1) O documento discute a história da equação do 2o grau, desde os babilônios e hindus até a fórmula de Bhaskara. 2) A fórmula de Bhaskara é apresentada como uma maneira de reduzir equações do 2o grau a equações do 1o grau. 3) Métodos para resolver diferentes tipos de equações do 2o grau são explicados, incluindo equações completas e incompletas.

1. Um pouco de história da EQUAÇÃO DO 2º GRAU Material didático produzido pelo aluno José Roberto Campos Filho do Curso de Pós – Graduação NTEM – Informatica educativa 2 Novas Tecnologias no Ensino de Matemática da Universidade Federal do Fluminense - UFF

2. “ O objetivo deste material didático é dispertar o interesse do aluno através do contexto da história da matemática juntamente com a tecnologia de produzir o conteúdo da aula em slides “ José R. Campos Filho

3. Um pouco de história ... As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a época dos egípcios, babilônios , gregos, hindus e chineses. O primeiro registro das equações polinomiais do 2 º grau foi feita pelos babilônios. Eles tinham uma álgebra bem desenvolvida e resolviam equações de segundo grau por métodos semelhantes aos atuais ou pelo método de completar quadrados. Como as resoluções dos problemas eram interpretados geometricamente não fazia sentido falar em raízes negativas. O estudo de raízes negativas foi feito a partir do século XVIII.

4. Os Babilônios Os Babilônios foram um povo da Antiguidade que viveu no Médio Oriente. Escreviam os símbolos numéricos com caracteres cuneiformes, ou seja, em forma de cunha, gravados em placas de argila que depois eram cozidas.

5. EQUAÇÃO 2º GRAU: Mostraremos na seqüência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós. O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

6. SEJA A EQUAÇÃO: a x² + b x + c = 0 com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos: x² + (b/a) x + c/a = 0 Passando o termo constante para o segundo membro, teremos: x² + (b/a) x = -c/a Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter

7. DEDUÇÃO: x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)² Simplificando ambos os lados da equação, obteremos: [x+(b/2a)] 2 = (b² - 4ac) / 4a²

8. OBSERVE: Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação: x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²] ou x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

9. CONCLUSÃO: A FORMULA:

10. VEJA A RESOLUÇÃO ABAIXO: x² - 5 x + 6 = 0 Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6 Escrever o discriminante D = b²-4ac. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1 Escrever a fórmula de Bhaskara: Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula: x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3 x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

11. VEJA:

12. veja Essa equação é da forma ax2 + bx + c = 0 e é chamada de equação do 2º grau. Os coeficientes a, b e c são números reais e a ¹ 0. Veja os exemplos: l Na equação 2x2 - 4x + 5 = 0, os coeficientes são: a = 2, b = - 4 e c = 5 l Na equação x2 + 5x = 0, os coeficientes são: a = 1, b = 5 e c = 0 (não existe o termo independente de x) l Na equação 2x2 - 9 = 0, os coeficientes são: a = 2, b = 0 e c = - 9 (não existe o termo do 1º grau em x)

13. Incompleta: l Na equação 4x2 = 0, os coeficientes são: a = 4, b = 0 e c = 0 (faltam dois termos) A equação que encontramos no problema inicial é uma equação completa, pois não tem coeficientes nulos. Quando uma equação do 2º grau possui um ou dois coeficientes nulos ela é chamada de incompleta. Aprenderemos como resolver os diferentes tipos de equação incompletas ainda nesta aula. As equações completas serão estudadas na próxima aula.

14. OBS: Você se lembra de que, quando definimos equação do 2º grau, escrevemos que a é diferente de zero. O que aconteceria se a fosse igual a zero? Vamos substituir a por zero na equação ax2 + bx + c = 0. A equação ficará assim: 0 . x + bx + c = 0 bx + c = 0 ® equação do 1º grau. Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não pode ser zero pois, anulando esse termo, a equação deixa de ser do 2º grau.

15. RESOLVENDO: Resolução de uma equação Já vimos, quando estudamos equações do 1º grau, que resolver uma equação é encontrar um valor da variável x que torna a equação verdadeira quando substituímos x por esse valor. No caso da equação do 2º grau, podemos encontrar até duas soluções diferentes para uma equação.

16. EXEMPLO 1: EXEMPLO 1 a) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução da equação. A equação é: x2 + 6x - 16 = 0 Substituindo x por 2, temos: 2.2 + 6 . 2 - 16 = 0 4 + 12 - 16 = 0 16- 16 = 0 ® sentença verdadeira Logo, x = 2 é uma solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.

17. VERIFIQUE: b) Verifique, na mesma equação, se 1 é solução. Substituindo x por 1, temos: 1.2 + 6 . 1 - 16 = 0 1 + 6 - 16 = 0 7- 16 = 0 ® sentença falsa Logo, x = 1 não é solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.

18. EXEMPLO 2: EXEMPLO 2 Resolver a equação 3x2 - 27 = 0 3x2 = 27 x2 = 27 3 x2 = 9 x = x = ± 9 ® x = + 3 As soluções da equação são +3 e -3.

19. 2º CASO: Equações do 2º grau em que c = 0 (equações do tipo ax2 + bx = 0) Observe que essa equação possui dois termos em x. Nesse caso, podemos fator ar ax2 + bx, colocando x em evidência: x (ax + b) = 0 Obtivemos um produto de dois fatores que deve ser igual a zero. Logo um dos fatores deve ser nulo: x = 0 ì Se x (ax + b) = 0, então ou î ax + b = 0 ® ax = -b x = -b a As soluções da equação são x1 = 0 e x2 = -b a

20. EXEMPLO: Resolver a equação 3x2 - 15x = 0. x (3x - 15) = 0 x = 0 ou 3x - 15 = 0 15 3x = 15 ® x = 3 ® x = 5 As soluções são x1 = 0 e x2 = 5.

21. Gráficos Seu gráfico é uma curva denominada parábola. x y x y

22. Estudo do Sinal a > 0 + + - x’ = x” + + + + + +  > 0  = 0  < 0 1) 2) 3) x x x

23. x’ x” - - + x’ = x” - - - - - -  > 0  = 0  < 0 a < 0 4) 5) 6) x x x