Bioestatistica

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA

Bioestatística
Prof. Hélio Radke Bittencourt

1. CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA
1.1 Conjuntos de dados. População e Amostra
1.2 Tipos de variáveis
1.3 Escalas de mensuração
1.4 Estatística descritiva e inferencial

2. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
2.1 Tabelas de freqüência simples e cruzadas
2.2 Análise gráfica
2.3 Medidas de Tendência Central
2.4 Separatrizes
2.5 Medidas de Variabilidade

3. PROBABILIDADE
3.1 Principais conceitos
3.2 Variáveis aleatórias discretas
3.3 Variáveis aleatórias contínuas

4. AMOSTRAGEM
4.1 Conceitos básicos
4.2 Técnicas de amostragem probabilísticas
4.3 Técnicas de amostragem não-probabilística

5. DISTRIBUIÇOES AMOSTRAIS E ESTIMAÇÃO
5.1 Parâmetros e Estimadores
5.2 Distribuição amostral da média
5.3 Estimação por ponto e por intervalo de confiança

6. TESTES DE HIPÓTESES
6.1 Teste t de Student para uma média
6.2 Testes t de Student - duas amostras independentes
6.3 Testes t de Student - duas amostras pareadas
6.4 Teste Qui-quadrado

7. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
7.1 Coeficiente de correlação de Pearson
7.2 Regressão Linear Simples

Bioestatística – Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 2

Cap. 1. CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

1.1 Conjunto de dados. População e amostra

A Estatística pode ser definida como o conjunto de ferramentas para coleta,
organização, análise e interpretação de dados experimentais. O objeto de estudo em
Estatística é um conjunto de dados que pode constituir uma população ou uma
amostra.

População é um conjunto finito ou infinito de elementos.

Amostra é um subconjunto da população. Geralmente buscamos amostras
representativas. Uma amostra representativa é aquela que mantém as
características da população.

1.2 Tipos de Variáveis

Em estatística não trabalhamos diretamente com os elementos que formam o conjunto
de dados, mas sim com suas características. Variáveis são características dos
elementos que formam o conjunto de dados.

As variáveis podem ser classificadas em qualitativas ou quantitativas: as variáveis
qualitativas expressam uma classificação em categorias e, por isso, também são
chamadas de categóricas. As variáveis quantitativas expressam quantidades numéricas
e se dividem em discretas e contínuas. As variáveis discretas assumem apenas
determinados valores num dado conjunto enumerável, enquanto as variáveis contínuas
podem assumir, ao menos teoricamente, qualquer valor num dado intervalo numérico.

Exemplo – Listar variáveis qualitativas e quantitativas para um paciente

Na prática todas as variáveis são discretas, devido à limitação dos instrumentos de
mensuração.


1.3 Escalas de Mensuração

As variáveis ainda podem ser classificadas de acordo com o nível ou escala de
mensuração: Nominal, Ordinal ou Intervalar/Razão.

O nível nominal de mensuração é caracterizado por números que apenas
diferenciam ou rotulam as categorias.

Exemplos:

O nível ordinal de mensuração envolve números que, além de diferenciar,
hierarquizam as categorias. Também são chamadas de escalas Likert em homenagem
ao americano Rensis Likert que publicou o artigo "A Technique For The Measurement of
Attitudes" em 1932, onde sugeriu escalas de 5 pontos com uma categoria neutra ao
centro.

Exemplos:

O nível intervalar ou de razão apresenta números que expressam diretamente uma
quantidade seguindo uma métrica. Podemos tranqüilamente realizar operações
matemáticas com variáveis deste tipo.

Exemplos:

Figura – Resumo dos tipos de variáveis e escalas de mensuração


1.4 Estatística Descritiva e Inferencial

A estatística é um conjunto de ferramentas utilizadas para a coleta, tabulação, análise e
interpretação de um conjunto de dados experimentais. A Estatística pode ser dividida
em duas grandes áreas: Descritiva e Inferencial.

A estatística descritiva é aquela que costumamos encontrar com maior freqüência
em jornais, revistas, relatórios, etc. Essa parte da estatística utiliza números para
descrever fatos. Seu foco é a representação gráfica e o resumo e organização de um
conjunto de dados, com a finalidade de simplificar informações. Nessa categoria se
enquadram as médias salariais, taxas de inflação, índice de desemprego, etc.

A estatística inferencial consiste na obtenção de resultados que possam ser
projetados para toda população a partir de uma amostra da mesma. Ela fundamenta-se
na teoria da amostragem e no cálculo de Probabilidades. Essa é a área mais importante
da Estatística.

Figura - Esquema geral de um curso de Estatística

Descritiva

Estatística

Inferencial

Probabilidade Amostragem


Cap. 2 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

2.1 Tabelas de freqüência simples e cruzadas
Vamos introduzir o tema de tabelas de freqüência simples construindo tabelas para o
banco de dados contruído a partir de informações da turma

Exemplo 1 – Gênero
Tipo sangüíneo / Rh
No de habitantes em seu domicílio
Altura

Criar uma tabela de freqüências para cada uma das variáveis. Estes exemplos serão
construídos com dados coletados na sala de aula.

Tabelas de freqüência são encontradas em jornais informativos (Zero Hora, Correio do
Povo, etc.), relatórios técnicos, monografias, dissertações, teses e revistas científicas.
As tabelas de freqüência simples apresentam de forma concisa o número de
ocorrências (absoluta e relativa) dos valores de uma variável.

Uma tabela de freqüência genérica tem a seguinte configuração:

Tabela 1 – Tabela de freqüências genérica
i xi fi fri
1 x1 f1 fr1
2 x2 f2 fr2
M M M M
k xk fk frk
Σ n 100,0%

A notação utilizada é a seguinte:

X é uma variável qualquer
x é um particular valor da variável X
i é um índice útil para enunciar as expressões matemáticas
k é o número de linhas da tabela


Os componentes da tabela de freqüências são:

Freqüência absoluta (fi): número de ocorrências do valor xi.

Freqüência relativa (fri): percentual de ocorrências do valor xi

As Tabelas cruzadas apresentam a distribuição de freqüências de duas variáveis
simultaneamente. As tabelas cruzadas são abundantes em jornais e revistas
especializadas.

Exemplo 2 – Grupo sangüíneo e fator Rh.

Preencher a tabela abaixo com os dados da turma. Calcule os percentuais em relação
aos totais das linhas.

Tabela 2 – Distribuição da turma por grupo sangüíneo e fator Rh.
Fator Rh Rh+ Rh- Totais
Grupo
A

B

AB

O

Totais


2.2 Análise Gráfica

O tipo de gráfico adequado para cada variável depende do tipo de variável. Segue uma
relação de exemplos de variáveis e tipos de gráficos adequados.

Variável Qualitativa Nominal (com poucas categorias)

GRÁFICO DE SETORES (Pizza ou Torta)

Figura – Distribuição da turma por sexo

Base:
Fonte:

Variável Qualitativa Nominal (com muitas categorias):

GRÁFICO DE BARRAS

Figura – Principais causas de morte - EUA

Cigarro 37,7%

Obesidade 28,3%

Ãlcool 9,4%

Doenças infecciosas 8,5%

Armas de fogo 3,3%

Doenças venéreas 2,8%

Acidente de carro 2,4%

Drogas 1,9%

Outras 5,7%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Base: ???
Fonte: Ie Estatísticas, ano não declarado


Variável Qualitativa Ordinal:

GRÁFICO DE BARRAS

Figura – Avaliação do atendimento da equipe de enfermagem por parte dos pacientes

Ótimo 25%

Muito Bom 35%
Avaliação

Bom 20%

Regular 8%

Ruim 5%

Péssimo 2%

0% 10% 20% 30% 40%
%

Base: 100 pacientes.
Fonte: Dados fictícios.

Variável Quantitativa Discreta

GRÁFICO DE COLUNAS

Figura – Número de pessoas por domicílio

Base:
Fonte:


Variável Quantitativa Contínua

HISTOGRAMA

Figura – Distribuição de uma turma por altura

10

8

6

4
Freqüência

2

0
150,0 160,0 170,0 180,0 190,0 200,0

Altura (cm)

Base: 20 observações
Fonte: Alunos de uma turma de Estatística I. Gráfico construído no software SPSS.

Exercício – Construir um Histograma para os dados de estatura da nossa turma.


2.3 Medidas de Tendência Central

São valores que trazem informação sobre a região em torno da qual os dados estão
posicionados. As medidas de tendência central mais utilizadas são: Média, Mediana e
Moda.

2.3.1 – Média Aritmética (µ , X )

A média aritmética é definida como a soma de todas observações da variável X,
dividida pelo número de elementos do conjunto de dados. Freqüentemente a média
aritmética é o valor que melhor representa um conjunto de dados.

Quando os dados não estão organizados na forma de uma tabela de freqüências e,
portanto, estão na forma isolada, as expressões genéricas para encontrar a média
são:

População Amostra

N n

∑ xi ∑x i
µ= i =1
X = i =1

N n

Quando os dados estão organizados na forma de uma tabela de freqüências deve-se
ponderar os diferentes valores xi pelas respectivas freqüências fi. Procedendo desta
forma o cálculo da média aritmética torna-se mais simples e rápido.

População Amostra

k k

∑x i × fi ∑x i × fi
µ= i =1
X = i =1

N n

Exemplo 3 – Número de pessoas que mora em nosso domicílio

Calcular a média aritmética para o exemplo do número de pessoas que mora no
domicílio.


2.3.2 – Mediana (Md)

A mediana é o valor que divide o conjunto de dados ordenado em duas partes com
igual número de observações. Para calcular a mediana iremos utilizar uma nova
notação. Seja x[1] , x[ 2 ] , K, x[ n ] um conjunto de dados ordenado (ordem crescente),
onde o valor entre colchetes representa a posição no conjunto ordenado.

Deduzindo a posição mediana:

n ímpar n par
n Fila Md n Fila Md
3 4

5 6

7 8

As expressões genéricas para encontrar a média são:

n ímpar n par

Quando os dados estão organizados na forma de uma tabela de freqüências pode-se
encontrar a posição mediana na coluna acumulada Fi.


Encontrar a Md para o exemplo do número de pessoas que mora no domicílio.


2.3.3 – Moda (Mo)

A moda é definida como o valor mais freqüente de um conjunto de dados. É possível
que o conjunto seja bimodal (duas modas) ou até mesmo multimodal (três os mais
modas).

Mo = {xi } com maior f i


Encontrar a Mo para o exemplo do número de pessoas que mora no domicílio.

Considerações IMPORTANTES sobre as MTC

1. A média é a MTC mais influenciada por valores extremos, entretanto é a medida
mais “rica”, porque considera todos valores do conjunto de dados.

2. A mediana não é afetada por valores extremos.

3. A moda é a MTC mais “pobre”, porque considera apenas os valores mais freqüentes.

4. Existem outros tipos de média usadas em ocasiões especiais. A média harmônica é
muito utilizada em concursos públicos e a geométrica pode ser usada em situações de
alta variabilidade, visto que ela é mais estável. Discutiremos isto em aula.

Média harmônica Média geométrica

n
Xh = n
X G = n x1 × x 2 × K × x n
1
∑x
i =1 i

Pode-se estabelecer a seguinte relação entre as médias:

Xh ≤ XG ≤ X


2.4 Separatrizes

São valores que separam o conjunto de dados ordenado em partes com igual número
de observações.

A Mediana é, portanto, uma separatriz porque divide o conjunto de dados em duas
partes iguais.

Min |------------------------|------------------------| Máx
Md

Os Quartis (Qi) dividem o conjunto de dados em 4 partes iguais.

Min |------------------------|------------------------| Máx

Os Percentis (Pi) dividem o conjunto de dados em 4 partes iguais.

Min |------------------------|------------------------| Máx

Exemplo 6 – Boletim de Desempenho do Provão do MEC

Exemplo 7 – Distribuição de Renda no Rio Grande do Sul

A régua de percentis a seguir apresenta a distribuição de salários para a população
urbana em idade economicamente ativa no ano de 1999.

R$ 238,00 R$ 400,00 R$800,00 R$ 1500,00
|-------------|-------------|-------------|---------|---|
P25 P50 P75 P90


2.5 Medidas de Variabilidade

São medidas que complementam as MTC trazendo informação sobre a dispersão
existente no conjunto de dados. Para introduzi-las vamos recorrer a um exemplo onde
temos três diferentes equipes de vôlei, onde a variável X investigada é a estatura dos
atletas (em cm). Todas equipes têm seis atletas titulares.

Exemplo 8 – Entendendo as Medidas de Variabilidade

Tabela – Medições de pressão arterial sistólica (mmHg) em três pacientes
Paciente A Paciente B Paciente C
120 118 120
120 121 100
120 124 135
120 117 155
120 120 120
120 120 90
Média ( X )
Moda (Mo)
Mediana (Md)

Questões

1 – O que aconteceu com as MTC na tabela acima?

2 – Os três pacientes são iguais em relação a distribuição das PA Sistólica?

3 – O que diferencia um paciente do outro?

A partir de agora aprenderemos a calcular medidas capazes de quantificar a
variabilidade existente num conjunto de dados


1.4.1 – Amplitude (R, do termo Range)

É a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados.

R = máx{xi } − mín{xi }

Calcular R nos três pacientes do Exemplo 8.

1.4.2 – Variância (σ2 , s 2)

A variância é uma medida da variação em torno da média. Por definição,
variância é a média dos quadrados dos desvios em torno da média.

População Amostra

∑ (x − X)
N n

∑ (x − µ)
2 2
i i
σ2 = i =1
s2 = i =1

N n −1

A variância, ao contrário da Amplitude, considera todos elementos do conjunto de
dados no seu cálculo. Quanto maior for a variação dos valores do conjunto de dados,
maior será a variância.

Quando os dados estão organizados na forma de uma tabela de freqüências, deve-
se ponderar os quadrados dos desvios pela freqüência. Esse procedimento facilita o
cálculo.

População Amostra

∑ (x − X ) × fi
k k

∑ (x − µ ) × fi
2 2
i i
σ2 = i =1
s2 = i =1

N n −1

Calcular s2 nos três pacientes do Exemplo 8.


1.4.3 – Desvio-padrão (σ, s)

O desvio-padrão é a raiz quadrada positiva da variância. Essa medida corrige o
problema de unidade que surge na variância. O desvio-padrão também é uma
medida da variação em torno da média.

População Amostra
σ = σ2 s = s2

O desvio-padrão expressa a variação média do conjunto de dados em torno da média,
para mais ou para menos.

Calcular s nos três pacientes do Exemplo 8.

1.4.4 – Coeficiente de Variação (CV)

O CV é a razão entre o desvio-padrão e a média de um conjunto de dados. Ele expressa
a variação relativa (%) presente no conjunto de dados em relação à média.

População Amostra
σ s
CV = × 100% CV = × 100%
µ X

Quanto maior o CV, mais heterogêneos serão os dados.

Calcular o CV nos três pacientes do Exemplo 8.


Considerações sobre as Medidas de Variabilidade (MV)

1. A Amplitude á a MV mais “pobre”, porque considera apenas os dois valores
extremos do conjunto de dados.

2. A Variância não é interpretada na prática devido ao problema da unidade, que está
ao quadrado.

3. O Desvio-padrão é a MV mais conhecida, sendo amplamente utilizada.

4. Dentre as MV estudadas, sugere-se que o CV seja utilizado para comparação da
variabilidade entre diferentes conjuntos de dados. Por não ter unidade, o CV pode ser
utilizado até mesmo para comparar a variabilidade entre variáveis expressas em
diferentes unidades.

Curiosidade I – III Consenso Brasileiro de Pressão Arterial – Adultos

A pressão arterial para adultos pode ser categorizada de acordo com a seguinte tabela.
Portanto, a medida quantitativa contínua pode ser transformada em qualitativa ordinal.
ADULTOS (MAIORES DE 18 ANOS)
Pressão Arterial (mmHg)
Sistólica Diastólica Categoria

< 130 < 85 Normal
130-139 85-89 Normal Limítrofe
140-159 90-99 Hipertensão Leve (estágio 1)
160-179 100-109 Hipertensão Moderada (estágio 2)
> 180 > 110 Hipertensão Severa (estágio 3)
> ou= 210 > ou=120 Hipertensão Muito Severa (4)
> 140 < 90 Hipertensão Sistólica Isolada
Fonte: http://www.cdof.com.br/avalia4.htm


Exemplo 9 – APGAR

Logo que nascemos somos avaliados numa escala de 1-10 pontos no 1o e no 5o minuto
de vida. Os dados abaixo mostram os resultados obtidos em 10 recém-nascidos.

Apgar 1 Apgar 5
Bebê 1 8 9
Bebê 2 4 8
Bebê 3 8 9
Bebê 4 8 9
Bebê 5 3 8
Bebê 6 8 9
Bebê 7 8 9
Bebê 8 4 9
Bebê 9 9 9
Bebê 10 7 9

a) Encontrar as MTC para Apgar 1 e Apgar 5, separadamente.
b) Encontrar as MV para Apgar 1 e Apgar 5, separadamente.
c) Comente os resultados em termos de MTC e de Varabilidade.

CURIOSIDADE II - Como funciona o APGAR

O APGAR é o primeiro escore que recebemos em nossa vida, logo após o nascimento
(1o e 5o minuto de vida). Foi desenvolvido em 1952 por anestesiologista Virginia Apgar,
sendo utilizado até os dias de hoje.

Tabela - Cálculo do Apgar
Pontos 0 1 2
Freqüência cardíaca Ausente <100bpm >100bpm
Respiração Ausente Fraca, irregular Forte, choro
Tônus muscular Flácido Flexão de pernas e braços Movimento ativo, Boa flexão
Cor Cianótico, Pálido Cianose de extremidades Rosado
Irritabilidade Reflexa Ausente Algum movimento Espirros, Choro
Fonte: http://www.abcdasaude.com.br/artigo.php?254


Exemplo 10 – Número de Pré-Natais realizados

Os dados a seguir apresentam o número de exames pré-natais realizados numa
amostra de 21 mulheres cujos partos (normais) foram realizados num determinado
hospital.

7 5 6 6 9 4 6 5 8 6

6 5 5 8 10 9 5 5 7 7 7

a) Qual é a variável X deste exemplo.

b) Construir uma tabela de freqüências para a variável X.

c) Encontrar e interpretar as MTC.

d) Calcular as Medidas de Variabilidade.

Mais exercícios sobre o Capítulo 1 na LISTA DE EXERCÍCIOS.


Cap. 3 – Probabilidade

3.1 Principais conceitos

Probabilidade é o ramo da matemática que trata de fenômenos aleatórios. A
observação de um fenômeno aleatório por parte do homem é chamada de
experimento aleatório.

Características de um experimento aleatório:

1ª) Não se conhece um particular valor do experimento antes dele ser executado,
porém podemos descrever todos os possíveis resultados - as possibilidades;

2ª) Quando o experimento é repetido algumas vezes, os resultados ocorrem de uma
forma aparentemente acidental. Mas quando o número de repetições aumenta, uma
regularidade aparecerá. E esta regularidade que torna possível construir um modelo
matemático útil para análise do experimento.

Exemplos de fenômenos aleatórios:

1) Condições meteorológicas
2) Produção de arroz anual numa cidade
3) Resultado de uma cirurgia
4) Lançamento de uma moeda
5) Resultados de loterias

Exemplos de experimentos aleatórios:

E1: Jogue um dado e observe o n.º na face de cima.
E2: Jogue uma moeda 3 vezes e observe o número de caras obtido.
E3: Jogue uma moeda 3 vezes e observe a seqüência de caras e coroas obtida.
E4: Uma mulher está grávida de gêmeos. O sexo dos bebês será verificado.
E5: Numa propriedade com 100 árvores da espécie araucária angustifólia o número de
árvores que apresentam um determinado parasita é verificado.
E6: A temperatura de um paciente é verificada pela enfermeira.

Nos seis exemplos anteriores não somos capazes de precisar o resultado, entretanto
conseguimos listar os possíveis resultados.

Espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados
possíveis do experimento. É denotado por S ou Ω.


Exemplos de espaços amostrais relacionados aos experimentos anteriores.

S1 =

S2 =

S3 =

S4 =

S5 =

S6 =

Um evento é um subconjunto de S. Em particular, S e ∅ (conjunto vazio) são eventos;
S é dito o evento certo e ∅ o evento impossível.

Exemplo de eventos no lançamento de um dado

S = {1,2,3,4,5,6}

A: ocorre um n.º par A = {2,4,6}
B: ocorre a face 6 B = {6}
C: ocorre um n.º maior que 6 C=∅
D: ocorre nº 6 ou nº par D = {2,4,6}
E: ocorre nº par ou nº ímpar E = {1,2,3,4,5,6} = S

É possível realizar operações com eventos que nada são do que operações com
conjuntos já estudadas no Ensino Fundamental.

Operações com eventos

Sejam A e B dois eventos associados a um espaço amostral S.

1) União: A∪B → A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem

2) Interseção: A∩B → A ocorre e B ocorre

3) Complementar: Ac ou A → não ocorre A


Duas definições importantes:

1) Dois eventos A e B são excludentes ou mutuamente exclusivos se a ocorrência
de um impedir a ocorrência de outro. Em outras palavras, não podem ocorrer
simultaneamente.

2) Eventos ou resultados equiprováveis têm a mesma probabilidade de ocorrência.

Exemplo – Lançamento de um dado e uma moeda, ambos honestos

Escreva o espaço amostral. Os resultados são todos equiprováveis? Qual a
probabilidade de um particular par (x,y) ser selecionado. Assinale os seguintes eventos:

3.1.1 Conceitos de probabilidade

⇒ Conceito Axiomático

Seja A um evento de S. A probabilidade de ocorrência de A, denotada por P(A), deverá
satisfazer os seguintes axiomas (propriedades fundamentais):

Axioma 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1
Axioma 2: P(S) = 1

⇒ Conceito clássico

Esse conceito só é válido se todos resultados de S forem equiprováveis. Para casos
assim a probabilidade de ocorrência do evento A é obtida por:

n( A)
P ( A) = n(A) é o número de resultados favoráveis ao evento A
Total ( S )
Total (s) é o número total de resultados em S

Exemplos – Conceito clássico

1) Mega-sena, Lançamento de moedas e dados honestos.


⇒ Conceito freqüentista

Esse conceito só é válido se todos resultados de S forem equiprováveis. Para casos
assim a probabilidade de ocorrência do evento A é obtida por:

1º) O experimento é repetido n vezes.

2º) Observa-se a freqüência relativa de ocorrência de um certo resultado A:

n( A)
fr(A) = , onde n(A) é o nº de vezes em que ocorre o resultado A em n realizações
n
do experimento.

3º) Probabilidade como limite. A medida que n aumenta, a fr(A) converge para a real
probabilidade P(A).

Exemplos – Conceito freqüentista

1) Verificando se um dado é honesto.

2) Encontrando a probabilidade de ocorrência de um acidente aéreo.

3) Qual a probabilidade de uma criança nascer com Síndrome de Down ?

3.1.2 Probabilidade Condicional

A probabilidade de ocorrência de um evento pode ser influenciada pela ocorrência de
um evento paralelo. Considere que A e B são eventos de um mesmo espaço amostral S.
Chamaremos de P(A|B) a probabilidade de ocorrência do evento A dado que o evento
B já ocorreu.

Graficamente:

Olhando para o desenho podemos estabelecer as seguintes relações:

P(A|B) = P(B|A) =


Exemplo – Escolhendo alguém na sala de aula

Suponha que um aluno da turma será sorteado. Após saber o resultado o professor faz
algumas perguntas utilizando probabilidade condicional.

Exemplo – Técnica cirúrgica e Resultado

Resultado
Técnica Sucesso Fracasso Total
A 30 50 80
B 60 40 100
C 50 50 100
Total 140 140 280

Resolver as seguintes probabilidades:

3.1.3 Independência

Dois eventos A e B são considerados independentes se a ocorrência de um não
interfere na probabilidade de ocorrência do outro:

P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)

Isolando a intersecção na expressão de probabilidade condicional obtemos:

P(A∩B) = P(A) x P(B)

Esse conceito é fundamental para aplicações em Estatística.

Exemplo - Uma mulher decide ter dois filhos numa localidade onde a probabilidade de
ser menino é estimada em 51%.


Exemplo – Tendo “certeza” de uma gravidez

Uma jovem suspeita que está grávida e decide comprar três diferentes testes de
gravidez em farmácias. As marcas escolhidas foram A, B e C. As probabilidades dos
exames indicarem “falso-positivo” são de 3%, 5% e 6%, respectivamente, enquanto as
probabilidades de “falso-negativo” são de 1%, 2% e 4%, respectivamente.

a) Se a jovem realmente está grávida, qual a probabilidade dos três exames
confirmarem a gravidez?
b) Se a jovem não estiver grávida, qual a probabilidade dela levar um susto com
pelo menos um dos exame resultando positivo.

Exemplo – Prole de SEIS filhos

É fácil construir o espaço amostral e calcular as probabilidades de se ter ZERO, UM,
DOIS, TRÊS, QUATRO, CINCO ou SEIS filhas meninas numa prole de seis filhos?
Assume que a probabilidade de ser menino seja de 51%.

3.2 – Variáveis aleatórias discretas – Distribuição Binomial

O exercício acima pode ser resolvido pela Distribuição Binomial. Sempre que um
experimento que assume apenas dois possíveis resultados em cada repetição for
repetido n vezes e que a probabilidade de sucesso é constante em cada repetição
podemos modelar o número de sucessos pela distribuição Binomial.

X = número de sucessos, variando de 1 até n
p = probabilidade de sucesso em cada repetição
1-p = probabilidade de fracasso em cada repetição
n = número de repetições

Expressão genérica da Binomial

n!
P( X = x) = × p x × (1 − p) n − x
x!(n − x )!


O número esperado ou esperança de sucessos na distribuição Binomial é facilmente
encontrado. Intuitivamente, responda as perguntas a seguir:

1) Se lançarmos uma moeda honesta 100 vezes, qual o número esperado de caras?

2) Se lançarmos um dado 600 vezes, qual o número esperado de faces “5”.

3) No exemplo da prole de 6 filhos, qual o número esperado de meninos?

E( X ) = n × p

3.3 Variáveis aleatórias contínuas

3.3.1 Conceitos

As variáveis contínuas podem, ao menos teoricamente, assumir qualquer valor num
intervalo numérico. Sendo assim fica impossível representarmos variáveis contínuas da
mesma forma que as variáveis discretas.

Importante

As variáveis contínuas são representadas por curvas, chamadas de função
densidade de probabilidade, e a área sob essa função representa a probabilidade de
ocorrência. Nas variáveis contínuas não existe a probabilidade de ocorrência de um
valor exato, mas sim de intervalos.

A função densidade de probabilidade, denotada por fx(x), é a função que indica o
comportamento probabilístico da variável aleatória contínua X. A função densidade de
probabilidade deverá satisfazer as seguintes condições:

a) f(x) ≥ 0, para todo x ∈ R.

b) Área total sob a curva deve ser igual a 1.

A área sob a curva fx(x) nos informa a probabilidade de ocorrência de valores da
variável X.


Supondo que o gráfico acima represente a função de probabilidade de uma variável
aleatória X. Como sabermos a probabilidade de ocorrência de valores entre a e b ?

Exemplo – Tempo para realização de uma cirurgia (Distribuição Uniforme)

O tempo de realização de uma cirurgia é igualmente provável de ocorrer entre 60 e 120
minutos.

a) Esboce graficamente a função densidade de probabilidade para X = tempo de
cirurgia.

b) Calcular a probabilidade de levar mais de 90 minutos para terminar a cirurgia.


3.3.2 A Distribuição Normal ou Curva de Gauss

A distribuição Normal ou Gaussiana é, sem dúvida, o modelo probabilístico mais
conhecido. Várias técnicas estatísticas necessitam da suposição de que os dados se
distribuam normalmente para serem utilizadas. Na natureza uma grande quantidade de
variáveis apresentam tal distribuição.

Uma v.a.c. X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ se sua função densidade
de probabilidade é dada por:

( x−µ )2
1 −
f (x ) = e , x ∈ ℜ,
2σ 2

σ 2π
onde µ e σ são parâmetros,
- ∞ < µ < +∞ ; σ > 0

Notação

X ∼ N(µ,σ)

X tem distribuição Normal com média µ e desvio-padrão σ.

Os parâmetros da Normal são a média e o desvio-padrão, que permitem infinitas curvas
normais com diferentes formatos (mas sempre simétricas). O gráfico da fX é
apresentado a seguir:


A distribuição Normal, independentemente dos valores dos parâmetros, apresenta
sempre a seguinte relação:

Entendendo os parâmetros da Normal:

A média µ informa o centro da distribuição. É um parâmetro de locação.

O desvio-padrão σ informa o formato da curva.
f(x)

f(x)

f(x)

-10 -5 0 5 10 -10 0 10 -10 -5 0 5 10
Valores de X Valores de X Valores de X

Os cálculos integrais envolvendo a distribuição Normal são bastante complicados.
Felizmente, veremos a seguir uma relação que facilita muito nossa vida.


Exemplo – Aplicação prática

A altura de mulheres adultas no RS segue uma distribuição Normal com média de
165cm e desvio-padrão de 6cm.

a) Qual a probabilidade de uma mulher ter entre 159 e 171cm?

b) Qual a probabilidade de uma mulher ter entre 153 e 177cm?

c) Qual a probabilidade de uma mulher ter mais de 177cm?

d) Qual a probabilidade de uma mulher ter menos de 180cm?

Distribuição Normal-padrão ou Normal reduzida

Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com quaisquer parâmetros média
µ e desvio-padrão σ. Se realizarmos a seguinte transformação obteremos uma nova
variável Z com média 0 e desvio-padrão 1:

X −µ
X ∼ N(µ,σ) → Z= → Z (0,1)
σ

Qualquer variável com distribuição Normal pode ser padronizada para a
Normal. A distribuição Normal padronizada (Z) é tabelada.

O valor de Z indica quantos desvios acima ou abaixo nós estamos em relação à média.

Exemplo – Aprendendo a usar a tabela

1) Calcule:

a) P(Z < 1,24) =
b) P(Z < 1,67) =
c) P (Z > 2,12) =
d) P( -1,96 < Z < 1,96) =


Cap. 4. - Amostragem

4.1 Conceitos Básicos

Amostragem é o nome dado ao conjunto de procedimentos e técnicas para extração
de elementos da população para compor a amostra. O objetivo da amostragem é obter
amostras representativas das populações em estudo. Um Censo seria a investigação da
população completa.

Por que trabalhar por amostragem?

________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

A fração de amostragem é a razão entre o tamanho amostral e o tamanho
populacional. Não existem regras fixas para tamanho de amostra, ou seja cada caso
merece um cuidado especial. Frases como “20% da população é ideal”, quase sempre
não são verdadeiras.

As técnicas de amostragem se dividem em: probabilísticas e não-probabilísticas.
As técnicas probabilísticas são aquelas onde todos elementos da população têm uma
probabilidade não nula de seleção. Nas técnicas não-probabilísticas não podemos
garantir que todos elementos têm probabilidade de serem selecionados para a amostra.

4.2 Principais técnicas de amostragem probabilística

Geralmente as técnicas probabilísticas produzem melhores resultados do que as não
probabilísticas. A seleção dos elementos envolve obrigatoriamente a utilização de algum
dispositivo aleatório para seleção das unidades amostrais.

Exemplo de dispositivos aleatórios:


4.2.1 Amostragem Aleatória Simples (AAS)

Apesar de ser uma forma extremamente simples de seleção de elementos da
população, é considerada uma das melhores técnicas de amostragem.

Na AAS cada elemento da população tem igual probabilidade de seleção e o
pesquisador não introduz nenhum vício no processo.

Etapas:

1) Enumerar a população de 1 até N.
2) Sortear n números no intervalo de 1 até N. Caso haja números repetidos, sortear
novamente mais alguns valores.

Probabilidade de seleção de um elemento na AAS:

Número de amostras possíveis SEM reposição:

Número de amostras possíveis COM reposição:

Exemplo 23 – Amostra n=2 da população N=5

Verificar quantas amostras são possíveis COM e SEM reposição da população de
tamanho 5 verificando também as probabilidades de seleção de cada unidade.

A B C D E


4.2.2 Amostragem Estratificada

Na Amostragem estratificada a população é dividida em subpopulações ou estratos de
forma que N1 + N2 + ... + NK = N.

Um tamanho amostral n é repartido proporcionalmente entre os estratos, respeitando
as frações Ni / N. Depois de estabelecidos o valor de ni, procede-se uma seleção
aleatória dentro de cada estrato.

Exemplo 24 – Amostra estratificada na região sul

Dividir proporcionalmente uma amostra de 1300 pessoas em três estratos,
correspondentes aos três estados da região sul.

i Estado Pop. % Amostra
1 Rio Grande do Sul 9.637.682
2 Santa Catarina 4.875.244
3 Paraná 9.003.804
Total 23.516.730

4.2.3 Amostragem Sistemática

A amostragem sistemática inicia com o cálculo do intervalo de amostragem f=N/n.
Depois, selecionamos um número entre 1 e f e vamos indo sistematicamente de f em f
elementos, até o final.

A amostragem sistemática é útil quando temos cadastros impressos que estão
ordenados segundo algum critério que nada tem a ver com os interesses da pesquisa.

Exemplo 25 – Escolhendo 8 leitos de um total de 40

Planta de leitos de um andar
1 11 21 31
2 12 22 32
3 13 23 33
4 14 24 34
5 15 25 35
6 16 26 36
7 17 27 37
8 18 28 38
9 19 29 39
10 20 30 40


4.3 Principais técnicas de amostragem não-probabilística
A falta de cadastros, inacessibilidade à toda população, pressa ou ainda muitos outros
fatores, levam os pesquisadores a utilizar técnicas não-probabilísticas. Veremos
rapidamente algumas técnicas encontradas na literatura.

4.3.1 Amostragem por quotas

Um dos procedimentos mais comuns onde o pesquisador estabelece quotas de acordo
com a distribuição populacional, distribui os pesquisadores de forma geograficamente
estruturada e cumpre as quotas de forma intencional.

Exemplo 26 – Pesquisa eleitoral
Estabelecer as quotas de amostragem (n=800) a partir da distribuição populacional
abaixo.

Sexo
Classe Social Masculino Feminino Total
A-B
1.082.538 1.122.223 2.204.761
C
1.257.140 1.303.227 2.560.367
D-E
1.152.379 1.194.625 2.347.004
Total
3.492.057 3.620.075 7.112.132
Dados estabelecidos a partir dos dados TRE-2000 (No de eleitores)
Classificação da classe social segundo critérios da ABIPEME-1996

4.3.2 Amostragem por correspondência

4.3.3 Amostragem por tráfego

4.3.4 Amostragem intencional


Cap. 5. - Distribuições Amostrais e Estimação

5.1 – Parâmetros e Estimadores

O que é inferência estatística ?

Inferir consiste na retirada de informações para TODA população baseando-se numa
amostra da mesma. Chamamos de parâmetros as quantidades populacionais e de
estimadores as funções de dados amostrais que irão gerar as estimativas para os
parâmetros populacionais.

Tabela - Exemplos de parâmetros e seus respectivos estimadores
Parâmetros Estimadores

Média populacional Média amostral
µ X
Desvio-padrão populacional Desvio-padrão amostral
σ s
Proporção populacional Proporção amostral
p pˆ

Há dois tipos de estimação de parâmetros: a estimação por ponto e por intervalo.
Também existe uma outra forma de inferência estatística muito utilizada em situações
práticas: os testes de hipóteses.

5.2 Distribuição Amostral das Médias

A base da estatística inferencial é o TEOREMA DO LIMITE CENTRAL.

O teorema diz que se extrairmos TODAS as possíveis amostras de tamanho n de uma
população de tamanho N a distribuição das médias amostrais X tende a se distribuir
como uma curva Normal com média igual ao parâmetro µ e desvio-padrão σ n .

Exemplo – População de tamanho N = 5

Considere a seguinte população de cinco elementos e X = Idade (anos)

20 30 40 50 60 70
A B C D E F

a) Quais são os parâmetros populacionais?
b) Quantas amostras diferentes de tamanho n=2 podemos extrair da população?


Exemplo – Selecionando uma amostra na sala de aula

Suponha que seja necessário selecionar uma amostra de n=5 alunos da turma para
representar a nossa turma numa reunião na reitoria. Qual o número de amostras
possíveis de serem selecionadas?

Exemplo – População com média 0,5

Considere uma população infinitamente grande com média µ = 0,5 . Vamos avaliar as
distribuições amostrais da média amostral X com n = 30 e 300.

2,0 3,5
3,0
1,5 2,5
2,0
1,0
1,5

0,5 1,0
0,5
- -
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Médias amostrais Médias amostrais

n = 30 n = 300

Percebemos claramente que com o aumento do tamanho amostral a distribuição de X
fica cada vez mais concentrada em torno do parâmetro µ. Isso quer dizer que, quanto
maior amostra maior a possibilidade de acerto.

RESULTADO

σ
X tem distribuição Normal com Média = µ e Desvio-padrão =
n


5.3 – Estimação por ponto e por intervalos de confiança

5.3.1 – Estimação por ponto

Visa estimar o valor do parâmetro através de estimativas pontuais (únicas). A vantagem
é ser de fácil interpretação e rápida, mas a probabilidade de acerto “na mosca” é
praticamente nula, pois os estimadores podem ser encarados como variáveis aleatórias
contínuas.

Exemplo – World Trade Center

Um mês após o ataque ao WTC de NY perguntamos a 1000 americanos, escolhidos de
maneira aleatória, se estão com medo de viajar em vôos domésticos em território
americano.

Se 852 pessoas da amostra afirmam estar com medo, podemos estimar que 85,2% dos
americanos estão com medo de viajar de avião após os ataques terroristas de
11/Set/2001.

5.3.2 – ESTIMAÇÃO POR INTERVALO DE CONFIANÇA

Consiste em cercar o valor da estimativa pontual por uma região cuja probabilidade de
conter o verdadeiro parâmetro seja conhecida.

NOTAÇÕES que serão utilizadas a partir de agora

α (alfa) = nível de significância 1 - α = nível de confiança

α
t α = valor da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade e área à
n −1;
2
2
direita.

α
z α = valor da distribuição normal padrão com área à direita.
2
2


1o ) Intervalo de Confiança para µ (teórico)

Conhecendo o teorema do limite central podemos construir intervalos de confiança para
a média populacional. Para isso basta cercarmos a estimativa pontual X por um
intervalo cuja probabilidade de conter o parâmetro seja conhecida.

 σ N −n
I.C. para µ com 1-α de confiança =  X ± z α × × 

 2 n N −1 


Na fórmula de IC acima percebemos a presença de um parâmetro (σ). Se estamos
procurando um intervalo de confiança para µ é porque NÃO conhecemos µ. É
praticamente impossível conhecermos σ e não conhecermos µ. Por isso esse resultado
acaba sendo INÚTIL na prática.

2o ) Intervalo de Confiança para µ (prático)

Ao substituirmos o parâmetro σ por seu estimador s , a distribuição amostral de X
deixa de ter uma distribuição Normal e passa a ter uma distribuição t de Student. Desta
forma os Intervalos de confiança podem ser utilizados em situações práticas.

 s N −n
I.C. para µ com 1-α de confiança =  X ± t α × × 


n −1,
2 n N −1 


N −n
Obs: O fator de correção é omitido em caso de populações infinitas. O EXCEL
N −1
simplesmente ignora esse fator de correção.

Exemplo:

Numa amostra de 121 paciente hígidos, a taxa média de glicemia foi de 135mg/dl com
um desvio-padrão de 13,69mg/dl.

Construir um IC 95% para a verdadeira taxa de glicemia desta população. Ignore o
fator de correção.

 s 
I.C. 95% para µ =  X ± t α × 
 n −1,
2 n


O EXCEL constrói Intervalos de Confiança sem o fator de correção com o comando
Estatísticas Descritivas que fica dentro da opção “Análise de Dados” no Menu
“Ferramentas”. Para incluir essa opção deve-se ir até “Ferramentas” → “Suplementos” e
assinalar a opção “Ferramentas de Análise”.

ATENÇÃO: é necessário ter o banco de dados digitado em EXCEL para fazer
isso.

Figura – Tela do Excel: Ferramentas > Análise de dados > Estatística Descritiva

Tabela - Saída do EXCEL:
Glicemia
Média 135,00
Erro padrão 1,24
Mediana 135,00
Modo 146,00
Desvio padrão 13,69
Variância da amostra 187,32
Intervalo 70,00
Mínimo 110,00
Máximo 180,00
Soma 16335,00
Contagem 121
Nível de confiança(95,0%) 2,46


3o) Intervalo de Confiança para uma proporção populacional p

A estimativa pontual para uma proporção é dada diretamente pela proporção amostral.
É muito útil construirmos um intervalo em torno da estimativa pontual que possua uma
probabilidade conhecida de conter a verdadeira proporção populacional.

) p × (1 − p )
ˆ ˆ N −n
I.C. para p com 1-α de confiança =  p ± z α × × 

 2
n N −1 


onde z 0,05 =1,645 (90%)
z 0,025 = 1,96 (95%)
z 0,005 = 2,576 (99%)

N −n
Obs: O fator de correção é omitido em caso de populações infinitas.
N −1

O EXCEL NÃO faz intervalos de confiança para proporções.

Exemplo – Proporção de canhotos da PUCRS

Numa amostra de n=_______ alunos de uma população de N=30.000 de toda PUCRS,
verificamos que _______ são canhotos.

a) Qual a estimativa pontual de canhotos?

b) Construa intervalos de confiança 95% e 99% para a proporção de canhotos. Agora
use o fator de correção.


Cap. 6 Testes de Hipóteses
Os testes de hipótese constituem outra forma de inferência estatística. Hipóteses são
afirmações sobre parâmetros populacionais. Agora iremos testar se essas
hipóteses podem ser consideradas verdadeiras ou não. Os testes de hipótese são
muito objetivos, pois o resultado final é a ACEITAÇÃO ou REJEIÇÃO da hipótese
formulada.

Etapas de um teste de hipóteses:
1.Formular as hipóteses
2.Definir qual o nível de significância será utilizado (alfa)
3.Verificar qual o teste adequado e calcular a estatística de teste
4.Decidir pela aceitação ou rejeição da hipótese de nulidade com base no p-value.
5.Conclusão experimental

A hipótese nula (Ho) é a hipótese sob a qual a teste é realizado. Essa hipótese será
ACEITA ou REJEITADA. Se os dados amostrais estiverem de acordo com a hipótese
nula formulada, a estatística de teste nos levará a uma aceitação. Por outro lado, se os
dados amostrais não estiverem em sintonia com a hipótese formulada, o teste nos
levará a uma rejeição da hipótese nula.

A hipótese alternativa (H1 ou Ha) é uma hipótese complementar a Ho. Por isso se
rejeitamos Ho, conseqüentemente aceitamos H1.

O nível de significância do teste (α) é definido pelo pesquisador. Ele significa a
probabilidade de cometermos erro tipo I, ou seja, rejeitarmos Ho sendo a mesma
verdadeira.

A decisão estatística é a REJEIÇÃO ou ACEITAÇÃO de Ho. Essa decisão está sujeita
aos seguintes erros:

Tabela – Tipos de Erros
Realidade
Decisão Ho Verdadeira Ho Falsa
Aceito Ho OK Erro tipo II
β
Rejeito Ho Erro tipo I OK
α

O erro do tipo I ou nível de significância (α) é controlado pelo pesquisador. O erro do
tipo II (β) é geralmente esquecido. Por esse motivo vamos sempre preferir uma
REJEIÇÃO do que uma ACEITAÇÃO. No caso de uma REJEIÇÃO ou tomamos a decisão
correta ou cometemos o erro com probabilidade α. Os valores de α mais utilizados são
5%, 1% e eventualmente 10%.


A conclusão experimental consiste em explicar com palavras simples o resultado de
um teste de hipóteses.

Os testes que iremos estudar são os mais famosos e encontrados em praticamente
todos os livros de Estatística.

• Teste t de Student para uma média
• Teste t de Student para comparação de duas médias (amostras independentes)
• Teste t de Student para comparação de duas médias (amostras emparelhadas)
• Teste Qui-Quadrado (para variáveis organizadas na forma de uma tabela cruzada)

6.1 - Teste t de Student para uma média

É uma técnica que permite testarmos a hipótese de que a média populacional pode ser
considerada igual a um valor de referência, digamos µo.

Apresentação das hipóteses:
Ho : µ = µ o Ho : µ = µ o Ho : µ = µ o
  
Ha : µ ≠ µ o Ha : µ > µ o Ha : µ < µ o

↑↑
Iremos estudar apenas os testes bilaterais, ou seja, onde as hipóteses não são
direcionadas para um único sentido. As regiões de rejeição ficam nos dois lados da
curva.

A estatística de teste é dada por:

x - µo
t=
s/ n

Apesar de ser um procedimento simples, o EXCEL não realiza esse tipo de teste. Já, o
programa estatístico SPSS, por exemplo, faz.

As regiões de rejeição e aceitação do teste t são estabelecidas pelos valores de t,
conforme mostra o desenho a seguir de uma curva t com n-1 graus de liberade.


Os valores de t são encontrados na tabela t entregue em sala de aula. Comparando o
valor da estatística de teste t calculado com os valores de t obtidos na tabela chegamos
a decisão estatística e podemos enunciar a conclusão experimental.

Apesar do EXCEL não fazer isso podemos utiliza-lo para calcular a média amostral e o
desvio-padrão.

Exercício:

O INMETRO está investigando se a quantidade de Paracetamol num dado comprimido
está de acordo com o valor nominal estampado no rótulo do medicamento (750mg).
Numa amostra de 20 comprimidos a média encontrada foi de 738mg com um desvio-
padrão de 11,85mg.

Teste a hipótese de que a quantidade média de paracetamol é igual ao valor nominal
informado pelo fabricante.


Plus! Sobre o p-value
O p-value, valor de p ou significância da estatística é o valor informado na saída
dos softwares estatísticos. Esse número é, portanto, uma probabilidade que deve ser
comparada ao nível de significância adotado.

Se p-value > nível de significância adotado, então ACEITAMOS Ho.
Se p-value < nível de significância adotado, então REJEITAMOS Ho.

Exemplo – Saída do SPSS para o exercício do Paracetamol

One-Sample Statistics

Std. Std. Error
N Mean Deviation Mean
Paracetamol (mg) 20 738,0000 11,8544 2,6507

One-Sample Test

Test Value = 750
95% Confidence
Interval of the
Sig. Mean Difference
t df (2-tailed) Difference Lower Upper
Paracetamol (mg) -4,527 19 ,000 -12,0000 -17,5480 -6,4520

Exemplo – Regulando a máquina e re-inspecionando

Suponha que o fabricante tenha regulado a máquina e que a média agora seja de
749mg com o mesmo desvio.

One-Sample Statistics

Std. Std. Error
N Mean Deviation Mean
PARECT 20 749,0000 11,8544 2,6507

One-Sample Test

Test Value = 750
95% Confidence
Interval of the
Sig. Mean Difference
t df (2-tailed) Difference Lower Upper
PARECT -,377 19 ,710 -1,0000 -6,5480 4,5480


6.2 Teste t de Student - duas amostras independentes

É uma técnica estatística que permite testarmos a hipótese de que duas médias
populacionais são idênticas. É extremamente utilizada para comparação de dois grupos
independentes.

Apresentação das hipóteses (caso bilateral):

Ho : µ1 = µ 2

Ha : µ1 ≠ µ 2

A estatística de teste tem uma forma um tanto “amigável”:

t=
(x1 - x2 )
s1 × (n1 - 1) + s2 × (n2 − 1)  1
2 2
1 
× + 
n n 
(n1 + n2 − 2 )  1 2

que deve ser comparado com uma distribuição t de Student com (n1+n2-2) graus de
liberdade

As regiões de rejeição e aceitação seguem a mesma lógica do teste anterior.

No EXCEL: Ferramentas → Análise de Dados → Teste t: duas amostras presumindo
variâncias equivalentes

ATENÇÃO: Esse teste só pode ser utilizado se a variância (ou desvios-padrão) das
duas populações em questão não forem muito diferentes.

Exercício:

Pesquisadores comportamentais criaram um índice para mensurar o grau de ansiedade
de vestibulandos. Esse índice vai de 0 (ansiedade mínima) até 100 (ansiedade máxima).
Dois grupos de vestibulandos foram investigados. O grupo 1 é formado por
vestibulandos de universidades públicas e o grupo 2 é formado por vestibulandos de
universidades privadas.

Resultados do levantamento realizado pelos pesquisadores:

Grupo 1 65 58 78 60 68 69 66 70 53 71 63 63 Média = 65,33 Desvio = 6,61
Grupo 2 62 63 36 34 56 50 42 57 46 68 48 42 52 43 43 Média = 49,47 Desvio = 10,07


Exemplo – Tela e saída do EXCEL para o exemplo da Ansiedade

Teste-t: duas amostras presumindo variâncias equivalentes
Grupo 1 Grupo 2
Média 65,333 49,467
Variância 43,697 101,410
Observações 12,000 15,000
Variância agrupada 76,016
Hipótese da diferença de média 0,000
gl 25,000
Stat t 4,699
P(T<=t) uni-caudal 0,000
t crítico uni-caudal 1,708
P(T<=t) bi-caudal (p-value) 0,000
t crítico bi-caudal 2,060


6.3 Teste t de Student - duas amostras pareadas

Utilizado para testarmos a hipótese de que a média populacional ANTES e DEPOIS de
algum determinado “tratamento” ou “situação” sofreu alteração significativa.

Ho : µ Antes = µ Depois


Ha : µ Antes ≠ µ Depois

Hipóteses:

A estatística de teste baseia-se nas diferenças DEPOIS – ANTES para cada elemento da
amostra.

Estatística de teste:
d
t=
sd / n

onde d é a média das diferenças e sd é o desvio-padrão das diferenças.

As regiões de rejeição e aceitação do teste t são estabelecidas pelos valores de t.

No EXCEL: Ferramentas → Análise de Dados → Teste t: duas amostras em par

Exercício:

Deseja-se investigar o efeito do álcool sobre o reflexo na direção. Uma amostra de 10
motorista foi convidada a utilizar um simulador de direção antes e depois de ingerir
bebida e o tempo até uma reação (pisar no freio) foi verificado.

Motorista Antes Depois
1 10 20
2 80 70
3 45 50
4 60 80
5 45 90
6 100 120
7 45 55
8 80 90
9 25 50
10 50 60


Exemplo – Tela e saída do Microsoft EXCEL

Teste-t: duas amostras em par para médias

Antes Depois
Média 54,000 68,500
Variância 726,667 778,056
Observações 10,000 10,000
Correlação de Pearson 0,862
Hipótese da diferença de média 0,000
gl 9,000
Stat t -3,179
P(T<=t) uni-caudal 0,006
t crítico uni-caudal 1,833
P(T<=t) bi-caudal 0,011
t crítico bi-caudal 2,262


6.4 TESTE DO QUI-QUADRADO (χ2)

O teste do qui-quadrado é uma importante prova para verificar associação entre duas
variáveis qualitativas (categóricas). A técnica verifica se há ou não associação entre as
variáveis linha e coluna de uma tabela cruzada.

Hipóteses do teste:

Ho: As variáveis linha e coluna da tabela são INDEPENDENTES.

Ha: Existe uma relação de dependência entre as variáveis linha e coluna da tabela

Para exemplificar o cálculo das estatística de teste nada melhor do que um exemplo. A
estatística de teste Qui-quadrado baseia-se na diferença entre os valores observados e
esperados em cada célula da tabela cruzada. Os valores esperados são calculados sob a
hipótese de independência.

Estatística de teste: χ ( l −1)( c −1) = ∑
2 (Obs. − Esp.)2
que deve ser comparado com o valor
Esp.
tabelado da qui-quadrado com (l-1)(c-1) graus de liberade.

Exemplo

Investigar se o fato de fumar ou não está relacionado com a presença do fator fumo.

Tabela – Presença de câncer versus fator fumo
Câncer Sim Não Total
Fumo
Sim 50 100 150

Não 20 130 150

Total 70 230 300

O EXCEL não faz o teste qui-quadrado. O SPSS e o MINITAB fazem.


Exemplo – Tabela e saída do SPSS

Fuma? * Cancer Crosstabulation

Cancer
Sim Não Total
Fuma? Sim Count 50 100 150
% within Fuma? 33,3% 66,7% 100,0%
Não Count 20 130 150
% within Fuma? 13,3% 86,7% 100,0%
Total Count 70 230 300
% within Fuma? 23,3% 76,7% 100,0%

Chi-Square Tests

Asymp.
Sig. Exact Sig. Exact Sig.
Value df (2-sided) (2-sided) (1-sided)
Pearson Chi-Square 16,770b 1 ,000
Continuity Correctiona 15,671 1 ,000
Likelihood Ratio 17,207 1 ,000
Fisher's Exact Test ,000 ,000
Linear-by-Linear
16,714 1 ,000
Association
N of Valid Cases 300
a. Computed only for a 2x2 table
b. 0 cells (,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 35,00.


Cap. 7. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

7.1 O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON

O coeficiente de correlação de Peason ( R ) é uma medida que varia no intervalo de –1
até +1 que visa quantificar o grau de relacionamento linear entre variáveis
quantitativas.

Valores próximos de +1 indicam forte correlação direta entre as variáveis enquanto que
valores próximos de –1 indicam forte correlação inversa. Valores em torno de zero
indicam ausência de correlação. Não vamos nos deter no cálculo do coeficiente de
correlação de Pearson, mas sim no seu funcionamento.

Vejamos na forma de gráficos de dispersão os possíveis tipos de correlação entre as
variáveis:

Vamos verificar a correlação existente entre as variáveis no arquivo exemplo a seguir:

Número de Horas de
Indivíduo erros (X) Sono (Y)
1 8 12
2 7 13
3 9 9
4 12 6
5 14 5
Média 10,00 9,00
Desvio 2,92 3,54

No EXCEL podemos utilizar o comando CORREL.


Exemplo – Correlação usando o EXCEL

Exemplo – Outra forma de fazer correlação usando o EXCEL
Análise de dados > Correlação


7.2 – Regressão Linear Simples

A técnica de Regressão Linear Simples estabelece uma relação de dependência entre
uma variável dependente Y e uma única variável independente X, supondo que o
relacionamento seja da forma linear:

Y = bo + b1X (clássica equação da reta)

Os termos bo e b1 são os parâmetros do modelo. Eles são estimados de forma a
maximizar a habilidade preditiva do modelo, conforme será mostrado no exemplo a
seguir.

Exemplo – Peso X Altura de indivíduos adultos


Lista de Exercícios

Cap. 2 – Estatística Descritiva

1. Os dados a seguir referem-se ao número de cirurgias realizadas diariamente durante
a última quinzena do mês de julho em um determinado centro cirúrgico.

2 1 2 3 2 2 0 2 1 2 0 1 2 1 0

a) Organize os dados na forma de uma tabelas de freqüências.
b) Encontre as MTC's e interprete-as.
c) Encontre as Medidas de Variabilidade e interprete-as.

2. Os dados a seguir indicam a taxa média de calorias diárias ingeridas pela população
de países da América Central.
País Calorias País Calorias
Costa Rica 2760 Haiti 1965
Domincan Republic 2310 Honduras 2200
El Salvador 2270 Nicaragua 2215
Guatemala 2190 Panama 2490
Fonte: OMS, 1995. (dados arredondados)

a) Encontrar as MTC´s e as Medidas de Variabilidade.
b) Suponha que, subitamente, todos os países passem a consumir 100 calorias a mais
na sua dieta diária. Quais seriam os novos valores das MTC's e das MV?
c) Suponha que, subitamente, todos os países aumentem a sua dieta calórica em 10%.
Quais seriam os novos valores das MTC's e das MV?

3. O índice de massa corporal (IMC) é o resultado da divisão entre o peso (em kg) e o
quadrado da altura (em m). A OMS classifica o IMC da seguinte forma: magro, normal,
sobrepeso e obesidade. O gráfico a seguir apresenta a distribuição do peso de 200
bailarinas gaúchas. Os dados são inspirados em um TCC do curso de Psicologia.
60

56
50

40

38
Freqüência Relativa (fri)

30

20

10

6
0
M agro Normal Sobrepeso

Categorias do IMC

a) Construa uma tabela de freqüências completa a partir do gráfico.


4. A tabela a seguir informa as estatísticas descritivas para a estatura (em cm) de
adolescentes na faixa dos 10-11 anos, separadamente para o sexo masculino e
feminino. Os dados fazem parte de um banco de dados real.

Masculino Feminino
(n=97) (n=79)
Mean (Média) 155,17 146,41
Median (Mediana) 160,30 151,00
Range (Amplitude) 72,30 55,70
Variance 282,55 205,71
Std. Deviation (Desvio-padrão) 16,81 14,34
Minimum 112,30 111,80
Maximum 184,60 167,50

a) Comente os resultados. Qual sexo apresenta maior variação na altura?

b) Interprete os percentis apresentados na tabela abaixo.

Sexo P25 P50 P75 P90
Masculino 143.9 160.3 167.3 173.6
Feminino 136.0 151.0 155.5 162.1

5. Uma amostra de 20 borboletas de uma determinada espécie revelou os seguintes
comprimentos de asas (em cm)

3,0 3,0 3,1 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,5 3,6 3,6 3,6
3,6 3,6 3,7 3,7 3,8 3,8 3,9 4,0

a) Organize os dados numa tabela de freqüências.
b) Encontre as MTC´s e interprete-as.
c) Encontre as Medidas de Variabilidade e interprete.
d) Qual gráfico seria apropriado para esse tipo de variável?

6. Considere uma amostra de 9 árvores e que os números a seguir representem a
altura das árvores (cm) após um ano de plantio.

152 142 190 154 165 175 157 157 148

a) Encontre as MTC´s.
b) Encontre as Medidas de Variabilidade
c) Aumente o tamanho de todas as árvores em 10cm. Quais seriam os novos valores
das MTC´s e das MV´s?
d) Aumente o tamanho de todas as árvores em 10%. Quais seriam os novos valores
das MTC´s e das MV´s?


Cap. 3 - Probabilidade

7. (Probabilidade) Numa determinada população existem 200 pessoas, sendo 120 do
sexo feminino e o restante do sexo masculino. Sabe-se que existe nessa população 40
fumantes, dos quais 25 são homens. Se eu escolher uma pessoa dessa população ao
acaso, encontre:
a) A probabilidade de ser não-fumante.
b) Se a pessoa que eu sortear for do sexo feminino, qual a probabilidade dela ser
fumante?

8. (Probabilidade) A probabilidade de um exame resultar num falso-negativo em casos
de AIDS é de 10%. Se uma pessoa com AIDS faz exame em três diferentes
laboratórios, qual a probabilidade de que os três exames resultem negativos?

9. Uma caixa (caixa A) contém três ratos brancos e 1 preto. Outra caixa (caixa B)
contém 4 ratos pretos e 1 branco. Você retira aleatoriamente um rato de cada caixa:
a) Escreva o espaço amostral S.
b) Calcule as probabilidades de cada resultado possível.

10. (Binomial) A probabilidade de nascer um cão labrador cor chocolate no cruzamento
de um labrador amarelo com um preto é de 1 em 8. Admita que uma fêmea amarela
ficou prenha de um labrador preto e teve 8 filhotes:
a) Defina o que será considerado um sucesso para calcular via binomial.
b) Defina a variável X e os parâmetros "n" e "p".
c) Qual a probabilidade que não nasça labrador chocolate?
d) Qual a probabilidade de nascer no máximo dois labradores chocolate?
e) Qual o número esperado de labradores chocolate. Utilize o seguinte resultado para
facilitar os cálculos: na binomial E(X) = n . p

11. (Normal) A altura de meninos americanos adolescentes segue uma distribuição
normal com média de 1,70m e desvio-padrão de 12,2m. Você sabe tem um amigo
americano, com o qual se comunica pela Internet, e que é adolescente. Qual a
probabilidade desse rapaz ter mais de 1,80m?

12. (Normal) A expectativa de vida na Índia é de 58 anos e em Bangladesh é de 53
anos, segundo dados da ONU (1995). Admita que a expectativa de vida siga uma
distribuição aproximadamente normal e que o desvio-padrão na Índia seja de 12 anos e
em Bangladesh seja de 7 anos.
a) Em qual país é mais provável de encontrarmos um habitante com mais de 65 anos?

13. O que é mais provável: acertar na Mega-Sena jogando um único cartão ou acertar
todas as questões da prova de Biologia do vestibular da UFRGS (30 questões, 5
alternativas cada) chutando todas as respostas aleatoriamente e não permitindo que a
resposta dada a uma questão influencie na outra...


Cap 5 – Estimação por Ponto e por Intervalo

14. Suponha que temos uma população composta de 10 animais, cujos valores de
anticorpos de cada animal são os seguintes:

Animal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Anticorpos 1700 1500 1800 1600 1600 1800 1700 1900 1900 1500

a) Quais são os parâmetros média e desvio-padrão dessa população?
b) Você só tem tempo de analisar 4 animais para estimar a média de anticorpos
nessa população. Quantas possíveis amostras de 4 animais você pode obter a
partir dessa população (amostragem sem reposição)?
c) Como ficaria a distribuição das médias amostrais?

15. O FBI quer investigar a verdadeira proporção de casos de ANTRAZ dentre os 450
funcionários que trabalham no prédio dos Correios de Washington. Como o
procedimento de análise é caro e demorado, eles decidem trabalhar por amostragem.

a) Quantas amostras de 30 funcionários poderiam ser obtidas nessa população
(sem reposição)?
b) Qual o comportamento probabilístico esperado das proporções amostrais p ?
ˆ

16. Você está estudando a concentração de coliformes fecais em determinada lagoa.
Para isso define 10 pontos de amostragem com objetivo de estimar a concentração
média da lagoa. Os valores encontrados em (ppm) foram os seguintes:

12 15 32 14 25 28 25 12 14 16

a) Estime por ponto a concentração média de coliformes fecais nessa lagoa.
b) Estime por intervalo de confiança de 95% a concentração média (...)
c) Interprete o intervalo

17. Dizem que a proporção de homens fumantes é semelhante a proporção de
mulheres fumantes. Numa amostra de 240 mulheres, 35 se declararam fumantes,
enquanto que dentre os 300 homens investigados, 54 eram fumantes.
a) Calcule um IC de 95% para a proporção de homens fumantes.
b) Calcule um IC de 95% para a proporção de mulheres fumantes.
c) Interprete os resultados. Há chance das duas proporções de fumantes serem iguais?

18. No exercício 14 retire uma amostra de tamanho 4 e construa um I.C. 95% para o
verdadeiro valor médio de anticorpos da população.


19. Suponha que no exercício 15, uma amostra de n=30 funcionários levou a estimativa
de 26,67% de casos positivos.
a) Construa um I.C. 95% para a proporção de casos positivos.
b) Qual o tamanho amostral necessário para estimarmos essa proporção com 5% e
3% de margem de erro, mantendo o nível de confiança em 95%.

20. A Dra. Lizanka Marinheiro da FIOCRUZ-RJ estudou o comportamento da variável
“Receptor de Estrogênio” em pacientes do sexo feminino sujeitas a dois diferentes tipos
de tratamentos:
1o) A base de Estrogênio e Progesterona;
2o) A base de Estrogênio.

As estatísticas descritivas para essa variável, após os dois tratamentos, encontram-se a
seguir.
Desvio-
Tratamento n Média padrão
Estrogênio e
Progesterona 19 12,37 32,85
Estrogênio 31 15,77 15,25

a) Construa I.C. 95% para as médias do Receptor de Estrogênio nos dois grupos.
b) Qual seria o tamanho amostral necessário para estimar a média de receptor de
Estrogênio com margem de erro de apenas 5 unidades?
c) Faça um gráfico que esboce a relação margem de erro versus tamanho amostral.

Cap. 6 – Testes de Hipóteses

21. Teste a hipótese de que no exercício 5 nós temos uma concentração média de
coliformes fecais de 20 ppm na lagoa. Utilize um nível de significância bilateral de 5%.

22. A tabela a seguir informa as estatísticas descritivas para a estatura (em cm) de
adolescentes na faixa dos 15 a 16 anos, separadamente para o sexo masculino e
feminino. Os dados fazem parte de um banco de dados real.

Masculin Feminino
o (n=79)
(n=97)
Mean (Média) 155,17 146,41
Std. Deviation (Desvio- 16,81 14,34
padrão)

a) Faça um teste para comparação da altura média por sexo, utilizando um nível de
significância de 10%.


23. (Teste t para amostras emparelhadas) Foi realizado um experimento com 5 atletas
onde foi solicitado que eles fizessem uma corrida de 100m sem a utilização de
anabolizantes e numa outra ocasião com a utilização dos estimulantes. Compare os
resultados pelo teste t ao nível de 5%.

Atleta 1 2 3 4 5
Sem anabol. 12,1 12,6 13,0 14,1 12,9
Com anabol. 10,8 12,5 12,7 13,8 12,4

24. O EAT-26 é um teste para atitudes alimentares que indica padrão anormal de
alimentação quando o escore ultrapassa 20 pontos. O Dr. Barros na revista Aletheia
(1999) mostrou que, dentre os 367 adolescentes do sexo feminino, 92 apresentaram
transtornos alimentares, enquanto que dentre os 439 do sexo masculino, 24
apresentaram.
a) Realize um teste qui-quadrado ao nível de 1% e indique se existe diferença
significativa entre os dois sexos.
b) Você achou o tamanho amostral suficiente para fazer esse teste?

25. Uma escala de auto-estima bastante utilizada em Psicologia é composta de 10 itens,
cuja soma da pontuação obtida nesses itens indica nível de auto-estima da pessoa
numa escala que vai de 10 (mínimo) até 50 (máximo).

O TCC da aluna de psicologia Suzana de 1999 mostrou um comparativo entre dois
grupos de pessoas com problemas de alcoolismo:

Tempo de Abstinência n Média D.P.
Até 6 meses 44 23,86 5,07
Mais de 6 meses 39 30,36 3,38

a) Compare os grupos pelo teste t adotando um nível de significância de 1%.

26. Para os dados da tabela abaixo, composta de 100 fumantes, realize um teste qui-
quadrado. Os dados foram extraídos de Everitt (1992).

Quantidade diária de
cigarros Idade
Mais de 40
Até 40 anos anos Total
Menos de 20 cigarros 50 15 65

20 cigarros ou mais 10 25 35

Total 60 40 100


27. Estudantes de fisioterapia estão estudando a evolução da flexão de tronco com a
realização de um dado tratamento. Ao todo, sete pacientes participaram do estudo e a
flexão inicial e a final foram anotadas.
Paciente 1 2 3 4 5 6 7
Antes 45 60 40 42 60 55 47
Depois 52 70 60 52 65 63 57

a) O Tratamento é eficiente? Realize um teste t apropriado.

28. Num estudo sobre o metabolismo do citrato no fígado foram tomadas amostras de
sangue da veia hepática de dez indivíduos normais e de indivíduos com uma certa
deficiência, obtendo-se os seguintes resultados de citrato (em mg/ml).

Indivíduos Indivíduos com
normais deficiência
Média 22,08 29,94
Desvio-padrão 5,58 4,14
Obs.: Dados fictícios

a) Compare os dois grupos ao nível de significância de 5%.

29. Os dados a seguir indicam o Volume de Oxigênio por kg em dois grupos de jovens
(asmáticos e não-asmáticos).

Desvio-
Grupo n Média padrão
Não Asmáticos 18 32,57 4,67
Asmáticos 17 43,10 4,21

a) Os grupos diferem de acordo com o teste t ao nível de significância de 5%?

30. O medicamento FULCIN 500mg diz ter essa quantidade da substância ativa
Griseofulvina. Numa amostra de 100 comprimidos de FULCIN chegamos a uma média
de 470mg com um desvio-padrão de 45mg.

a) Realize um teste t contra o valor de referência e tire a sua conclusão.

Cap. 7 - Correlação e Regressão (?)

31. Os dados a seguir apresentam o tempo que pedaços de tecido permaneceram
embebidos numa determinada substância e o grau de absorção verificado.

Tempo (s) 10 20 30 40 50
Absorção 120 190 330 370 490


TABELA Z

Tabela: Probabilidades acumuladas associadas aos valores críticos (z) da distribuição normal
reduzida
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998


TABELA t


Bibliografia:

Além deste material, os seguintes livros podem ser consultados.

VIEIRA, Sonia. Introdução à Bioestatística. Editora Campus.

LEVIN, Jack. Estatística Aplicada a Ciências Humanas. Editora Harbra.

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