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MONÓMIOS
     E
POLINÓMIOS
Problema: Observa as figuras.
                                                  6


     x-9                                   6

                 x–4

Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do rectângulo.
  Resolução:
    Se as figuras são equivalentes significa que têm a mesma área, logo
    podemos formar a seguinte equação:


                        x  9x  4  36
    No 1.º membro da equação surge um produto que ainda não sabem efetuar.
     Portanto, torna-se necessário estudar novas expressões e suas operações
    que nos permitam dar resposta a alguns problemas.
POLINÓMIOS



                   1                  2a  3
                   x6
                   2
                                 2x2  3

                     7x  4
                                       y  4y  3
                                         2




  Exemplos de várias expressões algébricas.
  Uma expressão algébrica é constituída por um ou mais termos.
No polinómio   y  4y  3
                   2
                                 , às parcelas,   y 2,  4 y   e   3
    chamam-se termos ou monómios.


     Um polinómio é uma soma algébrica de pelo menos dois monómios..



Exemplos:


       y2  4 y        Binómio, porque é constituído por dois monómios.


 4 x 2  4 x  30         Trinómios
                          cada expressão é constituído por 3 monómios
7 y 2  4 xy  7 xy
Curiosidade:
MONÓMIOS                                        Monómio é uma palavra de
                                                origem grega, derivada de
                                                monos, que significa único.
                                                Monómio significa único termo.

      Um monómio é uma expressão que pode ser constituída por um
      número ou por um produto de números em que alguns podem ser
      representados por letras.

Exemplos:
            23x
M3
                         y
            x          
-xy                      4
6
                NOTA
                 y  1    1
                  y y
                 4  4    4

        Nota: Num monómio não aparecem adições nem subtracções.
Constituição de um monómio
Exemplo:

                -7 y3

Neste monómio podemos distinguir uma parte numérica ou coeficiente (-7) e
uma parte literal (y3).

 Exercício:
 Completa a tabela seguinte:
              Monómio        Coeficiente        Parte literal

                   x            1                    x
                10                                 __
                               10
                   z                1
                                                   z
                   6                6
               5 yz             yz                  5
             89xyz            89                  xyz
Como escrever corretamente um monómio?
Exemplo I



                           a
            x       x
 A área do maior rectângulo da figura ao lado pode ser dada pela expressão:

                2 x  a   mas deve escrever-se:   2ax
Exemplo II

       Observa a figura:

                                                         x

                                                             7x  2x = 14x2
            Qual a sua área?        x
O produto de dois monómios é outro monómio cujo coeficiente é o
  produto dos coeficientes e cuja parte literal é o produto das partes
  literais.

Convencionou-se que para escrever um produto de vários fatores (um monómio)
escreve-se primeiro os números, e, em seguida, as letras por ordem alfabética.
 Por exemplo:



                     Monómio              Escrita correta
                      x 5  y                 5 xy

                  5 b  a  3                15ab
               3  q   2 p               6 pq
          3  a 2  b   2 a  b          6a3b 2
Grau de um monómio
     6                                               grau 0
    6a                                              grau 1
       2
    6a                                               grau 2

    6a 3
                                                     grau 3
      3
    6a b                                              grau 4

       5 2
    6a b                                              grau 7
   Então, como se determina o grau de um monómio?

 O grau de um monómio é igual à soma dos expoentes das letras que
nele figuram (à soma dos expoentes da parte literal).
Exercício:
Completa a tabela:
                                  Monómios

                                           8
                      7 xy    23x 2 y 3       7 x4 y
                                           3
               Grau
                       2         5         0     5
Consolidação dos conhecimentos


Exercícios da página 41 (volume 2)

        TPC- terminar os
    exercícios não realizados
      na aula e tarefa 1 da
           página 38.
OPERAÇÕES COM
  POLINÓMIOS
Adição algébrica de polinómios
 Tal como na aritmética, também é possível simplificar expressões algébricas
                quando estas têm termos semelhantes.



             Aritmética                   Álgebra

            3 + 3 + 3 + 3 = 43      a + a + a + a =4a = 4a


             54 + 64 = 114            5a + 6a = 11a

          37 + 27 + 47 = 97        3a + 2a + 4a = 9a




Para se obter a soma polinómios basta adicionar os termos semelhantes.
Exemplos:                                                               Processo:

1. O polinómio                                                          Algoritmo


          6 x 4  7 x  9  4 x  6 x 4  3x  9

                             Polinómio reduzido porque não tem termos
                                            semelhantes

2. Transforma num polinómio reduzido os seguintes polinómios:


  6 x  7 y  9 x  4 y  12 
     4            4
                                      6 y3  2 y  5   7 y 3  y 2  3 y  10  

   15x  3 y  12
            4



  Simplificar um polinómio
  é reduzir os termos
  semelhantes
Consolidação dos conhecimentos


  Exercícios da página 43
Produto de um monómio
   por um polinómio
a        c

                                   A área é dada pela expressão:
   b       ab        bc

                                            ba  c   b  a  b  c 
                                                      ab  bc
Como escrever correctamente, sem utilizar parênteses, área do maior
rectângulo da figura?
                b        c


       b    b2        bc                        b 2  bc
                                      Repara:


                                     b b  c   b  b  b  c 
                                                 b 2  bc
Para multiplicar um monómio por um polinómio, aplica-se a propriedade
distributiva da multiplicação em relação à adição, isto é, multiplica-se
o monómio por cada um dos termos do polinómio.




       2 3x  3  x 1  6x  6  2 x  2
Monómios semelhantes

  Considera o seguinte polinómio:          6x  7 x  9  4x
                                              4

   este polinómio é constituído por 4 monómios 6x 4 ,7 x ,  4 x e      9.
   Os monómios

                7x    e  4x       são semelhantes.

Mais
exemplos:                   4 y   2
                                       e   56 y   2
                                                       887xy z 2
                                                                    e   4xy z
                                                                             2

    4y     e   19 y          Conseguirás chegar à definição de monómios
                              semelhantes?

   Monómios semelhantes - são monómios que têm a mesma parte literal.


    Os monómios       4x    e   6x 4       não são semelhantes porque não têm a
                                            mesma parte literal.
Monómios simétricos - são monómios com a mesma parte literal e coeficientes
  simétricos.

                    19y     e       19 y
                        Grau de um polinómio
Consideremos o polinómios e o respetivo grau.

          6 x 4  5x 2  1       O grau deste polinómio é 4


         x y  x 9
           5        5
                                       Grau 6


               x3  1                 Grau 3
  Definição:
  Chama-se grau de um polinómio é o maior dos graus dos monómios que
  o constituem.
                              x  43 x
                                 3

                             grau 3         grau 1
                          POLINÓMIO DE GRAU 3
Multiplicação de polinómios
A figura representa um rectângulo.

                               x+8


                                                  x+2




  A expressão que representa a sua área é:




            x  8x  2            Multiplicação de dois polinómios




Para multiplicar dois polinómios também se aplica a propriedade
distributiva da multiplicação em relação à adição.
x  8x  2
   1.º processo:                               2.º processo:


x  8x  2  xx  2  8x  2 
                x 2  2 x  8 x  16 
                x 2  10 x  16
                                          x  8x  2  x  2x  8x  16 
                                                               2



       x  10 x  16
         2                                                 x  10 x  16
                                                               2




      Polinómio reduzido                   Para multiplicar polinómios, multiplica-se
                                           cada termo de um, por todos os termos do
                                           outro, obtendo-se assim um novo polinómio.
    Expressão que representa a área
          do rectângulo dado.                                           3.º processo:

                                                                        Algoritmo
Exercício:

Transforma num polinómio reduzido:

  3x  2 x  5                  Se tivermos dois polínómios de graus 2 e 4
                                     então a multiplicação desses polínómios
                                     dará um polinómio de grau 6
      1
   y   2 x  6
      2


              
  2 x 2  3x 4  10 x3   
                         2




          2
 1               1 
  y   10 0,4 y  y 2 
 3               3 

   2        1  x 
   x  2 x     1
            4  2 


 x  53x  1  2x2  3
OBSERVAÇÃO:




    3x   2
               2   x  5  3x  15x  2 x  10
                         4                   6           2          4




Polinómio de grau 2

                 Polinómio de grau 4                  Polinómio de grau 6


  A multiplicação de um polinómio de grau 2 por um polinómio de grau 4 é um polinómio
                                       de grau 6.

                grau  P  Q   grau  P   grau Q 

              1
           y   2 x  6
              2
Consolidação dos conhecimentos


Exercícios da página 47 e 49

    TPC- terminar os
exercícios não realizados
         na aula

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  • 1. MONÓMIOS E POLINÓMIOS
  • 2. Problema: Observa as figuras. 6 x-9 6 x–4 Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do rectângulo. Resolução: Se as figuras são equivalentes significa que têm a mesma área, logo podemos formar a seguinte equação: x  9x  4  36 No 1.º membro da equação surge um produto que ainda não sabem efetuar. Portanto, torna-se necessário estudar novas expressões e suas operações que nos permitam dar resposta a alguns problemas.
  • 3. POLINÓMIOS 1 2a  3  x6 2 2x2  3 7x  4 y  4y  3 2 Exemplos de várias expressões algébricas. Uma expressão algébrica é constituída por um ou mais termos.
  • 4. No polinómio y  4y  3 2 , às parcelas, y 2,  4 y e 3 chamam-se termos ou monómios. Um polinómio é uma soma algébrica de pelo menos dois monómios.. Exemplos: y2  4 y Binómio, porque é constituído por dois monómios. 4 x 2  4 x  30 Trinómios cada expressão é constituído por 3 monómios 7 y 2  4 xy  7 xy
  • 5. Curiosidade: MONÓMIOS Monómio é uma palavra de origem grega, derivada de monos, que significa único. Monómio significa único termo. Um monómio é uma expressão que pode ser constituída por um número ou por um produto de números em que alguns podem ser representados por letras. Exemplos: 23x M3 y x  -xy 4 6 NOTA y 1 1   y y 4 4 4 Nota: Num monómio não aparecem adições nem subtracções.
  • 6. Constituição de um monómio Exemplo: -7 y3 Neste monómio podemos distinguir uma parte numérica ou coeficiente (-7) e uma parte literal (y3). Exercício: Completa a tabela seguinte: Monómio Coeficiente Parte literal x 1 x  10 __ 10 z 1   z 6 6 5 yz yz 5 89xyz  89 xyz
  • 7. Como escrever corretamente um monómio? Exemplo I a x x A área do maior rectângulo da figura ao lado pode ser dada pela expressão: 2 x  a mas deve escrever-se: 2ax Exemplo II Observa a figura: x 7x  2x = 14x2 Qual a sua área? x
  • 8. O produto de dois monómios é outro monómio cujo coeficiente é o produto dos coeficientes e cuja parte literal é o produto das partes literais. Convencionou-se que para escrever um produto de vários fatores (um monómio) escreve-se primeiro os números, e, em seguida, as letras por ordem alfabética. Por exemplo: Monómio Escrita correta x 5  y 5 xy 5 b  a  3 15ab  3  q   2 p 6 pq 3  a 2  b   2 a  b  6a3b 2
  • 9. Grau de um monómio 6 grau 0 6a grau 1 2 6a grau 2 6a 3 grau 3 3 6a b grau 4 5 2 6a b grau 7 Então, como se determina o grau de um monómio? O grau de um monómio é igual à soma dos expoentes das letras que nele figuram (à soma dos expoentes da parte literal).
  • 10. Exercício: Completa a tabela: Monómios 8 7 xy  23x 2 y 3 7 x4 y 3 Grau 2 5 0 5
  • 11. Consolidação dos conhecimentos Exercícios da página 41 (volume 2) TPC- terminar os exercícios não realizados na aula e tarefa 1 da página 38.
  • 12. OPERAÇÕES COM POLINÓMIOS
  • 13. Adição algébrica de polinómios Tal como na aritmética, também é possível simplificar expressões algébricas quando estas têm termos semelhantes. Aritmética Álgebra 3 + 3 + 3 + 3 = 43 a + a + a + a =4a = 4a 54 + 64 = 114 5a + 6a = 11a 37 + 27 + 47 = 97 3a + 2a + 4a = 9a Para se obter a soma polinómios basta adicionar os termos semelhantes.
  • 14. Exemplos: Processo: 1. O polinómio Algoritmo 6 x 4  7 x  9  4 x  6 x 4  3x  9 Polinómio reduzido porque não tem termos semelhantes 2. Transforma num polinómio reduzido os seguintes polinómios: 6 x  7 y  9 x  4 y  12  4 4 6 y3  2 y  5   7 y 3  y 2  3 y  10    15x  3 y  12 4 Simplificar um polinómio é reduzir os termos semelhantes
  • 15. Consolidação dos conhecimentos Exercícios da página 43
  • 16. Produto de um monómio por um polinómio
  • 17. a c A área é dada pela expressão: b ab bc ba  c   b  a  b  c   ab  bc Como escrever correctamente, sem utilizar parênteses, área do maior rectângulo da figura? b c b b2 bc b 2  bc Repara: b b  c   b  b  b  c   b 2  bc
  • 18. Para multiplicar um monómio por um polinómio, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, isto é, multiplica-se o monómio por cada um dos termos do polinómio.  2 3x  3  x 1  6x  6  2 x  2
  • 19. Monómios semelhantes Considera o seguinte polinómio: 6x  7 x  9  4x 4 este polinómio é constituído por 4 monómios 6x 4 ,7 x ,  4 x e 9. Os monómios 7x e  4x são semelhantes. Mais exemplos: 4 y 2 e 56 y 2 887xy z 2 e 4xy z 2  4y e 19 y Conseguirás chegar à definição de monómios semelhantes? Monómios semelhantes - são monómios que têm a mesma parte literal. Os monómios  4x e 6x 4 não são semelhantes porque não têm a mesma parte literal.
  • 20. Monómios simétricos - são monómios com a mesma parte literal e coeficientes simétricos. 19y e 19 y Grau de um polinómio Consideremos o polinómios e o respetivo grau. 6 x 4  5x 2  1 O grau deste polinómio é 4 x y  x 9 5 5 Grau 6 x3  1 Grau 3 Definição: Chama-se grau de um polinómio é o maior dos graus dos monómios que o constituem. x  43 x 3 grau 3 grau 1 POLINÓMIO DE GRAU 3
  • 22. A figura representa um rectângulo. x+8 x+2 A expressão que representa a sua área é: x  8x  2 Multiplicação de dois polinómios Para multiplicar dois polinómios também se aplica a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
  • 23. x  8x  2 1.º processo: 2.º processo: x  8x  2  xx  2  8x  2   x 2  2 x  8 x  16   x 2  10 x  16 x  8x  2  x  2x  8x  16  2 x  10 x  16 2  x  10 x  16 2 Polinómio reduzido Para multiplicar polinómios, multiplica-se cada termo de um, por todos os termos do outro, obtendo-se assim um novo polinómio. Expressão que representa a área do rectângulo dado. 3.º processo: Algoritmo
  • 24. Exercício: Transforma num polinómio reduzido: 3x  2 x  5 Se tivermos dois polínómios de graus 2 e 4 então a multiplicação desses polínómios dará um polinómio de grau 6  1  y   2 x  6  2    2 x 2  3x 4  10 x3  2 2 1   1   y   10 0,4 y  y 2  3   3   2 1  x   x  2 x     1  4  2  x  53x  1  2x2  3
  • 25. OBSERVAÇÃO:  3x 2  2   x  5  3x  15x  2 x  10 4 6 2 4 Polinómio de grau 2 Polinómio de grau 4 Polinómio de grau 6 A multiplicação de um polinómio de grau 2 por um polinómio de grau 4 é um polinómio de grau 6. grau  P  Q   grau  P   grau Q   1  y   2 x  6  2
  • 26. Consolidação dos conhecimentos Exercícios da página 47 e 49 TPC- terminar os exercícios não realizados na aula