Esta apresentação oferece um guia completo e estruturado para o estudo das equações do 2º grau. Ela começa pela definição formal desse tipo de equação, identificando sua forma geral ax² + bx + c = 0 e explicando o papel de cada coeficiente (a, b, c). Através de exemplos variados, a apresentação ilustra como identificar os coeficientes em diferentes contextos. Um tópico crucial abordado é a classificação das equações em completas (todos os coeficientes diferentes de zero) e incompletas (quando b ou c são iguais a zero), com exemplos claros para cada caso. O núcleo do material é dedicado ao método de resolução por meio do Discriminante (Δ), apresentando a fórmula Δ = b² - 4ac e, o mais importante, a interpretação do seu resultado. A apresentação explica de forma clara e direta as três possibilidades: Δ > 0: A equação possui duas raízes reais e distintas. Δ = 0: A equação possui duas raízes reais e iguais (uma raiz dupla). Δ < 0: A equação não possui raízes no conjunto dos números reais. Um exercício resolvido passo a passo (3x² - 7x + 2 = 0) demonstra a aplicação prática da fórmula e da análise do discriminante, servindo como modelo para a resolução de problemas similares. Este conteúdo é fundamental para alunos que estão iniciando o estudo de álgebra e funções quadráticas, fornecendo a base teórica e prática necessária para compreender esse conceito essencial da matemática.

1. EQUAÇÃO DO 2º GRAU

2. DEFINIÇÃO
Uma equação do 2º grau com uma variável tem a forma:
ax2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
sendo:
x a incógnita,
a, b e c números reais, chamados coeficientes.
Exemplos:
1) x2
– 7x + 10 = 0, onde a = 1, b = – 7 e c = 10.
2) 5x2
– x – 3 = 0, onde a = 5, b = – 1 e c = – 3.
3) 8x2
– 4x = 0, onde a = 8, b = – 4 e c = 0
4) – 3x2
+ 2 = 0, onde a = – 3, b = 0 e c = 2.
5) 9x2
= 0, onde a = 9, b = 0 e c = 0
Observe que:
a representa o coeficiente x2
.
b representa o coeficiente de x.
c representa o termo independente.

3. EQUAÇÕES COMPLETAS E INCOMPLETAS
A equação ax2
+ bx + c, (a ≠ 0), é chamada:
Equação completa: quando b ≠ 0 e c ≠ 0.
Exemplos: a) 3x2
+ 8x – 1 = 0
b) x2
– 6x + 5 = 0
Equação incompleta: quando b = 0 ou c = 0, ou ambos são nulos.
Exemplos: a) 5x2
– 8x = 0 (c = 0)
b) x2
– 15 = 0 (b = 0)
c) 4x2
= 0 (b = 0 e c = 0)

4. 1º CASO: Equações da forma ax2
+ c = 0, (b = 0).
Exemplos:
Resolver as seguintes equações, sendo U = R:
1) x2
– 25 = 0
x2
= 25 transpondo – 25 para o 2º membro.
x = 
x =  5 Logo: V = {+ 5, - 5}
2) 2x2
– 18 = 0
2x2
= 18 transpondo – 18 para o 2º membro.
x2
=
x2
= 9
x = 
x =  3 Logo: V = {+ 3, - 3}

5. 3) 7x2
– 14 = 0
7x2
= 14 transpondo – 14 para o 2º membro.
x2
=
x2
= 2
x =  Logo: V = { + , – }
4) x2
+ 25 = 0
x2
= – 25
x =  = nenhum real, pois (nenhum real)2
= – 25
Logo: V = ᴓ

6. 2º CASO: Equações da forma ax2
+ bx = 0, (c = 0).
Propriedade:
Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero.
Exemplos:
1) Resolver: x2
– 5x = 0 x = 0
Fatorando: x(x – 5) = 0 ou
Logo: V = {0, 5} x = - 5 = 0  x = 5
2) Resolver: 3x2
– 10x = 0 x = 0
Fatorando: x(3x – 10) = 0 ou
3x – 10 = 0
3x = 10
x =
Logo: V =
Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.

7. FÓRMULA GERAL DE RESOLUÇÃO
Seja a equação:
ax2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
Vamos transformá-la em equações equivalentes, de modo que o primeiro membro seja um
quadrado perfeito.
1) Transpomos c para o 2º membro:
ax2
+ bx = – c
2) Multiplicamos ambos os membros por 4a (a ≠ 0)
4a2
x2
+ 4abx = – 4ac
3) Adicionamos b2
a ambos os membros:
4a2
x2
+ 4abx + b2
= b2
– 4ac
4) Fatoramos o primeiro membro:
(2ax + b)2
= b2
– 4ac
5) Extraímos a raiz quadrada de ambos os membros:
2ax + b = 

8. 6) Isolando x:
(Fórmula de Báscara)
Notas:
Esta fórmula permite achar as raízes de qualquer equação do 2º grau, completa ou incompleta
A expressão b2
– 4ac chama-se discriminante e é indicada pela letra grega  (lê-se: delta).
 = b2
– 4ac
Então, se   0, podemos escrever:

9. Se  < 0, a equação não tem raízes reais.
Exemplos:
Resolver as seguintes equações do 2º grau, sendo U = R.
Exemplo 1
3x2
– 7x + 2 = 0
Solução:
Temos:  = b2
– 4ac
a = 3  = (– 7)2
– 4. 3 . 2
b = – 7  = 49 – 24
c = 2  = 25

10. Substituindo na fórmula:
x’ = = = 2
=
x" = = =
Logo: V =
Exemplo 2
x2
– 6x + 9 = 0
Solução:
Temos:  = b2
– 4ac
a = 1  = (– 6)2
– 4. 1 . 9
b = – 6  = 36 – 36
c = 9  = 0

11. Como  < 0, a equação não tem raízes reais.
NÚMERO DE RAÍZES
Através dos três exemplos estudados, podemos observar que:
Se  > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes.
Se  = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais.
Se  < 0, a equação não tem raízes reais.

12. EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS REDUTÍVEIS A EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Nessas equações (há incógnita no denominador), devemos garantir que nenhum dos
denominadores se anule.
Exemplos:
a) x + = 7 (x ≠ 0)
b) + = (x ≠ 0 e x ≠ 1)
c) – = 2 (x ≠ 1 e x ≠ –)
Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações fracionárias.

13. Exemplo 1
Resolver em R a equação x + = 5 sendo x ≠ 3
Solução:
O m.m.c. é x – 3 + =
Eliminando os denominadores x(x – 3) + 1 = 5(x – 3)
x2
– 3x + 1 = 5x – 15
Transpondo e reduzindo x2
– 3x – 5x + 1 + 15 = 0
x2
– 8x + 16 = 0
Temos:  = b2
– 4ac
a = 1  = (– 8)2
– 4. 1 . 16
b = – 8  = 64 – 64
c = 16  = 0

14. Substituindo na fórmula:
x' = = = 4
=
x" = = = 4
Logo: V = { 4, 4 }

15. Exemplo 2
Resolver em R a equação + = 4 sendo x ≠ 0 e x ≠ 1.
Solução:
O m.m.c. é x(x – 1) + =
Eliminando os denominadores 4x2
+ (x – 1) (x – 10) = 4x2
– 4x
4x2
+ x2
– 11x + 10 – 4x2
+ 4x = 0
Transpondo e reduzindo x2
– 11x + 4x + 10 = 0
x2
– 7x + 10 = 0
Temos:  = b2
– 4ac
a = 1  = (– 7)2
– 4. 1 . 10
b = – 7  = 49 – 40
c = 10  = 9

16. Substituindo na fórmula:
x' = = = 5
=
x" = = = 2
Logo: V = { 5, 2 }