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Operações básicas da matemática
O documento descreve as quatro operações básicas da matemática - adição, subtração, multiplicação e divisão - definindo cada uma delas, apresentando exemplos e propriedades.
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- 2. Operações Básicas daMatemática As operações básicas da Matemáticas são 4 Adição Subtração Multiplicação Divisão http://infoedu-stm.blogspot.com 2
- 3. Operações Básicas daMatemática Adição A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato de adicionar ou adir algo. É reunir todas as frações ou totalidades de algo. Símbolo + Exemplo: http://infoedu-stm.blogspot.com 3
- 4. Operações Básicas daMatemática Propriedades da Adição Comutativa representada pela sentença: a + b = b + a 5 + 3 = 8 ou 3 + 5 = 8 Associativa representada pela sentença: a + (b+c) = (a+c) + b ( 5 + 3) + 1 = 9 ou (5 + 1) + 3 = 9 Elemento Neutro não altera a o resultado final da soma. a+0 = 0+a = a (Neutro da adição) 5 + 0 = 5 0 + 5 = 5 http://infoedu-stm.blogspot.com 4
- 5. Operações Básicas daMatemática Subtração A subtração e o ato ou efeito de subtrair algo. E diminuir alguma coisa. Símbolo - Exemplo: http://infoedu-stm.blogspot.com 5
- 6. Operações Básicas daMatemática Propriedades da Subtração Relembrando: Conjunto dos Números Naturais N N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} a. O conjunto N não é fechado em relação a operação de subtração, pois 4 – 5 não pertence a N. b. A subtração em N não possui elemento neutro em relação a operação de subtração: 6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 ≠ 6 c. A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 – 5 ≠ 5 – 4. d. A subtração no conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 ≠ 10 – (4-2) A operação de subtração pode ser considerada como a operação inversa da adição. Considerando: 7 + 2 = 9 “equivale a” 7= 9 – 2 7 + 2 = 9 “equivale a” 2= 9 - 7 Concluindo: a) A subtração e inversa a adição. b) Uma das parcelas e igual a soma menos a outra. http://infoedu-stm.blogspot.com 6
- 7. Operações Básicas daMatemática Multiplicação É a ação de multiplicar. Multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto e o resultado da operação multiplicação. Símbolo x ou . (a x b ou a.b) 5 x 2 = 10 Isso corresponde 5 + 5 = 5 x 2 =10 5 x 3 = 15 Isso corresponde 5 + 5 + 5 = 5 x 3 = 15 http://infoedu-stm.blogspot.com 7
- 8. Operações Básicas daMatemática Exemplo: http://infoedu-stm.blogspot.com Multiplicação 8
- 9. Operações Básicas daMatemática Propriedades da Multiplicação •Comutativa a x b = b x a 5 x 3 = 3 x 5 = 15 •Associativa (a x b) x c = a x (b x c) (5 x 3) x 2 = 5 x (3 x 2) = 30 •Elemento Neutro a x 1 = a ou 1 x a = a 5 x 1 = 5 ou 1 x 5 = 5 http://infoedu-stm.blogspot.com 9
- 10. Operações Básicas daMatemática Divisão E o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação inversa a Multiplicação. Símbolo ÷ ou : http://infoedu-stm.blogspot.com 10 : 2 - 10 5 0 O 0 é chamado de resto. 10
- 11. Operações Básicas daMatemática Divisão 1) Divisão Exata É quando o resto é igual a zero. A prova do resultado e: 5 x 2 + 0 = 10 http://infoedu-stm.blogspot.com 10 : 2 - 10 5 0 O 0 é chamado de resto. 11
- 12. Operações Básicas daMatemática Divisão Exata :: Propriedades a) Na divisão em N não vale o fechamento. pois 5 : 3 não pertence a N b) Não tem elemento Neutro. pois 5 : 1 = 5 e 1 : 5 não pertence a N; logo 5:1 ≠ 1: 5 c) Não tem propriedade comutativa. pois 5:1 ≠ 1: 5 d)Não tem propriedade associativa. pois (12:6) : 2 = 1 ≠ 12 :(6:2) = 4 http://infoedu-stm.blogspot.com 12
- 13. Operações Básicas daMatemática Divisão Exata :: Propriedades A única propriedade da divisão exata é : Distributiva Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8 (10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8 http://infoedu-stm.blogspot.com 13
- 14. Operações Básicas daMatemática 2) A divisão não-exata É quando o resto é diferente de zero. A prova do resultado e: 2 x 4 + 1 = 9 http://infoedu-stm.blogspot.com 9 : 2 - 8 4 1 O 1 é chamado de resto. 14
- 15. Divisão ::Geral O divisor tem que ser maior que zero. (D=dividendo; d= divisor; q = quociente) Na divisão exata temos: D : d = q d . q = D Logo o resto é zero. Exemplo 4 : 2 = 2 2 . 2 = 4 Na divisão não-exata Logo o resto é maior de zero. Na divisão exata temos: D : d = q d . q + r = D Exemplo 5 : 3 = 1 3 . 1 + 2 = 5 -3 1 2 http://infoedu-stm.blogspot.com Operações Básicas da Matemática 15
- 16. Referencias Treinando as QuatroOperações Básicas, http://www.educador.brasilescola.com/estrategias -ensino/treinando-as-quatro-operacoes- basicas.htm, Outubro, 2010. Matemática, “Erro de cálculo ou de ensino”, http://www.planetaeducacao.com.br/portal/artigo .asp?artigo=408, Outubro, 2010. http://infoedu-stm.blogspot.com 16
Notas do Editor
- #4 A adição é chamada de operação. A soma dos números chamamos de resultado da operação. Relembrar: 10 + 5 = 15 10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima denomina-se, então, ADIÇÃO. A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +. Para calcular a adição, colocamos os números em ordem de unidade, dezena, centena e milhar. Feito isto pode ser efetuada a soma da operação adição.
- #5 1 As ordens das parcelas não alteram o resultado da soma. c. A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas e a propriedade comutativa 2 Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (5+4)+2. Efetuando a operação de adição entre parênteses temos o resultado a soma 9, na seqüência adicionamos a numero 2, e mediante isto temos o resultado final a soma 11. Isto e: (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final) Observe, agora, a soma final conforme outra indicação: 5 + (4+2) = 11 (resultado soma final). Na adição de três parcelas, e indiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ou associar as duas ultimas e posteriormente associar a primeira. Esta propriedade tem como denominação propriedade associativa 3) Tendo como base os últimos exemplos, conclui-se que existe um numero que não altera a o resultado final da soma, mesmo comutando a ordem das parcelas. Este numero e o zero (0). Assim fixa-se esta propriedade: a+0 = 0+a = a (Neutro da adição)
- #6 subtração e o ato ou efeito de subtrair algo. E diminuir alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denomina-se diferença ou resto. Relembrar: 9 – 5 = 4 Essa igualdade tem como resultado a subtração. Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9-5. Ao numero 9 dar-se o nome de minuendo e 5 e o subtraendo. O valor da diferença 9-5 e 4, este numero e chamado de resto ou excedente de 9 sobre 5. Veja as analises abaixo: 1. 10 – 10 = 0 > O minuendo pode ser igual ao subtraendo. 2. 9 – 11 > e impraticável em N, e o mesmo que escrever 9 – 11 não pertence N. Assim, o subtraendo deve ser menor ou igual ao minuendo, para que uma operação de subtração se realize em N. A operação de subtração nem sempre e viável entre dois números naturais. Então, e necessário que em uma subtração em N, o minuendo seja maior ou igual ao subtraendo.
- #8 Denomina-se a operação matemática, que consiste em repetir um numero, chamado multiplicando, tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro numero que representa o produto dos dois.
- #10 a. a propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos fatores e a propriedade comutativa, no caso da operação de multiplicação e pode ser assim simbolizada: a . b = b . a ou a x b = b x a Comutativa da multiplicação b. para fazer o calculo 4.5.6, pode ser usado este caminho : (4.5) . 6 > Calcula-se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses (que e 20), em seguida multiplica-se por 6, dando o resultado = 120 A essa regra de associar fatores da operação multiplicação chama-se associativa da multiplicação. c. A propriedade comutativa nos permite que seja usado: 1 . x = x ou x.1 = x E fácil checar que qualquer que seja o numero colocado no lugar do X, terá como produto da operação o próprio X. Então podemos notar que o elemento neutro da multiplicação e o numero 1. d. Multiplicando-se dois números naturais o resultado será sempre um numero natural que pode ser traduzido a propriedade do fechamento da multiplicação A pertence N e B pertence N (a.b) pertence N
- #16 Operação divisão exata: D:d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto e subentendido “igual a zero”. Operação divisão não-exata : D = d.q + r, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente, r e o resto.