1) O documento discute o conceito de variável aleatória e apresenta modelos de distribuição de probabilidade para variáveis aleatórias discretas, como a distribuição binomial e de Poisson. 2) É definido o que é uma variável aleatória, valor esperado, variância, distribuição de probabilidade e função de distribuição. 3) São apresentados exemplos para ilustrar esses conceitos e propriedades matemáticas associadas.

1. Variável Aleatória
Gilson Barbosa Dourado
gdourado@uneb.br
6 de agosto de 2008

2. Denição de Variável Aleatória
Considere um experimento E e seu espaço amostral
Ω = {a1 , a2 , . . . , an }. Variável aleatória é qualquer função que
associa a cada elemento do espaço amostral um valor númerico.
As variáveis aleatórias (v.a.) podem ser classicadas em: discretas
(se assumir valores num conjunto enumeravel com certa
probabilidade) contínua (se seu conjunto de valores qualquer
intervalo dos números reais, o que seria um conjunto não
enumerável).

3. Variável Aleatória Discreta
Distribuição de Probabilidade
Uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é
uma relação dos distintos valores xi de X juntamente com as
probabilidades associadas. A notação utilizada é a seguinte:
(
P X = xi ) = p (xi ) = pi , i = 1, 2, . . .
ou ainda
X x1 x2 x3 ...
P X( = xi ) p1 p2 p3 ...

4. Para que uma função P (X = xi ) = p (xi ) seja uma distribuição de
probabilide, é necessário que:
1. (
P X = xi ) ≥ 0 e P X( = xi ) ≤ 1
2. (
P X = xi ) = 1
3. (
P X = x ) = p (x )

5. Exemplo: No lançamento de duas moedas, a variável aleatória X
anota o número de caras obitdas. Os valores de X e a função de
probabilidade associada são:
Ω = (C , C ); (C , K ); (K , C ); (K , K ), onde C é coroa e K cara.
Evento CC CK KC KK
X 0 1 1 2
Valores de X 0 1 2
Probabilidade P (X = x ) 1/4 2/4 1/4
Exercício: No lançamento de dois dados, a variável aleatória S
anota a soma das faces superiores do dado. Determine os valores
de S e a função de probabilidade associada.

6. Função de Distribuição de Probabilidade
A função de distribuição ou função acumulada de probabilidade de
uma variável aleatória discreta X é denida para qualquer número
real x , pela seguinte expressão:
( ) = P (X = x )
F X
Exemplo: Do exercício anterior, podemos calcular probabilidades do
tipo
(
P X ≤ 5) = 1/36 + 12/36 + 3/36 + 4/36 = 10/36
(
P X 8) = P (X ≥ 9) = 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36 = 10/36
P (6 ≤ X ≤) = 5/36 + 6/36 + 5/36 = 16/36

7. Para calcularmos probabilidades associadas a uma variável aleatória
temos basicamente de saber calcular as probabilidades dos eventos:
P X( = x) e (
P X ≤ x)
Outras probabilidades calculam-se como combinações dessas duas.
Assim, no exemplo acima:
(
P X ≥ 9) = 1 − P (X ≤ 8)
P (6 ≤ X ≤ 8) = P (X ≤ 8) − P (X 6) = P (X ≤ 8) − P (X ≤ 5)

8. Esperança Matemática ou Valor Esperado de uma Variável
Aleatória
Um valor esperado é simplesmente uma média dos possíveis
resultados pesados de acordo com a sua probabilidade de
ocorrência, isto é:
( ) =
E X x1 P X ( = x1 ) + x2 P (X = x2 ) + . . . + xn P (X = xn )
n
= (
xi P X = xi )
i =1

9. Exercício: Um comerciante espera vender um automóvel até
sexta-feira. A expectativa de que venda na segunda-feira é de 50%.
Na terça-feira é de 30%, na quarta-feira é de 10%, na quinta-feira e
na sexta-feira de 5%. Seu lucro é de 3.000 u.m. se vender na
segunda-feira é diminui 40% a cada dia. Calcule o valor esperado
de lucro deste negociante nesta venda.
L 3.000 1.800 1080 648 388,80
( = l)
P L 0,50 0,30 0,10 0,05 0,05
( ) = 3.000 × 0, 50 + 1.800 × 0.30 + 1.080 × 0, 10 + 648 ×
E L
0, 05 + 388, 88 × 0, 05 = 2.199, 84

10. Propriedades do Valor Esperado
Se a e b são constantes e X uma variável aleatória, então:
1. E (a) = a
2. E (bX ) = bE (X )
3. E (X ± a) = E (X ) ± a
4. E (a ± bX ) = a ± bE (X )
Exemplo: Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias
de certo aparelho. O quadro a seguir da o número xi de aparelhos
vendidos em uma semana e a respectiva probabilidade:
Número xi 0 1 2 3 4 5
Probabilidade 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1
Se é de R$ 20,00 o lucro por unidade vendida, qual o lucro
esperado nas vendas de uma semana?

11. Variância
A variância da variável aleatória X é denida por:
σ 2 = Var (X ) = E [(X − µ)2 ] = E (X 2 ) − µ2
O desvio padrão (σ ) é a raiz quadrada da variância:
√
Dp (X ) = σ = σ2.
Propriedades
1. ( )0
Var X 1. ( )0
Dp X
2. (
Var X ± a) = Var (X ) 2. (
Dp X ± a) = Dp (X )
3. (
Var bX )= 2
b Var (X ) 3. (
Dp bX ) = |b|Dp (X )
4. ( ± bX ) =
Var a
2
b Var (X ) 4. ( ± bX ) = |b|Dp (X )
Dp a

12. Modelos Teóricos Discretos de Probabilidade
Quando aplicamos a Estatística na resolução de problemas
administrativos, vericamos que muitos problemas apresentam as
mesmas caractéristicas o que nos permite estabelecer um modelo
teórico para determinação da solução de problemas.
Os componentes principais de um modelo estatístico teórico:
1. Os possíveis valores que a variável aleatória X pode assumir;
2. A função de probabilidade associada à variável aleatória X ;
3. O valor esperado da variável aleatória X ;
4. A variância e o desvio-padrão da variável aleatória X .

13. Distribuição (ou modelo) de Bernoulli
Característica do modelo
Se uma variável aleatória X só pode assumir os valores 0 e 1 com
( = 0) = q e P (X = 1) = p com p + q = 1, então diremos que
P X
a variável aleatória X admite distribuição de Bernoulli.
Discrição do modelo
1. X = {0 , 1 }
2. P (X = 0) = q e P (X = 1) = p ;
3. E (X ) = p ;
√
4. Var (X ) = p × q e Dp (X ) = p × q
Podemos escrever o modelo do seguinte modo:
(
P X = x ) = p x × q 1−x
onde q = 1 − p.

14. Exemplo: No lançamento de uma moeda, a variável aleatória Y
anota o número de caras obtidas.
1. X = {0, 1};
2. P X ( = 0) = 1/2 e (
P X = 1) = 1/2;
3. E X ( ) = 0 × 1/2 + 1 × 1/2 = 1/2;
4. Var X ( ) = 1/2 × 1/2 = 1/4 e ( )=
Dp X 1/4 = 1/2.
Exercício: Uma urna contém 15 bolas brancas e 25 bolas vermelhas.
Uma bola é retirada da urna e a variável aleatória B anota o número
de bolas brancas obtidas. Calcule a média e o desvio-padrão de B.

15. Ditribuição Binomial
Característica do modelo
Esta distribuição de probabilidade é utilizada na descrição de
situações, nas quais tem-se n repetições independentes, sendo que
em cada repetição apresenta apenas dois resultados possíveis, que
podem ser denotados como sucessoou fracaso. Além disso,
assume-se que a probabilidade de sucessoa cada nova repetição
do experimento é constante e igual a p e que deseja-se contar
quantos sucessosteve-se em n tentativas.
Discrição do modelo
1. X = {0, 1, 2, · · · , n};
n k n−k n n!
2. P (X = k ) =
k p q , k = 0, 1, 2 · · · , n e k = k !(n−k )!
3. ( ) = n × p;
E X
√
4. Var (X ) = n × p × q e Dp X( )= n ×p×q

16. Exemplo: Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As
peças são embaladas em caixas que contém 12 peças. Calcule a
probabilidade de um cliente comprar uma caixa contendo:
a) nenhuma peça defeituosa;
b) uma peça defeituosa.
Temos
1. X - número de peças defeituosas na caixa.
X = {0, 1, 2, · · · , 12};
2. P (defeituosa) = 0, 10 = p , P (não defeituosa) = 0, 90 = q ;
3. P (X = k ) = 12 0, 10k 0, 9012−k .
k
Resposta a):
12 12!
P X ( = 0) = 0, 100 0, 9012−0 = 0, 9012 = 0, 282
0 0!(12 − 0)!
Resposta b)
12 12!
(
P X = 1) = 0, 101 0, 9012−1 = 0, 10×0, 9012 = 0, 377
1 1!(12 − 1)!

17. Distribuição de Poisson
É uma distribuição de probabilidade discreta que se aplica a
ocorrência de eventos ao longo de intervalos especicados. A
variável aleatória é o número de ocorrência do evento no intervalo.
Os intervalos pode ser de tempo, distância, área, volume ou alguma
unidade similar.
Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se:
1. X = {0, 1, 2, · · · };
e −λ λk
2. P X ( = k) = k! , k = 0, 1, 2 · · · ;
3. E X ( ) = λ;
4. Var X ( ) = λ.

18. Uma distribuição de Poisson difere de uma distribuição binomial
nestes aspectos fundamentais:
1. A distribuição binomial é afetada pelo tamanho da amostra n
e pela probabilidade p , enquanto que a distribuição de Poisson
é afetada apenas pela média λ;
2. Na distribuição binomial, os valores possíveis da variável
aleatória X são 0, 1, 2, · · · , n, mas a distribuição de Poisson
tem os valores de X de 0, 1, 2, · · · , sem qualquer limite
superior.
Obs: O parâmetro λ é usualmente referido como taxa de
ocorrência.
Exemplo: Suponha que o número de carros que chegam a uma la
do guichê de um pedágio tem distribuição de Poisson a uma taxa
de três carros por minuto, calcule a probabilidade de que cheguem
cinco carros em um minuto.