possível simplificar expressões quando estas têm termos semelhantes.

Tal como na aritmética, é possível simplificar expressões quando estas têm termos semelhantes. A soma de vários monómios semelhantes é um monómio semelhante com coeficiente igual à soma algébrica dos coeficientes dos monómios das parcelas. Aritmética Álgebra 3 + 3 + 3 + 3 = 4  3 a + a + a + a =4  a = 4a 5  4 + 6  4 = 11  4 5 a + 6 a = 11a 3  7 + 2  7 + 4  7 = 9  7 3a + 2a + 4a = 9a

Exemplos: O polinómio Polinómio reduzido porque não tem termos semelhantes 2. Transforma num polinómio reduzido os seguintes polinómios:

Produto de um mon ó mio por um polin ó mio

b a c A á rea é dada pela expressão: ab bc b b c b 2 bc Como escrever correctamente, sem utilizar parênteses, á rea do maior rectângulo da figura?

Para multiplicar um mon ó mio por um polin ó mio, aplica-se a propriedade distributiva da multiplica ç ão em rela ç ão à adi ç ão, isto é , multiplica-se o mon ó mio por cada um dos termos do polin ó mio.

Multiplica ç ão de polin ó mios A figura representa um rectângulo. A expressão que representa a sua á rea é : Como transformar esta expressão num polin ó mio reduzido? x+8 x+2 Produto de dois polin ó mios

1.ª processo: 2.ª processo: Expressão que representa a área do rectângulo dado. Polinómio reduzido Para multiplicar polin ó mios, multiplica-se cada termo de um, por todos os termos do outro, obtendo-se assim um novo polin ó mio.

Exerc í cio: Transforma num polin ó mio reduzido:

CASOS NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO

Entre todos os produtos de polin ó mios h á dois casos que têm um interesse particular, não s ó pela sua aplica ç ão a muitas situa ç ões, como pela sua liga ç ão à geometria. J á vimos que um polin ó mio com dois termos, ou seja, com dois mon ó mios, tamb é m se pode chamar BIN Ó MIO. Se é um bin ó mio, então representa o quadrado de um bin ó mio .

Exemplos Quadrado de binómio:

Exemplos Quadrado de um binómio

De um modo geral, Quadrado do 2. º termo É importante ler a igualdade nos dois sentidos. Quadrado do 1. º termo

Repara que: Cada expressão dada é um produto de dois bin ó mios, que s ó diferem num sinal. Têm um termo em comum e o outro é sim é trico. O sinal, -, da diferen ç a fica associado ao quadrado do termo que tem sinal diferente. A expressão que se obteve em cada caso é uma diferen ç a de quadrados. Observa :   

Mais Exemplos Diferença de quadrados

As igualdades são casos particulares da multiplica ç ão de polin ó mios. Chamam-se por isso , CASOS NOT Á VEIS DA MULTIPLICA Ç ÃO .

Resumo Quadrado de um binómio: Diferença de Quadrados: + +

Exercício 1 Escreve um polinómio equivalente a: Resolução:

Exercício 2 Escreve um polinómio equivalente a: Resolução:

DECOMPOSI Ç ÃO EM FACTORES A+B é uma soma A e B são parcelas A  B é um produto A e B são os factores Recordar … Factorizar um polin ó mio é escrevê-lo sob a forma de um produto de factores. Para decompor um polin ó mio em factores, aplicando a propriedade distributiva, procuram-se os factores comuns e colocam-se em evidência.

J á sabem transformar produtos em somas alg é bricas, agora pretende-se que fa ç am o contr á rio.  A Propriedade distributiva na decomposição em factores PRODUTO SOMA Acab á mos de transformar a soma num produto de factores – factoriza ç ão do polin ó mio. Colocámos em evidência o factor comum a Distribuímos o factor a pelas parcelas SOMA PRODUTO

Factor comum Expressão obtida suprimindo o factor comum Factoriza a seguinte expressão: 4x+5xy = .......... x ......................... x (4+5y) Se multiplicares o factor comum pela expressão dada, terás de obter a expressão inicial. Caso contrário, a expressão está mal factorizada . = 4x+5xy x (4+5y) Colocámos em evidência o factor x.

Os casos notáveis e a decomposição em factores Diferen ç a de quadrados

Lei do anulamento do produto Reparem que: Assim, se o produto de dois (ou mais) factores é zero, então, pelo menos um dos factores é zero. Ou seja , Esta propriedade é conhecida pela LEI DO ANULAMENTO DO PODUTO . Um produto é nulo se e só se (sse) pelo menos um dos seus factores é nulo. Nota: O s í mbolo lê-se ou .

A expressão de um dos membros seja um produto de factores;  O outro membro seja zero. A lei do anulamento do produto permite resolver equa ç ões de grau superior ao primeiro. Mas, ser á poss í vel aplicar a lei do anulamento do produto na resolu ç ão de qualquer equa ç ão? Aten ç ão , para aplicar a lei do anulamento do produto na resolu ç ão de equa ç ões, é necess á rio que:

Ao aplicar esta lei, obtemos uma disjunção de duas condições, a que corresponde a reunião de dois conjuntos-solução. Conseguirás descobrir mentalmente as soluções?

Para aplicar a lei do anulamento do produto, é necessário factorizar o 1.º membro da equação. Nota: é uma equação de grau 2, completa (porque tem o termo de grau 2, de grau um e de grau zero). Está escrita na forma canónica. S.={0, 2}

S.={-1/2} -0,5 é raiz dupla

Resolve, por dois processos diferentes, as equa ç ões seguintes. ou

Problema: Observa as figuras. 6 6 Um voluntário?! Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do rectângulo.

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