O documento discute conceitos básicos de inferência estatística, incluindo população, amostra, estimação, testes de hipóteses, tipos de hipóteses, estatísticas de teste e tomada de decisão. Exemplos ilustram como formular hipóteses nulas e alternativas, calcular estatísticas de teste e tomar decisões sobre a aceitação ou rejeição da hipótese nula.
Este documento discute testes de hipóteses para médias e proporções. Ele explica o processo de testes de hipóteses, incluindo a formulação de hipóteses nulas e alternativas, a seleção de um nível de significância, a coleta e análise de dados amostrais, e a tomada de decisões sobre a aceitação ou rejeição da hipótese nula. Exemplos ilustram testes bilaterais, unilaterais à direita e à esquerda para médias e proporções.
Este documento discute testes de hipóteses em estatística. Ele explica que testes de hipóteses avaliam se uma afirmação sobre um parâmetro populacional é apoiada por evidências de dados amostrais. O documento também discute o processo de formular hipóteses nula e alternativa, escolher um nível de significância, calcular estatísticas de teste e valores críticos, e tomar uma decisão sobre se rejeitar ou não a hipótese nula.
1) O documento discute testes de hipóteses, que são procedimentos estatísticos para decidir se uma hipótese é ou não suportada por dados amostrais.
2) Um teste de hipóteses envolve confrontar uma hipótese nula com uma hipótese alternativa com base em uma região crítica dos resultados amostrais.
3) Os testes de hipóteses paramétricos assumem uma forma conhecida para a distribuição dos dados e testam hipóteses sobre parâmetros desconhecidos dessa distribuição.
O documento discute testes de hipóteses estatísticas, incluindo: (1) o teste de hipótese avalia inferências sobre uma população com base em uma amostra; (2) a teoria de Popper afirma que não se pode provar nada, apenas refutar hipóteses; (3) os principais conceitos incluem hipótese estatística, teste de hipótese e tipos de hipóteses.
O documento discute testes de hipóteses estatísticas, incluindo: (1) o teste de hipótese avalia inferências sobre uma população com base em uma amostra; (2) a teoria de Popper diz que não se pode provar nada, apenas refutar hipóteses; (3) os principais conceitos incluem hipóteses estatísticas, testes de hipóteses e tipos de hipóteses.
Cap4 - Parte 6 - Distribuições Discretas Exercicios ResolvidosRegis Andrade
O documento discute vários conceitos fundamentais de probabilidade e estatística, incluindo: (1) variáveis aleatórias discretas e contínuas, (2) distribuições de probabilidade discretas como binomial e hipergeométrica, e (3) distribuição de Poisson para eventos raros. Exemplos ilustram como calcular probabilidades usando essas distribuições.
AMD - Aula n.º 5 - binominal e qui-quadrado.pptxNunoSilva599593
O documento descreve testes estatísticos para análise de dados qualitativos, incluindo o teste binomial, teste qui-quadrado de homogeneidade, independência e ajustamento. Fornece exemplos e explica como interpretar os resultados dos testes.
Este documento fornece informações sobre cursos e consultoria em estatística oferecidos por Kaluce Gonçalves de Sousa Almondes. O documento descreve cursos em estatística básica e avançada, conceitos estatísticos fundamentais, tipos de variáveis, organização de bancos de dados, testes estatísticos univariados e conceitos relacionados a probabilidade e significância estatística.
Este documento discute testes de hipóteses para médias e proporções. Ele explica o processo de testes de hipóteses, incluindo a formulação de hipóteses nulas e alternativas, a seleção de um nível de significância, a coleta e análise de dados amostrais, e a tomada de decisões sobre a aceitação ou rejeição da hipótese nula. Exemplos ilustram testes bilaterais, unilaterais à direita e à esquerda para médias e proporções.
Este documento discute testes de hipóteses em estatística. Ele explica que testes de hipóteses avaliam se uma afirmação sobre um parâmetro populacional é apoiada por evidências de dados amostrais. O documento também discute o processo de formular hipóteses nula e alternativa, escolher um nível de significância, calcular estatísticas de teste e valores críticos, e tomar uma decisão sobre se rejeitar ou não a hipótese nula.
1) O documento discute testes de hipóteses, que são procedimentos estatísticos para decidir se uma hipótese é ou não suportada por dados amostrais.
2) Um teste de hipóteses envolve confrontar uma hipótese nula com uma hipótese alternativa com base em uma região crítica dos resultados amostrais.
3) Os testes de hipóteses paramétricos assumem uma forma conhecida para a distribuição dos dados e testam hipóteses sobre parâmetros desconhecidos dessa distribuição.
O documento discute testes de hipóteses estatísticas, incluindo: (1) o teste de hipótese avalia inferências sobre uma população com base em uma amostra; (2) a teoria de Popper afirma que não se pode provar nada, apenas refutar hipóteses; (3) os principais conceitos incluem hipótese estatística, teste de hipótese e tipos de hipóteses.
O documento discute testes de hipóteses estatísticas, incluindo: (1) o teste de hipótese avalia inferências sobre uma população com base em uma amostra; (2) a teoria de Popper diz que não se pode provar nada, apenas refutar hipóteses; (3) os principais conceitos incluem hipóteses estatísticas, testes de hipóteses e tipos de hipóteses.
Cap4 - Parte 6 - Distribuições Discretas Exercicios ResolvidosRegis Andrade
O documento discute vários conceitos fundamentais de probabilidade e estatística, incluindo: (1) variáveis aleatórias discretas e contínuas, (2) distribuições de probabilidade discretas como binomial e hipergeométrica, e (3) distribuição de Poisson para eventos raros. Exemplos ilustram como calcular probabilidades usando essas distribuições.
AMD - Aula n.º 5 - binominal e qui-quadrado.pptxNunoSilva599593
O documento descreve testes estatísticos para análise de dados qualitativos, incluindo o teste binomial, teste qui-quadrado de homogeneidade, independência e ajustamento. Fornece exemplos e explica como interpretar os resultados dos testes.
Este documento fornece informações sobre cursos e consultoria em estatística oferecidos por Kaluce Gonçalves de Sousa Almondes. O documento descreve cursos em estatística básica e avançada, conceitos estatísticos fundamentais, tipos de variáveis, organização de bancos de dados, testes estatísticos univariados e conceitos relacionados a probabilidade e significância estatística.
Este capítulo discute a análise de regressão múltipla e a inferência estatística. Apresenta os testes t e intervalos de confiança para os coeficientes de regressão e discute a importância da hipótese de normalidade dos resíduos para a aplicação correta destes testes. Também introduz o teste de Jarque-Bera para avaliar a normalidade dos resíduos.
1) Resume os principais conceitos de correlação e regressão linear, incluindo coeficiente de correlação de Pearson, regressão linear simples e múltipla.
2) Explica como testar a significância estatística do coeficiente de correlação e da inclinação da reta de regressão.
3) Apresenta exemplos ilustrativos de cálculos e testes estatísticos com dados reais.
1) O documento apresenta o plano de aulas para o curso de Análise Multivariada de Dados, ministrado pela professora Carla Silva.
2) As aulas abordarão testes de hipóteses paramétricos e não paramétricos, regressão linear, análise de componentes principais e análise fatorial.
3) Haverá três momentos de avaliação contínua ao longo do semestre, incluindo testes escritos e a defesa de trabalhos de grupo.
1) O documento descreve os procedimentos para construção de intervalos de confiança para médias e proporções de populações normais e grandes amostras.
2) São apresentados exemplos de aplicação de intervalos de confiança para médias quando a variância é conhecida ou desconhecida, e para proporções em grandes amostras.
3) São também fornecidos 11 exercícios para aplicação prática dos conceitos apresentados.
1) O documento discute o modelo de regressão linear normal clássico, incluindo a hipótese de normalidade dos resíduos e propriedades dos estimadores sob essa hipótese.
2) É explicado como construir intervalos de confiança para os parâmetros β1, β2 e variância dos resíduos σ2 usando distribuições t e qui-quadrado respectivamente.
3) Testes de hipóteses também são discutidos como meio de inferir se as estimativas estão próximas dos parâmetros reais da população.
O documento descreve um estudo que analisa os resultados de um teste de Stroop, comparando o tempo de resposta em provas congruentes e incongruentes. Os principais achados são: (1) o tempo médio de resposta foi maior nos testes incongruentes do que nos congruentes; (2) o teste t mostrou que essa diferença é estatisticamente significativa, rejeitando a hipótese nula.
AMD - Aula n.º 3 - duas amostras emparelhadas.pptxNunoSilva599593
1) O documento apresenta os testes estatísticos paramétricos e não paramétricos para análise de dados emparelhadas, incluindo o teste t para amostras emparelhadas, o teste de Wilcoxon e o teste dos sinais.
2) É realizado um exemplo prático utilizando o teste t para amostras emparelhadas para analisar o impacto de uma promoção nas vendas de 12 lojas, concluindo que a promoção teve resultados positivos.
3) Os testes de Wilcoxon e dos sinais
Este documento apresenta uma agenda para um curso ou palestra sobre testes paramétricos. A agenda inclui introdução aos testes paramétricos, formulação de hipóteses, tipos de erros, testes de normalidade, teste t de Student para uma e duas amostras e aplicações computacionais. Exemplos práticos são fornecidos para ilustrar os procedimentos dos testes t.
O documento apresenta uma análise dos principais testes estatísticos paramétricos e não paramétricos utilizados em análise multivariada de dados, incluindo testes t de uma amostra e para amostras independentes, ANOVA, teste de Wilcoxon e teste de Kruskal-Wallis. Exemplos demonstram como aplicar os testes t de amostras independentes para comparar as médias de vendas em dois locais diferentes e analisar se a localização influencia as vendas.
Este documento apresenta os conceitos e procedimentos básicos para a realização de testes de hipóteses unilaterais e bilaterais para a média populacional. Inicialmente, define as hipóteses nula e alternativa e discute os tipos de erros possíveis. Em seguida, explica como determinar a região crítica para os diferentes tipos de teste e como tomar a decisão final baseada na estimativa amostral e na região crítica.
Este documento discute procedimentos estatísticos para testes de hipóteses, incluindo: 1) escolha entre testes paramétricos e não paramétricos dependendo do tamanho e distribuição das amostras; 2) formulação de hipóteses nulas e alternativas; 3) cálculo e interpretação de estatísticas de teste como o teste t. Exemplos ilustram como aplicar esses procedimentos para testar diferenças entre médias em diferentes tipos de amostras.
O documento apresenta os principais conceitos de estatística, incluindo probabilidades, distribuições de probabilidade, amostragem e distribuições amostrais. O objetivo é fornecer uma visão geral destes tópicos para estudantes.
Testes de hipóteses para uma amostra.
- Introdução ao teste de hipótese
- Testes de hipóteses para a média (amostras grandes)
- Testes de hipóteses para a média (amostras pequenas)
- Testes de hipóteses para variância e desvio padrão
Este módulo apresenta distribuições de probabilidade discretas e contínuas importantes para análise de confiabilidade, como binomial, Poisson, normal, uniforme e exponencial. Exemplos ilustram como calcular probabilidades e parâmetros dessas distribuições para problemas de engenharia de confiabilidade. Recomenda-se que os alunos consultem referências para maiores detalhes sobre as distribuições.
Este documento apresenta um resumo dos principais testes estatísticos não paramétricos para diferentes cenários de amostragem. Inclui testes para uma amostra, duas amostras relacionadas e independentes, k amostras relacionadas e independentes, e medidas de associação. Fornece exemplos e explicações detalhadas para cada teste.
1. O documento discute modelos determinísticos versus modelos probabilísticos, definindo modelos determinísticos como aqueles que produzem resultados previstos exatos e modelos probabilísticos como aqueles que envolvem incertezas e probabilidades de resultados.
2. Probabilidades são estudadas como a possibilidade de eventos aleatórios ocorrerem, dividindo-se em probabilidades complementares, compostas e condicionadas.
3. Estatística extrai informações de dados para obter compreensão, enquanto frequência se refere ao número de
Este documento resume a última aula de bioestatística sobre testes de hipóteses. Ele explica como calcular intervalos de confiança para a média com variância conhecida e desconhecida usando as distribuições normal e t-Student. Também descreve o procedimento geral para testes de hipóteses, incluindo como definir as hipóteses nula e alternativa, escolher uma estatística de teste, fixar o nível de significância e tomar uma decisão sobre rejeitar ou não a hipótese nula.
1. O documento define p-valor e apresenta exemplos de cálculo de p-valor para testes Z de média e teste qui-quadrado.
2. Fornece instruções para calcular p-valor em testes Z para média e qui-quadrado, além de propor exercícios para cálculo de p-valor.
3. Apresenta 10 exercícios sobre cálculo e interpretação de p-valor em testes de hipóteses, abordando testes Z, qui-quadrado e Poisson.
Este documento discute vários testes estatísticos, incluindo intervalos de confiança, testes de ajustamento, análise de contingência, ANOVA, e regressão linear. Fornece detalhes sobre quando usar cada teste, como calcular estatísticas-chave como margens de erro e valores críticos, e como interpretar resultados para tomar decisões estatísticas.
Este capítulo discute a análise de regressão múltipla e a inferência estatística. Apresenta os testes t e intervalos de confiança para os coeficientes de regressão e discute a importância da hipótese de normalidade dos resíduos para a aplicação correta destes testes. Também introduz o teste de Jarque-Bera para avaliar a normalidade dos resíduos.
1) Resume os principais conceitos de correlação e regressão linear, incluindo coeficiente de correlação de Pearson, regressão linear simples e múltipla.
2) Explica como testar a significância estatística do coeficiente de correlação e da inclinação da reta de regressão.
3) Apresenta exemplos ilustrativos de cálculos e testes estatísticos com dados reais.
1) O documento apresenta o plano de aulas para o curso de Análise Multivariada de Dados, ministrado pela professora Carla Silva.
2) As aulas abordarão testes de hipóteses paramétricos e não paramétricos, regressão linear, análise de componentes principais e análise fatorial.
3) Haverá três momentos de avaliação contínua ao longo do semestre, incluindo testes escritos e a defesa de trabalhos de grupo.
1) O documento descreve os procedimentos para construção de intervalos de confiança para médias e proporções de populações normais e grandes amostras.
2) São apresentados exemplos de aplicação de intervalos de confiança para médias quando a variância é conhecida ou desconhecida, e para proporções em grandes amostras.
3) São também fornecidos 11 exercícios para aplicação prática dos conceitos apresentados.
1) O documento discute o modelo de regressão linear normal clássico, incluindo a hipótese de normalidade dos resíduos e propriedades dos estimadores sob essa hipótese.
2) É explicado como construir intervalos de confiança para os parâmetros β1, β2 e variância dos resíduos σ2 usando distribuições t e qui-quadrado respectivamente.
3) Testes de hipóteses também são discutidos como meio de inferir se as estimativas estão próximas dos parâmetros reais da população.
O documento descreve um estudo que analisa os resultados de um teste de Stroop, comparando o tempo de resposta em provas congruentes e incongruentes. Os principais achados são: (1) o tempo médio de resposta foi maior nos testes incongruentes do que nos congruentes; (2) o teste t mostrou que essa diferença é estatisticamente significativa, rejeitando a hipótese nula.
AMD - Aula n.º 3 - duas amostras emparelhadas.pptxNunoSilva599593
1) O documento apresenta os testes estatísticos paramétricos e não paramétricos para análise de dados emparelhadas, incluindo o teste t para amostras emparelhadas, o teste de Wilcoxon e o teste dos sinais.
2) É realizado um exemplo prático utilizando o teste t para amostras emparelhadas para analisar o impacto de uma promoção nas vendas de 12 lojas, concluindo que a promoção teve resultados positivos.
3) Os testes de Wilcoxon e dos sinais
Este documento apresenta uma agenda para um curso ou palestra sobre testes paramétricos. A agenda inclui introdução aos testes paramétricos, formulação de hipóteses, tipos de erros, testes de normalidade, teste t de Student para uma e duas amostras e aplicações computacionais. Exemplos práticos são fornecidos para ilustrar os procedimentos dos testes t.
O documento apresenta uma análise dos principais testes estatísticos paramétricos e não paramétricos utilizados em análise multivariada de dados, incluindo testes t de uma amostra e para amostras independentes, ANOVA, teste de Wilcoxon e teste de Kruskal-Wallis. Exemplos demonstram como aplicar os testes t de amostras independentes para comparar as médias de vendas em dois locais diferentes e analisar se a localização influencia as vendas.
Este documento apresenta os conceitos e procedimentos básicos para a realização de testes de hipóteses unilaterais e bilaterais para a média populacional. Inicialmente, define as hipóteses nula e alternativa e discute os tipos de erros possíveis. Em seguida, explica como determinar a região crítica para os diferentes tipos de teste e como tomar a decisão final baseada na estimativa amostral e na região crítica.
Este documento discute procedimentos estatísticos para testes de hipóteses, incluindo: 1) escolha entre testes paramétricos e não paramétricos dependendo do tamanho e distribuição das amostras; 2) formulação de hipóteses nulas e alternativas; 3) cálculo e interpretação de estatísticas de teste como o teste t. Exemplos ilustram como aplicar esses procedimentos para testar diferenças entre médias em diferentes tipos de amostras.
O documento apresenta os principais conceitos de estatística, incluindo probabilidades, distribuições de probabilidade, amostragem e distribuições amostrais. O objetivo é fornecer uma visão geral destes tópicos para estudantes.
Testes de hipóteses para uma amostra.
- Introdução ao teste de hipótese
- Testes de hipóteses para a média (amostras grandes)
- Testes de hipóteses para a média (amostras pequenas)
- Testes de hipóteses para variância e desvio padrão
Este módulo apresenta distribuições de probabilidade discretas e contínuas importantes para análise de confiabilidade, como binomial, Poisson, normal, uniforme e exponencial. Exemplos ilustram como calcular probabilidades e parâmetros dessas distribuições para problemas de engenharia de confiabilidade. Recomenda-se que os alunos consultem referências para maiores detalhes sobre as distribuições.
Este documento apresenta um resumo dos principais testes estatísticos não paramétricos para diferentes cenários de amostragem. Inclui testes para uma amostra, duas amostras relacionadas e independentes, k amostras relacionadas e independentes, e medidas de associação. Fornece exemplos e explicações detalhadas para cada teste.
1. O documento discute modelos determinísticos versus modelos probabilísticos, definindo modelos determinísticos como aqueles que produzem resultados previstos exatos e modelos probabilísticos como aqueles que envolvem incertezas e probabilidades de resultados.
2. Probabilidades são estudadas como a possibilidade de eventos aleatórios ocorrerem, dividindo-se em probabilidades complementares, compostas e condicionadas.
3. Estatística extrai informações de dados para obter compreensão, enquanto frequência se refere ao número de
Este documento resume a última aula de bioestatística sobre testes de hipóteses. Ele explica como calcular intervalos de confiança para a média com variância conhecida e desconhecida usando as distribuições normal e t-Student. Também descreve o procedimento geral para testes de hipóteses, incluindo como definir as hipóteses nula e alternativa, escolher uma estatística de teste, fixar o nível de significância e tomar uma decisão sobre rejeitar ou não a hipótese nula.
1. O documento define p-valor e apresenta exemplos de cálculo de p-valor para testes Z de média e teste qui-quadrado.
2. Fornece instruções para calcular p-valor em testes Z para média e qui-quadrado, além de propor exercícios para cálculo de p-valor.
3. Apresenta 10 exercícios sobre cálculo e interpretação de p-valor em testes de hipóteses, abordando testes Z, qui-quadrado e Poisson.
Este documento discute vários testes estatísticos, incluindo intervalos de confiança, testes de ajustamento, análise de contingência, ANOVA, e regressão linear. Fornece detalhes sobre quando usar cada teste, como calcular estatísticas-chave como margens de erro e valores críticos, e como interpretar resultados para tomar decisões estatísticas.
Testes de especificação, diagnóstico e interpretação de Modelo OLS (Ordinary ...
Aula6-TestesdeHipoteses2 (1).pptx
1. Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Probabilidade e Estatística
Inferência: Testes de Hipóteses e
conceitos elementares
Prof. Dr. Matheus Henrique Dal Molin Ribeiro
Departamento de Matemática
Câmpus Pato Branco
2. População x Amostra
População
População: Conjunto de elementos que tem pelo menos uma característica em
comum. Esta característica deve delimitar corretamente quais são os elementos da
população que podem ser animados ou inanimados.
Amostra: Subconjunto não vazio da População.
Amostra
Amostragem
Inferência
3. Inferência Estatística
Inferência
Estimação
Testes de
Hipóteses
Etapa destinada a obter
uma única estimativa
(estimação pontual) ou um
conjunto de estimativas
(estimação intervalar)
para um parâmetro.
É um procedimento para se
testar uma afirmativa sobre
uma propriedade da
população
Generalizações sobre
as características de
uma população a
partir da informação
contida na amostra
4. Testes de Hipóteses
Suponha que X é uma variável aleatória tempo
de duração de uma lâmpada de LED. Com base
em registros acredita-se que elas durem em
média aproximadamente 50.000 horas, com
desvio padrão de 15.0000 horas. De uma
população retiramos uma amostra de n
lâmpadas e a partir das observações verifica-se
que o tempo médio de reação não é exatamente
o observado. Podemos ter as seguintes
situações:
• H: 𝜇 ≠ 50.000 h;
• H: 𝜇 < 50.000 h;
• H: 𝜇 > 50.000 h;
Hipóteses!
5. Testes de Hipóteses
Hipótese: É uma afirmativa sobre uma
propriedade da população.
Teste de hipótese
• É um procedimento para se testar uma
afirmativa sobre uma propriedade da
população.
• Permite tomar decisões sobre a população
com base em informações de dados
amostrais.
Exemplo
• Em um restaurante, a média de clientes que
solicita comida vegana é superior a 30 anos?
• A proporção de peças defeituosas em um
lote é diferente do estabelecido pelo
fabricante?
6. Procedimentos para conduzir um
Teste de Hipóteses
• Definir a hipótese nula (H0) e a alternativa (Ha).
• Definir um nível de significância α, que irá determinar o nível de
confiança 100(1 − α)% do teste. Em geral 1%, 5% ou 10% de
significância.
• Definir o tipo de teste, com base na hipótese alternativa.
• Calcular a estatística de teste, com base na distribuição amostral do
estimador do parâmetro sob teste → valor calculado.
• Determinar a região crítica (região de rejeição), com base no nível de
significância α → valor crítico.
• Concluir o teste.
7. Tipos de Hipóteses
Hipótese Nula 𝑯𝟎
• É uma afirmativa de que o valor de
um parâmetro populacional é igual a
algum valor especificado.
• O termo nula é usado para indicar
nenhuma mudança ou nenhum
efeito.
Exemplos: µ = 10 p = 0.5
Hipótese Alternativa 𝑯𝒂
• É uma afirmativa de que o parâmetro
tem um valor que, de alguma forma,
difere da hipótese nula.
Exemplos: 𝜇 ≠ 10
𝑝 < 0,5
Decisões sobre a hipótese
Quando fazemos um teste de hipótese,
chegamos a um dos dois possíveis
resultados:
• Rejeitar 𝑯𝟎 em favor da hipótese
alternativa 𝐻𝑎.
• Não rejeitar 𝑯𝟎 e conclui-se que não
existem diferenças.
8. Tipos de Hipóteses
Exemplo O gerente de uma concessionária de
automóveis está pensando em um novo plano
de bonificações para aumentar o volume de
vendas. Atualmente, o volume médio de
vendas é de 14 automóveis por mês. O gerente
quer realizar uma pesquisa para verificar se o
novo plano de bonificações pode aumentar o
volume de vendas. Para coletar dados sobre o
plano, uma amostra da equipe de vendas será
autorizada a vender sob o novo plano de
bonificação durante o período de um mês.
a) Quais são as hipótese?
b) Comente a conclusão relativa a
quando H0 pode ser rejeitada.
𝐻0 ∶ 𝜇 = 14
𝐻𝑎: 𝜇 > 14
Solução: Existem evidências
amostrais de que o plano de
bonificações pode aumentar o
volume de vendas.
Solução: Supondo que 𝜇 seja a média da
variável aleatória de interesse, as hipóteses
são:
9. Tipos de Testes
A hipótese alternativa determinará o
sentido do teste de hipótese, que pode ser:
• Bilateral
Região de
Rejeição de 𝑯𝟎
1 − 𝛼
𝛼
Figura: A região de rejeição de 𝐻0 para uma
hipótese alternativa unilateral à esquerda.
𝐻0: 𝜃 = 𝜃0
𝐻𝑎: 𝜃 < 𝜃0
• Unilateral à Esquerda (Inferior)
𝐻0: 𝜃 = 𝜃0
𝐻𝑎: 𝜃 ≠ 𝜃0
Região de
Rejeição de 𝑯𝟎
Região de
Rejeição de 𝑯𝟎
Figura: A região de rejeição de 𝐻0 para uma
hipótese alternativa bilateral.
1 − 𝛼
𝛼
2
𝛼
2
10. Tipos de Testes
• Unilateral à Direita (Superior)
𝐻0: 𝜃 = 𝜃0
𝐻𝑎: 𝜃 > 𝜃0
Região de
Rejeição de 𝑯𝟎
𝛼
1 − 𝛼
Figura: A região de rejeição de 𝐻0 para uma
hipótese alternativa unilateral à direita.
Exemplo Em virtude do tempo e dos custos
elevados de produção e transformação, um
diretor de manufatura precisa convencer a
administração de que um novo método
proposto reduz os custos, antes de esse novo
método ser implementado. O método de
produção atual opera com um custo médio de
US$ 220 por hora. Um estudo medirá o custo
do novo método ao longo de um período de
produção amostral. Quais são as hipóteses
adequadas?
𝐻0 ∶ 𝜇 = 220
𝐻𝑎: 𝜇 < 220
Solução: Supondo que 𝜇 seja a média da
variável aleatória de interesse, as hipóteses
são:
11. Estatística do Teste
A estatística de teste é um valor usado para tomar a decisão sobre a hipótese
nula, supondo que ela seja verdadeira. Considera a distribuição amostral do
estimador sob a hipótese nula. As estatísticas para testes sobre a média e
proporção são apresentados a seguir.
Parâmetro
Média 𝝁
𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝑥 − 𝜇0
𝜎
√𝑛
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝑥 − 𝜇0
𝑠
√𝑛
𝝈 conhecido
ou n> 30
Proporção (p)
𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝑝 − 𝑝0
𝑝0(1 − 𝑝0)
𝑛
Sim Não
12. Tomada de Decisão: Teste Bilateral
A decisão de rejeitar a hipótese nula ou não estará baseada na comparação das
estatísticas calculadas para cada teste com valores tabelados para distribuição
Normal padrão ou t-Student. Vejamos as condições a seguir.
Teste Bilateral: Duas regiões
críticas limitadas por valores
±𝑪𝜶
𝟐
. Se o teste for baseado na
distribuição Z, com 𝝈 conhecido
ou n>30, então os limites críticos
serão:
• ± 𝑧𝛼
2
= ± 1,645 se 𝛼 = 10%;
• ± 𝑧𝛼
2
= ± 1,96 se 𝛼 = 5%;
• ± 𝑧𝛼
2
= ±2,576 se 𝛼 = 1%;
−𝑧𝛼
2
𝑧𝛼
2
Rejeita 𝐻0
Rejeita 𝐻0
0
Decisão: Deve-se rejeitar 𝐻0 se
𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 < −𝑧𝛼
2
ou 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 > 𝑧𝛼
2
.
Se o teste for baseado na t-Student,
substitui-se ±𝒛𝜶
𝟐
por valores ±𝒕𝜶
𝟐
;𝒏−𝟏 e a
decisão é análoga.
1 − 𝛼
𝛼
2
𝛼
2
13. Tomada de Decisão: Testes Unilaterais
Teste Unilateral: Duas regiões críticas limitadas por 𝑪𝜶 se o teste for unilateral à direita
(superior) e −𝑪𝜶 se o teste for unilateral à esquerda (inferior) . Se o teste for baseado na
distribuição Z, com 𝝈 conhecido ou n>30, então os limites críticos serão:
± 𝑧𝛼 = ± 2,33 se 𝛼 = 1%; ± 𝑧𝛼 = ± 1,645 se 𝛼 = 5%; ± 𝑧𝛼 = ± 1,28 se 𝛼 = 10%
−𝑧𝛼
Rejeita 𝐻0 se
𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 > 𝑧𝛼
0
Se o teste for baseado na t-Student, substitui-se
±𝒛𝜶 por valores ±𝒕𝜶;𝒏−𝟏 e a decisão é análoga.
1 − 𝛼
𝛼
𝑧𝛼
1 − 𝛼 𝛼
Rejeita 𝐻0 se
𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 < −𝑧𝛼
Unilateral
à Direita
Unilateral à
Esquerda
14. Testes de Hipóteses: Exemplo
Exemplo As declarações do imposto de renda
individuais entregues antes do dia 31 de maio obtiveram
uma restituição média de R$ 1.056. Considere a
população de declarantes de última hora que entregam
suas declarações durante os cinco últimos dias do
período de entrega das declarações do imposto de renda
(normalmente, de 26 a 31 de maio). Um pesquisador
sugere que uma razão para que as pessoas esperem até
os cinco últimos dias é que em média elas têm menores
restituições a receber do que aquelas que entregam as
declarações primeiro. Para uma amostra de 400
indivíduos que entregaram suas declarações entre 26 a
31 de maio a restituição média foi de R$ 910. Baseando-
se em experiências anteriores, pode-se supor um desvio
padrão populacional s = R$ 1.600. Teste a informação
com 5% de significância.
𝑯𝟎: 𝝁 = 𝟏𝟎𝟓𝟔
𝑯𝒂: 𝝁 < 𝟏𝟎𝟓𝟔
Solução: Temos um
teste unilateral a
esquerda. Logo as
hipóteses são:
𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 = (910 −1056)
1600
√400
= −1,825
Como −𝒛𝟓%= −𝟏, 𝟔𝟒𝟓 e 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 < −𝒛𝟓%,
deve-se rejeitar 𝑯𝟎 ao nível de 5%.
Região de
rejeição de 𝐻0
𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 = -1,825
15. Testes de Hipóteses: Exemplo
Exemplo Foram coletados dados na Universidade
Tecnológica Federal do Paraná, em que buscou
constatar se a tensão fornecida pela rede corresponderia
ao previsto, ou seja, se a tensão à qual os equipamentos
eletrônicos estão sujeitos seria de 220 V ou 127 V.
Nesse caso, a análise se baseou em constatar a tensão
de 127 V em tomadas da Universidade. A análise de
dados ocorreu no bloco I, durante o período da tarde, do
dia 11 de novembro de 2015. Foram analisadas no total
15 tomadas, as quais compuseram a amostra a seguir:
125;124;125;125;125;125;124;123;
122;123;123;123;123;124;124. O objetivo foi constatar
se a tensão fornecida pela rede corresponderia ao
previsto, ou seja, se a tensão à qual os equipamentos
eletrônicos estão sujeitos seria de 220 V ou 127 V.
Nesse caso, a análise se baseou em constatar a tensão
de 127 V em tomadas da Universidade, com α = 5%
𝑯𝟎: 𝝁 = 𝟏𝟐𝟕 𝑽
𝑯𝒂: 𝝁 ≠ 𝟏𝟐𝟕 𝑽
Solução: Neste caso temos
um teste bilateral, com as
hipóteses:
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 = (123,87 −127)
0,99
√15
= −12,25
Como −𝑡2,5%;14= ± 2,15 e 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 <
−𝑡2,5%;14, deve-se rejeitar 𝐻0 ao nível de
5%.
Com base na amostra 𝑥 = 123,87 𝑉
𝑒 𝑠 = 0,99. Como n<30, usaremos
±𝒕𝜶
𝟐
;𝒏−𝟏.
Região de
rejeição de 𝐻0
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 = -12,25
16. Testes de Hipóteses: Exemplo
Exemplo Uma empresa construtora de aviários,
utilizando seus empregados edificou 12 aviários
de certo padrão, gastando 45,8, 51,4 , 46,1, 50,9,
48,7, 53,2, 47,9, 50,1, 49,3, 52,6, 44,9, 54,4
horas por metro quadrado. Testar a hipótese de
ser diferente de 50 horas o tempo médio
necessário de mão-de-obra para a construção
daquele padrão de m², adotando um nível de
significância de 5%.
𝑯𝟎: 𝝁 = 𝟓𝟎 𝒉
𝑯𝒂: 𝝁 ≠ 𝟓𝟎 𝒉
Solução: Neste caso temos
um teste bilateral, com as
hipóteses:
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 = (49,61 −50)
3,06
√12
= −0,44
Como −𝑡2,5%;11= ± 2,2009 e
−𝑡2,5%;11< 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐< 𝑡2,5%;11, não deve-se
rejeitar 𝐻0 ao nível de 5%.
Com base na amostra 𝑥 = 49,61 ℎ
𝑒 𝑠 = 3,06. Como n<30, usaremos
±𝒕𝜶
𝟐
;𝒏−𝟏.
Região de
rejeição de 𝐻0
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 = -0,44
17. Testes de Hipóteses: Exemplo
Exemplo Sabe-se que por experiência que 5% da produção de um determinado artigo é
defeituosa. Um novo empregado é contratado. Ele produz 600 peças do artigo com 82
defeituosas. Ao nível de 15%, verificar se o novo empregado produz peças com maior
índice de defeitos que o existente.
𝑯𝟎: 𝒑 = 𝟎, 𝟎𝟓
𝑯𝒂: 𝒑 > 𝟎, 𝟎𝟓
Solução: Neste caso temos um teste unilateral a direita, com as hipóteses:
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 = (0,137−0,05)
0,0089 = 9,77
Com base nas informações acima
𝑝 =
82
600
= 0,137
𝑒 𝜎𝑝 =
0,05 ∗(1−0,05)
600
= 0,0089
Como 𝑧15% = 1,03 e 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 > 𝑧15%, deve-
se rejeitar 𝐻0 ao nível de 15%.
18. Testes de Hipóteses: p-valor
A decisão de rejeitar ou não a hipótese nula pode ser feita com base em dois conceitos.
O primeiro está relacionado com a probabilidade de obtermos um valor para média,
tão ou mais extrema que a média ou proporção da amostra observada, dado que a
hipótese nula é verdadeira, chamamos de p-valor ou valor p. A hipótese nula será
rejeitada caso p-valor seja inferior ao nível de significância dado por 𝛼. Etapas para
obter o p-valor
Observação: Se o teste basear-se na distribuição t-Student a área considerada é sob a
curva t com n-1 graus de liberdade.
19. Testes de Hipóteses: p-valor
Um fabricante de sprinklers, usados para proteção
contra incêndio em edifícios de escritórios, alega
que a temperatura média real de ativação do
sistema é 54 °C. Uma amostra de n = 9 sistemas,
quando testados, revela uma temperatura média
amostral de ativação de 54,57 °C. Se a
distribuição dos tempos de ativação fosse
normal com desvio padrão de 0,85 °C, os dados
contradiriam a alegação do fabricante com nível
de significância de 0,01?
Solução: Neste caso, temos um
teste bilateral, cujas hipóteses
são:
𝑯𝟎: 𝝁 = 54 °C
𝑯𝒂: 𝝁 ≠ 54 °C
𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 =
(54,57 − 54)
0,85
√9
= 2,012
p-valor= 2 × 1 − 𝜙 2,012 = 0,0444
Como o p-valor = 0,0444 > 0,01
H0 não pode ser rejeitada com
nível de significância 0,01.
0,005 0,005
0,0222
-2,012 2,012
0,0222
p-valor
20. Nível de Significância: Erros de Decisão
Para entendermos o que é o nível de significância (α), precisamos saber que, ao
realizar um teste de hipótese, estamos sujeitos a dois tipos de erros.
• Erro Tipo I: Rejeitar H0, quando H0 é verdadeira (falso negativo).
• Erro Tipo II: Não rejeitar H0, quando H0 é falsa (falso positivo).
α = P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 | H0 verdadeira).
β = P(erro tipo II) = P(não rejeitar H0 | H0 falsa)
21. Nível de Significância: Erros de Decisão
Figura: Erros de decisão em testes de hipótese
Fonte: http://www.leg.ufpr.br/~paulojus/estbas/slides/602_componentes_de_testes_de_hipoteses.pdf
22. Testes para comparação de duas Médias
Em várias situações científicas e práticas há
interesse em comparar o desempenho de dois ou
mais procedimentos (tratamentos), como por
exemplo:
• Dois processos de temperatura na produção de
materiais;
• Dois processos de treinamento aplicados a
funcionários;
• Velocidade de processamento de dois sistemas
operacionais.
Objetivo: Verificar se há evidência de
diferenças entre os efeitos dos
procedimentos.
• Teste t para amostras pareadas (Antes x
Depois);
• Teste t para amostras Independentes.
Tipos de Testes
23. Testes para comparação de duas Médias
Ao testar uma hipótese para duas populações, devem ser
consideradas
• Amostras dependentes ou emparelhadas: quando
cada elemento de uma amostra corresponde ao
mesmo elemento da outra amostra (geralmente o
mesmo indivíduo analisado antes e depois de um
experimento).
Exemplo: Teste para a diferença de peso de uma
mesma pessoa antes e depois de uma dieta.
• Amostras independentes: quando os valores
amostrados de uma população não estão
relacionados ou emparelhados com os da outra
população.
Exemplo: Teste para pressão sanguínea do grupo
controle versus grupo medicado.
24. Testes para comparação de duas Médias
Teste T Pareado
Em diferentes áreas do conhecimento, na grande maioria das vezes, são comparadas
amostras de dois dados, em que as variáveis respostas são mensuradas em dois momentos
distintos, antes e depois. Quando os dados possuem essa característica, dizemos que estes
são pareados.
𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0
𝐻0: 𝜇𝐷 = 0
ou
D =𝑋1 – 𝑋2 é a diferença
entre a primeira e a segunda
observações dentro de um
par de observações.
Hipótese Nula Hipótese Alternativa
𝐻𝑎: 𝜇𝐷 ≠ 0
𝐻𝑎: 𝜇𝐷 > 0
𝐻𝑎: 𝜇𝐷 < 0
Bilateral
Unilateral à
Direita
Unilateral à
Esquerda
Estatística do Teste
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝑑 − 𝜇𝐷
𝑠𝐷
√𝑛
• 𝑑 é a média da amostra das diferenças;
• 𝜇𝐷 é o valor das diferenças entre médias das populações a
ser testado;
• 𝑠𝐷desvio-padrão da amostra das diferenças;
• 𝑛 é o tamanho da amostra das diferenças.
Os valores para 𝒕𝜶;𝒏−𝟏 ou 𝒕𝜶/𝟐;𝒏−𝟏 seguem as mesmas
regras dos testes para uma amostra, assim como critérios
de rejeição de 𝑯𝟎.
25. Testes para comparação de duas Médias
Teste T Pareado
Exemplo Seja o problema de verificar se um
novo algoritmo de busca em um banco de dados
é mais rápido que o algoritmo atualmente
usado. Para fazer a comparação dos dois
algoritmos, planeja-se realizar uma amostra
aleatória de dez buscas experimentais. Em cada
realização, uma dada busca é realizada pelos
dois algoritmos e o tempo de resposta é
registrado para ambos os processos.
Considerando dez realizações, existe diferença
entre as velocidades de busca para os dois
algoritmos, ao nível de 5%?
Solução: As hipóteses são:
1 . 𝐻0: 𝜇𝐷 = 0
𝐻𝑎: 𝜇𝐷 ≠ 0
A1 A2 Diferença
22 25 -3
21 28 -7
28 26 2
30 36 -6
33 32 1
33 39 -6
26 28 -2
24 33 -9
31 30 1
22 27 -5
2 . A média das diferenças é 𝑑= -3,4 e o
Desvio-padrão das diferenças 𝑠𝐷 = 3,81.
3 . A estatística do teste será:
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =
−3,4 − 0
3,81
√10
= −2,82
4 . Como 𝑡2,5%;9 = ±2,2621 e
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 < - 𝑡2,5%;9, rejeita-se 𝐻0 ao nível
de 5%.
26. Testes para comparação de duas Médias
Teste T para amostras Independentes
Quando em uma pesquisa o interesse é comparar o parâmetro de interesse para duas
populações independentes, deve-se usar o teste t para amostras independentes. Contudo,
deve-se considerar a homogeneidade (𝝈𝟏
𝟐
= 𝝈𝟐
𝟐
) ou heterogeneidade (𝝈𝟏
𝟐
≠ 𝝈𝟐
𝟐
) das
variâncias das populações. Aqui, assume-se 𝑠2 como estimativa de 𝜎2.
• Caso 1: (𝜎1
2
= 𝜎2
2
)
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝑥1 − 𝑥2
𝑠𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝑣 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2
𝑠𝑝 =
𝑛1 − 1 𝑠1
2
+ 𝑛2 − 1 𝑠2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
• Caso 2: (𝜎1
2
≠ 𝜎2
2
)
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝑥1 − 𝑥2
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
𝑣 =
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
2
𝑠1
2
𝑛1
2
𝑛1 − 1
+
𝑠2
2
𝑛2
2
𝑛2 − 1
Graus de liberdade
Estatística do Teste
Os valores para 𝒕𝜶;𝒏−𝟏 ou 𝒕𝜶/𝟐;𝒏−𝟏 seguem as mesmas
regras dos testes para uma amostra, assim como critérios
de rejeição de 𝑯𝟎.
Tamanho da amostra
27. Testes para comparação de duas Médias
Teste T para amostras Independentes
Exemplo Dois grupos de funcionários
foram submetidos a dois tipos de
treinamento. O primeiro grupo (A) de 5
pessoas alcançou um score de 80 pontos
com desvio-padrão de 5 pontos em uma
avaliação. Já o grupo B, formado por 6
pessoas obteve score de 83 pontos com
desvio-padrão de 4 pontos. Considerando
𝛼 = 5% , testar se as pontuações dos
funcionários são diferentes, sob a
suposição de que as variâncias admitidas
são iguais.
Solução: As hipóteses são:
𝐻0: 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 0
𝐻𝑎: 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 ≠ 0
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =
𝑥1 − 𝑥2
𝑠𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
=
80 − 83
4,47
1
5
+
1
6
= −1,12
𝑠𝑝 =
5 − 1 52 + 6 − 1 42
5 + 6 − 2
= 4,47
Para este caso v = 5+6-2 = 9, logo ±𝑡𝛼
2
;9=
± 2,2622.
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 = −1,12
Portanto como − 2,2622 < 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 < 2,2622
não rejeita-se 𝐻0 ao nível de 5% de
significância.
28. Testes para comparação de duas Médias
Teste T para amostras Independentes
Exemplo Suponha que 𝑚1 e 𝑚2 sejam
distâncias de parada médias reais em 50 mph
de certo tipo de carros equipados com dois
tipos diferentes de sistemas de frenagem.
Utilize o teste t para duas amostras no nível
de significância 0,01 para testar 𝐻0: 𝜇1 −
𝜇2 = 0 versus 𝐻𝑎 : 𝜇1 − 𝜇2 < 0para os
seguintes dados: 𝑛1= 𝑛2 = 6, 𝑥1 = 115,7, 𝑠1 =
5,03, 𝑥2 = 129,3 e 𝑠2 = 5,38. Suponha que as
variâncias são diferentes.
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =
115,7 − 129,3
5,032
6 +
5,382
6
= −2,61
Logo −𝑡1%;9= −2,8214.
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 = −2,61
Portanto como − 2,8214 < −𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 não rejeita-
se 𝐻0 ao nível de 1% de significância.
Solução: A estatística do teste será:
𝑣 =
5,032
6+5,382
6
2
5,032
6
5
2
+
5,382
6
2
5
=9,96
Os graus de liberdade são dados por: