O documento descreve a evolução histórica dos conjuntos numéricos, começando pelos números naturais usados para contar e evoluindo para os números inteiros, racionais e reais. Os conjuntos numéricos são representados graficamente em uma reta real.

1. CONJUNTOS NUMÉRICOSCONJUNTOS NUMÉRICOS

2. COMO SURGIRAM OS NÚMEROS?
Eles foram sendo criados pouco a pouco. A cada
nova dificuldade ou necessidade, o homem e a
ciência foram acrescentando novos elementos
números aos já existentes.
Com o tempo, por questões práticas, foi preciso
agrupá-los, formando estruturas com
características e propriedades comuns.
A LINGUAGEM DOS NÚMEROS

3. CONJUNTOS – CONCEITOS INICIAIS
 São assim definidos os conjuntos numéricos:
 ℕ, dos números naturais;
 ℤ, dos números inteiros;
 ℚ, dos números racionais;
 ℝ, dos números reais;
 ℂ, dos números complexos.

4. A necessidade de contar surgiu com o início da
civilização dos povos. Povos primitivos contavam
apenas um, dois e muitos. Esses três conceitos,
sozinhos, já resolviam seus problemas. Depois
outras quantidades (três, quatro, etc.) foram sendo
incorporadas. A ideia do zero surgiu mais tarde.
Números utilizados para contar formam CONJUNTO
DOS NÚMEROS NATURAIS (ℕ).
Indicamos:
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

5. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (ℤ)
A soma e o produto entre dois números naturais
resulta sempre um número natural. Mas a diferença
de dois naturais nem sempre é natural. Por exemplo:
(5 – 2) ∈ ℕ, mas (2 – 5) ∉ ℕ
Subtrações como essa última são definidas com a
introdução dos números inteiros negativos:
(–1, –2, –3, –4, ...).
A união dos naturais com os inteiros negativos forma
o conjunto ℤ dos números inteiros.
ℤ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

6. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (ℤ)
 Podemos separar os inteiros em três categorias:
 Os positivos: 1, 2, 3, 4, ...
 O zero: 0
 Os negativos: –1, –2, –3, –4, ...
 De maneira geral, se k é um número inteiro, o número
–k também é inteiro.
 Dizemos que k e –k são simétricos ou opostos.

7. Conjunto dos números inteiros (ℤ)
 Simetria em relação ao zero.
0-1-2-3-4 1 2 43

8. Conjunto dos números inteiros (ℤ)
Definem-se, em ℤ, as relações de igualdade e de
ordem (desigualdade).
Se p e q são dois inteiros, eles satisfazem uma, e
somente uma, das seguintes relações:
 p = q (p é igual a q);
 p < q (p é menor que q);
 p > q (p é maior que q).
→ 3 – 5 = 2
→ –5 < –1 < 0 < 3
→ 7 > 2 > 0 > –4

9. Observação
 Certos subconjuntos de ℕ e ℤ são definidos por
meio de desigualdades. No caso, devemos estar
atentos ao universo indicado.
 Exemplos
 A = {x ∈ ℕ / x < 4} → A = {0, 1, 2, 3}.
 B = {x ∈ ℤ / –3 ≤ x < 2} → B = {–3, –2, –1, 0, 1}.
 C = {x ∈ ℤ / x ≥ –2} → C = {–2, –1, 0, 1, ...}.

10. Observação
 Os conjuntos numéricos podem vir acompanhados
de certos símbolos, que têm a função de excluir,
dele, determinados números. Veja:
 O símbolo asterisco (*) exclui o zero;
 O símbolo mais (+) exclui os negativos;
 O símbolo menos (–) exclui os positivos.

11. MÓDULO
Distância 4 Distância 4

12. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (ℚ)
A necessidade de operar com grandezas que nem
sempre podem ser representadas por números
inteiros levou à criação dos números fracionários:
3
5
,
8
7
,
1
10
, etc.
 Divisões como essas são definidas com a introdução
do conceito de número racional.

13. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (ℚ)
 Todo quociente p/q da divisão de um inteiro p por
um inteiro q (q ≠ 0) é chamado de número
racional.
 Veja a definição do conjunto ℚ dos números
racionais.
ℚ = {x/x = p/q; p, q ∈ ℤ, q ≠ 0}

14. Exemplo
 São racionais os seguintes números
8
2
= 4  (inteiro)
3
7
 (fracionário de termos inteiros)
–3
8
= –0,375  (decimal exato)
5
9
= 0,555...  (dízima periódica)

15. Conjunto dos números racionais (ℚ)
 Em resumo, são números racionais
 Os números inteiros;
 Os números fracionários;
 Os decimais exatos;
 As dízimas periódicas.

16. Transformando decimais exatos em frações
 Um número decimal exato é sempre igual a uma
fração, cujo denominador é uma potência de base
10 e expoente natural.
 Exemplos
0,35 =
35
102
=
35
100
=
7
20
–1,8 =
–18
101
=
–18
10
=
–9
5

17. Transformando decimais periódicos em frações
 Numa dízima periódica, o grupo de algarismos que
se repete é chamado período da dízima. Por
exemplo na dízima 23, 4727272..., o período é 72.
 A fração que dá origem a uma dízima é a sua
geratriz.

18.  Cálculo da fração geratriz da dízima periódica
0,424242...
Seja: (1)x = 0,424242...
Então: 100 . x = 100 . 0,424242...
100x = 42,4242... (2)
subtraindo (2) – (1), membro a membro
100x = 42,4242...
– x = 0,424242...
99x = 42
⇒
x =
42
99
=
14
33

19.  Calculando a fração geratriz da dízima periódica
4,73333...
Seja: (1)x = 4,73333...
10 . x = 10 . 4,73333...
10x = 47,3333... (2)
subtraindo (2) – (1), membro a membro
10x = 47,33333...
– x = 4,73333...
9x = 42,6
⇒
90x = 426
⇒
x =
426
90
=
71
15

20. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (ℚ)
 Podemos representar os números racionais por
pontos pertencentes a uma reta orientada,
bastando para isso fazer subdivisões convenientes
no eixo dos inteiros.
0-1-2-3 1 2 3
0,333...
0,6
–5/3 1,5–6/5

21. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (ℝ)
 Vimos anteriormente, que os únicos números
decimais racionais são os exatos e as dízimas
periódicas.
 Existirão números decimais que não sejam exatos
nem dízimas? Ou seja, números decimais
não-racionais?

22. Ao fazer o cálculo da hipotenusa de um triângulo
retângulo com a medida dos catetos iguais a 1,
obtemos:
x
1
1
x2
= 12
+ 12
x2
= 2
x =
 Extraindo a raiz quadrada de 2 nos levará ao número
1,41421356237... que não é racional.
2

23. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (ℝ)
 Números como são chamados de números
irracionais. Sua representação decimal não é exata
e nem periódica.
 De modo geral, número irracional é todo número
que, escrito na forma decimal, é infinito e não-
periódico. Veja alguns exemplos:
 = 1,73205080...
 = 2,23606797...
 π = 3,141592653...
 0,202202220...
2
3
5

24. Você sabia?
 que π é aproximadamente
3,1415926535897932384626433832795028841971
693993751058209749445923078164062862089986
280348253421170679821480865132823066470938
446095505822317253594081284811174502841027
019385211055596446229489549303819644288109
756659334461284756482337867831652712019091
456485669234603486104543266482133936072602
491412737245870066…?

25. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (ℝ)
 A reunião dos racionais com os irracionais resulta
no conjunto dos números reais.
ℝ = {x/x é racional ou irracional}

26. Note como os conjuntos numéricos ℕ, ℤ, ℚ e ℝ foram
sendo construídos. Cada um deles amplia o anterior,
com acréscimo de novos tipos de números.
ℕ ℤ ℚ ℝ
+ Inteiros
negativos
+ racionais
fracionários
+ irracionais

27. REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMA:
Inteiros
negativos
racionais
fracionários
irracionais
ℕ ℤ ℚ ℝ

28. O
NÚMEROS REAIS COMO PONTOS DA RETA
 O conjunto ℝ dos números reais pode ser colocado
em correspondência com o conjunto dos pontos de
uma reta. Para isso definimos
 Um sentido positivo, indicado pela seta;
 Um ponto O, chamado origem, associado ao zero;
 uma unidade de medida arbitrária.
1 u
 A esta reta, damos o nome de reta real ou eixo real;

29. Referências:
•IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo;
DEGENSZAJN, David; PÉRIGO,
Roberto. MATEMÁTICA – Ensino
Médio. 6ª edição. São Paulo: Atual,
2015.
•DANTE, Luiz Roberto. Matemática.
Ensino Médio. Projeto Múltiplo. São
Paulo: Ática: 2014.
•GIOVANNI, José Rui; PARENTE,
Eduardo. Aprendendo Matemática.
São Paulo: FTD, 2007
•Prof. Jorge. <
http://slideplayer.com.br>