Equação do 1º e 2º grau

Equações do 1º grau
Prof: Zaqueu Oliveira

Objetivos
 Reconhecer equações do 1º grau.
 Descrever uma situação por meio de uma
equação do 1º grau.
 Identificar os elementos de uma equação do 1º
grau.
 Resolver equações do 1º grau com uma ou duas
incógnitas.
 Descrever uma situação por meio de um sistema
de duas equações do 1º grau.

História
Resoluções de equações
Matemáticos egípcios e babilônicos, há cerca
de 4000 anos, já demonstravam interesse pela
resolução de equações, que era feita passo a
passo, e as incógnitas eram representadas por
figuras e palavras.

Equação do 2º grau com uma incógnita
Rafael possui R$ 43,50, sendo R$ 17,50 em moedas e
o restante em cédulas de 2 reais.Quantas cédulas de
2 reais Rafael possui?
2x+17,50 = 43,50
2x = 43,50-17,50
2x = 26
x = 26/2
x = 13
1ºmembro 2º membro

Definição
 Equação é uma sentença matemática expressa por uma
igualdade em que há menos uma letra que representa um
número desconhecido, chamada incógnita.
 Resolver uma equação é encontrar o valor desconhecido
da incógnita, ou seja obter a solução ou a raiz da
equação.
 Na equação 2x+17,50 = 43,50, por exemplo, a incógnita
é x e a raiz ou solução da equação é x=13, pois
2(13)+17,50=43,50.

Equações do 1º grau com duas incógnitas
 As equações que podem ser escritas na forma
ax+by=c, com a≠0 e b≠0.
 x+y=6
x y X+y
6 0 6+0=6
5 1 5+1=6
4 2 4+2=6
3 3 3+3=6
2 4 2+4=6
1 5 1+5=6
0 6 0+6=6
0
1
2
3
4
5
6
7
0 10
Valores Y
Valores
Y

Exemplo de Equações do 1º grau
 a+5=9, sim
 2x+y=10, sim
 3y- √6x=0, não
 x²+8x+4=0, não

Resolva as equações
 a) 3x+2=x+5
3x-x=5-2
2x=3
x=3/2
x=1,5
 b)7.(x-6)=21
7x-42=21
7x=21+42
7x=63
x=63/7
x= 9

Sistemas de duas equações do 1º grau
com duas incógnitas
 Em um estacionamento, entre carros e motos, há 12
veículos. A diferença entre o número de carros e o dobro do
número de motos é igual a 3.
x+y=12
x-2y=3 => x=3+2y
 Método da Substituição
3+2y+y=12
3y=12-3 => y=9/3 => y=3
 Substitui na 1º, temos
x+3=12 => x=12-3 => x=9
S=(9;3)

Equações do 2º grau
Prof: Zaqueu Oliveira

Objetivos
 Reconhecer uma equação do 2º grau.
 Identificar os elementos de uma equação do 2º grau
 Classificar equações do 2º grau em completas ou
incompletas.
 Representar situações por meio de uma equação do
2º grau.
 Determinar as soluções de uma equação do 2º grau.
 Determinar o número de raízes reais diferentes de
uma equação do 2º grau analisando o valor do
discriminante.

Historia
Equação e Álgebra
A parte da matemática que estuda equações e
cálculos em que letras representam números é
chamada de Álgebra. Os primeiros a usar foram
o grego Diofanto de Alexandria (cerca de 250
d.C), o francês François Viète (1540-1603).

Equação do 2º grau
 Henrique cercou com tela um terreno em forma de
quadrado cuja área é 169 m². Quantos metros de tela,
no mínimo, Henrique utilizou?
x.x=169
x²=169
x= ±√169
x=± 13
A=169m²
13 m
13 m

Definição:
Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x, toda equação da
forma: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
Observe que:
a representa o coeficiente de x²;
b representa o coeficiente de x;
c representa o termo independente.
Exemplos:
 x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6. Completa
 7x2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0. Incompleta
 x2 - 36 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36. Incompleta

Estudando as raízes de equações do 2º grau
 De acordo com o valor de Δ, podem ocorrer três casos.
 Se Δ>0, possui duas raízes reais e diferentes;
 Se Δ=0, possui duas raízes reais e iguais;
 Se Δ<0, não possui raízes reais.

Resolução de Equações Incompletas
Equações da forma:
ax² +bx = 0, (c = 0)
De modo geral, a equação
do tipo ax² +bx = 0 tem
para soluções:
x = 0
e
x = - b
a
Equações da forma:
ax² +c = 0, (b = 0)
De modo geral, a equação
do tipo ax² +c = 0:
possui duas raízes reais se:
- c for um nº positivo
a
não possui raiz real se:
- c for um nº negativo
a

Resolução de equações incompletas do tipo
ax² +bx=0 e ax² +c=0
1.Determine o conjunto verdade das equações:
a) x²-7x = 0 b) x²- 49 = 0
x=-b/a
x=-(-7)/1
x=7
As raízes será 0 e 7
c) 3x² +25=4 → 3x² +25-4=0 → 3x² +21=0 → 3x² =-21
x² = -21/3
x² =-7
Não existe raiz real para a raiz quadrada de -7
x²=49/1
x = √49
x= ±7
. As raízes é -7 e 7

Resolução de equações completas do tipo
ax² +bx +c=0
a) x²+3x-10 = 0
1º passo. Determinar os valores dos coeficientes
a=1, b=3 ,c=-10
2º passo. Substituir os valores na formula discriminante
Δ=b²-4.a.c
Δ=3²-4.(1).(-10)
Δ=9+40
Δ=49
3º passo. Substituir os valores na formula Resolutiva.
As raízes são 2 e -5.

Composição de uma Equação do
2º Grau, Conhecidas as Raízes
Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.
Dividindo todos os termos por a, a ≠ 0, obtemos:
ax2 + bx + c = 0 x2 + bx + c = 0
a a a a a
Como: S = x’+ x” = -b/a e P = x’. x” = c/a
Podemos escrever a equação desta maneira:
x2 - Sx + P = 0

Exercício sobre Composição
Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.
Solução:
A soma das raízes corresponde a:
S = x1 + x2 = -2 + 7 = 5
O produto das raízes corresponde a:
P = x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14
A equação é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S = 5 e P = -14.
Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.

Sistema de duas equações com duas
incógnitas
 Guilherme utilizou 72m de tela para cercar um terreno
retangular com 315m². Quais são as dimensões desse
terreno?
 Método da Substituição. substituindo x por 36-y
2x+2y=72 x.y =315
2x=72-2y (36-y).y =315
x=72-2y/2 36y - y² =315
x=36-y  -y² +36y -315=0
informação
• Perímetro
• Área
Equação
• 2x+2y=72
• x.y=315
Sistema
• 2x+2y=72
• x.y=315

Formula Resolutiva
 -y² +36y -315=0
 a=-1 , b=36, c=-315
 Δ=b²-4.a.c
 Δ= (36)² - 4.(-1).(315)
 Δ= 1296-1260=36
15m x 21m

Bibliografia
 Slidesdare
 Google imagens
 Livro didático Vontade de saber de
matemática
 Artigos relacionados as equações do 2º grau.

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