O documento apresenta os conceitos básicos sobre equações do segundo grau, incluindo: (1) sua forma geral e exemplos, (2) como reduzir equações para a forma canônica, (3) casos de equações incompletas, (4) método de resolução de equações completas usando a fórmula de Bhaskara, (5) relações entre coeficientes e raízes, e (6) como escrever a equação quando se conhecem as raízes.

1. EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Professor: João Paulo Luna

2. EQUAÇÃO DO 2º GRAU
• São todas as equações na forma:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, onde 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 são reais e 𝑎 ≠ 0.
Exemplos:
 𝑥2 + 3𝑥 − 8 = 0
 3𝑥2 − 4𝑥 + 15 = 0
 2𝑥2 + 8𝑥 − 10 = 0

3. FORMA REDUZIDA DE UMA
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
• Todas as equações do tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 estão escritas na forma reduzida.
Nem sempre as equações serão dadas dessa forma, nesses casos devemos reduzi-
las antes de resolver.
 Exemplo:
2 𝑥 − 3 + 5𝑥 𝑥 − 1 = 13
2𝑥 − 3𝑥 + 5𝑥2
− 5𝑥 = 13
5𝑥2
+ 2𝑥 − 3𝑥 − 5𝑥 − 13 = 0
5𝑥2
− 6𝑥 − 13 = 0
Propriedade distributiva
Adicionando os semelhantes
Equação reduzida

4. EQUAÇÕES DO 2º GRAU
INCOMPLETAS
• Existem dois casos de equações incompletas:
 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 = 0, neste caso 𝑐 = 0;
 𝑎𝑥2
+ 𝑐 = 0, neste caso 𝑏 = 0.
1º caso: resolução de equação onde o 𝑐 = 0.
𝑥2 + 3𝑥 = 0
𝑥 𝑥 + 3 = 0
𝑥′ = 0
𝑥 + 3 = 0
𝑥′′ = −3
𝑆 = −3,0
 Neste caso colocaremos o fator
comum em evidência, e pela
propriedade dos números reais,
podemos dizer que um dos
valores do x é 0. O outro valor é
dado pela resolução da
expressão que se encontra no
interior dos parênteses
igualando-a a 0.

5. 2º caso: resolução de equação onde o 𝑏 = 0.
𝑥2 − 81 = 0
𝑥2 = 81
𝑥 = ± 81
𝑥 = ±9
𝑆 = −9,9
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
INCOMPLETAS
 Neste caso isolamos a
incógnita e retiramos a raiz
quadrada (que é a operação
inversa da potência quadrada)
do termo independente,
lembrando que o valor pode
ser tanto negativo quanto
positivo.

6. RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º
GRAU COMPLETAS
• São todas as equações na forma:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, onde 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 são reais e 𝑎 ≠ 0.
 2𝑥2
+ 2𝑥 − 40 = 0
 𝑥2
−6𝑥 + 1 = 0
 5𝑥2 + 3𝑥 + 4 = 0
 6𝑥2
+ 𝑥 − 13 = 0

7. RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º
GRAU COMPLETAS
• Para resolver as equações primeiramente devemos determinar os coeficientes a, b e
c. Em seguida aplicaremos a fórmula:
−𝑏± ∆
2𝑎
, onde o ∆= 𝑏2
− 4𝑎𝑐, logo a equação fica da seguinte forma:
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
• Com relação ao delta (∆):
 ∆ > 0, 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠;
∆ = 0, 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠;
∆ < 0, 𝑛ã𝑜 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑟𝑒𝑎𝑙.

8. RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º
GRAU COMPLETAS
- Exemplo 1:
𝑥2 − 12𝑥 + 35 = 0
𝑎 = 1 𝑏 = −12 𝑐 = 35
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆= −12 2
− 4 ∙ 1 ∙ 35
∆= 144 − 140
∆= 4
−𝑏 ± ∆
2𝑎
−(−12) ± 4
2 ∙ 1
=
12 ± 4
2
=
𝑥′ =
12 + 2
2
= 7
𝑥′′ =
12 − 2
2
= 5
𝑆 = 5,7
- Exemplo 2:
𝑥²
2
−
𝑥 + 12
3
= 2𝑥
3(𝑥2)
6
−
2(𝑥 + 12)
6
=
6 (2𝑥)
6
3𝑥2 − 14𝑥 − 24 = 0
𝑎 = 3 𝑏 = −14 𝑐 = −24
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆= −14 2
− 4 ∙ 3 ∙ −24
∆= 196 + 288
∆= 484
−𝑏 ± ∆
2𝑎
−(−14) ± 484
2 ∙ 3
=
14 ± 22
6
=
𝑥′
=
14 + 22
6
= 6
𝑥′′
=
14 − 22
6
= −
4
3
𝑆 = −
4
3
, 6

9. ESTUDANDO AS RAÍZES DE UMA
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
• Lembre-se:
 ∆ > 0, 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠;
 ∆ = 0, 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠;
 ∆ < 0, 𝑛ã𝑜 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑟𝑒𝑎𝑙.
 Situação 1: verificar se o número -2 é raiz da equação 𝑥2
− 2𝑥 − 8 = 0.
−2 2
− 2 −2 − 8 = 0
4 + 4 − 8 = 0
8 − 8 = 0
0 = 0 𝑉
Como a igualdade é verdadeira, podemos afirmar que – 2 é raiz da equação.

10. Situação 2: Determine os valores reais
que 𝑘 deve assumir para que a equação
9𝑥2
+ 9𝑥 + 𝑘 = 0 não tenha raízes reais.
∆< 0
∆= 92
− 4 ∙ 9 ∙ 𝑘
∆= 81 − 36𝑘
ESTUDANDO AS RAÍZES DE UMA
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
81 − 36𝑘 < 0
−36𝑘 < −81 ∙ (−1)
36𝑘 > 81
𝑘 >
81
36
𝑘 >
9
4
Situação 3: Sabendo que a equação
5𝑥2
− 4𝑥 + 2𝑚 = 0 tem duas raízes reais
diferentes, determine os valores reais que
𝑚 deve assumir.
∆> 0
∆= −4 2 − 4 ∙ 5 ∙ 2𝑚
∆= 16 − 40𝑚
16 − 40𝑚 > 0
−40𝑚 > 16 ∙ −1
40𝑚 < 16
𝑚 <
16
40
𝑚 <
2
5

11. ESTUDANDO AS RAÍZES DE UMA
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
 Situação 4: Determinar o valor real de 𝑝 na equação 𝑥2
− 𝑝𝑥 + 9 = 0 para que essa
equação tenha duas raízes reais iguais.
∆= 0
∆= −𝑝 2
− 4 ∙ 1 ∙ 9
∆= 𝑝2 − 36
𝑝2 − 36 = 0
𝑝2 = 36
𝑝 = ± 36
𝑝 = ±6

12. RELACIONANDO AS RAÍZES E OS
COEFICIENTES DA EQUAÇÃO
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
• 1ª Relação: Adicionando as raízes.
𝑥′
+ 𝑥′′
=
−𝑏
𝑎
 Exemplo: Sem resolver a equação 3𝑥2 − 8𝑥 − 3 = 0, determinar a soma das duas
raízes.
𝑎 = 3 𝑏 = −8 𝑐 = −3
𝑥′
+ 𝑥′′
=
−𝑏
𝑎
→
−(−8)
3
=
8
3

13. RELACIONANDO AS RAÍZES E OS
COEFICIENTES DA EQUAÇÃO
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
• 2ª Relação: Produto das raízes.
𝑥′
∙ 𝑥′′
=
𝑐
𝑎
 Exemplo: Sem resolver a equação 2𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0, determinar o produto das
duas raízes.
𝑎 = 2 𝑏 = 3 𝑐 = −10
𝑥′ ∙ 𝑥′′ =
𝑐
𝑎
→
−10
2
= −5

14. ESCREVENDO UMA EQUAÇÃO DO 2º
GRAU QUANDO CONHECEMOS AS DUAS
RAÍZES
• Indicamos a soma das raízes por S → 𝑥′ + 𝑥′′ = 𝑆
• Indicamos o produto das raízes por P → 𝑥′
∙ 𝑥′′
= 𝑃
Logo: 𝒙 𝟐
− 𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎
 Exemplo 1: Determinar a equação do 2º grau na incógnita x, sabendo que as raízes
são os números reais 5 e 7.
𝑆 = 5 + 7 → 𝑆 = 12
𝑃 = 5 ∙ 7 → 𝑃 = 35
𝑥2
− 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
𝑥2 − 12𝑥 + 35 = 0

15.  Exemplo 2: Determinar a equação do 2º grau na incógnita x, sabendo que as raízes
são os números reais 4 + 2 e 4 − 2.
𝑆 = 4 + 2 + 4 − 2 → 𝑆 = 8
𝑃 = 4 + 2 4 − 2 → 𝑃 = 16 − 2 = 14
𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
𝑥2
− 8𝑥 + 14 = 0
ESCREVENDO UMA EQUAÇÃO DO 2º
GRAU QUANDO CONHECEMOS AS DUAS
RAÍZES

16. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
• Toda equação na forma: 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0, onde a, b e c são reais e a≠0.
• Note que são equações incompletas, desprovidas dos termos com incógnitas de expoente
ímpar.
• Resolução: substituir 𝑥² por uma incógnita auxiliar (𝑥2
= 𝑝).
 Exemplo 1: 𝑥4 − 5𝑥2 + 4 = 0, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑈 = 𝑅
𝑥2 2
− 5𝑥2
+ 4 = 0
𝑝2
− 5𝑝 + 4 = 0
∆= −5 2
− 4 ∙ 1 ∙ 4
∆= 25 − 16
∆= 9
−(−5) ± 9
2 ∙ 1
= 𝑝′ =
5 + 3
2
= 4
𝑝′′
=
5 − 3
2
= 1
Como 𝑝 = 𝑥2
, faremos:
Para 𝑝 = 4 → 𝑥2
= 4 → 𝑥 = ± 4 = ±2
Para 𝑝 = 1 → 𝑥2 = 1 → 𝑥 = ± 1 = ±1
𝑆 = −1,1, −2,2

17. EQUAÇÕES BIQUADRADAS
 Exemplo 2: 𝑥4 − 8𝑥 − 9 = 0, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑈 = 𝑅.
𝑥2 2 − 8𝑥2 − 9 = 0
𝑝2 − 8𝑝 − 9 = 0
∆= −8 2 − 4 ∙ 1 ∙ −9
∆= 64 + 36
∆= 100
−(−8) ± 100
2 ∙ 1
=
8 ± 10
2
= 𝑝′ =
8 + 10
2
= 9
𝑝′′=
8 − 10
2
= −1
Como 𝑝 = 𝑥², faremos:
Para 𝑝 = 9 → 𝑥2
= 9 → 𝑥 = ± 9 = ±3
Para 𝑝 = −1 → 𝑥2 = −1 → 𝑥 = ± −1 ∈ 𝑅
𝑆 = −3,3

18. SISTEMAS DE EQUAÇÃO DO 2º
GRAU
• Usaremos o método da substituição.
 Exemplo 1:
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥𝑦 = 2
𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑈 = 𝑅
𝑥 = 3 − 𝑦
3 − 𝑦 𝑦 = 2
−𝑦2
+ 3𝑦 − 2 = 0 ∙ −1
𝑦2 − 3𝑦 + 2 = 0
∆= −3 2
− 4 ∙ 1 ∙ 2
∆= 9 − 8
∆= 1
− −3 ± 1
2 ∙ 1
=
3 ± 1
2
=
𝑦′
=
3 + 1
2
= 2
𝑦′′ =
3 − 1
2
= 1
𝑥 = 3 − 𝑦
Quando 𝑦 = 2, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑥 = 3 − 2 = 1
Quando 𝑦 = 1, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑥 = 3 − 1 = 2
𝑆 = 1,2 𝑒 (2,1)

19.  Exemplo 2:
𝑥2
= 6 + 𝑥𝑦
𝑥 + 𝑦 = 4
𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑈 = 𝑅
𝑥 = 4 − 𝑦
4 − 𝑦 2
= 6 + 4 − 𝑦 𝑦
16 − 8𝑦 + 𝑦2
= 6 + 4𝑦 − 𝑦²
2𝑦2
− 12𝑦 + 10 = 0 → 𝑦2
− 6𝑦 + 5 = 0
∆= −6 2 − 4 ∙ 1 ∙ 5
∆= 36 − 20
∆= 16
SISTEMAS DE EQUAÇÃO DO 2º
GRAU
− −6 ± 16
2 ∙ 1
=
6 ± 4
2
=
𝑦′
=
6 + 4
2
= 5
𝑦′′
=
6 − 4
2
= 1
𝑥 = 4 − 𝑦
Quando 𝑦 = 5,
𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑥 = 4 − 5 = −1
Quando 𝑦 = 1,
𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑥 = 4 − 1 = 3
𝑆 = −1,5 𝑒 (3,1)