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CONJUNTOS NUMÉRICOSCONJUNTOS NUMÉRICOS
COMO SURGIRAM OS NÚMEROS?
Eles foram sendo criados pouco a pouco. A cada
nova dificuldade ou necessidade, o homem e a
ciência foram acrescentando novos elementos
números aos já existentes.
Com o tempo, por questões práticas, foi preciso
agrupá-los, formando estruturas com
características e propriedades comuns.
A LINGUAGEM DOS NÚMEROS
CONJUNTOS – CONCEITOS INICIAIS
 São assim definidos os conjuntos numéricos:
 ℕ, dos números naturais;
 ℤ, dos números inteiros;
 ℚ, dos números racionais;
 ℝ, dos números reais;
 ℂ, dos números complexos.
A necessidade de contar surgiu com o início da
civilização dos povos. Povos primitivos contavam
apenas um, dois e muitos. Esses três conceitos,
sozinhos, já resolviam seus problemas. Depois
outras quantidades (três, quatro, etc.) foram sendo
incorporadas. A ideia do zero surgiu mais tarde.
Números utilizados para contar formam CONJUNTO
DOS NÚMEROS NATURAIS (ℕ).
Indicamos:
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (ℤ)
A soma e o produto entre dois números naturais
resulta sempre um número natural. Mas a diferença
de dois naturais nem sempre é natural. Por exemplo:
(5 – 2) ∈ ℕ, mas (2 – 5) ∉ ℕ
Subtrações como essa última são definidas com a
introdução dos números inteiros negativos:
(–1, –2, –3, –4, ...).
A união dos naturais com os inteiros negativos forma
o conjunto ℤ dos números inteiros.
ℤ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (ℤ)
 Podemos separar os inteiros em três categorias:
 Os positivos: 1, 2, 3, 4, ...
 O zero: 0
 Os negativos: –1, –2, –3, –4, ...
 De maneira geral, se k é um número inteiro, o número
–k também é inteiro.
 Dizemos que k e –k são simétricos ou opostos.
Conjunto dos números inteiros (ℤ)
 Simetria em relação ao zero.
0-1-2-3-4 1 2 43
Conjunto dos números inteiros (ℤ)
Definem-se, em ℤ, as relações de igualdade e de
ordem (desigualdade).
Se p e q são dois inteiros, eles satisfazem uma, e
somente uma, das seguintes relações:
 p = q (p é igual a q);
 p < q (p é menor que q);
 p > q (p é maior que q).
→ 3 – 5 = 2
→ –5 < –1 < 0 < 3
→ 7 > 2 > 0 > –4
Observação
 Certos subconjuntos de ℕ e ℤ são definidos por
meio de desigualdades. No caso, devemos estar
atentos ao universo indicado.
 Exemplos
 A = {x ∈ ℕ / x < 4} → A = {0, 1, 2, 3}.
 B = {x ∈ ℤ / –3 ≤ x < 2} → B = {–3, –2, –1, 0, 1}.
 C = {x ∈ ℤ / x ≥ –2} → C = {–2, –1, 0, 1, ...}.
Observação
 Os conjuntos numéricos podem vir acompanhados
de certos símbolos, que têm a função de excluir,
dele, determinados números. Veja:
 O símbolo asterisco (*) exclui o zero;
 O símbolo mais (+) exclui os negativos;
 O símbolo menos (–) exclui os positivos.
MÓDULO
Distância 4 Distância 4
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (ℚ)
A necessidade de operar com grandezas que nem
sempre podem ser representadas por números
inteiros levou à criação dos números fracionários:
3
5
,
8
7
,
1
10
, etc.
 Divisões como essas são definidas com a introdução
do conceito de número racional.
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (ℚ)
 Todo quociente p/q da divisão de um inteiro p por
um inteiro q (q ≠ 0) é chamado de número
racional.
 Veja a definição do conjunto ℚ dos números
racionais.
ℚ = {x/x = p/q; p, q ∈ ℤ, q ≠ 0}
Exemplo
 São racionais os seguintes números
8
2
= 4  (inteiro)
3
7
 (fracionário de termos inteiros)
–3
8
= –0,375  (decimal exato)
5
9
= 0,555...  (dízima periódica)
Conjunto dos números racionais (ℚ)
 Em resumo, são números racionais
 Os números inteiros;
 Os números fracionários;
 Os decimais exatos;
 As dízimas periódicas.
Transformando decimais exatos em frações
 Um número decimal exato é sempre igual a uma
fração, cujo denominador é uma potência de base
10 e expoente natural.
 Exemplos
0,35 =
35
102
=
35
100
=
7
20
–1,8 =
–18
101
=
–18
10
=
–9
5
Transformando decimais periódicos em frações
 Numa dízima periódica, o grupo de algarismos que
se repete é chamado período da dízima. Por
exemplo na dízima 23, 4727272..., o período é 72.
 A fração que dá origem a uma dízima é a sua
geratriz.
 Cálculo da fração geratriz da dízima periódica
0,424242...
Seja: (1)x = 0,424242...
Então: 100 . x = 100 . 0,424242...
100x = 42,4242... (2)
subtraindo (2) – (1), membro a membro
100x = 42,4242...
– x = 0,424242...
99x = 42
⇒
x =
42
99
=
14
33
 Calculando a fração geratriz da dízima periódica
4,73333...
Seja: (1)x = 4,73333...
10 . x = 10 . 4,73333...
10x = 47,3333... (2)
subtraindo (2) – (1), membro a membro
10x = 47,33333...
– x = 4,73333...
9x = 42,6
⇒
90x = 426
⇒
x =
426
90
=
71
15
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (ℚ)
 Podemos representar os números racionais por
pontos pertencentes a uma reta orientada,
bastando para isso fazer subdivisões convenientes
no eixo dos inteiros.
0-1-2-3 1 2 3
0,333...
0,6
–5/3 1,5–6/5
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (ℝ)
 Vimos anteriormente, que os únicos números
decimais racionais são os exatos e as dízimas
periódicas.
 Existirão números decimais que não sejam exatos
nem dízimas? Ou seja, números decimais
não-racionais?
Ao fazer o cálculo da hipotenusa de um triângulo
retângulo com a medida dos catetos iguais a 1,
obtemos:
x
1
1
x2
= 12
+ 12
x2
= 2
x =
 Extraindo a raiz quadrada de 2 nos levará ao número
1,41421356237... que não é racional.
2
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (ℝ)
 Números como são chamados de números
irracionais. Sua representação decimal não é exata
e nem periódica.
 De modo geral, número irracional é todo número
que, escrito na forma decimal, é infinito e não-
periódico. Veja alguns exemplos:
 = 1,73205080...
 = 2,23606797...
 π = 3,141592653...
 0,202202220...
2
3
5
Você sabia?
 que π é aproximadamente
3,1415926535897932384626433832795028841971
693993751058209749445923078164062862089986
280348253421170679821480865132823066470938
446095505822317253594081284811174502841027
019385211055596446229489549303819644288109
756659334461284756482337867831652712019091
456485669234603486104543266482133936072602
491412737245870066…?
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (ℝ)
 A reunião dos racionais com os irracionais resulta
no conjunto dos números reais.
ℝ = {x/x é racional ou irracional}
Note como os conjuntos numéricos ℕ, ℤ, ℚ e ℝ foram
sendo construídos. Cada um deles amplia o anterior,
com acréscimo de novos tipos de números.
ℕ ℤ ℚ ℝ
+ Inteiros
negativos
+ racionais
fracionários
+ irracionais
REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMA:
Inteiros
negativos
racionais
fracionários
irracionais
ℕ ℤ ℚ ℝ
O
NÚMEROS REAIS COMO PONTOS DA RETA
 O conjunto ℝ dos números reais pode ser colocado
em correspondência com o conjunto dos pontos de
uma reta. Para isso definimos
 Um sentido positivo, indicado pela seta;
 Um ponto O, chamado origem, associado ao zero;
 uma unidade de medida arbitrária.
1 u
 A esta reta, damos o nome de reta real ou eixo real;
Referências:
•IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo;
DEGENSZAJN, David; PÉRIGO,
Roberto. MATEMÁTICA – Ensino
Médio. 6ª edição. São Paulo: Atual,
2015.
•DANTE, Luiz Roberto. Matemática.
Ensino Médio. Projeto Múltiplo. São
Paulo: Ática: 2014.
•GIOVANNI, José Rui; PARENTE,
Eduardo. Aprendendo Matemática.
São Paulo: FTD, 2007
•Prof. Jorge. <
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  • 2. COMO SURGIRAM OS NÚMEROS? Eles foram sendo criados pouco a pouco. A cada nova dificuldade ou necessidade, o homem e a ciência foram acrescentando novos elementos números aos já existentes. Com o tempo, por questões práticas, foi preciso agrupá-los, formando estruturas com características e propriedades comuns. A LINGUAGEM DOS NÚMEROS
  • 3. CONJUNTOS – CONCEITOS INICIAIS  São assim definidos os conjuntos numéricos:  ℕ, dos números naturais;  ℤ, dos números inteiros;  ℚ, dos números racionais;  ℝ, dos números reais;  ℂ, dos números complexos.
  • 4. A necessidade de contar surgiu com o início da civilização dos povos. Povos primitivos contavam apenas um, dois e muitos. Esses três conceitos, sozinhos, já resolviam seus problemas. Depois outras quantidades (três, quatro, etc.) foram sendo incorporadas. A ideia do zero surgiu mais tarde. Números utilizados para contar formam CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (ℕ). Indicamos: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
  • 5. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (ℤ) A soma e o produto entre dois números naturais resulta sempre um número natural. Mas a diferença de dois naturais nem sempre é natural. Por exemplo: (5 – 2) ∈ ℕ, mas (2 – 5) ∉ ℕ Subtrações como essa última são definidas com a introdução dos números inteiros negativos: (–1, –2, –3, –4, ...). A união dos naturais com os inteiros negativos forma o conjunto ℤ dos números inteiros. ℤ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
  • 6. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (ℤ)  Podemos separar os inteiros em três categorias:  Os positivos: 1, 2, 3, 4, ...  O zero: 0  Os negativos: –1, –2, –3, –4, ...  De maneira geral, se k é um número inteiro, o número –k também é inteiro.  Dizemos que k e –k são simétricos ou opostos.
  • 7. Conjunto dos números inteiros (ℤ)  Simetria em relação ao zero. 0-1-2-3-4 1 2 43
  • 8. Conjunto dos números inteiros (ℤ) Definem-se, em ℤ, as relações de igualdade e de ordem (desigualdade). Se p e q são dois inteiros, eles satisfazem uma, e somente uma, das seguintes relações:  p = q (p é igual a q);  p < q (p é menor que q);  p > q (p é maior que q). → 3 – 5 = 2 → –5 < –1 < 0 < 3 → 7 > 2 > 0 > –4
  • 9. Observação  Certos subconjuntos de ℕ e ℤ são definidos por meio de desigualdades. No caso, devemos estar atentos ao universo indicado.  Exemplos  A = {x ∈ ℕ / x < 4} → A = {0, 1, 2, 3}.  B = {x ∈ ℤ / –3 ≤ x < 2} → B = {–3, –2, –1, 0, 1}.  C = {x ∈ ℤ / x ≥ –2} → C = {–2, –1, 0, 1, ...}.
  • 10. Observação  Os conjuntos numéricos podem vir acompanhados de certos símbolos, que têm a função de excluir, dele, determinados números. Veja:  O símbolo asterisco (*) exclui o zero;  O símbolo mais (+) exclui os negativos;  O símbolo menos (–) exclui os positivos.
  • 12. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (ℚ) A necessidade de operar com grandezas que nem sempre podem ser representadas por números inteiros levou à criação dos números fracionários: 3 5 , 8 7 , 1 10 , etc.  Divisões como essas são definidas com a introdução do conceito de número racional.
  • 13. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (ℚ)  Todo quociente p/q da divisão de um inteiro p por um inteiro q (q ≠ 0) é chamado de número racional.  Veja a definição do conjunto ℚ dos números racionais. ℚ = {x/x = p/q; p, q ∈ ℤ, q ≠ 0}
  • 14. Exemplo  São racionais os seguintes números 8 2 = 4  (inteiro) 3 7  (fracionário de termos inteiros) –3 8 = –0,375  (decimal exato) 5 9 = 0,555...  (dízima periódica)
  • 15. Conjunto dos números racionais (ℚ)  Em resumo, são números racionais  Os números inteiros;  Os números fracionários;  Os decimais exatos;  As dízimas periódicas.
  • 16. Transformando decimais exatos em frações  Um número decimal exato é sempre igual a uma fração, cujo denominador é uma potência de base 10 e expoente natural.  Exemplos 0,35 = 35 102 = 35 100 = 7 20 –1,8 = –18 101 = –18 10 = –9 5
  • 17. Transformando decimais periódicos em frações  Numa dízima periódica, o grupo de algarismos que se repete é chamado período da dízima. Por exemplo na dízima 23, 4727272..., o período é 72.  A fração que dá origem a uma dízima é a sua geratriz.
  • 18.  Cálculo da fração geratriz da dízima periódica 0,424242... Seja: (1)x = 0,424242... Então: 100 . x = 100 . 0,424242... 100x = 42,4242... (2) subtraindo (2) – (1), membro a membro 100x = 42,4242... – x = 0,424242... 99x = 42 ⇒ x = 42 99 = 14 33
  • 19.  Calculando a fração geratriz da dízima periódica 4,73333... Seja: (1)x = 4,73333... 10 . x = 10 . 4,73333... 10x = 47,3333... (2) subtraindo (2) – (1), membro a membro 10x = 47,33333... – x = 4,73333... 9x = 42,6 ⇒ 90x = 426 ⇒ x = 426 90 = 71 15
  • 20. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (ℚ)  Podemos representar os números racionais por pontos pertencentes a uma reta orientada, bastando para isso fazer subdivisões convenientes no eixo dos inteiros. 0-1-2-3 1 2 3 0,333... 0,6 –5/3 1,5–6/5
  • 21. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (ℝ)  Vimos anteriormente, que os únicos números decimais racionais são os exatos e as dízimas periódicas.  Existirão números decimais que não sejam exatos nem dízimas? Ou seja, números decimais não-racionais?
  • 22. Ao fazer o cálculo da hipotenusa de um triângulo retângulo com a medida dos catetos iguais a 1, obtemos: x 1 1 x2 = 12 + 12 x2 = 2 x =  Extraindo a raiz quadrada de 2 nos levará ao número 1,41421356237... que não é racional. 2
  • 23. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (ℝ)  Números como são chamados de números irracionais. Sua representação decimal não é exata e nem periódica.  De modo geral, número irracional é todo número que, escrito na forma decimal, é infinito e não- periódico. Veja alguns exemplos:  = 1,73205080...  = 2,23606797...  π = 3,141592653...  0,202202220... 2 3 5
  • 24. Você sabia?  que π é aproximadamente 3,1415926535897932384626433832795028841971 693993751058209749445923078164062862089986 280348253421170679821480865132823066470938 446095505822317253594081284811174502841027 019385211055596446229489549303819644288109 756659334461284756482337867831652712019091 456485669234603486104543266482133936072602 491412737245870066…?
  • 25. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (ℝ)  A reunião dos racionais com os irracionais resulta no conjunto dos números reais. ℝ = {x/x é racional ou irracional}
  • 26. Note como os conjuntos numéricos ℕ, ℤ, ℚ e ℝ foram sendo construídos. Cada um deles amplia o anterior, com acréscimo de novos tipos de números. ℕ ℤ ℚ ℝ + Inteiros negativos + racionais fracionários + irracionais
  • 28. O NÚMEROS REAIS COMO PONTOS DA RETA  O conjunto ℝ dos números reais pode ser colocado em correspondência com o conjunto dos pontos de uma reta. Para isso definimos  Um sentido positivo, indicado pela seta;  Um ponto O, chamado origem, associado ao zero;  uma unidade de medida arbitrária. 1 u  A esta reta, damos o nome de reta real ou eixo real;
  • 29. Referências: •IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. MATEMÁTICA – Ensino Médio. 6ª edição. São Paulo: Atual, 2015. •DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Ensino Médio. Projeto Múltiplo. São Paulo: Ática: 2014. •GIOVANNI, José Rui; PARENTE, Eduardo. Aprendendo Matemática. São Paulo: FTD, 2007 •Prof. Jorge. < http://slideplayer.com.br>