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Equações do 1º grau
Prof: Zaqueu Oliveira
Objetivos
 Reconhecer equações do 1º grau.
 Descrever uma situação por meio de uma
equação do 1º grau.
 Identificar os elementos de uma equação do 1º
grau.
 Resolver equações do 1º grau com uma ou duas
incógnitas.
 Descrever uma situação por meio de um sistema
de duas equações do 1º grau.
História
Resoluções de equações
Matemáticos egípcios e babilônicos, há cerca
de 4000 anos, já demonstravam interesse pela
resolução de equações, que era feita passo a
passo, e as incógnitas eram representadas por
figuras e palavras.
Equação do 2º grau com uma incógnita
Rafael possui R$ 43,50, sendo R$ 17,50 em moedas e
o restante em cédulas de 2 reais.Quantas cédulas de
2 reais Rafael possui?
2x+17,50 = 43,50
2x = 43,50-17,50
2x = 26
x = 26/2
x = 13
1ºmembro 2º membro
Definição
 Equação é uma sentença matemática expressa por uma
igualdade em que há menos uma letra que representa um
número desconhecido, chamada incógnita.
 Resolver uma equação é encontrar o valor desconhecido
da incógnita, ou seja obter a solução ou a raiz da
equação.
 Na equação 2x+17,50 = 43,50, por exemplo, a incógnita
é x e a raiz ou solução da equação é x=13, pois
2(13)+17,50=43,50.
Equações do 1º grau com duas incógnitas
 As equações que podem ser escritas na forma
ax+by=c, com a≠0 e b≠0.
 x+y=6
x y X+y
6 0 6+0=6
5 1 5+1=6
4 2 4+2=6
3 3 3+3=6
2 4 2+4=6
1 5 1+5=6
0 6 0+6=6
0
1
2
3
4
5
6
7
0 10
Valores Y
Valores
Y
Exemplo de Equações do 1º grau
 a+5=9, sim
 2x+y=10, sim
 3y- √6x=0, não
 x²+8x+4=0, não
Resolva as equações
 a) 3x+2=x+5
3x-x=5-2
2x=3
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 b)7.(x-6)=21
7x-42=21
7x=21+42
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Sistemas de duas equações do 1º grau
com duas incógnitas
 Em um estacionamento, entre carros e motos, há 12
veículos. A diferença entre o número de carros e o dobro do
número de motos é igual a 3.
x+y=12
x-2y=3 => x=3+2y
 Método da Substituição
3+2y+y=12
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 Substitui na 1º, temos
x+3=12 => x=12-3 => x=9
S=(9;3)
Equações do 2º grau
Prof: Zaqueu Oliveira
Objetivos
 Reconhecer uma equação do 2º grau.
 Identificar os elementos de uma equação do 2º grau
 Classificar equações do 2º grau em completas ou
incompletas.
 Representar situações por meio de uma equação do
2º grau.
 Determinar as soluções de uma equação do 2º grau.
 Determinar o número de raízes reais diferentes de
uma equação do 2º grau analisando o valor do
discriminante.
Historia
Equação e Álgebra
A parte da matemática que estuda equações e
cálculos em que letras representam números é
chamada de Álgebra. Os primeiros a usar foram
o grego Diofanto de Alexandria (cerca de 250
d.C), o francês François Viète (1540-1603).
Equação do 2º grau
 Henrique cercou com tela um terreno em forma de
quadrado cuja área é 169 m². Quantos metros de tela,
no mínimo, Henrique utilizou?
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Definição:
Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x, toda equação da
forma: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
Observe que:
a representa o coeficiente de x²;
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Exemplos:
 x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6. Completa
 7x2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0. Incompleta
 x2 - 36 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36. Incompleta
Estudando as raízes de equações do 2º grau
 De acordo com o valor de Δ, podem ocorrer três casos.
 Se Δ>0, possui duas raízes reais e diferentes;
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 Se Δ<0, não possui raízes reais.
Resolução de Equações Incompletas
Equações da forma:
ax² +bx = 0, (c = 0)
De modo geral, a equação
do tipo ax² +bx = 0 tem
para soluções:
x = 0
e
x = - b
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Equações da forma:
ax² +c = 0, (b = 0)
De modo geral, a equação
do tipo ax² +c = 0:
possui duas raízes reais se:
- c for um nº positivo
a
não possui raiz real se:
- c for um nº negativo
a
Resolução de equações incompletas do tipo
ax² +bx=0 e ax² +c=0
1.Determine o conjunto verdade das equações:
a) x²-7x = 0 b) x²- 49 = 0
x=-b/a
x=-(-7)/1
x=7
As raízes será 0 e 7
c) 3x² +25=4 → 3x² +25-4=0 → 3x² +21=0 → 3x² =-21
x² = -21/3
x² =-7
Não existe raiz real para a raiz quadrada de -7
x²=49/1
x = √49
x= ±7
. As raízes é -7 e 7
Resolução de equações completas do tipo
ax² +bx +c=0
a) x²+3x-10 = 0
1º passo. Determinar os valores dos coeficientes
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2º passo. Substituir os valores na formula discriminante
Δ=b²-4.a.c
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Δ=49
3º passo. Substituir os valores na formula Resolutiva.
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Composição de uma Equação do
2º Grau, Conhecidas as Raízes
Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.
Dividindo todos os termos por a, a ≠ 0, obtemos:
ax2 + bx + c = 0 x2 + bx + c = 0
a a a a a
Como: S = x’+ x” = -b/a e P = x’. x” = c/a
Podemos escrever a equação desta maneira:
x2 - Sx + P = 0
Exercício sobre Composição
Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.
Solução:
A soma das raízes corresponde a:
S = x1 + x2 = -2 + 7 = 5
O produto das raízes corresponde a:
P = x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14
A equação é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S = 5 e P = -14.
Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.
Sistema de duas equações com duas
incógnitas
 Guilherme utilizou 72m de tela para cercar um terreno
retangular com 315m². Quais são as dimensões desse
terreno?
 Método da Substituição. substituindo x por 36-y
2x+2y=72 x.y =315
2x=72-2y (36-y).y =315
x=72-2y/2 36y - y² =315
x=36-y  -y² +36y -315=0
informação
• Perímetro
• Área
Equação
• 2x+2y=72
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Sistema
• 2x+2y=72
• x.y=315
Formula Resolutiva
 -y² +36y -315=0
 a=-1 , b=36, c=-315
 Δ=b²-4.a.c
 Δ= (36)² - 4.(-1).(315)
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15m x 21m
Bibliografia
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 Livro didático Vontade de saber de
matemática
 Artigos relacionados as equações do 2º grau.

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Equação do 1º e 2º grau

  • 1. Equações do 1º grau Prof: Zaqueu Oliveira
  • 2. Objetivos  Reconhecer equações do 1º grau.  Descrever uma situação por meio de uma equação do 1º grau.  Identificar os elementos de uma equação do 1º grau.  Resolver equações do 1º grau com uma ou duas incógnitas.  Descrever uma situação por meio de um sistema de duas equações do 1º grau.
  • 3. História Resoluções de equações Matemáticos egípcios e babilônicos, há cerca de 4000 anos, já demonstravam interesse pela resolução de equações, que era feita passo a passo, e as incógnitas eram representadas por figuras e palavras.
  • 4. Equação do 2º grau com uma incógnita Rafael possui R$ 43,50, sendo R$ 17,50 em moedas e o restante em cédulas de 2 reais.Quantas cédulas de 2 reais Rafael possui? 2x+17,50 = 43,50 2x = 43,50-17,50 2x = 26 x = 26/2 x = 13 1ºmembro 2º membro
  • 5. Definição  Equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade em que há menos uma letra que representa um número desconhecido, chamada incógnita.  Resolver uma equação é encontrar o valor desconhecido da incógnita, ou seja obter a solução ou a raiz da equação.  Na equação 2x+17,50 = 43,50, por exemplo, a incógnita é x e a raiz ou solução da equação é x=13, pois 2(13)+17,50=43,50.
  • 6. Equações do 1º grau com duas incógnitas  As equações que podem ser escritas na forma ax+by=c, com a≠0 e b≠0.  x+y=6 x y X+y 6 0 6+0=6 5 1 5+1=6 4 2 4+2=6 3 3 3+3=6 2 4 2+4=6 1 5 1+5=6 0 6 0+6=6 0 1 2 3 4 5 6 7 0 10 Valores Y Valores Y
  • 7. Exemplo de Equações do 1º grau  a+5=9, sim  2x+y=10, sim  3y- √6x=0, não  x²+8x+4=0, não
  • 8. Resolva as equações  a) 3x+2=x+5 3x-x=5-2 2x=3 x=3/2 x=1,5  b)7.(x-6)=21 7x-42=21 7x=21+42 7x=63 x=63/7 x= 9
  • 9. Sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas  Em um estacionamento, entre carros e motos, há 12 veículos. A diferença entre o número de carros e o dobro do número de motos é igual a 3. x+y=12 x-2y=3 => x=3+2y  Método da Substituição 3+2y+y=12 3y=12-3 => y=9/3 => y=3  Substitui na 1º, temos x+3=12 => x=12-3 => x=9 S=(9;3)
  • 10. Equações do 2º grau Prof: Zaqueu Oliveira
  • 11. Objetivos  Reconhecer uma equação do 2º grau.  Identificar os elementos de uma equação do 2º grau  Classificar equações do 2º grau em completas ou incompletas.  Representar situações por meio de uma equação do 2º grau.  Determinar as soluções de uma equação do 2º grau.  Determinar o número de raízes reais diferentes de uma equação do 2º grau analisando o valor do discriminante.
  • 12. Historia Equação e Álgebra A parte da matemática que estuda equações e cálculos em que letras representam números é chamada de Álgebra. Os primeiros a usar foram o grego Diofanto de Alexandria (cerca de 250 d.C), o francês François Viète (1540-1603).
  • 13. Equação do 2º grau  Henrique cercou com tela um terreno em forma de quadrado cuja área é 169 m². Quantos metros de tela, no mínimo, Henrique utilizou? x.x=169 x²=169 x= ±√169 x=± 13 A=169m² 13 m 13 m
  • 14. Definição: Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x, toda equação da forma: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. Observe que: a representa o coeficiente de x²; b representa o coeficiente de x; c representa o termo independente. Exemplos:  x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6. Completa  7x2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0. Incompleta  x2 - 36 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36. Incompleta
  • 15. Estudando as raízes de equações do 2º grau  De acordo com o valor de Δ, podem ocorrer três casos.  Se Δ>0, possui duas raízes reais e diferentes;  Se Δ=0, possui duas raízes reais e iguais;  Se Δ<0, não possui raízes reais.
  • 16. Resolução de Equações Incompletas Equações da forma: ax² +bx = 0, (c = 0) De modo geral, a equação do tipo ax² +bx = 0 tem para soluções: x = 0 e x = - b a Equações da forma: ax² +c = 0, (b = 0) De modo geral, a equação do tipo ax² +c = 0: possui duas raízes reais se: - c for um nº positivo a não possui raiz real se: - c for um nº negativo a
  • 17. Resolução de equações incompletas do tipo ax² +bx=0 e ax² +c=0 1.Determine o conjunto verdade das equações: a) x²-7x = 0 b) x²- 49 = 0 x=-b/a x=-(-7)/1 x=7 As raízes será 0 e 7 c) 3x² +25=4 → 3x² +25-4=0 → 3x² +21=0 → 3x² =-21 x² = -21/3 x² =-7 Não existe raiz real para a raiz quadrada de -7 x²=49/1 x = √49 x= ±7 . As raízes é -7 e 7
  • 18. Resolução de equações completas do tipo ax² +bx +c=0 a) x²+3x-10 = 0 1º passo. Determinar os valores dos coeficientes a=1, b=3 ,c=-10 2º passo. Substituir os valores na formula discriminante Δ=b²-4.a.c Δ=3²-4.(1).(-10) Δ=9+40 Δ=49 3º passo. Substituir os valores na formula Resolutiva. As raízes são 2 e -5.
  • 19. Composição de uma Equação do 2º Grau, Conhecidas as Raízes Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0. Dividindo todos os termos por a, a ≠ 0, obtemos: ax2 + bx + c = 0 x2 + bx + c = 0 a a a a a Como: S = x’+ x” = -b/a e P = x’. x” = c/a Podemos escrever a equação desta maneira: x2 - Sx + P = 0
  • 20. Exercício sobre Composição Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7. Solução: A soma das raízes corresponde a: S = x1 + x2 = -2 + 7 = 5 O produto das raízes corresponde a: P = x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14 A equação é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S = 5 e P = -14. Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.
  • 21. Sistema de duas equações com duas incógnitas  Guilherme utilizou 72m de tela para cercar um terreno retangular com 315m². Quais são as dimensões desse terreno?  Método da Substituição. substituindo x por 36-y 2x+2y=72 x.y =315 2x=72-2y (36-y).y =315 x=72-2y/2 36y - y² =315 x=36-y  -y² +36y -315=0 informação • Perímetro • Área Equação • 2x+2y=72 • x.y=315 Sistema • 2x+2y=72 • x.y=315
  • 22. Formula Resolutiva  -y² +36y -315=0  a=-1 , b=36, c=-315  Δ=b²-4.a.c  Δ= (36)² - 4.(-1).(315)  Δ= 1296-1260=36 15m x 21m
  • 23. Bibliografia  Slidesdare  Google imagens  Livro didático Vontade de saber de matemática  Artigos relacionados as equações do 2º grau.