O documento apresenta os conceitos e resolução de equações do 1o e 2o grau. Aborda os objetivos de reconhecer e resolver equações destes graus, além de apresentar exemplos históricos e de aplicações em situações reais. Explica os elementos, métodos de resolução e conceitos fundamentais como raízes, discriminante e composição de equações do 2o grau.
2. Objetivos
Reconhecer equações do 1º grau.
Descrever uma situação por meio de uma
equação do 1º grau.
Identificar os elementos de uma equação do 1º
grau.
Resolver equações do 1º grau com uma ou duas
incógnitas.
Descrever uma situação por meio de um sistema
de duas equações do 1º grau.
3. História
Resoluções de equações
Matemáticos egípcios e babilônicos, há cerca
de 4000 anos, já demonstravam interesse pela
resolução de equações, que era feita passo a
passo, e as incógnitas eram representadas por
figuras e palavras.
4. Equação do 2º grau com uma incógnita
Rafael possui R$ 43,50, sendo R$ 17,50 em moedas e
o restante em cédulas de 2 reais.Quantas cédulas de
2 reais Rafael possui?
2x+17,50 = 43,50
2x = 43,50-17,50
2x = 26
x = 26/2
x = 13
1ºmembro 2º membro
5. Definição
Equação é uma sentença matemática expressa por uma
igualdade em que há menos uma letra que representa um
número desconhecido, chamada incógnita.
Resolver uma equação é encontrar o valor desconhecido
da incógnita, ou seja obter a solução ou a raiz da
equação.
Na equação 2x+17,50 = 43,50, por exemplo, a incógnita
é x e a raiz ou solução da equação é x=13, pois
2(13)+17,50=43,50.
6. Equações do 1º grau com duas incógnitas
As equações que podem ser escritas na forma
ax+by=c, com a≠0 e b≠0.
x+y=6
x y X+y
6 0 6+0=6
5 1 5+1=6
4 2 4+2=6
3 3 3+3=6
2 4 2+4=6
1 5 1+5=6
0 6 0+6=6
0
1
2
3
4
5
6
7
0 10
Valores Y
Valores
Y
7. Exemplo de Equações do 1º grau
a+5=9, sim
2x+y=10, sim
3y- √6x=0, não
x²+8x+4=0, não
8. Resolva as equações
a) 3x+2=x+5
3x-x=5-2
2x=3
x=3/2
x=1,5
b)7.(x-6)=21
7x-42=21
7x=21+42
7x=63
x=63/7
x= 9
9. Sistemas de duas equações do 1º grau
com duas incógnitas
Em um estacionamento, entre carros e motos, há 12
veículos. A diferença entre o número de carros e o dobro do
número de motos é igual a 3.
x+y=12
x-2y=3 => x=3+2y
Método da Substituição
3+2y+y=12
3y=12-3 => y=9/3 => y=3
Substitui na 1º, temos
x+3=12 => x=12-3 => x=9
S=(9;3)
11. Objetivos
Reconhecer uma equação do 2º grau.
Identificar os elementos de uma equação do 2º grau
Classificar equações do 2º grau em completas ou
incompletas.
Representar situações por meio de uma equação do
2º grau.
Determinar as soluções de uma equação do 2º grau.
Determinar o número de raízes reais diferentes de
uma equação do 2º grau analisando o valor do
discriminante.
12. Historia
Equação e Álgebra
A parte da matemática que estuda equações e
cálculos em que letras representam números é
chamada de Álgebra. Os primeiros a usar foram
o grego Diofanto de Alexandria (cerca de 250
d.C), o francês François Viète (1540-1603).
13. Equação do 2º grau
Henrique cercou com tela um terreno em forma de
quadrado cuja área é 169 m². Quantos metros de tela,
no mínimo, Henrique utilizou?
x.x=169
x²=169
x= ±√169
x=± 13
A=169m²
13 m
13 m
14. Definição:
Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x, toda equação da
forma: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
Observe que:
a representa o coeficiente de x²;
b representa o coeficiente de x;
c representa o termo independente.
Exemplos:
x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6. Completa
7x2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0. Incompleta
x2 - 36 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36. Incompleta
15. Estudando as raízes de equações do 2º grau
De acordo com o valor de Δ, podem ocorrer três casos.
Se Δ>0, possui duas raízes reais e diferentes;
Se Δ=0, possui duas raízes reais e iguais;
Se Δ<0, não possui raízes reais.
16. Resolução de Equações Incompletas
Equações da forma:
ax² +bx = 0, (c = 0)
De modo geral, a equação
do tipo ax² +bx = 0 tem
para soluções:
x = 0
e
x = - b
a
Equações da forma:
ax² +c = 0, (b = 0)
De modo geral, a equação
do tipo ax² +c = 0:
possui duas raízes reais se:
- c for um nº positivo
a
não possui raiz real se:
- c for um nº negativo
a
17. Resolução de equações incompletas do tipo
ax² +bx=0 e ax² +c=0
1.Determine o conjunto verdade das equações:
a) x²-7x = 0 b) x²- 49 = 0
x=-b/a
x=-(-7)/1
x=7
As raízes será 0 e 7
c) 3x² +25=4 → 3x² +25-4=0 → 3x² +21=0 → 3x² =-21
x² = -21/3
x² =-7
Não existe raiz real para a raiz quadrada de -7
x²=49/1
x = √49
x= ±7
. As raízes é -7 e 7
18. Resolução de equações completas do tipo
ax² +bx +c=0
a) x²+3x-10 = 0
1º passo. Determinar os valores dos coeficientes
a=1, b=3 ,c=-10
2º passo. Substituir os valores na formula discriminante
Δ=b²-4.a.c
Δ=3²-4.(1).(-10)
Δ=9+40
Δ=49
3º passo. Substituir os valores na formula Resolutiva.
As raízes são 2 e -5.
19. Composição de uma Equação do
2º Grau, Conhecidas as Raízes
Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.
Dividindo todos os termos por a, a ≠ 0, obtemos:
ax2 + bx + c = 0 x2 + bx + c = 0
a a a a a
Como: S = x’+ x” = -b/a e P = x’. x” = c/a
Podemos escrever a equação desta maneira:
x2 - Sx + P = 0
20. Exercício sobre Composição
Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.
Solução:
A soma das raízes corresponde a:
S = x1 + x2 = -2 + 7 = 5
O produto das raízes corresponde a:
P = x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14
A equação é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S = 5 e P = -14.
Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.
21. Sistema de duas equações com duas
incógnitas
Guilherme utilizou 72m de tela para cercar um terreno
retangular com 315m². Quais são as dimensões desse
terreno?
Método da Substituição. substituindo x por 36-y
2x+2y=72 x.y =315
2x=72-2y (36-y).y =315
x=72-2y/2 36y - y² =315
x=36-y -y² +36y -315=0
informação
• Perímetro
• Área
Equação
• 2x+2y=72
• x.y=315
Sistema
• 2x+2y=72
• x.y=315