O documento apresenta conceitos e resolução de equações do 2o grau, incluindo: (1) definição de equação do 2o grau com uma incógnita na forma ax2 + bx + c = 0; (2) métodos para reduzir equações a forma normal ax2 + bx + c = 0; e (3) uso da fórmula de Bhaskara para resolver equações completas do 2o grau.

1. EQUAÇÃO DO 2º
GRAU
Professores: José Junior e
Francisco Braga
8ª Série/9º Ano - EF

2. SITUAÇÃO 01
A Profesora de Artes quer um painel retangular para a exposição educativa. Ela quer um
painel que tenha 600 cm² de área. Mas, ela quer o painel com 10 cm a mais no comprimento do
que na largura.

3. SITUAÇÃO 02
O número de diagonais de um polígono pode ser calculado pela fórmula matemática ,
em que d representa o número de diagonais e n representa o número de lados. Determine a equação
que representa a quantidade de lados desse polígono, sabendo que o número de diagonais é igual ao
número de lados.
RESOLUÇÃO
• Se o número de diagonais (d) é igual ao número de lados (n), podemos escrever: d = n .
• Substituindo na fórmula, podemos escrever a equação:
( 3) ² 3
2 2
n n n n n
² 3
2
n n n
n n n
• A equação 2n = n² - 3n é chamada de equação do 2º grau na variável n.
-
=
( 3)
2
d n n
- -
= =
-
=
= -
2 ² 3

4. EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM UMA
INCÓGNITA
1) DEFINIÇÃO
• Chama-se de equação do 2º grau com uma incógnita, toda
equação que assume a forma:
ax² + bx + c = 0.
Onde:
x é a incógnita.
a, b e c são números reais, com a ≠ 0.
a é coeficiente do termo em x².
b é coeficiente do termo em x.
c é o coeficiente do termo independente de x.

5. Exemplos:
a) 3x² + 4x + 1 = 0 (incógnita x)
a = 3 b = 4 c = 1 (Equação completa)
b) p² - 5p + 6 = 0 (incógnita p)
a = 1 b = -5 c = 6 (Equação completa)
c) -5t² + 7t – 2 = 0 (incógnita t)
a = -5 b = 7 c = -2 (Equação completa)
d) 2y² - 10y = 0 (incógnita y)
a = 2 b = -10 c = 0 (Equação incompleta)
e) 4z² - 100 = 0 (incógnita z)
a = 4 b = 0 c = -100 (Equação incompleta)
f) 7m² = 0 (incógnita m)
a = 7 b = 0 c = 0 (Equação incompleta)

6. FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
• Uma equação do 2º grau, com uma incógnita, está na
forma normal ou reduzida quando assume a forma geral
ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0.
• Exemplos:
a)x² - 7x + 10 = 0
b)y² - 81 = 0
c)-2t² + 5t – 2 = 0
d)-6m² + m = 0

7. FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
• Vejamos alguns exemplos de equações do 2º grau, com uma
incógnita, que serão representadas na forma reduzida aplicando os
princípios aditivo e multiplicativo das equações.
a) x² - 16 = 48
x² - 16 – 48 = 0 - Aplicando o princípio aditivo.
x² - 64 = 0 - Forma reduzida.
b) y² + 2y = 3y + 1
y² + 2y – 3y – 1 = 0 - Aplicando o princípio aditivo.
y² - y – 1 = 0 - Reduzindo os termos semelhantes.
y² - y – 1 = 0 - Forma reduzida.

8. FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
c) (3m + 1)² = 7 – (m + 8)(m – 3)
9m² + 6m + 1 = 7 – m² - 5m + 24 - Eliminando os parênteses.
9m² + m² + 6m + 5m + 1 – 7 – 24 = 0 - Aplicando o princípio aditivo.
10m² + 11m – 30 = 0 - Forma reduzida.
d)
- Reduzindo ao mesmo denominador.
- Aplicando o princípio aditivo.
- Forma reduzida.
1 2
x
+ =
x -
4 2
x
x x x x x
2 . + .( - 4) 2.2( -
4)
=
2 x ( x - 4) 2 x ( x
-
4)
2 x ² + x ² - 4 x = 4 x
-
16
2 x ² + x ² - 4 x - 4 x
+ 16 =
0
3 x ² - 8 x
+ 16 =
0

9. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º
GRAU
1º CASO: Equação do tipo ax² + bx = 0.
a) O quadrado de um número real positivo é igual ao seu quíntuplo.
Determine esse número.R
ESOLUÇÃO
 Representando o número procurado por x obtemos a equação:
x² = 5x
x² - 5x = 0 - Forma reduzida.
x.(x – 5) = 0 - Fator comum em evidência.
 Para que o produto entre dois números reais seja igual a zero um desses dois
números precisa ser zero. Logo:
x = 0 - Uma raiz da equação.
ou
x – 5 = 0 x = 5 - Outra raiz da equação.
 As raízes da equação são 0 e 5.
 Resposta: Como o problema nos pede um número real positivo, concluímos
que o número procurado é o 5.

10. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º
GRAU
b) Determine os números reais que satisfazem a equação: 3m² - 21m = 0.
RESOLUÇÃO
3m² - 21m = 0
m.(3m – 21) = 0 - Fator comum em evidência.
m = 0 - Uma raiz da equação.
ou
3m – 21= 0
m = 7 - Outra raiz da equação.
As raízes da equação são 0 e 7.
Resposta: Os números procurados são 0 e 7.

11. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º
GRAU
2º CASO: Equação do tipo ax² + c = 0.
a) Do quadrado de um número real subtraí 2 e obtive 34. Qual é
esse número?
RESOLUÇÃO
Representando o número procurado por x, obtemos a equação:
x² - 2 = 34
x² - 2 – 34 = 0
x² - 36 = 0
x² = 36
x = + 36
= +6 , pois (+ 36
)² = 36
x = - 36
= - 6 , pois (- 36
)² = 36
x = ± 6
As raízes da equação são -6 e 6.
Resposta: O número real procurado é -6 ou 6.

12. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º
GRAU
3
x
b) Quais os valores reais de x que satisfazem a proporção: ?
RESOLUÇÃO
=
15
x
x² = 45 - Propriedade fundamental das proporções.
x = - 45 ou x = +
45
x = - 3 5 ou x = +
3 5
x = ±
3 5
As raízes da equação são - 3 5 e +
3 5
RESPOSTA: Os valores de x procurados são - e + .
3 5 3 5

13. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º
GRAU
c) Existem números reais que satisfazem a equação m² + 9 = 0 ?
RESOLUÇÃO
m² + 9 = 0
m² = - 9
m = - - 9 ou m = +
- 9
Temos que: - 9
não representa um número real.
RESPOSTA: Não existem números reais que satisfaçam tal
equação.

14. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU
• Seja a equação do 2º grau na forma normal:
ax² + bx + c = 0, com a≠0.
• Para determinarmos as raízes dessa equação, caso existam,
utilizaremos a fórmula resolutiva de Bhaskara:
x =- b ± b² -
4.a.c
2.a
• Onde: b² - 4.a.c , é chamado de discriminante da equação e
representado pela letra grega delta ( ). Assim:
D
x b
=-± D
2.a

15. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU
• Se D > 0
(positivo), a equação do 2º grau terá
duas raízes reais e diferentes : x’ ≠ x”.
• Se D = 0
(nulo), a equação terá duas raízes reais e
iguais: x’ = x”.
• Se D < 0
(negativo) , a equação não terá raízes
reais: e .
x'Ï Â x"Ï Â

16. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU
a) Determine as raízes reais da equação: x² - 5x + 4 = 0.
- Temos que: a=1, b=-5 e c=4.
- Calculando o discriminante da equação, obtemos:
b² 4.a.c ( 5)² 4.1.4 25 16
9
D = - = - - = -
D =
- Substituindo os valores na fórmula resolutiva de Bhaskara:
x =- b ± D=-- ( 5) ± 9 = 5 ±
3
2.a 2.1 2
x = 5 + 3 = 8 =
4
2 2
x = 5 - 3 = 2 =
1
1
2
2 2
- A equação tem duas raízes reais e diferentes que são 1 e 4.

17. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU
b) Determine as raízes reais da equação: 3p² + 6p + 3 = 0.
- Calculando o discriminante, obtemos:
6² 4.3.3 36 36
0
D= - = -
D=
- Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:
p 6 0 6 0
=-± =-±
=-=-
=-=-
p 6 1
1
p 6 1
2
2.3 6
6
6
- A equação tem raízes reais e iguais. A raiz é -1.

18. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU
c) Determine as raízes reais da equação: 4y² - 2y + 1 = 0.
- Calculando o discriminante da equação:
( 2)² 4.4.1 4 16
12
D = - - = -
D = -
- Aplicando na fórmula de Bhaskara, obtemos:
y =-(-2)± -12
2.4
- Observe que no Conjunto dos Números Reais não existe raiz de
índice par de radicando negativo.
- Logo, a equação não tem raízes reais.